中考数学几何专题复习复习过程
中考数学复习：专题9-8 中考数学基本几何模型探究
中考数学基本几何模型探究【专题综述】许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成.中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题，则能提高学习效率，提升创新创造能力.【方法解读】一、中考试题呈现和探源题目 如图1，正方形ABCD 的边长为3cm, ,P Q 分别从,B A 出发沿,BC AD 方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2 cm/秒.连结AP 并过点Q 作QE AP ⊥，垂足为E . (1)求证:ABP QEA ;(2)当运动时间t 为何值时，ABP QEA ≅?(3)设QEA 的面积为y ，用运动时间t 表示QEA 的面积y .(不要求考虑t 的取值范围) (提示:解答(2)(3)时可不分先后)此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2，四边形ABCD 是正方形，点G 是边BC 的中点，,//DE AG BF DE ⊥交AG 于点F ，求证: AF BF EF -=.(人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题) 将此题的条件“//BF DE 交AG 于点F ”去掉，即可变为上述中考题. 二、探寻基本图形和基本模型由课本习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和几何模型:如图3，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,AE BF 交于点O .性质1 若AE BF ⊥，则AE BF = (或BE CF =). 性质2 若AE BF = (或BE CF =)，则AE BF ⊥.性质3 若点O 是中心对称图形的对称中心，且AE BF ⊥，则,AE BF 把该图形的面积四等分. 若将线段,AE BF 分别平移到,GH EF 处(如图4)，结论EF GH =仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.如图5，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB AD 上，且DE CF ⊥，则DE ADCF CD=. 若将线段,DE CF 分别平移到,NM HQ 处(如图6)，结论MN ADQH CD=仍成立.由以上图形可提炼出如下模型:模型1 正方形+线段垂直(或线段相等)=线段相等(或线段垂直)模型2 中心对称图形+线段垂直(或面积四等分)=面积四等分(或线段垂直) 模型3 矩形+线段垂直(或线段成比例)=线段成比例(或线段垂直) 三、模型解题提升能力 1、用模型1解决问题例1 已知:如图7，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ BE ⊥于点,Q DP AQ ⊥于点P . (1)求证: AP BQ =;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.分析 由模型1易得AQ DP =，得本题证明思路是证全等形，进而得AP BQ =，由全等形可得AQ BQ PQ -=或PD AP PQ -=.例2 如图8，正方形ABCD 的面积为3cm 2, E 为BC 边上一点，30BAE ∠=︒,F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与,AB DC 相交于点,M N ，若MN AE =，则AM 的长等于 cm.分析 由模型2可得MN AE ⊥，用勾股定理和30BAE ∠=︒，求得AE =2，则AF =1，所以3AM =2、用模型2解决问题 例3 问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10, M 是正方形ABCD 内一定点，在图9中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M )，使正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.问题解决(3)如图11，在四边形ABCD 中，//,AB CD AB CD BC +=，点P 是AD 的中点.如果,AB a CD b ==，且b a >，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在的直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ 的长;若不存在，说明理由.分析 (1)据模型2，只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2，过点M 和正方形ABCD 对角线的交点O 作直线OM ，分别交,AD BC 于,P Q 两点，再过点O 作OM 的垂线，交,AB CD 于,E F 两点，则直线,OM EF 将正方形ABCD 的面积四等分，如图10所示.(3)如图11，延长BA 至点E ，使AE b =,延长CD 至F 点，使DF a =，连结EF .由//,BC CF BC BE CF a b ===+，易证四边形BCEF 是菱形，连结BF 交AD 于点M ，则MAB MDF ≅，得AM DM =，所以点M 与P 重合，点P 是菱形对角线的交点.在BC 上截取BQ CD b ==，则CQ AB a ==.设点P 到菱形一边的距离为d ，则1()2ABP QBP S S AB BQ ∆∆+=+1()2CQ CD d =+ CPQ CPD S S ∆∆=+.所以，当BQ b =时，直线PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分. 3、用模型3解题 例3 探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12，矩形ABCD 中，,EF GH EF ⊥分别交,AB CD 于点,,E F GH 分别交,AD BC 于点,G H .求证:EF ADGH AB=.结论应用(2)如图13，在满足(1)的条件下，又AM BN ⊥，点,M N 分别在边,BC CD 上，若1115EF GH =,则BNAM的值为 . 联系拓展(3)如图14，四边形ABCD 中，90,10,5,ABC AB AD BC CD AM DN ∠=︒====⊥,点,M N 分别在边,BC AB 上，求DNAM的值.分析 (1)由模型3，过点A 作//AP EF ,交CD 于P ，过点B 作//BQ GH ，交AD 于Q ，如图15，易证,,AP EF GH BQ PDA QAB ==∆∆，然后运用相似三角形的性质就可解决问题.(2)只需运用(1)中的结论,可得到EF AD BNGH AB AM==，就可解决问题.(3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于点R ，交BC 的延长线于点S ，如图16，易证四边形ABSR 是矩形，由模型3可得DN ARAM AB=. 设,SC x DS y ==，则5,10AR BS x RD y ==+=-，在Rt CSD 中，根据勾股定理，可得2225x y+=. ①在Rt ARD中，根据勾股定理，可得22(5)(10)100x y++-=.②解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决.【强化训练】1. （2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=2；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④2．（2017四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．24B．14C．13D．233. （2017湖北省十堰市）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=43NF；③38BMMG=；④12CGNF ANGDS S=．其中正确的结论的序号是．4. （2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：A F=BE．5. （2017浙江省宁波市）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．23C．13D．46. （2017丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADn AE．（1）求证：A E=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．7. （2017江苏省南通市）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．8. （2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE 的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．9. （2016内蒙古包头市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．10. （2016广西贺州市）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=3，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）。
中考数学几何专题复习
专题 几何专题题型一考察概念基础知识点型例1如图1,等腰△ABC 的周长为21,底边BC ＝ 5,AB 的垂直平分线是DE ,则△BEC 的周长为 ; 例2 如图2,菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 是AB 、AD 的中点,若2EF=,菱形边长是______．图1 图2 图3 例3 已知AB 是⊙O 的直径,PB 是⊙O 的切线,AB ＝3cm,PB ＝4cm,则BC ＝ ． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系,然后利用勾股定理即可求解; 沿DE 折叠,若48CDE ∠=°,则APD ∠等例4 D E ，分别为AC ,BC 边的中点,于 ;例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4,AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠, 使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色图,则着色部分的面积为A ． 8B ．112C ． 4D ．52EDBC A P图4图5 图6题型三涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度,求弧长,扇形面积及圆锥体积,侧面积,三角函数计算等;例6如图3,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于A,AB 是⊙O 的直径,PB 交⊙O 于C,PA ＝2cm,PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是A.2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2232cm π- 图3 题型四证明题型： 第二轮复习之几何一——三角形全等判定方法1：SAS例1如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且 AE=AF; 求证：△ACE ≌△ACF例2 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED ． 1求证：△BEC ≌△DEC ；2延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数．BD GFF ADFEBCDCBA EFG判定方法2：AASASA例3 如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于 E ,BF DE ∥,交 AG 于F ,求证：AFBF EF =+．例4如图,在□ABCD 中,分别延长BA,DC 到点E,使得AE=AB, CH=CD 连接EH,分别交AD,BC 于点F,G;求证：△AEF ≌△CHG.判定方法3：HL 专用于直角三角形例5在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E在BC上, 且AE=CF. 1求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; 2若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.对应练习1.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.1证明：∠DFA = ∠FAB； 2证明: △ABE≌△FCE.2.如图,点E 是正方形ABCD 内一点,CDE ∆是等边三角形,连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F . 1求证:BCE ADE ∆≅∆；5分2求AFB ∠的度数.5分3．如图,已知∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,BE ⊥CE 于E ,AD ⊥CE 于D ,CE 与AB 相交于F ．1求证：△CEB ≌△ADC ；2若AD ＝9cm,DE ＝6cm,求BE 及EF 的长．第二轮复习之几何二——三角形相似Ⅰ.三角形相似的判定例1如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,连接DE,F 为线段DE 上一点,且∠AFE ＝∠B. 1求证：△ADF ∽△DEC2若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 例2如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点不与点A ．B重合,连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF;E B D A CF AF DEB CABCEFABCDF EF ED CBA 1求证：∠ADP=∠EPB ； 2求∠CBE 的度数； 3当APAB的值等于多少时．△PFD ∽△BFP 并说明理由．2.相似与圆结合,注意求证线段乘积,一般是转化证它所在的三角形相似;将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似 例3 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交AC 与E,交BC 与D ．求证：1D 是BC 的中点；2△BEC∽△ADC； 3BC 2=2AB CE ．3.相似与三角函数结合,①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化,然后求线段的长度②求某个角的三角函数值,一般会先将这个角用等角转化,间接求三角函数值例4如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.1求证：⊿ABE∽⊿DFE ;2若sin∠DFE=31,求tan∠EBC 的值. 练习一、选择题1、如图1,将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后,使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点,则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC △的中位线,成立的有 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③图1 图22.如图,等边△ABC 中,BD=CE,AD 与BE 相交于点P,则∠APE 的度数是A ．45° B．55° C．60° D．75° 3.如图3,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE等于A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513MEDCBA图3 图4 图5GFE CBADAO BCXY4.如图4,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个5.如图5,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点,且总使AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G,则FGAF= ． 6.如图6,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,AD ∥BC ,AC 平分∠BCD ,∠ADC = 120°,四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为 A. 32B.3C. 23D. 43图6 图7对折,使点A 落在点1A 处;已知7.如图7,在直角坐标系中,将矩形OABC 沿OB3=OA ,1=AB ,则点1A 的坐标是 ; A 、23,23 B 、23,3 C 、23,23 D 、21,23 三、解答题1如图,矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE ＝AD,DF⊥AE 于F,连结DE.求证：DF ＝DC ．2.如图,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内．求证：1∠PBA =∠PCQ =30°；2PA =PQ ．3.如图9,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD ＝∠CBD ＝15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE ＝CA ．1求证：DE 平分∠BDC ；2若点M 在DE 上,且DC=DM ,求证： ME=BD ． 4.如图5AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD ⊥CD 于点D ．求证：1∠AOC =2∠ACD ； 2AC 2＝AB ·AD ． 、5．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠,使点A 与点E 重合,点C 与点F 重合E 、F 两点均在BD 上,折痕分别为BH 、DG;1求证：△BHE ≌△DGF ；2若AB ＝6cm,BC ＝8cm,求线段FG 的长;6．如图8,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合, 连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想．ABCDEAC B DPQABCDEF 第二轮复习之几何三——四边形例1 如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE;已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足为F,连结DF;1试说明AC=EF ；2求证：四边形ADFE 是平行四边形;例2如图,AD ∥FE,点B 、C 在AD 上,∠1＝∠2,BF ＝BC⑴求证：四边形BCEF 是菱形⑵若AB ＝BC ＝CD,求证：△ACF ≌△BDE例3如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一 点,连结AG,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF,∠1=∠2 ,∠3=∠4.1证明：△ABE≌△DAF； 2若∠AGB=30°,求EF 的长.例4如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB DC =,2AD =, 4BC =延长BC 到E ,使CE AD =．1证明：BAD DCE △≌△；2如果AC BD ⊥,求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．对应练习1.如图,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点P 、Q 分别在边AB 、BC 上,且AP=BQ ． 1求证：△BDQ ≌△ADP ；2已知AD=3,AP=2,求cos ∠BPQ 的值结果保留根号．2、如图,E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点,AF CE DF BE DFBE ==，，∥． 求证：1AFD CEB △≌△．2四边形ABCD 是平行四边形．3． 如罔7,在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点,连接EB 、ED,1求证：△BEC ≌△DEC ：2延长BE 交AD 于点F,若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．4.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延长CB 到点E ,使BE =AD ,连接DE 交AB 于点M .1求证：△AMD ≌△BM E ；2若N 是CD 的中点,且M N=5,BE =2,求BC 的长.第二轮复习之几何四——圆Ⅰ、证线段相等例1：如图,AB 是⊙O 的直径,C 是的中点,CE ⊥AB 于 E ,BD 交CE 于点F ．1求证：CF=BF ；2若CD =6, AC =8,则⊙O 的半径为 ___ ,CE 的长是 ___ ．ABDEFCDAB EC F ACBDEFO2、证角度相等例2如图,AB 是⊙O 的直径,C 为圆周上一点,30ABC ∠=︒,过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：1CAB BOD ∠=∠；2ABC ∆≌ODB ∆． 3、证切线点拨：证明切线的方法——连半径,证垂直;根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线例3如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点E,DA 平分∠BDE;1求证：AE 是⊙O 的切线;2若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD 的长;例4如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,OC⊥AB,∠ADC=30°． 1求∠BOC 的度数；2求证：四边形AOBC 是菱形． 对应练习1．如图,已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直,垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD的延长线相交于点F ,且AD =3,cos ∠BCD= . 1求证：CD ∥BF ； 2求⊙O 的半径； 3求弦CD 的长.2.如图,点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点B 在⊙O 上,且AB ＝AD ＝AO ．1求证：BD 是⊙O 的切线．2若点E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F,且△BEF 的面积为8,cos∠BFA＝32,求△ACF 的面积．1.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是A ．75B ．60C ．65D ．55图1 图22．如图2,在边长为4的等边三角形ABC 中,AD 是BC 边上的高,点E 、F 是AD 上的两点,则图中阴影部分的面积是A ．43B ．33C ．23D ．33.如图3,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是DCBOADOBCA E 例7图43DOEC O图 8OFE BCADCB A O P D图3 图4 A B C D74. 如图4,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是 A ．247B ．73C ．724D ．135.如图5,ABC △是等腰直角三角形,BC 是斜边,将ABP △绕点A 逆时针旋转后,能与ACP '△重合,如果3AP =,那么PP '的长等于 A ．32B ．23C ．42 D ．336. 图6,已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F,G,若∠ADF=80o ,则∠EGC 的度数为 图5 图67．如图,已知：在平行四边形ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 的平分线交AD•于点E,交CD 的延长线于点F,则DF=______cm ．8．如图,矩形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD,BC 于点E 、F,连接CE,则CE 的长________.9.如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB,M 是劣弧错误!上一点,过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于点N; 1求证：PM=PN ； 2若BD=4,PA=32AO,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长． 10．如图,在△ABC 中,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P,PD ⊥AC 于点D,且PD 与⊙O 相切．1求证：AB ＝AC ；2若BC ＝6,AB ＝4,求CD 的值．11．一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠ E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．12．如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点G ,E 分别是边AB ,BC 的中点,∠AEF =90o,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． 1证明：∠BAE =∠FEC ； 2证明：△AGE ≌△ECF ； 3求△AEF 的面积．13．如图,矩形ABCD 中,53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点,以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ,过点F 作FG BE ⊥于点G ．1当E 是CD 的中点时：①tan EAB ∠的值为______________； ② 证明：FG 是O ⊙的68CEABD切线；2试探究：BE 能否与O ⊙相切 若能,求出此时DE 的长；若不能,请说明理由．几何之——解直角三角形1在△ABC 中,∠C＝90°,sinA＝45,则tanB ＝A ．43B ．34C ．35D ．452、在 ABC 中,若｜sinA-22 |+23-cosB 2=0, ∠A.∠B 都是锐角,则∠C 的度数是A. 750B. 9003、如下左图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA 的值是A 、513B 、1213 C 、512D 、1354如上右图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若EF=2, BC=5,CD=3,则tanC 等于A 、34B 、43C 、35D 、455、如,在矩形ABCD 中,DE⊥AC 于E,设∠ADE=α,且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为 ． A3 B316 C 320 D 516 6在锐角△ABC 中,∠BAC=60°,BD、CE 为高,F 为BC 的中点,连接DE 、DF 、EF,则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE ：AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时,BE=√2DE 中,一定正确的有A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个7.084sin 45(3)4-︒+-π+-=为528.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离米,则这 个破面的坡度为 . 9.如图,已知直线1l∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= ． 直角三角形常见模型1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°,旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,试求旗杆AB 的高度;2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东DE OCBG FAABC DαAABCDEADBE图6i =1:3C60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离; 3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上;前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向上如图,在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险4如图6,梯形ABCD 是拦水坝的横断面图,图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD 的面积．结果保留三位有效数字.参考数据：3≈,2≈3 1.73≈。
初中数学中考复习备考方案
初中数学中考复习备考方案初中数学中考复习备考方案1数学中考复习，将围绕数学考纲要求，大致分三轮进行：第一轮复习：系统复习。
时间：3月至4月中旬。
复习内容：按代数、几何、统计与概率三个版块进行。
巩固基础知识，理顺知识点、考点，强化选择填空题的准确率。
系统复习期间，交叉进行系统测试，培养学生知识的系统性，构建初中数学的知识体系。
第二轮复习：专题复习。
时间4月中旬至5月底。
复习内容：根据黄石中考考点，按有理数计算、化简求值、解方程组、概率计算、圆的证明与计算、解直角三角形、函数应用题、直线型综合、二次函数综合九个专题进行，巩固提高学生解答题得分率。
专题复习期间，交叉进行系统知识测试，检测学生综合运用知识的能力，提高准确率。
第三轮复习;中考模拟训练。
时间：6月前三周。
复习内容：模拟测试为主，对学生掌握的知识查缺补漏。
训练学生考试的适应能力。
主要复习资料：1、系统复习教辅资料2、往年全国各地中考试卷3、自编专题练习、测试试卷初中数学中考复习备考方案2一、复习措施1.认真钻研教材、课标要求、吃透考试大纲，确定复习重点。
确定复习重点可从以下几方面考虑：⑴根据教材的教学要求提出四层次的基本要求：了解、理解、掌握和熟练掌握。
这是确定复习重点的依据和标准。
⑴熟识每一个知识点在初中数学教材中的地位、作用;⑴熟悉近年来试题型类型，以及考试改革的情况。
2.正确分析学生的知识状况、和近期的思想状况。
(1)是对平时教学中掌握的情况进行定性分析;(2)每天对学生的作业及时批改，复习过程侧重评讲(3)是对每周所复习的知识进行测试，及时发现问题和解决问题。
(4)，将学生很好的分类，牢牢的抓在手中。
(5)备课组成员每人出好两套模拟试题，优化及共享资源。
3.根据知识重点、学生的知识状况及总复习时间制定比较具体详细可行的复习计划。
二、切实抓好“双基”的训练。
初中数学的基础知识、基本技能，是学生进行数学运算、数学推理的基本材料，是形成数学能力的基石。
2023年中考数学一轮复习讲义：几何初步与尺规作图
2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。
中考数学专题复习之几何图形动点问题
12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二 几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延 长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二 几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N， 使得△PMN周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之 间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二 几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二 几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二 几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
中考数学专题复习-几何问题线段的旋转
1.旋转—线段1.在ABC 中，AB AC =，060BAC αα∠=︒︒（＜＜），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ． （1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC∠=︒，求α的值．解析：（1） 60ABD ABC ∠=∠-︒ 又18019022ABC αα︒-∠==︒- 1190603022ABD αα∴∠=︒--︒=︒- （2）ABE 是等边三角形证明：连接AD 、CD∵60DBC∠=︒，DB BC = ∴BCD 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC =又∵AB AC =，AD AD =，∴ABD ACD ≌∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒∴ABD EBC ≌，∴AB EB = ∴ABE 是等边三角形（3）解：∵BDC 是等边三角形，∴60BCD ∠=︒ ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴EC DC BC ==, ∴1801801501522BCE EBC CEB ︒-∠︒-︒∠=∠===︒, ∵ 302EBC ABD a ∠=∠=︒-, ∴30α=︒.2.在ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若60α=︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．解析：（1）补全图形，见图1；30CDB ∠=︒（2）猜想：90CDB α∠=︒-证明：如图2 ，连结AD ，PC∵BA BC =，M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥∵点D ，P 在直线BM 上，∴PA PC =，DA DC = 又∵DP 为公共边，∴ADP CDP ≌∴DAP DCP ∠=∠，ADP CDP ∠=∠又∵PA PQ =，∴PQ PC =∴DCP PQC ∠=∠，DAP PQC ∠=∠∵180PQC DQP ∠+∠=︒，∴180DAP DQP ∠+∠=︒∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠=︒∴2APQ α∠=，∴1802ADQ α∠=︒- ∴9012CDB ADQ α∠=∠=︒-（3）4560α︒︒＜＜提示：由（2）知90CDB α∠=︒-，且PQ QD =QPD CDB ∴∠=∠∴21802PQC QPD CDB CDB PAD PCQ α∠=∠+∠=∠=︒-=∠=∠∵点P 不与点B ，M 重合，∴MAD PAD BAD ∠∠∠＜＜∴18022ααα︒-＜＜，∴4560α︒︒＜＜3.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）． 第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…（1）图2中的EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为____________，此时AE 与BF 的数量关系是_________；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围．（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．解析：（1）由旋转可得：EF FD DE == DEF ∴为等边三角形∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BCAB ===，90A B C ∠=∠=∠=︒ ∵ED FD =，∴ADE CDF ≌ ∴AE CF =，BE BF =∴三角形BEF 是等腰直角三角形设BE 的长为x ，则DE EF==，4AE x =- 在Rt ADE 中，222DE AD AE =+∴ 2224)4()x =+-解得14x =-+，24x =--（舍去）∴EF ==-+（2）①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE BF = ．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF FG GH HE === ，∴ 四边形EFGH 的形状为正方形．12902390∠+∠=︒∠+∠=︒， ，13∴∠=∠ ．34902390∠+∠=︒∠+∠=︒， ，24∴∠=∠ ．在AEH 与BFE 中，1324EH EF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEH BFE ASA ∴≌（）AE BF ∴= ．②利用①中结论，易证AEH BFE CGF DHG 、、、均为全等三角形，BF CG DH AE x ∴==== ，4AH BE CF DG x ====- ．在Rt BEF 中，222EF BE BF =+∴2224281(60)4y x x x x x =-+=-+（＜＜） ∵222816(228)y x x x =-+=-+∴当2x =时，y 取得最小值8；当0x =时，16y =∴y 的取值范围是816y ≤＜（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4-．如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．设边长EF FG x == ，则BF CG x == ，422BC BF FG CG x x x =++=++=，解得：4x =-．4.已知，四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD PG =，DFPG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PE ，连结EF ．（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．①求证：2DG PC =；②求证：四边形PEFD 是菱形；（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．解析：（1）①作PM AD ⊥于点M∵PD PG =，∴MG MD =又∵MD PC =，∴2DG PC =②∵PG FD ⊥于H ，∴90DGHADF ∠+∠=︒ 又∵90ADF AFD ∠+∠=︒∴DGP AFD ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形，PMAD ⊥于点M ∴90A PMD ∠=∠=︒，PMAD = ∴PMG DAF ≌，∴DF PG =∵PG PE =，∴DFPE = ∵DF PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE∴四边形PEFD 是平行四边形又∵PE PD =，∴PEFD 是菱形（2）四边形PEFD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是正方形，DHPG ⊥于H ∴90ADC DHG ∠=∠=︒∴90CDG DHG ∠=∠=︒∴90CDP PDG ∠+∠=︒，90GDHG ∠+∠=︒ ∵PD PG =，∴PDG G ∠=∠∴CDP GDH ∠=∠∴CDP ADF ∠=∠又∵AD DC =，90FAD PCD ∠=∠=︒∴PCD FAD ≌，∴DF PD =∵PD PG PE ==，∴DF PE =又∵FD PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE ∴四边形PEFD 是平行四边形又∵DFPD =，∴平行四边形PEFD 是菱形5.如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且DE 平分ADF ∠．（1）求证：AE CF DF +=；（本小问不予评分，自行查看解析） （2）当FE 平分BFD ∠时（如图2），将线段DF 绕点F 逆时针旋转45︒，旋转后的线段分别交AD 、ED 于点P 、Q ，若正方形ABCD 的边长为4，求PEQ 的面积．解析：（1）证明：将ADE 绕点D 顺时针旋转90︒到CDG则AE CG =，ADE CDG ∠=∠，AED G ∠=∠∵AB DC ，∴AED EDC ∠=∠ ∴G EDC ∠=∠∵ADE EDF ∠=∠，∴CDG EDF ∠=∠∴FDG FDC CDG FDC EDFEDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴G FDG ∠=∠，∴DFFG = ∵CFCG FG +=，∴AE CF DF +=（2）过E 作EG DF ⊥于G 则ADE GDE ≌，BEF GEF ≌∴2AE GE BE ===，∴DE =∵AD BC ，∴180ADF BFD ∠+∠=︒ ∵DE 平分ADF ∠，FE 平分BFD ∠∴180ADFBFD ∠+∠=︒ ∴90EDFDFE ∠+∠=︒，∴90DEF ∠=︒∴EDF ADE ∽，∴EF =5DF =∴3CF=，1BF = 过Q 作QH DF ⊥于H ，设QH x =45,DFP FH QH x ∠=︒∴== 又21,tan tan 42AE ADE EDH ADE EDH AD ∠=∠∴∠====∠ 2DH x ∴=∴25x x +=，∴ 53x = ，∴ 553DQ =， 523QF =∴3EQ DE DQ =-=，∴15EQ DQ = 过E 作EIBF 交PF 于I ，则EI 是梯形ABFP 的中位线 设EI t =，11,55EQ DP EQ DQ EI DQ =∴== 5DP t ∴=，45AP t =-∴ 4511()2t t =-+， 57t = ，∴ 257DP =过P 作PK DE ⊥于K ，则 25sin7PK PD ADE =⋅∠==∴ 112522342PEQ EQ PK S ⋅=⨯==6.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接CD ．（1）如图1，DE 与BC 的数量关系是___________；（2）如图2，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系_____________．解析：（1）9030ACB A ∠=︒∠=︒， ，60B ∴∠=︒ ，点D 是AB 的中点，DB DC ∴= ，DCB ∴ 为等边三角形，DE BC ⊥ ，2DE BC ∴=；故答案为2DEBC =（或BC =）（2）BF BP += （或()2BF BP DE +=）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒∴60ABC ∠=︒∵D 是AB 的中点，∴12CD AB BD == ∴DCB 是等边三角形，∴60CDB PDF ∠=∠=︒∴CDP BDP BDFBDP ∠+∠=∠+∠ 即CDP BDF ∠=∠又∵DP DF =，∴CDP BDF ≌ ∴CP BF =∵BC BP CP =+，∴BC BP BF =+，∵sin60DE BC CD ===︒∴BP BF += （3）如图，与（2）一样可证明DCP DBF ≌ ，CP BF ∴= ，而CP BC BP =+ ，BF BP BC ∴-= ，BF BP ∴-=（或)2BF BP DE -=）7.在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AC 的中点，E 为射线DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接FC ，过点F 作FG FC ⊥，交直线AB 于点G ． （1）如图1，当点E 在线段DC 上时，判断FG 与FC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，当点E 在线段DC 的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；（3）当点E 从DC 的中点M 移动到C 点时，直接写出线段FG 的中点N 所经过的路径长．解析：（1）FG FC =证明：连接EF ，延长DF 交AB 于H∵90EDF ACB ∠=∠=︒，∴DH BC∵D 是AC 的中点，∴H 为AB 的中点，12DC AC = ∴DH 是ABC 的中位线，∴12DH BC = ∵AC BC =，∴DC DH =∵DE DF =，∴CE FH =∵90EDF∠=︒，FG FC ⊥ ∴90ECFDFC ∠+∠=︒，90HFG DFC ∠+∠=︒ ∴ECFHFG ∠=∠ ∵DEF 和ADH 都是等腰直角三角形∴45DEFAHD ∠=∠=︒，∴135CEF FHG ∠=∠=︒ ∴CEF FHG ≌，∴FG FC =（2）成立证明：连接EF ，设DF 交AB 于H同理可证CE FH =，45CEF FHG ∠=∠=︒90ECF FCB ∠=︒+∠，90HFG DFC ∠=︒+∠∵DF BC ，∴DFC FCB ∠=∠∴ECF HFG ∠=∠，∴CEF FHG ≌∴FG FC =（3）线段FG 的中点N 所经过的路径长为 2提示：延长DF 交AB 于H ，取DH 中点P ，连接PC 、PN 、CN则2CD DP =，2CFFN = ∴CDP CFN ∽，∴DCP FCN ∠=∠∴DCF PCN ∠=∠∵2CD DP =，2CFFN =∴2CP CD =，2CN = ∴CP CD CN CF= ，∴CDF CPN ∽ ∴90CPNCDF ∠=∠=︒ ∴90FPN DPC ∠=︒-∠，是定值∴线段FG 的中点N 所经过的路径是一条线段当点E 与点M 重合时，F 是DH 的中点连接MF 、CG ，则MF 是DCH 的中位线由（1）知，CMF FHG ≌ ∴1122HG MF CH BH === 当点E 与点C 重合时，点G 与点B 重合，此时N 为BH 的中点∴点N 所经过的路径长即为图中NG 的长∵4AC BC ==，∴2CD =，1DF =，FG FC ==∴2NG=8.已知90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，DB MN ⊥于点B ．（1）如图1，求：BD AB +=；（2）当MN 绕点A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想BD 、AB 、CB 满足的关系式，并给予证明；（3）在MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =时，则CD =_________，CB =_________．解析：（1）证明：如图1，过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E∵90ACB ACE ∠+∠=︒，90ACB BCD ∠+∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵四边形ACDB 内角和为360︒∴180D CAB ∠+∠=︒∵180EAC CAB ∠+∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =+，∴BE BD AB =+∴BD AB +=（2）图2中，AB BD -=；图3中，BD AB -=证明：如图2，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACB ACE ∠-∠=︒，90ACB BCD ∠-∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵90ACD ABD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形 ∴2BE CB =又BE AB AE =-，∴BE AB BD =-∴AB BD -=如图3，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACEACB ∠=︒+∠，90BCD ACB ∠=︒+∠ ∴ACE BCD ∠=∠∵90ABD ACD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =-，∴BE BD AB =-∴BD AB -=（3）2CD =，1CB =-1+提示：过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E ，连接AD , ACD 和ECB 都是等腰直角三角形∴45CAD CEB ∠=∠=︒∵ACE DCB ≌，∴30ACE BCD ∠=∠=︒当C 、D 两点在直线MN 异侧时则15EAC ∠=︒，∴30BAD ∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵AB BD -=-=∴1CB =-当C 、D 两点在直线MN 同侧时45ABC ADC ∠=∠=︒，∴30BAD BCD ∠=∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵BD AB +==∴1CB =+9.在ABCD 中，过点C 作CE CD ⊥交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段EF （如图1）．（1）在图1中画图探究：①当1P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 点重合）时，连结1EP ，将线段1EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段1EG ，判断直线1FG 与直线CD 的位置关系并加以证明；②当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段2EG ，判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若6AD =，43tanB =，1AE =，在①的条件下，设1CP x =，11PFG S y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．解析：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、1EP 分别绕点E 逆时针旋转90︒依次得到线段EF 、1EG ．∴1190PEG CEF ∠=∠=︒，11EG EP =，EF EC =． ∵1190G EFPEF ∠=︒-∠，1190PEC PEF ∠=︒-∠． ∴11G EFPEC ∠=∠，∴11G EF PEC ≌． ∴1190G FEPCE ∠=∠=︒，∴90EFH ∠=︒，∴90FHC ∠=︒． ∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠．∵6AD =，1AE =，43tanB =．∴5DE =，43tan EDC tanB ∠==． 可得4CE= 由（1）可得四边形FECH 为正方形∴4CHCE ==①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时11G EF PEC ≌（已证） 11FG CP x ∴==四边形ABCD 为平行四边形B D ∴∠=∠1,6,AE AD ==5ED ∴= 又4tan 3B ∠= 4EC ∴=四边形EFHC 中90,90,90CEF EOD FDH ∠=︒∠=︒∠=︒且EF EC =∴四边形EFHC 为正方形4CH EC ∴==114PH CP CH x ∴=-=-． ∴1112111()222142P FG FG P S x x H x x ⋅==-=- 即22412y x x x =-（＞） ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时∵11FG CP x ==，14PH x =-． ∴11211(11·4222)12P FG S FG PH x x x x ==-=-+ 即224120y x x x =-+（＜＜） ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG 不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2x x yx ->= 或224120y x x x =-+（＜＜）．10.在ABC 中，AB AC =，D 为BC 中点，CE 为AB 边的高，点M 在AB 边上，点N 在线段CE 上，且DM DN ⊥．（1）如图l ，当45B ∠=︒时，线段AM 与CN 的数量关系为___________；（2）如图2，当30B ∠=︒时，求证：132ME AB -=； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线DM 绕点D 顺时针旋转30︒，交AC 边于点F ，连接MF 、MN ，若:BM CN =MN =MF 的长．解析：（1）AM CN =提示：连接AD ，∵AB AC = ，45B ∠=︒ ，∴90BAC ∠=︒ ，45C ∠=︒ ，∵D 为BC 边上的中点，∴AD BD DC == ，且AD BC ⊥ ，∴45DAB B C ∠=∠=︒=∠∵MD DN ⊥ ，∴90MDA AND ∠+∠=︒ ，且90AND NDC∠+∠=︒ ， ∴MDA NDC ∠=∠ ，在ADM 与CDN 中，DAB C AD CDMDA NDC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩CB∴ADM CDN ≌（2）连接AD∵AB AC = ，D 为BC 中点，30B ∠=︒∴AD BC ⊥ ，30C B ∠=∠=︒ ，60BAD CAD ∠=∠=︒∵CE 为AB 边的高，∴60DCN∠=︒ ∵DMDN ⊥ ，∴ADM CDN ∠=∠ ∴ADM CDN ∽∴tan303AM AD CN CD ==︒= ，∴3AM = ∵1122ME AM AE AC AB -===∴132ME AB -=（3）由:BM CN =CN =，则5BM k =由（2）知3AM=，∴AM k =∴6AB k AC == ，132AE AC k == ，4ME k = ，CE =，NE = 在Rt MEN 中，222ME NE MN +=∴2224)()k +=，解得2k = （舍去负值）∴12AB = ，10BM = ，6AE = ，2AM = ，CE =BC =，BD CD ==连接AD，6AD ===,由（2）知ADM CDN ∽∴3DM AD AD DN CD BD===，∴30MND B MDF ∠=︒=∠=∠∴12DM MN ==∵30MDF B ∠=∠=︒ ，∴150BMD BDM ∠+∠=︒ ，150CDF BDM ∠+∠=︒∴BMD CDF ∠=∠ ，∴BMD CDF ∽ ，∴BM MD CD DF= ∵BD CD = ，∴BM MD BD DF= ∴BMD DMF ∽ ，∴MF MD MD BM =10= ，∴14 2.85MF ==。
中考数学专题训练 几何题中用旋转构造“手拉手”模型
中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形（5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ．师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 逆时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转．H GFEDC B A师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．3.小题热身图1 图2 图31．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是AD，AB，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE 逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？ 步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过 “共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？ 生：连接GD 后，要证明G ，D ，F 三点共线．4.例题精讲例1：等边△ABC 中，AD ＝4，DC ＝3，BD ＝5，求∠ADC 度数． 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？ 生：将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°． 师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现AB ＝AC ，A 为“共顶点”，我选择的旋转线段 是AD ，因为AC 绕点A 顺时针旋转60°到AB ，所以△ADC 也要绕点A 顺时针旋转60°．也可将△ADB 绕点A 逆时针旋转60°． 【解答】将AD 绕点A 顺时针旋转60°到AE ，连接BE ，DE ．则△ADE 也为等边三角形．易证△AEB ≌△ADC ，∴BE ＝DC ＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED ＝90°，则∠AEB ＝∠ADC ＝150°例2：如图，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形， AOB ＝COD ＝90．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC ＋OD 的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将OD 绕点O 逆时针旋转90°至OE ，即可使OC ，OD 共线，再通过证明确定△BCE 即是以AD 、BC 、OC ＋OD 的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD 绕点O 逆时针旋转90°至OE ，连接BE ．易证△OAD ≌△OBE ，AD ＝BE ，∴△BCE 即是以AD 、BC 、OC ＋EADDCBOAEDBBDDCBAOD 长度为三边长的三角形．又∵OC ＝OE ，∴S △BCE ＝2S △BOC ＝2．5.自主练习1．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为 _________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是CA 和BA ，“共顶点”是A ．方法是将AD 绕点A 顺时针旋转90°．2．如图，在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2，以AC 为边，向外做正方形ACDE ，连接BE ，则BE 最大值为_________． 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和EA ，“共顶点”是A ． 方法是将AB 绕点A 逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？生：△ABC ，因为AC 是逆时针旋转90°到AE ，所以AB 也绕点A 逆时针旋转90°． 3．如图，点A 在⊙B 上，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 是等边三角形，求△BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法． 生：“等线段”是CA 和CD ，“共顶点”是C ． 方法是将CA 绕点C 逆时针旋转60°．附：自主练习解答1． 如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90°至AE ，易证△EAC ≌△DAB ，可得CE ＝BD ，又∵∠EDA ＝45°，∴∠CDE ＝90°，CD ＝3，DE ＝42，则Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2＝32＋(42)2＝41∴CE ＝41，∴DB ＝412.如图，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至AF ，易证△EAF ≌△CAB ，EDC BAADDFED可得EF＝BC＝2．Rt△BAF中，AF＝AB＝2，∴BF＝2．由三角形三边关系易知，BE ≤EF ＋BF ，∴BE 最小值为4.3.如图，将CB 绕点C 逆时针旋转60°至CE ，连接DE ，过点E 作EF ⊥CB 于F ，过点D 作DG ⊥CB 于G ．易证△CBA ≌CED ， 则DE ＝1，EF ＝3，过E 作DG 边上的高，可证DG ＜DE ＋EF ．当D ，E ，F 三点共线时，DG ＝DE ＋EF ．即高的最大值为1＋3， S △BCDmax ＝12×2×（1＋3）＝1＋3 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！FEDCBAG EFABCD。
中考数学专题复习8几何初步及三角形相关计算(原卷版)
几何初步及三角形相关计算复习考点攻略考点一直线、射线、线段相关概念和性质1．直线的性质（1）两条直线相交.只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线.即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线.两点之间.线段最短.两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点.则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内.两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角.则这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中.垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线.这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．7. 角：有公共端点的两条射线组成的图形．8．角平分线（1）定义：在角的内部.以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）角平分线的性质：①若OC是∠AOB的平分线.则∠AOC=∠BOC=12∠AOB.∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．②角平分线上的点到角两边的距离相等。
9．度、分、秒的运算方法1°=60′.1′=60″.1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．10．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．11．方向角和方位角在描述方位角时.一般应先说北或南.再说偏西或偏东多少度.而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时.又常常说成东南、东北、西南、西北方向．【例1】如图.在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数）.且2AB=BC=3CD.若A、D两点表示的数分别为-5和6.且AC的中点为E.BD的中点为M.BC之间距点B的距离为13BC的点N.则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N【例2】如图.∠AOB=180°.∠BOC=80°.OD平分∠AOC.∠DOE=3∠COE.求∠BOE．【例3】如图.要修建一条公路.从A村沿北偏东75°方向到B村.从B村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE与AB的方向一致.则∠ECB的度数为A．80°B．90°C．100°D．105°【例4】计算：18°30′=__________°考点二立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆.棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面.棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆.侧面是曲面；棱锥的底面是多边形.侧面是三角形．2．点动成线.线动成面.面动成体.线没有粗细.点没有大小．3．设立体图形的面数为F.顶点数为V.棱数为E.则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：【例5】如图是一个正方体包装盒的表面积展开图.若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数.使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后.相对面上的两数互为相反数.则填在A、B、C内的三个数依次为A．0.-2.1 B．0.1.2C．1.0.-2 D．-2.0.1考点三三角形的基本概念(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
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几何专题题型一考察概念基础知识点型例1.如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为 。
例2.如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长______． DEBCA图1 图2 图3例3 已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。
例4 D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于 。
例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C重合，折叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．112 C ． 4 D ．52EDBC A P图4 图5 图6【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。
例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，BCD GFFDCBA EFGPA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A.2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2232cm π- 【题型四】证明题型：第二轮复习之几何（一）——三角形全等 【判定方法1：SAS 】例1.AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证：△ACE ≌△ACF例2 正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．【判定方法2：AAS （ASA ）】例3 ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ， 求证：AF BF EF =+．例4如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ，CH=CD 连接EH ，分别交EBD A C F AFDEB C A DFE BCAD ，BC 于点F,G 。
求证：△AEF ≌△CHG.【判定方法3：HL （专用于直角三角形）】例5在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上, 且AE=CF. (1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.对应练习:1.在平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F. (1)证明：∠DFA = ∠FAB ；(2)证明: △ABE ≌△FCE.2.如图，点E 是正方形ABCD 内一点，CDE ∆是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F .（1）求证:BCE ADE ∆≅∆；（2）求AFB ∠的度数. AB CEF3．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．(1)求证：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．第二轮复习之几何（二）——三角形相似Ⅰ.三角形相似的判定例1如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.例2如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF。
（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当APAB 的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．ABCDFEF ED CBA2.相似与圆结合，注意求证线段乘积，一般是转化证它所在的三角形相似。
将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似 例3 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ． 求证：（1）D 是BC 的中点；（2）△BEC ∽△ADC ；（3）BC 2=2AB•CE ．3.相似与三角函数结合，①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化，然后求线段的长度 ②求某个角的三角函数值，一般会先将这个角用等角转化，间接求三角函数值例4如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.(1求证：⊿ABE ∽⊿DFE;(2)若sin ∠DFE=31,求tan ∠EBC 的值.练习 一、选择题1、如图1，将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后，使点A 落在BC 边上的点F 处．若点D 为AB 边的中点，则下列结论：①BDF △是等腰三角形；②DFE CFE ∠=∠；③DE 是ABC△AOB C XY 1A 的中位线，成立的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2.如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75° 3.如图3，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ．1013 B ．1513 C ．6013D ．7513MEDCBA图4 图5 图6 图74.如图4，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5.如图5，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． GFECBAD边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（ ） A.32B.3C. 23D. 43 7.如图7，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点1A 处。
已知3=OA ，1=AB ，则点1A 的坐标是（ ）A 、（23，23）B 、（23，3） C 、（23，23） D 、（21，23） 三、解答题1矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE.求证：DF ＝DC ．2.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．3.点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证： ME=BD ．4.如图5AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ； （2）AC 2＝AB ·AD ．、 ACBD PQADEF5．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。
（1）求证：△BHE ≌△DGF ；（2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。
6．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．第二轮复习之几何（三）——四边形例1.分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE 。
已知∠BAC=30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF 。
（1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形。
ABCDE例2如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC ⑴求证：四边形BCEF 是菱形⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE例3四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.(1)证明：△ABE ≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.例4等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，2AD =，4BC =延长BC 到E ，使CE AD =．（1）证明：BAD DCE △≌△；（2）如果AC BD ⊥，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．ACBDEF G1423DABECF【对应练习】1.在菱形ABCD 中，∠A=60°，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且AP=BQ ．（1）求证：△BDQ ≌△ADP ；（2）已知AD=3，AP=2，求cos ∠BPQ 的值(结果保留根号)．2、如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥．求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．3．在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，（1）求证：△BEC ≌△DEC ： （2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．4.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M .ABDEFC（1）求证：△AMD ≌△BM E ；（2）若N 是CD 的中点，且M N=5，BE =2，求BC 的长.第二轮复习之几何（四）——圆 Ⅰ、证线段相等例1：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ；（2）若CD =6， AC =8，则⊙O 的半径为 ___ ，CE 的长是 ___ ．2、证角度相等例2如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上一点，30ABC ∠=︒，过点B 的切线与CO 的延长线交于点D ．:求证：（1）CAB BOD ∠=∠；（2）ABC ∆≌ODB ∆．3、证切线：证明切线的方法——连半径，证垂直。