2021-2022学年天津市河东区高一上学期期中数学复习卷(含解析)

2021-2022学年天津市河东区高一上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.用表示非空集合A中的元素个数，定义，若，，且，由的所有可能值构成的集合是S，则等于()A. 4B. 3C. 2D. 12.下列命题中的说法正确的是()A. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B. “x=−1”是“x2+5x−6=0”的必要不充分条件C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1>0”D. 命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆否命题为真命题3.平面平面的一个充分条件是A. 存在一条直线，且B. 存在一个平面，//且//C. 存在一个平面，⊥且⊥D. 存在一条直线，且//4.下列函数在区间上为减函数的是()A. B. C. D.5.a、b为实数，则下列不等式中成立的是()A. a>b，则1a <1bB. a<b，则1a>1bC. 1a >1b>0，则b>a D. 1a>1b>0，则b<a6.(5)设，则A. B. C. D.7. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.记曲线关于曲线的关联点的个数为，则( )A.B.C.D.8.函数f(x)={a x x >1(4−a)x +2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1)B. (1,4)C. (1,3]D. [3,4)二、单空题（本大题共6小题，共24.0分） 9.若集合A ={x|x 2−2x <0}，B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∩B 为______ ．10. 若max{a,b}表示a ，b 两数中的最大值，若f(x)=max{e |x|,e |x−2|}，则f(x)的最小值为______ ，若f(x)=max{e |x|,e |x−t |}关于x =2015对称，则t = ______ ． 11. 函数y =√3−xlog2(x+1)的定义域是______． 12. 定义a ⊕b =max{a,b}，如：3⊕2=3，2⊕2=2，设f(x)=(x 2−154)⊕(2x )，则函数f(x)的最小值为______ ． 13. 设函数是定义在R 上的奇函数，当时，(为常数)，则的值为 ．14. 已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.设是长为2的线段，点集所表示图形的面积为________．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15. 已知全集U =R ，集合A ={x|x−1x−4≤0}，集合B 为函数g(x)=3x +a 的值域． (1)若a =2，求A ∪B 和A ∩(C U B)； (2)若A ∪B =B ，求a 的取值范围．16. 解下列方程．(1)log 2[log 2(2x +3)]=2； (2)(12)x ⋅82x =4．17.已知函数f(x)是定义在区间[−2,2]上的奇函数，且f(−2)=−2，若对于任意的m，n∈[−2,2]有f(m)+f(n)m+n<0．(1)判断函数的单调性(不要求证明)；(2)解不等式f(2x+3)<f(1−x)；(3)若f(x)≤−2at+2对于任意的x∈[−2,2]，a∈[−2,2]恒成立，求实数t的取值范围．18.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．若设组团的人数为x，旅行社收费为y．(1)求旅行社收费y与组团人数x的函数关系式；(2)如何组团，才能使旅行社收费最多？19.已知函数f(x)=ax−bx−2lnx,f(1)=0．(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a n+1=f′(1a n−n+1)−n2+1，已知a1=4，求证：a n≥2n+2；(3)在(2)的条件下，试比较11+a1+11+a2+11+a3+⋯+11+a n与25的大小，并说明你的理由．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：解：|x2+ax+1|=1⇔x2+ax+1=或x2+ax+1=−1，即x2+ax=或x2+ ax+2=，∵A={1,2}，且A∗B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即a≠0，△=a2−8=0，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2∴C(S)=3.故选B．考点：元素与集合关系点评：此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．2.答案：D解析：本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．根据四种命题的关系以及充分条件和必要条件，逐项判断即可．解：A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；B.由x2+5x−6=0得x=1或x=−6，即“x=−1”是“x2+5x−6=0”既不充分也不必要条件，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故C错误；D.若A>B，则a>b，由正弦定理得sinA>sinB，即命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确．故选D．3.答案：D解析：试题分析：根据面面垂直的判定定理和性质定理可知：A、B、C选项都是既不充分也不必要条件；只有D选项是充分条件．考点：平面与平面的位置关系、逻辑关系．4.答案：C解析：试题分析：的图像是开口向上以为对称轴的抛物线，所以在上单调递减，在上单调递增，故A不正确；由正弦图像可知在上单调递增，在上单调递减，故B不正确；由余弦函数图像可知在上单调递减，故C正确；由正切函数图像可知在和都单调递增，但当时，无意义，所以D不正确。

考点：函数的单调性5.答案：C解析：解：选项A，当a>b时，取a=1，b=−1，1a =1，1b=−1，1a>1b，故1a<1b不成立，选项A不正确；选项B，当a<b时，取a=−1，b=1，1a =−1，1b=1，1a<1b，故1a>1b不成立，选项B不正确；选项C，当1a >1b>0时，有：a>0，b>0，∴1a×ab>1b×ab，∴b>a，故选项C正确；选项D与C矛盾，故不成立．故选C．本题可根据不等式的基本性质进行化简变形，从而判断出选项是否正确，得到本题结论．本题考查的是不等式基本性质，本题难度不大，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．解：因为，所以a<b<c．故选：C．7.答案：B解析：试题分析：设则的中点为所以有因此关联点的个数就为方程解得个数由于函数在区间上分别单调增及单调减，所以只有一个交点，即．故选：B．8.答案：D解析：解：函数f(x)={a x x >1(4−a)x +2x ≤1是R 上的单调递增函数，可得：{a >14−a >0a ≥4−a +2，解得3≤a <4故实数a 的取值范围是[3,4)． 故选：D ．利用分段函数是增函数，列出不等式组，求解即可．本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，注意各段的情况和单调性的定义，及复合函数的单调性，属于易错题．9.答案：{x|1<x <2}解析：解：由集合A 中的不等式x 2−2x <0， 因式分解得：x(x −2)<0，可化为：{x <0x −2>0或{x >0x −2<0，解得：0<x <2，所以集合A ={x|0<x <2}；由集合B 中的函数y =lg(x −1)，得到x −1>0，解得：x >1， 所以集合B ={x|x >1}， 则A ∩B ={x|1<x <2}． 故答案为：{x|1<x <2}求出集合A 中一元二次不等式的解集确定出集合A ，根据负数和0没有对数，得到x −1大于0，求出x 的范围确定出集合B ，求出两集合的交集即可．本题属于以一元二次不等式的解集和对数函数的定义域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．10.答案：e ；4030解析：解：由于f(x)=max{e |x|,e|x−2|}={e x ,x ≥1e |x−2|,x <1，故f(x)的最小值为f(1)=e ．若f(x)=max{e |x|,e |x−t|}关于x =2015对称，则0+t 2=2015，求得t =4030，故答案为：e ；4030．化简函数的解析式，再利用函数y ={e |x|的图象和函数y =e |x−t 的图象关于直线x =0+t 2对称，从而得出结论．本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．11.答案：(−1,0)∪(0,3]解析：解：要使原函数有意义，则{3−x ≥0x +1>0x +1≠1，解得−1<x ≤3且x ≠0，∴原函数的定义域为(−1,0)∪(0,3]． 故答案为：(−1,0)∪(0,3]．可看出，要使得原函数有意义，则需满足{3−x ≥0x +1>0x +1≠1，解出x 的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域的求法．12.答案：14解析：解：令x 2−154=2x ，分别画出y =x 2−154和y =2x 的图象，如图所示，由图象可知当x <−2时，f(x)=x 2−154，当x ≥−2时，f(x)=2x ， 当x =−2时，函数f(x)有最小值，即为2−2=14， 故答案为：14 分别画出y =x 2−154和y =2x 的图象，如图所示，再根据新定义和由图象可知．本题考查了新定义的应用，关键是利用数形结合的思想，属于中档题．13.答案：−3解析：本题考查利用函数的奇偶性，根据奇偶性将x取负数时的函数值转化为x取正数时的函数值，进行求解．解：根据已知是定义在上的奇函数，∴f(0)=0，∴b=1，∴=−3．故答案为−3．14.答案：解析：试题分析：由已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.所以点到线段的距离所形成的轨迹，即为绕着线段的一条环形跑道的式样.所以是长为2的线段，点集所表示图形的面积为：半径为1的一个圆的面积+正方形的边长为2面积.即可得.故填．考点：1.1.新定义的问题.2.不规则图形的面积的求法.3.数形结合的思想．≤0}=[1,4)，15.答案：解：(1)A={x|x−1x−4a=2时，g(x)=3x+2，g(x)的值域是B=(2,+∞)，故A∪B=[1,+∞)；C U B=(−∞,2]，A∩(C U B)=[1,2]；(2)A=[1,4)，B=(a,+∞)，若A∪B=B，则[1,4)⫋(a,+∞)，则a<1．解析：本题考查了集合的运算，考查指数函数的性质，是一道基础题．(1)求出集合A、B，从而求出A∪B和A∩(C U B)即可；(2)根据A、B的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可．16.答案：解：(1)log 2[log 2(2x +3)]=2，则log 2(2x +3)=4，则2x +3=16， 解可得：x =132；(2)(12)x ⋅82x =4，即25x =22， 则5x =2，解可得x =25， 故x =25．解析：本题考查对数、指数幂的运算性质，注意指数幂、对数的运算性质，属于基础题． (1)根据题意，原方程变形可得log 2(2x +3)=4，即2x +3=16，解可得x 的值，即可得答案； (2)根据题意，原方程变形可得25x =22，解可得x 的值，即可得答案．17.答案：解(1)函数f(x)在区间[−2,2]上是减函数．(2)由(1)知函数f(x)在区间[−2,2]上是减函数， 由f(2x +3)<f(1−x)， 解得−23<x ≤−12．所以不等式f(2x +3)<f(1−x)的解集为{x|−23<x ≤−12}． (3)因为函数f(x)在区间[−2,2]上是减函数，且f(−2)=1，要使得对于任意的x ∈[−2,2]，a ∈[−2,2]都有f(x)≤−2at +2恒成立，只需对任意的a ∈[−2,2]，−2at +2≥1恒成立．令y =−2at +l ，此时y 可以看作a 的一次函数，且在a ∈[−2,2]时，y ≥0恒成立． 因此只需{4t +2≥1−4t +2≥1，解得−14≤t ≤14，所以实数t 的取值范围为[−14,14]． 解析：(1)由对于任意的m ，n ∈[−2,2]有f(m)+f(n)m+n<0即可判断；(2)结合(1)的单调性及奇函数的条件即可求解不等式．(3)结合已知不等式可转化为求解最值，进行变换主元构造一次函数，结合一次函数的单调性可求． 本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，还考查了不等式的恒成立问题，此类问题常转化为函数的最值问题的求解．18.答案：(1)设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x−5×(x−100)×x，(100≤x≤180)．(2)整理函数关系式得：y=−5x2+1500x=−5(x−150)2+112500．所以当x=150人时，旅行团的收费最多为112500元．解析：(1)设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x−5×(x−100)×x，(100≤x≤180)，(2)整理函数关系式，求出对称轴得到函数的最大值．本题考查的是一元二次函数的应用，难度一般．注意函数的定义域的范围．19.答案：解：(1)f(1)=a−b=0⇒a=b，∴f(x)=ax−ax−2lnx，∴f′(x)=a+ax2−2x．要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数，则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0，当a=0时,f′(x)=−2x<0在(0,+∞)内恒成立；当a=1时，f′(x)=(1x−1)2≥0，f(x)递增，成立；当a=−1时，f′(x)=−(1x+1)2≤0，f(x)递减，成立；当a>0时，要使f′(x)=a(1x −1a)2+a−1a>0恒成立，则a−1a>0，解得a>1，当a<0时，x>0，f′(x)<0显然成立．所以a的取值范围为a≥1或a≤0．(2)根据题意得：f′(1)=0，即a+a−2=0，得a=1，∴f′(x)=(1x−1)2，于是a n+1=f′(1a n−n+1)=(a n−n)2−n2+1=a n2−2na n+1，用数学归纳法证明如下：当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；假设当n=k时，不等式a k≥2k+2成立，即a k−2k≥2也成立，当n=k+1时，a k+1=a k(a k−2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2，所以当n=k+1，不等式也成立，综上得对所有n∈N∗时5，都有a n≥2n+2．(3)由(2)得a n=a n−1[a n−1−2(n−1)+1≥a n−1[2(n−1)+2−2n+2]+1=2a n−1+1,于是a n+1≥2(a n−1+1)(n≥2)，所以a2+1≥2(a1+1)，a3+1≥2(a2+1)…a n+1≥2(a n−1+1)，累乘得：a n+1≥2n−1(a1+1),则11+an ≤12n−1⋅11+a1(n≥2)，所以11+a1+11+a2+⋯+11+a n≤11+a1(1+12+122+⋯+12n−1)=25(1−12n)<25．解析：(1)根据函数单调性与导数的关系，f(x)在其定义域内为单调函数，在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0，转化为恒成立问题去解决．(2)根据导数的几何意义，f′(1)=0，求出a，确定f(x)，f′(x)继而得出an+1的表达式，最后用数学归纳法证明．(3)在(2)的条件下，将各项适当放缩，能得出11+a n ≤12n−1⋅11+a1(n≥2)，再结合等比数列求和公式化简不等式左边，去与25比较．本题考查函数单调性与导数的关系，数学归纳法，等比数列求和，考查分析解决、转化、放缩，计算等能力与方法．是难题．。