高三上册数学期中试卷及答案精选
2024年北京四中高三(上)期中数学试题及答案
2024北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集R U =，集合{}240A x x =−<，{}1B x x =≥，则()UA B ⋂=（ ）A. ()1,2B. ()2,2−C. (),2∞−D. ()2,1−2. 不等式111x x >−的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,1)D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（ ） A. 2B. 2−C. 1D. 1−4. 已知函数()23f x x x=−−，则当0x <时，()f x 有（ ）A. 最大值3+B. 最小值3+C. 最大值3−D. 最小值3−5. 设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos23α=，则cos β=（ ）A.19B. 19−C.9 D. 9−7. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e t aQ Q−=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（ ） （参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈） A. 280B. 300C. 360D. 6408. 已知函数()1,2,x x x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0]−∞B. [0,1]C. [0,)+∞D. (,1]−∞9. 已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（ ）A. 0a s >，0a t >B. 0a s <，0a t <C. 0a s >，0a t <D. 0a s <，0a t >10. 已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=−．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（ ） A. ()3,4 B. ()2,3 C. 3216,115⎛⎫⎪⎝⎭ D. 832,311⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数5i2iz =−，则z =______. 12. 已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =______. 13. 已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为______. 14. 在ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=_____； （2）若ABC，则最短边的长为______.15. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M −.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”； ②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.16. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =−. （1）求ϕ的值；（2）若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−.（1）求C ∠的大小；（2）若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为条件②：1b a −=； 条件③：1sin sin 2B A −=. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+−−. （1）求()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()f x x a '<−+有解，求实数a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求C 的方程；（2）是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数()e xf x x ax =−，R a ∈.（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程； （2）若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；（3）当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. 已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），ij A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.（1）若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；（2）若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；（3）若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 【答案】D【分析】先求出集合A ，然后求出UB ，进而求得()U A B ⋂.【详解】由240x −<，得22x −<<，所以{}|22A x x =−<<, 因为{}|1B x x =≥，所以{}|1UB x x =<,所以(){}|21UA B x x ⋂=−<<.故选：D. 2. 【答案】C【分析】根据题意，由条件可得10(1)x x −>−，即可得到结果.【详解】111x x >−，则11101(1)x x x x −−=>−−，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1． 故选：C3. 【答案】A【分析】找基底分别表示,AE BC ，然后计算即可. 【详解】由题可知，111222AE AC AB AD ==+,BC AD =, 所以2111122222AE BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭故选：A 4. 【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+−+−≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x = 故选：B. 5. 【答案】D【详解】若0,2a b ==−，则22a b <，故不充分；若2,0a b =−=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6. 【答案】A【分析】根据对称得2k βππα=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意2,Z k k αβππ+=+∈，即2k βππα=+−，而2221cos 2cos 121239αα⎛⎫=−=⨯−=− ⎪⎝⎭，()1cos cos 2cos 9k βππαα=+−=−=． 故选：A ． 7. 【答案】C【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2an aQ Q Q Q −−+== ，即280280ln 2,ln 5na a+==， 两式相比得280ln 5ln10ln 2280ln 2ln 2n +−== 解得360n ≈ 故选：C 8. 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ； 同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤. 故选：B 9. 【答案】D【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，0a >，区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度相同；取π6a =，则[][]ππππ,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t >，故A 可能； 取7π6a =，则[][]7π7π7π7π,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s <，0a t <，故B 可能； 取5π12a =，则[][]5π5π5π5π,2,,2,3,12664a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t <，故C 可能； 由三角函数性质可知，假设0a s <，0a t >成立，必然有πa >，所以区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度大于π，根据sin y x =的函数图象可知， 当区间长度大于π，sin y x =在区间[],2a a 与[]2,3a a 上的取值必然有正有负， 此时0a s <，0a t <，故与假设矛盾，故D 不可能. 故选：D 10. 【答案】D【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解. 【详解】p 为真命题，则2n a ≠， 由2n a ≠从后往前推，14n a −≠，283n a −≠, 3165n a −≠,43211n a −≠,,n k a −,而8(2,3)3∈，排除，16(3,4)5∈,排除， 由蛛网图可知3n k a −→,而63321,115∈⎛⎫⎪⎝⎭，n a 之前的项会趋向于3，所以C 项排除. 因为()24832,,311n n a a −−⎛⎫= ⎪⎝⎭，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法和模的公式即可. 【详解】()()()5i 2i 5i 10i 512i 2i 2i 2i 5z +−====−+−−+，则z ==.. 12. 【答案】3【分析】首先求出()273f =，再对a 分类讨论即可. 【详解】()327log 273f ==， 则()33f a =，()1f a =，当0a >时，由3log 1a =，得3a =； 当0a <时，由31a =，得1a =.（舍去） 故答案为：3 13. 【答案】{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）【分析】分类讨论过点D 和不过点D 的幂函数即可. 【详解】幂函数都经过点()1,1B ；若该幂函数经过点D ，可得1242αα=⇒=，该幂函数方程为y =()0,0A ， ()1,1B ，()4,2D ；若该幂函数不过点D ，则12α≠，此时过点()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −， 显然{}N 21,Z k k ααα∈∈=−∈. 故答案为：{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）14. 【答案】 ①.3π4②【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可； （2）先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=−+=−=−−所以3π4C ∠=；（2）由题可知，最长边为边c =a ；易知sin ,sin 172A C ==由正弦定理可知，sin sin ca A C==故答案为：3π4； 15. 【答案】①③④【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为集合[],M M −的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()f x g x +∈R ，从而发现命题正确； 【详解】对①，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“t ∀∈R ，关于x 的方程()f x t =都有实数解”表示的是函数可以在R 中任意取值， 命题①是真命题；对②，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M −． ()M f x M ∴−≤≤．例如：函数()f x 满足2()5f x −<<，则有5()5f x −≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．命题②是假命题；对③，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈， 则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，()()f x g x M ≤，若()g x B ∉，则对任意的正实数()1u u >，总存在1X ，当1x X >时，()g x u >， 而()f x A ∈，故存在2X ，当2x X >时，()f x u >， 故当{}12max ,x X X >时，有()()2f xg x u u >>，这与()()f x g x M ≤矛盾，故()g x B ∈,故命题③是真命题． 对④，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M −≤≤，()()f x g x ∴+∈R ，则()()f x g x B +∉．命题④是真命题．故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16. 【答案】（1）π3ϕ=−（2）()f x 的最小值为()f x的最大值为1【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()2f T =−即可求得ϕ的值；（2）首先根据题意得出()f x 的最小正周期，进而可得()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+, 由于0ω>，则()f x 的最小正周期为2πT ω=，()()2sin sin 2πsin 2f T πωϕϕϕω⎛⎫=+=+==−⎪⎝⎭, 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−；【小问2详解】因为()f x 与x 轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 所以2π2πω==，即()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x −=−即x =0时，()f x 取最小值2−, 当ππ232x −=即5π12x =时，()f x 取最大值1. 17. 【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC 边上的中线的长为1；选③时AC 边上的中线的长为1. 【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾； 选②，先求得2ab =，则可得1,2a b ==，再利用余弦定理求解即可得中线长. 选③，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线. 【小问1详解】 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =−， 得2sin cos 2sin sin C A B A =−.（i ）因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.（ii ） 由（i ）（ii ）得2sin cos sin 0A C A −=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2231162a b +−=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：1b a −=，两边平方得2221a b ab +−=，（iii ）由余弦定理得223122a b ab +−=，即223a b ab +−=，（iiii ） 联立（iii ）（iiii ）得2ab =，所以1,2a b ==， 设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+−⋅2242b ab a =+−1=. 所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：1sin sin 2B A −=. 由（1）知，π33ππ2B A A ∠=−−∠=−∠.所以2π1sin sin sin sin cos sin sin 322B A A A A A A ⎛⎫−=−−=+−⎪⎝⎭1cos sin 22A A =−π=sin 3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫−=⎪⎝⎭. 因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭. 所以π3π6A −=，即π6A =. 所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===. 所以AC 边上的中线的长为112AC =. 18. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ （2）22ln 2a >−【分析】（1）求出函数的定义域，1()2ln f x x x x '=+−，设1()2ln h x x x x=+−，2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立，由(1)0h =，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令1()2ln g x x a x=+−，利用导数求出()g x 的最小值，使()min 0g x <，解不等式即可求解. 【小问1详解】 定义域为{|0}x x >，1()2ln f x x x x'=+−， 设1()2ln h x x x x=+− 2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立 所以()h x 在()0,+∞上是减函数，且(1)0h = 则当(0,1)x ∈时，()0h x >，即()0f x '>， 则当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ 【小问2详解】由（1）知1()2ln f x x x x'=+−，所以1()2ln '+−=+−f x x a x a x ，令1()2ln g x x a x=+−， 222121()x g x x x x−'=−=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为112ln 222ln 222g a a ⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭， 所以若关于x 的不等式()0g x <有解，则22ln 20a −−<， 即22ln 2a >−19. 【答案】（1）2214x y +=（2）存在，1t =或4t =【分析】（1）由题可知，24,2a c ==，然后利用,,a b c 的关系求解即可.（2）先设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y ，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mt t y y y y m m −−+==++，然后求出1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，再计算OM ON 的值，化简最后求出t 即可. 【小问1详解】由题可知，24,2a c ==得2,1a c b ====所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】由题可知，直线PQ 不能水平，A (−2,0)设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立()22222142404x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩所以Δ=(2mt )2−4(m 2+4)(t 2−4)=16(m 2−t 2+4)>0212122224,44mt t y y y y m m −−+==++ 直线AP 方程为y =y 1x 1+2(x +2)所以1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以()()121212122242222y y y y OM ON x x my t my t =⨯=++++++ ()()()()()221222222121222444442222244t y y m t mt m y y m t y y t m m t t m m −+==−−+++++++++++()()()()22242222224t t t m t m t t m −−==+−−+++ 若13OM ON ⋅=，得4t =或1t =当4t =时，Δ=16(m 2−12)>0，得m >m <− 当1t =时，Δ=16(m 2+3)>0恒成立， 所以存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13，1t =或4t =. 20. 【答案】（1）e e y x =− （2）21e a ≤−（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）按照求具体函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可； （3）先判断函数()e xf x x ax =−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】 由题得()e e xf x x x =−所以()()10,e e e xxf f x x ==+−'所以()1e f '=所以在点(1,f (1))处的切线方程为e e y x =−. 【小问2详解】由题得()()1e xf x x a =+−'要使函数()f x 是单调递增函数， 则()()1e 0xf x x a '=+−≥恒成立，即()1e xa x ≤+恒成立，令()()1e xg x x =+得()min a g x ⎡⎤≤⎣⎦，()()2e xg x x ='+令()()2e 0xg x x =+='，得2x =−显然，当2x <−时，()0g x '<，所以函数()()1e xg x x =+单调递减；当2x >−时，()0g x '>，所以函数()()1e xg x x =+单调递增；故()()2min12e g x g ⎡⎤=−=−⎣⎦所以21e a ≤−【小问3详解】 不存在，理由如下， 由题得()()1e xf x x a =+−'因为0a ≥，显然当1x ≤−时，()()1e 0xf x x a '=+−≤，f ′(a )=(1+a )e a −a >0由（2）可知，()()f x g x a '=−在()2,∞−+单调递增， 所以()()1e xf x x a =+−'在R 上由唯一的零点[)01,x a ∈−当0x x <时，f ′(x )<0，所以()f x 单调递减； 当0x x >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增；所以当0a ≥时，不存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==. 21. 【答案】（1）3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A = （2）max 16=m （3）max m n =【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =， 若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =； 若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =； 综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =. 【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i =，使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m =，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意. 综上，max 16=m . 【小问3详解】 结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ====，集合1~n A A 符合题意.证明如下：①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集， 所以除1A 外的子集至多有1n −个，故m n ≤.②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '=，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '=，其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0t =，则2s n ≤−，有11m s t n n =++≤−<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)， 且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤. 所以1122m s t n =++≤++<.③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''======，其中s t r ≥≥. 若0t r ==，则32n s −≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )， 所以3112n m s n −=+≤+<. 若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5， 又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤. 综上，max m n =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~mA A均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.。
2023-2024学年河南省焦作市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ＝{x |x +1≥0}，N ＝{x |2x ＜1}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x |﹣1≤x ＜0}的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数z 满足1+zi +zi 2＝|3+4i |，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．2﹣2iD ．2+2i3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝16，公比q =12，则T n 取最大值时n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．4或5D ．6或74．在△ABC 中，BD →=13BC →，点E 是AD 的中点，记AB →=a →，AC →=b →，则BE →=（ ）A ．−13a →+13b →B ．−23a →+16b →C ．−13a →−13b →D ．23a →−16b →5．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 如图所示，则tan A ＝（ ）A ．74B ．1C ．53D ．√526．已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，与D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点（其中点B 在A ，C 之间），若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |．则△OAB 的面积是（ ）A ．√3B ．4√33C ．2√3D ．8√33 7．l 、l ′为两条直线，α，β为两个平面，满足：l ∩l ′＝O ，l 与l ′的夹角为π6，α∥β，l ⊥α，α与β之间的距离为2．以l 为轴将l ′旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O （点O 在平面α与β之间）的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为V 1、V 2，则V 1+V 2的最小值为（ ） A ．π3B ．2π3C ．π9D ．2π98．设[x ]表示不超过x 的最大整数（例如：[3.5]＝3，[﹣1.5]＝﹣2），则[log 21]+[log 22]+[log 23]+⋯+[log 22046]＝（ ） A ．9×210﹣8B ．9×211﹣8C ．9×210+2D ．9×211+2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则下列说法正确的是（ ） A ．设a ∈R ，则样本数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a xB ．设a ，b ∈R ，则样本数据ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的标准差为a 2s 2C ．样本数据x 12，x 22，…，x n 2的平均数为x 2D ．s 2=1n∑ n i=1x i 2−x 2 10．已知m ＞0，n ＞0，且m +n ＝2mn ，则下列结论中正确的是（ ） A ．mn ≥1 B ．m +n ≤√2 C ．m 2+n 2≥2D ．2m +n ≥3+2√211．在平面直角坐标系xOy 中，由直线x ＝﹣4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则（ ） A ．∠APB 恒为锐角 B ．当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C ．|AP |的最小值为4D ．存在点P ，使得（PA →+PO →）•OA →=012．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r （0＜r ＜2），设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（ ） A ．当r ＝1时，V =7√3πB ．V 存在最大值C ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 先增大后减小 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某市高三年级男生的身高X （单位：cm ）近似服从正态分布N （175，σ2），已知P （175≤X ＜180）＝0.2，若P（X≤a）∈[0.3，0.5]．写出一个符合条件的a的值为．14．已知圆C：x2+y2﹣4x cosθ﹣4y sinθ＝0，则与圆C总相切的圆D的方程是．15．如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按（2，2）将导致（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）改变状态．如果要求只改变（1，1）的状态，则需按开关的最少次数为．16．机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为D p（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p）⬚1p，其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝e x上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4…．即先取a1＝1，接着复制该项粘贴在后面作为a2，并添加后继数2作为a3；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为a4，a5，a6，并添加后继数3作为a7，…依次继续下去．记b n表示数列{a n}中n首次出现时对应的项数．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求a1+a2+a3+⋯+a63．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足6cos C+c＝2b，a＝3．（1）证明：△ABC外接圆的半径为√3；（2）若2S△ABC≤t(a2+2b2+11c2)恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x，s2．经计算，∑10i=1(x i−x)2=1690，∑10n=1x2= 33050．（1）求x；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N（μ，σ2），用x，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）．附：若∈～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973．20．（12分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线P A，PB，PC构成的三面角P﹣ABC，∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ+sinαsinβcosθ．（1）当α、β∈(0，π2)时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．21．（12分）我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数e（离心率）．我们称此定点是焦点，定直线是准线．已知双曲线E：3x2﹣y2﹣24x+36＝0．（1）求双曲线E的准线；（2）设双曲线E的右焦点为F，右准线为l．椭圆C以F和l为其对应的焦点及准线过点F作一条平行于y＝x的直线交椭圆C于点A和B．已知C的中心P在以AB为直径的圆内，求椭圆C的离心率e 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−a3x3−x22−2ax．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若f（x）的最小值为1，求a．2023-2024学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ＝{x |x +1≥0}，N ＝{x |2x ＜1}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x |﹣1≤x ＜0}的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：集合M ＝{x |x +1≥0}＝{x |x ≥﹣1}，N ＝{x |2x ＜1}＝{x |x ＜0}，∴集合{x |﹣1≤x ＜0}＝M ∩N ． 故选：A ．2．复数z 满足1+zi +zi 2＝|3+4i |，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．2﹣2iD ．2+2i解：因为1+zi +zi 2＝|3+4i |＝5，z =4i−1=4(i+1)(i−1)(i+1)=−2i −2，所以z =−2+2i ． 故选：B ．3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝16，公比q =12，则T n 取最大值时n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．4或5D ．6或7解：等比数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝16，公比q =12，则a 4=a 1q 3=2，a 5＝1，a 6=12，故T n 取最大值时n 的值为4或5． 故选：C ．4．在△ABC 中，BD →=13BC →，点E 是AD 的中点，记AB →=a →，AC →=b →，则BE →=（ ）A ．−13a →+13b →B ．−23a →+16b →C ．−13a →−13b →D ．23a →−16b →解：画出图形，如图所示：∴BE →=12(BA →+BD →)=−12AB →+12BD →=−12AB →+12×13BC →=−12AB →+16（AC →−AB →）=−23AB →+16AC →=−23a →+16b →． 故选：B ．5．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 如图所示，则tan A ＝（ ）A ．74B ．1C ．53D ．√52解：如图所示，tan ∠BAE =BE AE =36=12，tan ∠DAC =CD AD =23， 所以tan ∠A ＝tan （∠BAE ∠+DAC ）=tan∠BAE+tan∠DAC 1−tan∠BAE⋅tan∠DAC =12+231−12×23=74．故选：A ．6．已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，与D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点（其中点B 在A ，C 之间），若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |．则△OAB 的面积是（ ） A ．√3B ．4√33C ．2√3D ．8√33解：过点B 作BM 垂直于准线，垂足为M ，过点A 作AN 垂直于准线，垂足为N ，设准线与x轴相交于点P，如图，则|BM|＝|BF|，|AN|＝|AF|＝4，在△MBC中，|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|，所以∠MCB＝30°，在△ANC中，|AC|＝2|AN|＝8，所以|AC|＝|AF|+|CF|＝8，所以|CF|＝8﹣|AF|＝4．又CN⊥x轴，∠MCB＝30°，所以PF|=12|CF|=2，又抛物线D：y2＝2px，则P(−p2，0)，F(p2，0)，所以|PF|=p2+p2=p=2，所以抛物线D：y2＝4x，点F（1，0）．因为∠MCB＝30°，所以直线AB的斜率k=−√3，则直线AB：y=−√3(x−1)，与抛物线方程联立{y=−√3(x−1)y2=4x，消y并化简得3x2﹣10x+3＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=10 3，则|AB|＝|BF|+|AF|＝|BM|+|AN|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=103+2=163，又直线AB：y=−√3(x−1)，可化为√3x+y−√3=0，则点O到直线AB的距离d=|−√3|√3+1=√32，所以SΔOAB=12|AB|⋅d=12×163×√32=4√33．故选：B．7．l、l′为两条直线，α，β为两个平面，满足：l∩l′＝O，l与l′的夹角为π6，α∥β，l⊥α，α与β之间的距离为2．以l为轴将l′旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O（点O在平面α与β之间）的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为V1、V2，则V1+V2的最小值为（）A．π3B．2π3C．π9D．2π9解：两个圆锥的轴截面如图所示，设O1，O2分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为r1，r2，易知O1O2⊥DE，O1O2⊥BC，直线DE，BC分别为两圆锥与α，β的交线，∵α与β之间的距离为2，∴设OO1＝h，OO2＝2﹣h，∵l与l′的夹角为π6，∴∠DOE=π3，由圆锥的性质知OB＝OC，OD＝OE，∴△ODE，△OBC为等边三角形，∴tan∠OBC=OO2BO2=2−ℎr2=√3，∴r2=2−ℎ3=√33(2−ℎ)，同理可得r1=√33ℎ，∴V1+V2=13πr12ℎ+13πr22(2−ℎ)=13π(√33ℎ)2ℎ+13π[√33(2−ℎ)]2(2−ℎ)=19π[ℎ3+(2−ℎ)3]，0＜h＜2，设f(ℎ)=19π[ℎ3+(2−ℎ)3]，0＜ℎ＜2，则f′(ℎ)=19π[3ℎ2−3(2−ℎ)2]=13π(−4+4ℎ)=0，解得：h＝1，∴当h∈（0，1）时，f′（h）＜0，f（x）单调递减；当h∈（1，+∞）时，f′（h）＞0，f（x）单调递增，∴f(ℎ)min=f(1)=29π，∴V1+V2的最小值为2π9．故选：D．8．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[3.5]＝3，[﹣1.5]＝﹣2），则[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log22046]＝（）A．9×210﹣8B．9×211﹣8C．9×210+2D．9×211+2解：由于[log21]＝0，[log22]＝[log23]＝1，[log24]＝[log25]＝[log26]＝[log27]＝2，[log28]＝[log29]＝...＝[log215]＝3，.....，[log21024]＝[log21025]＝...＝[log22046]＝10，故[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log22046]＝0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7+256×8+512×9+1024×10﹣10；令S＝2×1+22×2+23×3+24×4+25×5+26×6+27×7+28×8+29×9+210×10；①，2S＝22×1+23×2+24×3+25×4+26×5+27×6+28×7+29×8+210×9+211×10；②，所以﹣S＝（21+22+...+210）﹣211×10，解得S＝211×10﹣211+2＝9×211+2．所以[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log22046]＝9×211+2﹣10＝9×211﹣8．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则下列说法正确的是（）A．设a∈R，则样本数据ax1，ax2，…，ax n的平均数为a xB．设a，b∈R，则样本数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的标准差为a2s2C．样本数据x12，x22，…，x n2的平均数为x2D．s2=1n∑n i=1x i2−x2解：因为样本数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数为a x+b，方差为a2s2，所以样本数据ax1，ax2，…，ax n的平均数为a x，故A正确；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的标准差为|a|s，故B错误；根据题意，样本数据x12，x22，…，x n2的平均数无法计算，故C错误；s2=1n ∑n i=1(x i−x)2=1n∑n i=1(x i2−2x i x+x2)=1n∑n i=1x i2−2x2+x2=1n∑n i=1x i2−x2，故D正确．故选：AD．10．已知m＞0，n＞0，且m+n＝2mn，则下列结论中正确的是（）A．mn≥1B．m+n≤√2C．m2+n2≥2D．2m+n≥3+2√2解：因为m＞0，n＞0，m+n＝2mn，2mn=m+n≥2√mn，所以mn≥1，当且仅当m＝n＝1等号成立，故A正确，当m＝n＝1，m+n＝2mn，则m+n=1+1＞√2，故B错误；因为mn ≥1，所以m 2+n 2≥2nm ≥2，故C 正确； 当m ＝n ＝1时，则2m +n =3＜3+2√2，故D 错误． 故选：AC ．11．在平面直角坐标系xOy 中，由直线x ＝﹣4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则（ ） A ．∠APB 恒为锐角 B ．当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C ．|AP |的最小值为4D ．存在点P ，使得（PA →+PO →）•OA →=0解：若椭圆的方程x 2a 2+y 2b 2=1，点P （x 0，y 0）在椭圆上，则过点P 的椭圆的切线方程为xx 0a 2+yy 0b 2=1．证明：因为椭圆的方程x 2a 2+y 2b 2=1，切点P （x 0，y 0），所以x 02a 2+y 02b 2=1，即b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2，①对方程求导得y ′=−b 2xa 2y ，所以切线的斜率k =−b 2x0a 2y 0，所以切线方程为y ﹣y 0=−b 2x0a 2y 0（x ﹣x 0），所以a 2y 0y ﹣a 2y 02=−b 2x 0x +b 2x 02， 所以a 2y 0y +b 2x 0x ＝b 2x 02+a 2y 02，把①代入得a 2y 0y +b 2x 0x ＝b 2+a 2， 所以x 0x a 2+y 0y b 2=1．对于A ：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），p （﹣4，m ）， 因为椭圆方程为x 24+y 23=1，所以椭圆在A （x 1，y 1）处的切线方程为x 1x 4+y 1y 3=1，椭圆在B （x 2，y 2）处的切线方程为x 2x 4+y 2y 3=1，因为点P 在两条切线上， 所以﹣x 1+my 13=1，﹣x 2+my23=1， 所以直线AB 的方程为x +my3=1，即3x ﹣my +3＝0， 所以直线AB 恒过定点（﹣1，0），以AB 为直径的圆的半径最大无限接近a ＝2，但该圆与直线x ＝﹣4相离， ∴∠APB 始终为锐角，故A 正确；对于B ：当AB 垂直于x 轴时，由对称性可知P （﹣4，0）， 由A 点外的切线方程过点P ，可得x 1⋅(−4)4=1，可得x 1＝﹣1，代入椭圆方程可得y 1=32，∴A （﹣1，32），∴k AP =32−0−1−(−4)=12，故B 正确；对于C ：由B 可得当AB 垂直于x 轴时，|AP |=√(−1+4)2+(32−0)2=√454=3√52＜4，故C 错误；对于D ：取AO 中点M ，（PA →+PO →）•OA →=2PM →•OA →，若（PA →+PO →）•OA →=0， 则PM ⊥AO ，即△P AO 为等腰三角形， ∴P A 2＝（x 1+4）2+（y 1﹣m ）2＝PO 2＝16+m 2，化简得x 12+y 12+8x 1﹣2my 1＝0，由A知：my 1＝3x 1+3，y 12=3（1−x 124），整理得x 12+8x 1﹣12＝0，∴x 1＝2√7−4或x 1＝﹣2√7−4（舍去），∴存在P 满足题意，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r （0＜r ＜2），设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（ ） A ．当r ＝1时，V =7√3πB ．V 存在最大值C ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 先增大后减小解：设圆台的上底面的圆心为O 1，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点， 圆台的高为h ，球的半径为R ， 如图所示，则ℎ=OO 1=√R 2−(O 1A)2=√4−r 2V =13(S +√SS′+S′)ℎ=13(4π+√4π⋅πr 2+πr 2)√4−r 2=π3(r 2+2r +4)√4−r 2(0＜r ＜2)， 对选项A ：r =1，V =π3(1+2+4)√3=7√33π，A 不正确； V ′=π3⋅−3r 3−4r 2+4r+8√4−r2， 设f （r ）＝﹣3r 3﹣4r 2+4r +8，则f '（r ）＝﹣9r 2﹣8r +4， 令f '（r ）＝0可得9r 2+8r ﹣4＝0，解得r 1=−8−4√1318，r 2=−8+4√1318， 易知r 2∈（0，2），且当r ∈（0，r 2），f '（r ）＞0； r ∈（r 2，2），f '（r ）＜0，f （r ）在（0，r 2）单调递增，在（r 2，2）单调递减， 由f （0）＝8，f （1）＝5，f （2）＝﹣24，∃r 0∈（1，2），使得f （r 0）＝0，当r ∈（0，r 0），f （r ）＞0，即V '＞0； 当r ∈（r 0，2），f （r ）＜0，即V '＜0，所以V 在（0，r 0）单调递增，在（r 0，2）单调递减，则B ，D 正确，C 错误． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某市高三年级男生的身高X （单位：cm ）近似服从正态分布N （175，σ2），已知P （175≤X ＜180）＝0.2，若P （X ≤a ）∈[0.3，0.5]．写出一个符合条件的a 的值为 171（答案不唯一，满足a ∈[170，175]即可） ．解：因为P （175≤X ＜180）＝0.2，所以P （X ≤170）＝P （X ≥180）＝0.5﹣0.2＝0.3， 若P （X ≤a ）∈[0.3，0.5]，则a ∈[170，175]， 所以符合条件的a 的值可以为171．故答案为：171（答案不唯一，满足a ∈[170，175]即可）．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x cos θ﹣4y sin θ＝0，则与圆C 总相切的圆D 的方程是 x 2+y 2＝16 ． 解：圆C 标准方程为（x ﹣2cos θ）2+（y ﹣2sin θ）2＝4， 则圆C 的圆心为（2cos θ，2sin θ），半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是x2+y2＝16．故答案为：x2+y2＝16．15．如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按（2，2）将导致（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）改变状态．如果要求只改变（1，1）的状态，则需按开关的最少次数为5．解：由题意可得，只有在（1，1）以及周边按动开关才可以使得按开关的次数最少，具体操作如下：假设开始按动开关前所有开关都是“开“的状态，要求只改变（1，1）的状态，在按动（1，1）后，（1，2）、（2，1）的状态也发生了改变，下一步可以同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动（2，2），但会导致周边（2，3）、（3，2）状态也会改变，因此导致按动开关的次数更多，所以接下来逐一恢复，则至少按开关3次，依次类推，沿着周边的开关再按动，可以使得按动开关的次数最少，即按动5次可以满足题意，按动开关的情况如下表所示：故答案为：5．16．机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为D p（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p）⬚1p，其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝e x上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为2．解：设N（x，x﹣1），M（t，e t），则D1(M，N)=|x−t|+|x−1−e t|，令f（x）＝1+e t﹣x，则f′（x）＝e x﹣1，∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝2，即1+e t≥t+2＞t，当x≤t时，D1(M，N)=t−x+1+e t−x=e t+t+1−2x≥e t﹣t+1≥2，当t＜x＜1+e t时，D1(M，N)=x−t+1+e t−x=1+e t−t≥2；当x≥1+e t时，D1(M，N)=x−t+x−1−e t=2x−t−1−e t≥2（1+e t）﹣t﹣1﹣e t＝1+e t﹣t≥2，综上所述：D1（M，N）的最小值为2．故答案为：2．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4…．即先取a1＝1，接着复制该项粘贴在后面作为a2，并添加后继数2作为a3；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为a4，a5，a6，并添加后继数3作为a7，…依次继续下去．记b n表示数列{a n}中n首次出现时对应的项数．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求a1+a2+a3+⋯+a63．解：（1）由题意知：b n+1＝2b n+1，即b n+1+1＝2（b n+1），且b1+1＝2，所以数列{b n+1}是以b1+1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以b n+1=2n，则b n=2n−1；（2）由（1）可知，b6=26−1=63，所以6在前63项中出现1次，5在前63项中出现2次，4在前63项中出现2×2＝4次，3在前63项中出现4×2＝8次，2在前63项中出现8×2＝16次，1在前63项中出现16×2＝32次，所以a1+a2+a3+⋯+a63＝1×32+2×16+3×8+4×4+5×2+6×1＝120．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足6cos C+c＝2b，a＝3．（1）证明：△ABC外接圆的半径为√3；（2）若2S△ABC≤t(a2+2b2+11c2)恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）由6cos C+c＝2b，a＝3，得2a cos C+c＝2b，由正弦定理得：2sin A cos C+sin C＝2sin B＝2sin（A+C）＝2sin A cos C+2cos A sin C，化简得2cos A sin C＝sin C．因为sin C≠0，所以cosA=1 2．又A∈（0，π），所以A=π3，所以△ABC外接圆的半径为a2sinA=2×√32=√3．（2）要使2S△ABC≤t(a2+2b2+11c2)恒成立，即t≥2S△ABCa2+2b2+11c2恒成立，即求2S△ABCa2+2b2+11c2的最大值．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc，所以2S△ABCa2+2b2+11c2=2×12bcsinA(b2+c2−bc)+2b2+11c2=√32⋅bc3b2+12c2−bc因为bc≠0，所以√32⋅bc3b2+12c2−bc=√32⋅13bc+12cb−1≤√32⋅2√c⋅b−1=√322，当且仅当b2＝4c2，即b=2√3，c=√3时，等号成立，所以实数t的取值范围为[√322，+∞)．19．（12分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，s 2．经计算，∑ 10i=1(x i −x)2=1690，∑ 10n=1x 2=33050． （1）求x ；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N （μ，σ2），用x ，s 2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y ，求Y 的数学期望E （Y ）．附：若∈～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973． 解：（1）x =110×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56． （2）因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X 的可能取值为0，1，2，3．因为P(X =0)=C 73C 103=724，P(X =1)=C 72C 31C 103=2140，P(X =2)=C 71C 32C 103=740，P(X =3)=C 33C 103=1120．所以X 的分布列为（3）因为x =56，s 2=110∑ 10i=1(x 1−x)2=110×1690=169， 所以μ＝56，σ＝13．因为P （30≤X ≤82）＝P （μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]得概率约为0.9545， 故Y ～B （100，0.9545），所以E （Y ）＝100×0.9545＝95.45．20．（12分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线P A ，PB ，PC 构成的三面角P ﹣ABC ，∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∠APB ＝γ，二面角A ﹣PC﹣B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ+sinαsinβcosθ．（1）当α、β∈(0，π2)时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．解：（1）证明：如图，过射线PC上一点H作HM⊥PC交P A于M点，作HN⊥PC交PB于N点，连接MN，则∠MHN是二面角A﹣PC﹣B的平面角，在△MNP中，由余弦定理可得，MN2＝MP2+NP2﹣2MP•NP•cosγ，在△MNH中，由余弦定理可得，MN2＝MH2+NH2﹣2MH•NH•cosθ，两式相减得可，MP2﹣MH2+NP2﹣NH2﹣2MP•NP•cosγ+2MH•NH•cosθ＝0，则2MP•NP•cosγ＝2PH2+2MH•NH•cosθ，两边同除以2MP•NP，可得cosγ＝cosαcosβ+sinαsinβcosθ；（2）解：①由平面AA1C1C⊥平面ABCD，可知θ＝90°，由（1）得cos∠A1AB＝cos∠A1AC•cos∠CAB，因为cos∠A1AC＝60°，cos∠BAC＝45°，所以cos∠A1AB=12×√22=√24；②假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，连接B1C，延长C1C至P，使CP＝C1C，连结BP在棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，AB ∥CD ，AB ＝CD ， 则A 1B 1∥DC ，且A 1B 1＝DC ， 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形， 故A 1D ∥B 1C ，在四边形B 1BPC 中，B 1B ∥CP ，B 1B ＝CP ， 所以四边形B 1BPC 为平行四边形， 故B 1C ∥BP ， 所以A 1D ∥BP ，又A 1D ⊂平面DA 1C 1，BP ⊄平面DA 1C 1， 则BP ∥平面DA 1C 1．故当点P 在C 1C 的延长线上，且使CP ＝C 1C 时，BP ∥平面DA 1C 1．21．（12分）我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数e （离心率）．我们称此定点是焦点，定直线是准线．已知双曲线E ：3x 2﹣y 2﹣24x +36＝0． （1）求双曲线E 的准线；（2）设双曲线E 的右焦点为F ，右准线为l ．椭圆C 以F 和l 为其对应的焦点及准线过点F 作一条平行于y ＝x 的直线交椭圆C 于点A 和B ．已知C 的中心P 在以AB 为直径的圆内，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．解：（1）由3x 2﹣y 2﹣24x +36＝0，得(x−4)24−y 212=1．所以双曲线(x−4)24−y212=1的中心（4，0），右焦点F（8，0），a＝2，c＝4，所以准线为x=4+a2c=5或x=4−a2c=3．（2）设M（x，y）是椭圆C上任意一点，2a上椭圆的长轴长，2c椭圆的焦距，设A（x A，y A），B（x B，y B），则√(x−8)2+y2|x−5|=e．①又直线AB的方程为y＝x﹣8．②由①②联立得（2﹣e2）x2﹣（32﹣10e2）x+128﹣25e2＝0，由题意知x A、x B是这个方程的两个根，所以x A+x B=32−10e22−e2=16+6e22−e2，x A⋅x B=128−25e22−e2所以y A+y B=x A−8+x B−8=6e22−e2，所以圆心坐标为(8+3e22−e2，3e22−e2)．从而有|AB|=√2|x A−x B|=√2⋅√(x A+x B)2−4x A x B=√2⋅√(32−10e22−e2)2−4⋅128−25e22−e2=12e2−e2．又在椭圆C中，根据椭圆的定义，当M为椭圆左顶点时，设N（5，0），|MF| |MN|=a−c3−(a−c)=e，得a−c=3ee+1．又ca=e，所以c=3e21−e2，故椭圆的中心坐标为P(8+3e21−e2，0)，又点P在以AB为直径的圆内，所以(3e21−e2−3e22−e2)2+(3e22−e2)2＜(6e2−e2)2，整理得e6﹣6e4+10e2﹣4＜0，即（e2﹣2）（e4﹣4e2+2）＜0．因为椭圆的离心率e2﹣2＜0，所以（e2﹣2）2﹣2＞0，即e2＜2−√2，故0＜e＜√2−√2，故离心率e的取值范围为（0，√2−√2）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−a3x3−x22−2ax．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若f（x）的最小值为1，求a．解：（1）a＝0时，f（x）＝e x−x22，则f（1）＝e−12，f′（x）＝e x﹣x，所以f'（1）＝e﹣1，所以y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e−12）＝（e﹣1）（x﹣1），即2（e﹣1）x﹣2y+1＝0．（2）因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣2a≥0在区间[0，+∞）上恒成立，所以a≤（e x−xx2+2）min，令g（x）=e x−xx2+2，则g′（x）=(e x−1)(x2+2)−(e x−x)⋅2x(x2+2)2，令h（x）＝（e x﹣1）（x2+2）﹣（e x﹣x）•2x，则h′（x）＝x2e x+2x，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，所以g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）=12，所以a≤12，所以a的取值范围为（﹣∞，12 ]．（3）f（x）＝e x−a3x3−x22−2ax，f（0）＝1，所以f′（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a，所以f″（x）＝e x﹣2ax﹣1，f″′（x）＝e x﹣2a，当a=12时，f（x）＝e x−16x3−x22−x，则f′（x）＝e x−x22−x﹣1，令g（x）＝e x−x22−x﹣1，则g′（x）＝e x﹣x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，当x＜0时，g″（x）＜0，g′（x）单调递减，当x≥0时，g″（x）≥0，g′（x）单调递增，g′（x）≥g′（0）＝0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，且g（0）＝0，所以，当x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝1，所以a=12适合，当a＞12时，当0＜x＜ln2a时，f″′（x）＜0，f″（x）在（0，ln2a）上单调递减，f″（x）＜f″（0）＝0，f′（x）＜f′（0）＝1﹣2a＜0，所以f（x）在（0，ln2a）上单调递减，此时f（x）＜f（0）＝1，舍去，当a≤0时，当x＜0时，f″（x）＝e x﹣2ax﹣1＜0，f′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，f′（x）＞f′（0）＝1﹣2a＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）＜f（0）＝1，舍去，当0＜a＜12时，当ln2a＜x＜0时，f″′（x）＞0，f″（x）在（ln2a，0）上单调递增，f″（x）＜f″（0）＝0，f′（x）在（ln2a，0）上单调递减，f′（x）＞f′（0）＝1﹣2a＞0，f（x）在（ln2a，0）上单调递增，所以f（x）＜f（0）＝1，舍去，综上所述，a=1 2．。
江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷(含解析)
镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的元素个数为A．1B．2C．3D．42．设复数，则的虚部是A．1B．C．i D．3．等比数列的各项均为正数，若，，则A．588B．448C．896D．2244．已知向量，，则向量在上的投影向量为A．B．C．D．5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围A．B．C．D．6．已知为第一象限角，且，则A．9B．3C．D．7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为AB．CD．{}1,2,3,4A=(){}2|log12B x x=-≤A B21i izi--=+z1-i-{}na1237a a a++=4322a a a=+789a a a++= a=()1,1b=-a b+=ab11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,2-()2,2-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭a∈R()()e,0,ln1,0x a xf xx a x⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩R a()0,+∞()1,+∞[){}1,0+∞(){}1,0+∞θtan tan03⎛⎫++=⎪⎝⎭πθθ1cos21cos2+=-θθ1319{}na d nnS1a<nS0d≥ABC△A B C a b c22BC BC AB=⋅cos A1213二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的最大值为D ．在上单调递增10．已知函数的导函数为A ．只有两个零点B ．C ．是的极小值点D ．当时，恒成立11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则A ．存在，使得B ．当时，存在，使得平面C ．当，时，四面体D ．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．，答案保留整数）()cos sin f x x x =⋅()f x ()f x π()f x 12()f x 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()()2(1)44f x x x =--+()f x '()f x ()()4f x f x -'='1x =()f x 0x ≥()0f x ≥SO SAB △C AB 2AC CB =SM SC = λ(01,01)SN SB =<<<<μλμ()0,1∈λBC AM ⊥23=μ()0,1∈λ//AM ONC 13=λ23=μSAMN AN SC ⊥57=μED A D 45︒ED B D 60︒E 30︒ 1.7≈13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（15分）已知函数，．（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．{}n a n 2n S An Bn =+A B (),A B =R ()g x ()212y g x =+-()g x ()*123211111n n a g g g g n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N {}n a ABC △A B C a b c cos 3cos22A A +=-cos A 23b c =sin C ()21f x x x =+-()e x g x =1y x =+()y f x =()y g x =()()f x g x +()()f x g x ⋅()()f xg x ()yh x =()h x *n ∈N {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 12b =112n nb b +=-{}n a λ1n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭λλ2n n nb a ≥n P ABCD -90ABC ACD ∠=∠=︒30BCA CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD E F PD PC 1AB =（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离；（3）若二面角．19．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．PAC ⊥AEF 2PA =F ACE A PD C --PA ()ln f x ax x x =-1a =()f x 1x >()1f x <-a *n ∈N ()111ln 11nni i n i ==>+>+∑镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】，共3个元素，选C ．2．【答案】B 【解析】，虚部为，选B ．3．【答案】B 【解析】，∴，∴或（舍），选B ．4．【答案】D 【解析】，∴在上的投影向量，选D ．5．【答案】D 【解析】时，无解，∴或；时，无解，∴则，选D ．6．【答案】C 【解析】，∴，，选C ．7．【答案】A 【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A ．8．【答案】A 【解析】，∴，∴，∴ ，选A ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC 【解析】为偶函数，A 对．，∴为奇函数，B 错．，C 对．，，在单调递增，单调递减，D 错．10．【答案】ABD 【解析】，或3，在单调递减，单调递{|15}B x x =<≤{}2,3,4A B = 21(1)2122i i i z ii ---====-+1-4322a a a =+22q q =+2q =1-()6678912372448a a a a a a q ++=++=⨯=222282212a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= 1a b ⋅=a b 2111,222||a b b b b ⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭0x ≤e x a =0a ≤1a >0x >()ln 1x a +=-0a ≥(){}1,0a ∈+ ∞tan tan 03⎛⎫++= ⎪⎝⎭πθθ3=πθ111cos21211cos2312-+==-+θθn S ⇔0d >n S 0d ≥22BC BC AB =⋅ 22cos a BC AB B =-⋅222222222a c b a ac a c b ac +-=-⋅=--+2222a b c =-22222222211132222cos 222b c b c b c b c a A bc bc bc ⎛⎫+--+ ⎪+-⎝⎭===≥=()f x ()()()()cos sin cos sin |f x x x x x f x +=++=-=-πππ()f x ()11sin cos sin222f x x x x ≤=≤0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π()1sin cos sin22f x x x x ==()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()()()3130f x x x =--='1x =()f x (),1-∞()1,3增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A 对．关于对称，B 对．是极大值点，C 错．时，，恒成立，D 对．11．【答案】BCD 【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A 错．对于B ，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D ，如图建系，，，， ，，，，∴，∴，D 对．时，，时，到平面的距离是到平面距离的，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C 对，选BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31 【解析】如图，，，，设，则，，，，∴．13．【答案】（1，0）【解析】，为等差数列，即可以是．()3,+∞()()14f x f ==极大值()()30f x f ==极小值()f x ()f x '2x =1x =0x ≥()00f =()0f x ≥BC AC ⊥BC AM BC AM ⊥BC ⊥SAC BC SA ⊥BC ⊥SAB SN P //AP ON P //PM CN SC M M SC //APM ONC //AM ONC B ()0,A -()B ()0,0,6S (),66N -μ()6AN =+-μ()C 6)SC =- 0AN SC ⋅=6636360+-+=μμ57=μ23=μ23ASN SAB S S =△△13=λM SAB C SAB 1311213333M SAN SAN SAB V S h S h -='=⋅⋅△△h 'M SAB h C SAB 22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h --==⋅==⨯⨯⨯⨯=△△45DAC ∠=︒60DBC ∠=︒30EBC ∠=︒20AB =BC x =CE x =DC DC AC =20x =+x =31DE ==1A =0B =n =(),A B ()1,014．【答案】 【解析】关于对称，则∴，则关于对称，（第一空），∴，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．（2），∴，∴，．16．【解析】（1）设与切于，，∴∴切线方程为，令 此时在处的切线方程为，即是的切线 联立，∴，∴在处的切线为∴也是的切线．（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．若选③， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增 时，且，，，∴．17．【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）假设存在，∴42n a n =+()212y g x =+-()0,0()()2122120g x g x -+-++-=()()12124g x g x -++=()g x ()1,21221111n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121111n n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212444421n n a n +=++⋅⋅⋅+=+共个42n a n =+()2cos 32cos 12A A +-=-26cos cos 10A A +-=()()2cos 13cos 10A A +-=ABC △cos 0A >1cos 3A =()12sin 3sin 2sin 3sin 2sin 3sin 3B C A C C C C C ⎫=⇒+=⇒⋅+=⎪⎪⎭7sin C C =tan C =sin C =1y x =+()e x g x =()00,e x P x ()e x g x '=0e x k =()000e e x x y x x =-+00e 10x x =⇒=()e x g x =0x =1y x =+1y x =+()g x 211y x y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩200x x =⇒=()f x 0x =1y x =+1y x =+()f x x →+∞()h x →+∞()h x ()()21e x h x x x =+-()()()()()22121e 2e 21e x x x h x x x x x x x x =-++-=--+=-+-'()h x (),2--∞()2,1-()1,+∞x →-∞()0h x <()0h x →()1e h =e 0>max ()e h x =()21e xx x h x +-=()()()22212e 1e 3e e x x x x x x x x x h x -='-+--=()h x (),0-∞()0,3()3,+∞x →+∞()0h x <()0h x →()01h =10>max ()1h x =21n n S a =-1121n n S a ++=-1122n n n a a a ++⇒=-12n n a a +=1121a a =-110a =≠{}n a 12n n a -=()1111111212n n n n n n nb b b b b b b --=-=---------λλλλλλ为常数，∴ 解得，∴存在使成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知，∴ ∴令， ∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴ ，∴平面，又∵，分别为，的中点 ∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）如图建系∵，，，∴，，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，∴到平面的距离．（3）仿（2）建系，设，∴，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，∴，显然二面角平面角为锐角，∴∴，即．()()()()()2221212121n n n n n n n n n b b b b b b b b b ---+-+==⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦λλλλλλ()121221==--+λλλλ1=λ1=λ11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()11111n n n b =+-⋅=-11n b n =+122112121212n n n n n n n ---+⎛⎫+≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭212n n n c -+=1121210222n n n n n n n n c c +---++--=-=<{}n c *n ∈N 4514c =>5618c =<5n ≥51n c c ≤<max 4n =PA ⊥ABCD PA CD ⊥90ACD ∠=︒CD AC ⊥PA AC A = CD ⊥PAC E F PD PC //EF CD EF ⊥PAC EF ⊂AEF AEF ⊥APC 1AB =30BCA CDA ∠=∠=︒90ABC ACD ∠=∠=︒2AC =BC =4AD =CD =()0,2,0A ()0,0,0C ()D ()0,2,2P )E()0,1,1F ()0,2,0CA =)CE =ACE (,,)n x y z = (201,0,0y n y z =⎧⇒=++= ()0,1,1CF = F ACE CF n d n⋅==PA m =(0,2,)P m (0,0,)AP m =()2,PD m =-- ()CD = APD PDC ()1111,,n x y z =()2222,,n x y z = ()11111020mz n y mz =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩ ()22222200,,20z mz n m ⎧--=⎪⇒=-⎨=⎪⎩A PD C --1212cos n n n n ⋅=== θ2m =2PA =19．【解析】（1）时，，，令当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）对恒成立对恒成立而，，当时，，∴．（3）先证右边，证只需证：，由（1）知当时，（当且仅当时取“=”）∴，令，∴此时右边得证再证左边：易知时，，∴∴，∴，左边得证！综上：不等式得证！1a =()ln f x x x x =-()lnf x x '=()01f x x ='⇒=01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()1f x <-1x ∀>1ln 1ln x ax x x a x x -⇒-<-⇒<1x ∀>10ln x x x->1x >x →+∞10ln x x x-→0a ≤⇔()()()11ln 1ln ln ln 1ln 2ln11ni n n n n i =<+-+--+⋅⋅⋅+-+∑()11ln 1ln ln1n n n n n +<+-=+1a =()ln 1f x x x x =-≥-1x =1ln 1x x ≥-11n x n +=>11ln 111n n n n n +>-=++()()11ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 11ni n n n i =<-+-+⋅⋅⋅++-=++∑1x >11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭1122<=1ln n n +<()ln 1ln n n >+-()()1ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 1ni n n n =>-+-+⋅⋅⋅++-=+。
2023-2024学年山东省名校考试联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省名校考试联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{x ∈N ||x ﹣3|≤3}，集合A ＝{2，4}，则∁U A ＝（ ） A ．{2，4}B ．{1，3，5，6}C ．{0，1，2，3，5，6}D ．{0，1，3，5，6}．2．复数11+10i3−2i在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数f(x)=x +2x，p ：函数f （x ）的定义域为[2，+∞），q ：函数f （x ）的值域为[3，+∞），则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．已知sin(π6+α)=√23，则cos(2α+4π3)的值为（ ）A ．59B ．−59C ．13D ．−135．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且−a 1，34a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝（ ）A ．58或15B ．58或一5C ．15D ．586．已知函数f(x)={(4a −1)x −1，x ≤1a 1−x，x ＞1为R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(14，1)B ．(14，34)C ．（1，+∞）D ．(14，34]7．在△ABC 中AB ＝2AC ，∠BAC 的平分线AD 交边BC 于点D ，记AC →=a ，AD →=b ，则AB →=（ ） A ．3a →−2b →B ．−2a →+3b →C ．3a →+2b →D ．2a →+3b →8．定义在（0，+∞）上的可导函数f （x ），满足f ′(x)+2f(x)x =lnx x2，且f(e)=12e ，若a =f(1e )，b =f(√2ln24)，c =f(ln √2)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f(0)=√3B ．函数f （x ）的图象关于直线x =−π6对称C ．函数f （x ）在[π6，5π12]上单调递减D ．将函数f （x ）图象向左平移π6个单位所得图象关于y 轴对称10．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，前n 项和为S n ．数列{b n }是公差为d 的等差数列，前n 项和为T n ．（n ∈N *）下列说法错误的有（ ） A ．T n 一定是关于n 的二次函数 B ．若b m +b n ＝b p +b q ，则m +n ＝p +qC ．a 1＞0，q ＞1是{a n }为单调递增数列的充分不必要条件D ．数列{a n +a n +1}一定是等比数列11．若实数a ，b 满足a 2+b 2﹣mab ＝9，m ∈R ，则（ ） A ．当m ＝1时，a 2+b 2有最大值 B ．当m ＝3时，ab 有最大值 C ．当m ＝1时，a +b 有最小值D ．当m ＝3时，a 2+b 2有最小值12．已知函数f （x ）＝（x +1）e x，g(x)=(x−1)2e x，则下列结论正确的是（ ）A ．函数g （x ）的值域是[0，4e]B ．若F （x ）＝f （x ）﹣xe x ﹣lnx ﹣2，则F （x ）＞0C ．若G(x)={f(x)，x ＜0g(x)，x ≥0，则方程e 2•[G （x ）]2﹣（e 2+1）|G （x ）|+1＝0共有5个实根D ．不等式g （x ）﹣ax +a ＜0在（﹣∞，1）上有且只有3个整数解，则a 的取值范围是[﹣4e 3，﹣3e 2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=x 2+2f′(12)x +lnx ，则f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 ．14．函数f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x +1）为偶函数，f （x +2）是奇函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （2023）＝ ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ﹣cos 2B +sin 2A =sinAsinB =12，且△ABC 的面积为√3，则边c 的值为 ．16．在△ABC 中，cos ∠BAC =16，BC ，AC 边上的两条中线分别为AM ，BN ，若AM ⊥BN ，则AC AB= ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosB b +cosC c =1a，且a ＝2√2，c ＞a ＞b ．（1）求bc 的值；（2）若△ABC 的面积S =√7，求b ，c 的值． 18．（12分）数列{a n }中，a 1＝1，a n+1=2(n+1)na n ．（n ∈N ） （1）求数列{a n }的通项公式． （2）求{a n }前n 项和S n ．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+2x 2﹣ax +2（a ∈R ）．（1）若函数y ＝f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增，求a 的取值范围；（2）若函数y ＝f （x ）的图象与y ＝a （1﹣x ）有且只有一个交点，求a 的取值范围． 20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m →=(b ，a)，n →=(cos A+C 2，cos(3π2+A))，且m →∥n →．（Ⅰ）若c =4，b =√7a ，求△ABC 的周长；（Ⅱ）若BM →=2MA →，|CM →|=√6，求a +c 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }，{b n }，满足a 1＝2且点(a n ，a n+1)(n ∈N ∗)在函数f （x ）=12(x +1x)的图像上，且b n =a n +1a n −1． （1）证明{log 3b n }是等比数列，并求b n ．（2）令c n ＝a n ﹣1，设{c n }的前n 项和S n ，证明S n ＜32．22．（12分）已知函数f(x)=12ax 2+(1+2a)x +2lnx ，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若方程f(x)=e −ax +12ax 2有两个不相等的实根x 1，x 2，证明：2x 1•x 2＜e （x 1+x 2）．2023-2024学年山东省名校考试联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{x ∈N ||x ﹣3|≤3}，集合A ＝{2，4}，则∁U A ＝（ ） A ．{2，4}B ．{1，3，5，6}C ．{0，1，2，3，5，6}D ．{0，1，3，5，6}．解：全集U ＝{x ∈N ||x ﹣3|≤3}＝{x ∈N |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{2，4}， 则∁U A ＝{0，1，3，5，6}． 故选：D ．2．复数11+10i3−2i在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：11+10i 3−2i=(11+10i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=13+52i13=1+4i ，故复数11+10i 3−2i在复平面内对应的点（1，4）位于第一象限．故选：A ．3．已知函数f(x)=x +2x，p ：函数f （x ）的定义域为[2，+∞），q ：函数f （x ）的值域为[3，+∞），则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解：充分性：f(x)=x +2x在[2，+∞）上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝2+1＝3，所以函数f （x ）的值域为[3，+∞），即充分性成立； 必要性：当f(x)=x +2x=3时，有x 2﹣3x +2＝0，解得x ＝1或x ＝2， 所以函数f （x ）的定义域不是[2，+∞），即必要性不成立． 故选：A ．4．已知sin(π6+α)=√23，则cos(2α+4π3)的值为（ ）A ．59B ．−59C ．13D ．−13解：由于sin(π6+α)=√23，故cos(2α+4π3)=−cos(2α+π3)=−1+2sin 2(α+π6)=−59．故选：B ．5．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且−a 1，34a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝（ ）A ．58或15B ．58或一5C ．15D ．58解：设等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由−a 1，34a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则a 3﹣a 1=32a 2，即q 2﹣1=32q ，解得q ＝2（−12舍去），则S 4=1−241−2=15，故选：C ．6．已知函数f(x)={(4a −1)x −1，x ≤1a 1−x，x ＞1为R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(14，1)B ．(14，34)C ．（1，+∞）D ．(14，34]解：根据题意，函数f(x)={(4a −1)x −1，x ≤1a 1−x，x ＞1为R 上的单调递增函数，则有{4a −1＞00＜a ＜1(4a −1)−1≤a 0，解可得14＜a ≤34，即a 的取值范围为（14，34]．故选：D ．7．在△ABC 中AB ＝2AC ，∠BAC 的平分线AD 交边BC 于点D ，记AC →=a ，AD →=b ，则AB →=（ ） A ．3a →−2b →B ．−2a →+3b →C ．3a →+2b →D ．2a →+3b →解：由题意，AB ＝2AC ，AD 为∠BAC 的平分线， 则由角平分线定理，有BD DC=AB AC=2，即BD ＝2DC ，故CB →=3CD →，所以AB →=AC →+CB →=AC →+3CD →=AC →+3(AD →−AC →) =−2AC →+3AD →=−2a →+3b →． 故选：B ．8．定义在（0，+∞）上的可导函数f （x ），满足f ′(x)+2f(x)x =lnx x2，且f(e)=12e ，若a =f(1e )，b =f(√2ln24)，c =f(ln √2)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a解：由已知可得x 2f ′（x ）+2xf （x ）＝lnx ，令g （x ）＝x 2f （x ），则g ′（x ）＝x 2f ′（x ）+2xf （x ）＝lnx ，且f （x ）=g(x)x 2， 所以f ′（x ）=xg′(x)−2g(x)x 3=xlnx−2g(x)x 3，令h （x ）＝xlnx ﹣2g （x ），则h ′（x ）＝1+lnx ﹣2g ′（x ）＝1﹣lnx ， 所以当x ∈（0，e ）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 当x ∈（e ，+∞）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）≤h （e ）＝e ﹣2g （e ）＝e ﹣2e 2f （e ）＝0，所以f ′（x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）上为减函数， 又因为1e =lne e ，√2ln24=√2√2，ln √2=ln22，令u （x ）=lnx x ，则u ′（x ）=1−lnxx 2，所以当x ∈（0，e ）时，u ′（x ）＞0，u （x ）单调递增， 所以u （e ）＞u （2）＝u （√2），即1e＞ln √2＞√2ln24，因为f （x ）在（0，+∞）上为减函数，所以f （1e ）＜f （ln √2）＜f （√2ln24），所以a ＜c ＜b ．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f(0)=√3B ．函数f （x ）的图象关于直线x =−π6对称C ．函数f （x ）在[π6，5π12]上单调递减D ．将函数f （x ）图象向左平移π6个单位所得图象关于y 轴对称解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2， T ＝4×（π3−π12）＝π，所以ω=2πT =2，又因为f （π12）＝2sin （2×π12+φ）＝2，所以π6+φ=π2+2k π，k ∈Z ；解得φ=π3+2k π，k ∈Z ；又因为|φ|＜π2，所以φ=π3， 所以f （x ）＝2sin （2x +π3）；所以f （0）＝2sin π3=2×√32=√3，选项A 正确；x =−π6时，f （−π6）＝2sin （−π3+π3）＝0，所以f （x ）的图象不关于x =−π6对称，选项B 错误；x ∈[π6，5π12]时，2x +π3∈[2π3，7π6]，函数f （x ）＝2sin （2x +π3）单调递减，选项C 正确；函数f （x ）图象向左平移π6个单位，得y ＝f （x +π6）＝2sin （2x +2π3），所得图象不关于y 轴对称，选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，前n 项和为S n ．数列{b n }是公差为d 的等差数列，前n 项和为T n ．（n ∈N *）下列说法错误的有（ ） A ．T n 一定是关于n 的二次函数 B ．若b m +b n ＝b p +b q ，则m +n ＝p +qC ．a 1＞0，q ＞1是{a n }为单调递增数列的充分不必要条件D ．数列{a n +a n +1}一定是等比数列 解：A 、B 项，当d ＝0时不成立；C 项当a 1＞0，q ＞1，则{a n }为单调递增数列，当{a n }为单调递增数列时也可能a 1＜0，﹣1＜q ＜0，正确； D 项，当q ＝﹣1时不成立． 故选：ABD ．11．若实数a ，b 满足a 2+b 2﹣mab ＝9，m ∈R ，则（ ） A ．当m ＝1时，a 2+b 2有最大值B ．当m ＝3时，ab 有最大值C ．当m ＝1时，a +b 有最小值D ．当m ＝3时，a 2+b 2有最小值解：当m ＝1时，a 2+b 2﹣ab ＝9，a 2+b 2=9+ab ≤9+a 2+b22，a 2+b 2≤18，当且仅当a ＝b 时等号成立，a 2+b 2 有最大值，最大值为18，选项A 正确；当m ＝3时，a 2+b 2﹣3ab ＝9，设ab ＝k （k ＞0），则a 2+b 2﹣3ab ＝9，化为a 2+k2a2−3k =9，a 4+（9+3k ）a 2+k 2＝0，因为Δ＝（9+3k ）2﹣4k 2＝81+54k +5k 2＞0，所以方程a 4+（9+3k ）a 2+k 2＝0有解，所以ab 没有最大值，选项B 错误；当m ＝1时，a 2+b 2﹣ab ＝9，(a +b)2=9+3ab ≤9+34(a +b)2，可得 （a +b ）2≤36，﹣6≤a +b ≤6，当且仅当a ＝b ＝3时，a +b ＝6，当a ＝b ＝﹣3时，a +b ＝﹣6，a +b 有最小值，最小值为﹣6，选项C 正确；当m ＝3时，a 2+b 2﹣3ab ＝9，a 2+b 2=9+3ab ≥9+3(−a 2+b 22)，a 2+b 2≥185，当且仅当a ＝﹣b 时等号成立，a 2+b 2 有最小值，最大值为185，选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝（x +1）e x，g(x)=(x−1)2e x，则下列结论正确的是（ ）A ．函数g （x ）的值域是[0，4e]B ．若F （x ）＝f （x ）﹣xe x ﹣lnx ﹣2，则F （x ）＞0C ．若G(x)={f(x)，x ＜0g(x)，x ≥0，则方程e 2•[G （x ）]2﹣（e 2+1）|G （x ）|+1＝0共有5个实根D ．不等式g （x ）﹣ax +a ＜0在（﹣∞，1）上有且只有3个整数解，则a 的取值范围是[﹣4e 3，﹣3e 2）解：对于函数g(x)=(x−1)2e x ，g ′(x)=−x 2+4x−3e x =−(x−1)(x−3)e x， 当x ∈（﹣∞，1）和（3，+∞）时，g '（x ）＜0，g （x ）为减函数；当x ∈（1，3）时，g '（x ）＞0，g （x ）为增函数；值域为[0，+∞），选项A 错；由已知F （x ）＝e x ﹣lnx ﹣2，F ′(x)=e x −1x，显然在（0，+∞）上为增函数，F '（1）＝e ﹣1＞0，F ′(12)=e 12−2＜0，所以∃x0∈(12，1)，使F′(x0)=e x0−1x0=0，当x∈（0，x0）时，F'（x）＜0，F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）单调递增．所以F(x)≥F(x0)=e x0−lnx0−2=1x0+x0−2＞0，选项B正确；方程e2•[G（x）]﹣（e2+1）|G（x）|+1＝0的两根为|G（x）|＝1或|G(x)|=1e2，而函数G（x）的图象如下：由A选项有g（x）在[0，1）和（3，+∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，且g（3）=4e3＞1e2，对于函数f（x）＝（x+1）e x，f'（x）＝（x+2）e x，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（﹣2，0）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f（﹣2）=−1e2，结合图象可知方程e2•[G（x）]﹣（e2+1）|G（x）|+1＝0共有6个根，故选项C错误；不等式g(x)−ax+a=(x−1)2e x−a(x−1)＜0，当x＜1时，不等式可化为x−1e x−a＞0，令ℎ(x)=x−1e x−a，则ℎ′(x)=2−xe x，当x＜1时，h'（x）＞0，所以h（x）在（﹣∞，1）上为增函数，则h（x）＞0在（﹣∞，1）上的3个整数解为﹣2，﹣1，0．所以{ℎ(−2)＞0ℎ(−3)≤0即{−3e−2−a＞0−4e−3−a≤0，解得﹣4e3≤a＜﹣3e2，故选项D正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=x2+2f′(12)x+lnx，则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y+2＝0．解：由f(x)=x2+2f′(12)x+lnx，得f′(x)=2x+2f′(12)+1x，∴f′(12)=1+2f′(12)+2，解得f′(12)=−3，∴f（x）＝x2﹣6x+lnx，∴f（1）＝﹣5，f′(x)=2x−6+1x，f′（1）＝﹣3，∴切线方程为y+5＝﹣3（x﹣1），即3x+y+2＝0．故答案为：3x+y+2＝0．14．函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝3x﹣1，则f（2023）＝﹣2．解：根据题意，f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）＝f（1﹣x），故f（x）的图像关于x＝1对称，则有f（x+2）＝f（﹣x）①；又由f（x+2）是奇函数，则f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）②，联立①②可得：f（﹣x+2）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，故f（2023）＝f（4×506﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），又当x∈[0，1]时，f（x）＝3x﹣1，所以f（2023）＝﹣f（1）＝﹣（31﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C﹣cos2B+sin2A=sinAsinB=12，且△ABC的面积为√3，则边c的值为√6．解：∵cos2C﹣cos2B+sin2A＝sin A sin B，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）+sin2A＝sin A sin B，即sin2B+sin2A﹣sin2C＝sin A sin B，由正弦定理角化边得b2+a2﹣c2＝ab，∴cosC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，C=π3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，∴absinAsinB=c2sin2C，即2ab=c2sin2π3，化简得c2=32ab，又△ABC的面积为S△ABC=12absinC=√3，∴ab＝4，∴c2＝6，解得c=√6．故答案为：√6．16．在△ABC 中，cos ∠BAC =16，BC ，AC 边上的两条中线分别为AM ，BN ，若AM ⊥BN ，则AC AB = 32．解：因为BC ，AC 边上的两条中线分别为AM ，BN ，所以AM →=12(AB →+AC →)，BN →=12(BA →+BC →)=12(−AB →+AC →−AB →)=12(AC →−2AB →)，因为AM ⊥BN ，所以AM →⋅BN →=0，即12(AB →+AC →)⋅12(AC →−2AB →)=14(AC →2−2AB →2−AC →⋅AB →)=0， 因为cos ∠BAC =16，所以|AC →|2−2|AB →|2−|AC →||AB →|cos∠BAC =0，即|AC →|2−2|AB →|−16|AC →||AB →|=0，两边同时除以|AC →||AB →|，所以|AC →||AB →|−2|AB →||AC →|=16， 令λ=|AC →||AB →|（λ＞0），则λ−2λ=16，即6λ2﹣λ﹣12＝0，解得λ=32，即AC AB =32．故答案为：32．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosB b +cosC c =1a，且a ＝2√2，c ＞a ＞b ．（1）求bc 的值；（2）若△ABC 的面积S =√7，求b ，c 的值． 解：（1）由题意，结合余弦定理得，a 2+c 2−b 22abc+b 2+a 2−c 22abc=1a，则bc ＝a 2＝8； （2）由于S △ABC =12bcsinA =4sinA =√7，解得sinA =√74，又∵c ＞a ＞b ，∴A 为锐角，即cosA =34，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−3bc 2bc =(b+c)2−2416=34，∴b +c ＝6，又bc ＝8，c ＞a ＞b ， ∴b ＝2，c ＝4．18．（12分）数列{a n}中，a1＝1，a n+1=2(n+1)na n．（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式．（2）求{a n}前n项和S n．解：（1）数列{a n}中，a1＝1，a n+1=2(n+1)na n．（n∈N），故a n+1a n=2n+2n，所以a na n−1=2nn−1，.....，a2a1=2×21，故a na1=n2n−1，故a n=n⋅2n−1，（首项符合通项）；故a n=n⋅2n−1．（2）由（1）得：S n=1+2×21+...+n×2n−1，①，所以2S n=2+2×22+...+n×2n，②；①﹣②得：−S n=1+2+22+...+2n−1−n⋅2n，整理得S n=(n−1)⋅2n+1．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+2x2﹣ax+2（a∈R）．（1）若函数y＝f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数y＝f（x）的图象与y＝a（1﹣x）有且只有一个交点，求a的取值范围．解：（1）已知f（x）＝x3+2x2﹣ax+2，函数定义域为R，可得f′（x）＝3x2+4x﹣a，因为函数y＝f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝3x2+4x﹣a≥0在x∈[l，+∞）恒成立，即a≤（3x2+4x）min，易知函数y＝3x2+4x是开口向上的二次函数，对称轴x=−23，所以函数y＝3x2+4x在x∈[1，+∞）上单调递增，当x＝1时，函数y＝3x2+4x取得极小值也是最小值，最小值为7，则a的取值范围为（﹣∞，7]；（2）若函数y＝f（x）的图象与y＝a（1﹣x）有且只有一个交点，即方程x3+2x2+2＝a只有一个根，不妨设g（x）＝x3+2x2+2，函数定义域为R，可得g ′（x ）＝3x 2+4x ，当x ＜−43时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当−43＜x ＜0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞0时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以当x =−43时，函数g （x ）取得极大值，极大值g （−43）=8627；当x ＝0时，函数g （x ）取得极小值，极小值g （0）＝2， 要使函数g （x ）的图象与直线y ＝a 的图象只有一个交点， 此时a ＜2且a ＞8627， 故a 的取值范围为（﹣∞，2）∪（8627，+∞）．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m →=(b ，a)，n →=(cos A+C 2，cos(3π2+A))，且m →∥n →．（Ⅰ）若c =4，b =√7a ，求△ABC 的周长；（Ⅱ）若BM →=2MA →，|CM →|=√6，求a +c 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为m →∥n →， 所以bcos(3π2+A)=acos A+C2， 由正弦定理得，sinBsinA =sinAcos A+C2， 又sin A ≠0， 则sinB =cos A+C 2=cos π−B 2=sin B 2，即2sin B 2cos B 2=sin B2， 而sin B2≠0， 故cosB 2=12，则B =2π3， 由余弦定理得．b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即7a 2=a 2+16−2a ×4×(−12)，整理可得3a 2﹣2a ﹣8＝0，解得a ＝2或−43（含去），b =2√7，故△ABC 的周长为6+2√7；（Ⅱ）设∠BCM=α∈(0，π3)，∠BMC=π3−α，由正弦定理得，BMsinα=BCsin∠BMC=CMsinB，即2csinα=asin(π3−α)=√6√3=2√2，故c=3√2sinα，a=−√2sinα+√6cosα，所以a+c=2√2sinα+√6cosα=√14sin(α+φ)，其中sinφ=√217，cosφ=2√77，tanφ=√32，φ∈(π6，π4)，∵0＜α＜π3，∴φ＜α+φ＜π3+φ，又∵π6＜φ＜π4，∴φ+π3＞π2，即当α+φ=π2时，a+c取得最大值√14，又∵sin(φ+π3)=sinφcosπ3+cosφsinπ3=√217×12+2√77×√32=3√2114，∴sin(φ+π3)=3√2114＞sinφ=√217，故a+c的取值范围为(√6，√14]．21．（12分）已知数列{a n}，{b n}，满足a1＝2且点(a n，a n+1)(n∈N∗)在函数f（x）=12(x+1x)的图像上，且b n=a n+1 a n−1．（1）证明{log3b n}是等比数列，并求b n．（2）令c n＝a n﹣1，设{c n}的前n项和S n，证明S n＜3 2．证明：（1）由a1＝2且点(a n，a n+1)(n∈N∗)在函数f（x）=12(x+1x)的图像上，可得a n+1=12（a n+1a n），则a n+1+1a n+1−1=a n+1a n+2a n+1a n−2=（a n+1a n−1）2，由b n=a n+1a n−1，可得b n+1=b n2，即有log3b n+1＝log3b n2=2log3b n，则{log3b n}是首项为log33＝1，公比为2的等比数列，可得log3b n＝2n﹣1，即b n=32n−1；（2）由b n=a n+1a n−1=1+2a n−1=32n−1，可得c n ＝a n ﹣1=232n−1−1， 当n ≥2时，设d n =32n−1−4•2n ﹣1﹣1，令2n ﹣1＝t （t ≥2），设f （t ）＝3t ﹣4t ﹣1，t ≥2，由f ′（t ）＝3t ln 3﹣4＞0，可得f （t ）在[2，+∞）递增，即有f （t ）≥f （2）＝0， 即有d n =32n−1−4•2n ﹣1﹣1≥0，n ≥2，可得c n =232n−1−1≤12n ，n ≥2， 则S n ＜1+14+18+...+12n =1+14(1−12n−1)1−12=32−−12n+1＜32． 22．（12分）已知函数f(x)=12ax 2+(1+2a)x +2lnx ，a ∈R ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若方程f(x)=e −ax +12ax 2有两个不相等的实根x 1，x 2，证明：2x 1•x 2＜e （x 1+x 2）．解：（1）已知f(x)=12ax 2+(1+2a)x +2lnx ，a ∈R ，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=ax +(1+2a)+2x =ax 2+(1+2a)x+2x =(ax+1)(x+2)x， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当a ＜0时，当x ∈(0，−1a ) 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈(−1a，+∞)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＜0时，f （x ）在(0，−1a )上单调递增，在(−1a ，+∞)上单调递减；（2）证明：若f(x)=e −ax +12ax 2有两个不相等的实根，此时方程（1+2a ）x +2lnx ＝e ﹣ax有两个不相等的实根，即方程e lnx +2lnx ＝e﹣ax+2（﹣ax ）有两个不相等的实根，不妨设g （x ）＝e x +2x ，函数定义域为R ， 此时g （lnx ）＝g （﹣ax ）， 可得g ′（x ）＝e x +2＞0， 所以函数g （x ）在R 上单调递增， 此时lnx ＝﹣ax ，所以a =−lnx x ，即a =1x ⋅ln 1x， 因为x 1，x 2是方程f(x)=e −ax +12ax 2的两个实根，所以x 1，x 2是方程a =1x ⋅ln 1x的两个实根， 此时a =1x 1⋅ln 1x 1，a =1x 2⋅ln 1x 2， 即1x 1，1x 2是方程a ＝xlnx 的两个实根，不妨设h （x ）＝xlnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得h ′（x ）＝lnx +1，当x ∈(0，1e )时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减；当x ∈(1e ，+∞)时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，所以当x =1e 时，函数h （x ）取得极小值，极小值ℎ(1e )=−1e，又h （1）＝0， 当x →0时，f （x ）→0， 不妨设m =1x 1，n =1x 2，m ＜n ，即0＜m ＜1e＜n ＜1， 要证2x 1•x 2＜e （x 1+x 2），需证1x 1+1x 2＞2e，即证m +n ＞2e ，不妨设k （x ）＝h （x ）﹣h （2e −x ），函数定义域为（0，+∞），可得k ′（x ）＝lnx +ln （2e −x ）+2，易知k ′（x ）在（0，1e）上单调递增，又k ′（1e ）＝0，所以k ′（x ）＜k ′（1e ）＝0，则函数k （x ）在（0，1e ）上单调递减，又k （1e ）＝0，所以k （m ）＞k （1e ）＝0，即k （m ）＝k （n ）＞k （2e −m ），因为函数h （x ）在(1e ，+∞)上单调递增，所以n ＞2e −m ，即m +n ＞2e．故2x 1•x 2＜e （x 1+x 2）．。
2023-2024学年天津市南开区高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市南开区高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{1U =−，0，1，2，3}，{1A =−，1}，{|1B x x =−或2}x ，则()(U A B =⋃ ) A ．∅B ．{1}C ．{1−，0，1}D ．{1−，0，1，2}2．已知命题:p x R ∃∈，210x x −+<，那么命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，210x x −+< B ．x R ∃∈，210x x −+ C ．x R ∀∈，210x x −+D ．x R ∀∈，210x x −+<3．已知函数()f x 的部分图象如图，则函数()f x 的解析式可能为( )A ．()(22)sin x x f x x −=+B ．()(22)sin x x f x x −=−C ．()(22)cos x x f x x −=+D ．()(22)cos x x f x x −=−4．“2x x <”的充要条件的是( ) A ．1x <B ．11x> C ．22||x x x x −=− D ．233x x >5．已知 1.30.9a =，0.91.3b =，2log 3c =，则( ) A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<6．已知函数()2cos(2)([0,])3f x x x ππ=−∈，且12124()()()5f x f x x x ==≠，则12(x x += )A ．56πB ．43π C ．53π D ．23π 7．圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为100π的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为( )A ．61πB ．(41π+C ．61D ．1838．已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++（其中0A >，0ω>，0||)ϕπ<<的部分图象如图所示，则下列结论中： ①函数()6f x π+为偶函数；②2()()3f x f π−； ③()()26f x f x π+−=；④曲线()y f x =在12x π=处的切线斜率为2−．所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．③④D ．②③④9．对于任意的实数[0x ∈，2]，总存在三个不同的实数y ，使得224)(2)(2)0y y a x y x e −+−+=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．2(,2)4e −∞−B ．2(24e −C ．)+∞D ．2(2,)4e −+∞二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z 的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．253．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．3236．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．647．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√312．人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上动点P 到左焦点F （﹣c ，0）的距离和动点P 到直线x =−a 2c 的距离之比是常数c a ．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 为左焦点，直线l ：x ＝﹣4与x 相交于点M ，过F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为A 1，B 1，则（ ） A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l的斜率为．（写出一个即可）15．已知e ax﹣e2x≥0在x＞0时恒成立，则实数a的最小值为．（注：e为自然对数的底数）16．已知数列{a n}的首项为1，且a n+a n+1=n2⋅cos nπ2（n∈N*），则a40的值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos B＝2a+b．（1）求角C的大小；（2）若b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，求CD的值．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a 1＝2d ，数列{a b n }的首项为a 1，满足a b n+1=2a b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x ∈[e ，e 2]，使f(x)≤(ax +12)lnx 成立，求实数a 的取值范围．注：e 为自然对数的底数．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅解：A ＝{x |lnx ≤0}，lnx ≤ln 1，∴0＜x ≤1，A ＝（0，1]，B ＝{x |x ≤0}＝（﹣∞，0]，∴A ∩B ＝∅． 故选：D ．2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．25解：z ＝1﹣2i ，则1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=15+25i ，其虚部为25．故选：D ．3．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π解：由于圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则圆锥的母线长为√32+42=5， 故圆锥的侧面积为π•3•5＝15π； 圆柱的侧面积为2π•3•3＝18π； 故毡帐的侧面积为15π+18π＝33π． 故选：C ．4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{S n }是递增数列，则d ＞0，但是对任意n ∈N *，S n ＞0不成立，所以由甲推不出乙， 若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列，所以由乙可以推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．323解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，因为|AF |＝5，所以|AF |＝x A +1＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4或y A ＝﹣4（舍去）， 设B （x 1，y 2），由2FB →=BA →，所以2（x 1﹣1，y 2）＝（4﹣x 1，4﹣y 2）， 所以2y 2＝4﹣y 2，解得y 2=43．故选：A ．6．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64解：在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有n =C 31A 32=18种．故选：A ．7．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：∵函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ），将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）＝A sin （ωx +ωπ3−π3）+b 的图象，∵g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）＝g （﹣x ）， ∴A sin （ωx −π3）+b ＝A sin （﹣ωx +ωπ3−π3）+b ，∴（ωx −π3）+（﹣ωx +ωπ3−π3）＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k +2，k ∈Z ，则令k ＝1，可得ω的值为5． 故选：C ．8．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12解：∵对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，又f （2）＝2， ∴f （2）+f （2）＝f （2×2）+1，∴f （4）＝2f （2）﹣1＝3， 又f （4）+f （4）＝f （4×4）+1，∴f （16）＝2f （4）﹣1＝5， ∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）+f （x 2x 1）＝f （x 2）+1，∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2x 1）﹣1，又当x ＞1时，都有f （x ）＞1∵x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，∴x 2x 1＞1，∴f （x 2x 1）＞1，∴f （x 2x 1）﹣1＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∴f （x ）在[1，16]也单调递增， ∴当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是f （16）＝5． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →解：已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，则|a →|=1，|b →|=2√2，a →⋅b →=1×2+0×2=2，则cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=21×2√2=√22， 又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则＜a →，b →＞=45°，即选项A 正确，选项B 错误；又|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√1−4+8=√5，即选项C 正确； b →在a →方向上的投影向量为a →⋅b →|a →|a→|a →|=2a →，即选项D 正确．故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关解：因为f （x ）＝x 3﹣3x 2，x ∈R ，f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）， 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）， 作出函数y ＝f （x ）的图象，如图所示：所以f （x ）极大值＝f （0）＝0，f （x ）极小值＝f （2）＝﹣4，又因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，所以﹣4＜t ＜0，故A 正确； 因为f （x ）+f （2﹣x ）＝x 3﹣3x 2+（2﹣x ）3﹣3（2﹣x ）2 ＝x 3+（2﹣x ）3﹣3[x 2+（2﹣x ）2]＝2[x 2﹣x （2﹣x ）+（2﹣x ）2]﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝2（3x 2﹣6x +4）﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝﹣4，所以f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称，故B 正确； 由B 可知f （0）+f （2）＝﹣4，f （12）+f （32）＝﹣4，又f （1）＝1﹣3＝﹣2，所以f （0）+f （12）+f （1）+f （32）+f （2）＝﹣4﹣4﹣2＝﹣10，故C 错误；对于D ，设x 1＜x 2＜x 3，因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即x 3﹣3x 2＝t ，x 3﹣3x 2﹣t ＝0有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3， 等价于（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）＝0，即x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）x ﹣x 1x 2x 3＝0，所以x 1+x 2+x 3＝3，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝0，x 1x 2x 3＝t ，所以x 1+x 2+x 3＝3，与t 无关，故D 错误． 故选：AB ．11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√3 解：取AD 中点O ，连接OP ，因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， OP ⊂面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 过O 作Oy ∥AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，则A(√3，0，0)，B(√3，4，0)，C(−√3，4，0)，D(−√3，0，0)，P （0，0，3）， 所以BD →=(−2√3，−4，0)，PB →=(√3，4，−3)，设PQ →=λPB →（0＜λ＜1），则Q(√3λ，4λ，3−3λ)（0＜λ＜1）， 所以CQ →=(√3λ+√3，4λ﹣4，3﹣3λ），对于A 项，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为n →=（0，1，0），假设CQ ∥平面P AD ， 则CQ →⋅n →=4λ−4=0．解得λ＝1，又因为0＜λ＜1， 所以不存在点Q 使得CQ ∥平面P AD ，故A 项错误；对于B 项，假设存在点Q 使得CQ ⊥BD ，则CQ →⋅BD →=−2√3(√3λ+√3)+(−4)×(4λ−4)=0，解得λ=511，所以存在点Q使得CQ⊥BD，故B项正确；对于C项，连接AC、BD相交于点O1，取等边三角形P AD的外心O2，过O1作O1M∥PO，过O2作O2M∥OO1，连接OO1，如图所示，则O1M⊥平面ABCD，O2M⊥平面P AD，所以M为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，又O1M=OO2=13PO=1，O1A=12AC=12√AB2+AD2=12√42+(2√3)2=√7，所以r=MA=√O1M2+O1A2=2√2，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πr2=4×(2√2)2π=32π，故C项正确；对于D项，连接EQ、ED、EB，如图所示，因为平面CDQ∩P A＝E，P A⊂平面P AB，所以点E在平面CDQ与平面P AB的交线处，又Q∈平面CDQ且Q∈平面P AB，所以点Q在平面CDQ与平面P AB的交线处，所以平面CDQ∩平面P AB＝EQ，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，又因为CD⊂平面CDQ，平面CDQ∩平面P AB＝EQ，所以CD∥EQ，又CD∥AB，所以AB∥EQ，又因为Q为PB中点，所以E为P A的中点，EQ=12CD．又因为AB∥EQ，AB⊄平面CDEQ，EQ⊂平面CDEQ，所以AB∥平面CDEQ，所以点B到平面CDEQ距离等于点A到平面CDEQ距离，所以V B﹣CDEQ＝3V B﹣DEQ＝3V A﹣DEQ＝3V Q﹣ADE=32V B﹣ADE=34V B﹣P AD=34×13S△P AD×AB=34×13×12P A×AD×sinπ3=34×13×12×2√3×2√3×√32×4＝3√3，故D项正确．故选：BCD．12．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x2 a2+y2b2=1（a＞b＞0）上动点P到左焦点F（﹣c，0）的距离和动点P到直线x=−a2c的距离之比是常数ca．已知椭圆C：x24+y23=1，F为左焦点，直线l：x＝﹣4与x相交于点M，过F的直线与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方），分别过点A，B向l作垂线，垂足为A1，B1，则（）A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF解：对于选项A ：易知|AF||AA 1|=ca =12， 所以|AA 1|＝2|AF |，故选项A 正确；对于选项B ：过点A 作AA 2⊥x 轴，过点B 作BB 2⊥x 轴，此时△AA 2F ∽△BB 2F ，所以|AA 1||BB 1|=|AF||BF|=|AA 2||BB 2|=|A 1M||B 1M|，因为AA 1⊥A 1M ，BB 1⊥A 1M ，所以△AA 1M ～△BB 1M ，则|AM||BM|=|AA 1||BB 1|=2|AF|2|BF|=|AF||BF|，即|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |，故选项B 正确；对于选项C 项：若直线MA 与椭圆相切时，不妨设MA 的方程为y ＝k （x +4）， 联立{y =k(x +4)x 24+y 23=1，消去y 并整理（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，此时Δ＝（32k 2）2﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＝4k 2﹣1＝0，解得k 2=14，所以4x 2+8x +4＝0，解得x ＝﹣1，所以|AB |为通径，则|AB|=2b2a=3，故选项C 错误；对于选项D ：因为sin ∠AFM =sin ∠AFA 2=AA 2AF ，tan ∠AMF =AA 2MA 2， 不妨设sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF ，此时AA 2AF=2AA 2MA 2，即MA 2＝2AF ，又|AA 1|＝2|AF |，|AA 1|＝|MA 2|，所以MA 2＝2AF ，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 54 ．（用数字作答）解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r ⋅(3x)4−r ⋅(−x)−r =C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，.....，4）r ∈N ； 当4﹣2r ＝0时，解得r ＝2；故常数项为C 42⋅32=54．故答案为：54．14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l 的斜率为 （﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一） ．（写出一个即可） 解：设其方程是kx ﹣y ﹣5k ＝0，由圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，可得圆心M （3，2），半径r ＝2， 由S △ABM =12|BM |•|AM |•sin ∠AMB ，知sin ∠AMB ＝1时，△ABM 面积最大，此时∠AMB ＝90°，圆心M 到直线的距离为√2， 所以√k 2+1=√2，解得k ＝﹣2±√3，故直线l 的方程是：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0或（﹣2−√3）x ﹣y +10+5√3=0． 故答案为：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一）．15．已知e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立，则实数a 的最小值为 e ．（注：e 为自然对数的底数） 解：∵e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立⇔e ax ≥e 2x 在x ＞0时恒成立 ⇔ax ≥2+lnx 在x ＞0时恒成立⇔a ≥2+lnxx在x ＞0时恒成立， 令f(x)=2+lnx x ，则f ′(x)=−1−lnx x 2＞0⇒0＜x ＜1e ，f （x ）在(0，1e )上是增函数，在(1e ，+∞)上是减函数，∴a ≥f(1e)=e ，∴实数a 的最小值为e ． 故答案为：e ．16．已知数列{a n }的首项为1，且a n +a n+1=n 2⋅cos nπ2（n ∈N *），则a 40的值是 759 ． 解：依题意，由a n +a n+1=n 2⋅cosnπ2， 可得a n +1+a n +2＝（n +1）2•cos (n+1)π2，两式相减，可得a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2，当n ＝1时，a 1+a 2＝12•cos π2=0，∵a 1＝1，∴a 2＝﹣1，当n 为偶数时，n +1为奇数，cos (n+1)π2=0，此时a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2=−n 2•cos nπ2，此时a 2＝﹣1，a 4﹣a 2＝﹣22•cos 2π2=22，a 6﹣a 4＝﹣42•cos 4π2=−42，a 8﹣a 6＝﹣62•cos 6π2=62，a 10﹣a 8＝﹣82•cos 8π2=−82，…a 38﹣a 36＝﹣362•cos 36π2=−362，a 40﹣a 38＝﹣382•cos 38π2=382，各项相加，可得a 40＝﹣1+22﹣42+62﹣82+…+342﹣362+382，＝﹣1﹣2×（2+4）﹣2×（6+8）﹣…﹣2×（34+36）+382， ＝﹣1﹣2×（2+4+…+36）+382， ＝﹣1﹣2×(2+36)×182+382， ＝759． 故答案为：759．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c •cos B ＝2a +b ．（1）求角C 的大小；（2）若b ＝1，c =√7，∠ACB 的角平分线交AB 于D ，求CD 的值． 解：（1）根据题意，若2c •cos B ＝2a +b ， 则有：2c ×a 2+c 2−b 22ac=2a +b ，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，可得：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12，又在△ABC 中，0°＜C ＜180°， 所以C ＝120°；（2）因为C＝120°，b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得7＝a2+1﹣2×a×1×（−12），可得a2+a﹣6＝0，解得a＝2或﹣3（舍去），因为S△ABC＝S△ACD+S△BCD，所以12ab sin120°=12b•CD•sin60°+12a•CD•sin60°，所以2×1＝1×CD+2×CD，解得CD=2 3．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（1）易知x=1+2+3+4+55=3，y=9+12+17+21+275=17.2，而∑5i=1x i y i=1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，可得b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=303−5×3×17.255−5×32=4.5，则a=y−b x=17.2−4.5×3=3.7，所以y关于x的线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x＝6时，y=4.5×6+3.7＝30.7（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，此时P（ξ＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），P（ξ＝1）＝（1﹣p）q+（1﹣q）p，P（ξ＝2）＝pq，则ξ的分布列为：故E（ξ）＝0×（1﹣p）（1﹣q）+1×（1﹣p）q+（1﹣q）p+2×pq＝p+q．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．（1）证明：因为EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，所以EF∥AC，又EF＝AC，所以四边形ACEF是平行四边形，所以CE∥AF，AF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，所以CE∥平面ABF；因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，AB⊂平面ABF，CD⊄平面ABF，所以CD∥平面ABF；CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CDE，所以平面CDE∥平面ABF，而DE⊂平面CDE，所以DE∥平面ABF．（2）解：连接BD交AC于O，连接CO，因为AC＝EC＝2，∠ACE＝60°，所以四边形ACEF是菱形，且EO⊥AC，EO=√3，因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以EO⊥平面ABCD，因为四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，所以13S ABCD OE＝2√3，所以S ABCD＝6=12AC⋅BD，所以BD＝6，所以BE＝DE=√3+9=2√3，设AB＝a，则由余弦定理得：{a 2+a2−2a2cos∠ABD=4a2+a2+2a2cos∠ABD=36，得a=√10，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠EBC=BE2+BC2−CE22BE⋅BC=12+10−4430=3√3020，sin∠EBC=√1−2740=√13020，所以S△BCE=12BE⋅BC sin∠EBC=12×2√3×√10×√13020=√392，因为V E﹣BCD＝V D﹣BCE，所以点D到平面BCE的距离为3V E−BCDS△BCE=√3√392=6√1313，所以直线ED与平面BCE所成角的正弦值为6√13132√3=√3913．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a1＝2d，数列{a bn }的首项为a1，满足a bn+1=2a bn，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得首项a1＝a3﹣2d＝14﹣2d，则S6＝6•（14﹣2d）+6×52•d＝3d+84，S 3＝3•（14﹣2d ）+3×22•d ＝42﹣3d ， S 9＝9•（14﹣2d ）+9×82•d ＝18d +126， ∵S 6＞S 3＞S 9，∴3d +84＞42﹣3d ＞18d +126， 即{3d +84＞42−3d 42−3d ＞18d +126，解得﹣7＜d ＜﹣4，∴公差d 的取值范围为（﹣7，﹣4）．（2）由题意，可得a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2d +（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 则a b n =（b n +1）d ，a b n+1=（b n +1+1）d ， ∵a b n+1=2a b n ，∴（b n +1+1）d ＝2（b n +1）d ， ∵d ≠0，∴b n +1+1＝2（b n +1）， ∵数列{a b n }的首项为a 1，即a b 1=a 1， ∴b 1＝1， ∴b 1+1＝1+1＝2，∴数列{b n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n +1＝2•2n ﹣1＝2n ，∴b n ＝2n ﹣1，n ∈N *， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n＝（21﹣1）+（22﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n =21−2n+11−2−n＝2n +1﹣n ﹣2．21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）因为双曲线E 经过点Q （3，2）， 所以4a 2−9b 2=1，①因为双曲线E 的离心率为2， 所以ca=2，②又c 2＝a 2+b 2，③联立①②③，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线E 的方程为y 2−x 23=1， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时过点Q 的切线l 的方程为2y ﹣x ＝1， 因为直线l 交y 轴于点H(0，12)，联立{2y −x =1x 2+(y −2)2=10，消去y 并整理得5x 2﹣6x ﹣31＝0， 此时Δ＝656＞0，由韦达定理得x 1+x 2=65，x 1x 2=−315，所以S △F 1AB =12|F 1H|⋅|x 1−x 2|=12(12+2)•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(12+2)•4√415=√41；（2）证明：不妨设P （x 0，y 0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 因为点P 在圆F 2上，所以x 02+(y 0−2)2=10，过点M ，N 的双曲线E 的切线方程分别为{y 3y −x 3x3=1y 4y −x 4x3=1因为两切线均过点P （x 0，y 0）， 所以{y 3y 0−x 3x 03=1y 4y 0−x 4x03=1， 则直线MN 的方程为y 0y −x 0x3=1，联立{y0y−x0x3=1y2−x23=1，消去y并整理得(x02−3y02)x3+6x0x+(9−9y02)=0，由韦达定理得x3+x4=−6x0x02−3y02，x3⋅x4=9−9y02x02−3y02，所以(y3+2)(y4+2)=(x03y0x3+1y0+2)(x03y0x4+1y0+2)=x029y02x3x4+x03y0⋅1+2y0y0(x3+x4)+(1+2y0y0)2=3(x02−4y02−4y0−1)x02−3y02，因为x02+(y0−2)2=10，所以x02=10−(y0−2)2，此时x02−4y02−4y0−1=5−5y02，则k1k2=y3+2x3⋅y4+2x4=3(5−5y2)x02−3y02⋅x02−3y029(1−y02)=53．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x∈[e，e2]，使f(x)≤(ax+12)lnx成立，求实数a的取值范围．注：e为自然对数的底数．解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）=ax+1=a+xx，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此时f（x）单调递减；由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此时f（x）单调递增；综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（2）∵f(x)≤(ax+12)lnx，∴alnx+x≤(ax+12)lnx，x∈[e，e2]，∴xlnx−ax+a≤12，设g(x)=xlnx−ax+a，∴g′(x)=lnx−1ln2x−a=−(1lnx−12)2+14−a，当a≤0，g'（x）≥0，g（x）在[e，e2]上单调递增，∴g(x)min=g(e)=e −ae +a ≤12，即a ≥e−12e−1，不符合题意； 当0＜a ＜14时，则存在唯一的x 0∈[e ，e 2]，使得g '（x 0）＝0，当x ∈[e ，x 0]，使得g '（x 0）＜0，此时g （x ）单调递减， 当x ∈[x 0，e 2]，使得g '（x 0）＞0，此时g （x ）单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0lnx 0−ax 0+a ≤12， ∴a ≥1x 0−1(x 0lnx 0−12)＞1x 0−1(x 0lne 2−12)=1x 0−1(x 02−12)=12，这与0＜a ＜14相矛盾； 当a ≥14时，g '（x ）≤0，此时g （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴g(x)min =g(e 2)=e 22−ae 2+a ≤12，解得a ≥12，符合题意， 综上，实数a 的取值范围是[12，+∞）．。
2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥02．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π35．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√136．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．28．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√10511．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ ．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 ． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和．19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”． （1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim ∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥0解：命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是：∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}解：由题意集合A ＝{1，2}， 因为A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝{1}时，a ﹣2＝0，解得a ＝2， 当B ＝{2}时，2a ﹣2＝0，解得a ＝1， 当B ＝{1，2}时，a 无解， 当B ＝∅时，a ＝0，综上，实数a 的取值集合为{0，1，2}． 故选：C ．3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：(1+x 14)8的展开式通项公式为：T r+1=C 8r x 2−14r，r ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，当r ＝0，4，8时，T 1，T 5，T 9为有理项，故m ＝3． 故选：C ．4．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π3解：设圆锥的母线长为l ，高为h ，则π×1×l ＝3π， ∴l ＝3，∴h =√l 2−r 2=√9−1=2√2，∴圆锥的体积为13×π×12×ℎ=2√23π． 故选：D ．5．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√13解：该函数的定义域为[23，43]，由柯西不等式可得：f(x)=3√4−3x +√3x −2≤√(32+12)(4−3x +3x −2)=2√5， 当且仅当√4−3x=√3x−2时取等号，即当x =1115时取等号．故选：A ．6．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)解：∵y ′＝3x 2﹣4x ，∴l 的斜率为3k 2﹣4k ．∵l 的倾斜角小于135°，∴l 的斜率小于﹣1或不小于0，则3k 2﹣4k ＜﹣1或3k 2﹣4k ≥0，解得k ∈(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2解：∵sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0， ∴sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0， ∴sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=−1，∴tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，∵sin αsin β﹣3cos αcos β＝0， ∴sin αsin β＝3cos αcos β， ∴tan αtan β＝3，代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，得tan α+tan β＝﹣4， 故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2．故选：D ．8．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π解：因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1， 所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1，且AO 1=√22，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t （0≤t ≤√22），半径为R ，因为OA ＝OD ＝R ，所以√12+x 2=√(2−x)2+t 2，所以t 2＝4x −72，又0≤t ≤√22， 所以78≤x ≤1，因为R 2=12+x 2，所以R 2≤32，所以三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积的最大值为4πR 2＝6π．故选：B ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位解：∵f （x ）＝2sin x cos x +cos （2x ﹣6）=sin2x +cos2xcos π6+sin2xsin π6=32sin2x +√32cos2x =√3sin(2x +π6)， 对于A ：f （x ）的周期T =2π2=π，故A 正确； 对于B ：当x =π12时，f （π12）=√3sin(2×π12+π6)=√3sin π3≠0，∴f （x ）的图象不关于点(π12，0)对称，故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z)，∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)，故C 正确；对于D ：g(x)=√3sin2x 的图象向左平移π6个单位后解析式为g(x +π6)=√3sin[2(x +π6)]=√3sin(2x +π3)，故D 错误． 故选：AC ．10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√105解：直线l ：x ﹣my +3＝0，可得{x +3=0y =0，可知直线恒过（﹣3，0），所以A 正确；圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，圆心（3，0），半径为2，（﹣3，0）是圆外的点，直线不表示直线y ＝0， 所以直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长没有最大值，所以B 不正确； 直线与圆相切，可得√1+m 2=2，解得m =±2√2，所以C 不正确；实数m 的值为3时，直线l ：x ﹣3y +3＝0，圆的圆心到直线的距离为：√1+9=√102．所以直线与圆C 相交，所以D 正确． 故选：AD ．11．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 解：A 选项，当n ＝1时，(a 1−1)2=4(100−a 1)， 又a 1＞0，解得a 1＝19，当n ≥2时，(a n −1)2=4(100−S n )①， (a n−1−1)2=4(100−S n−1)②，①﹣②得，(a n −1)2−(a n−1−1)2=4(100−S n )−4(100−S n−1)，即a n 2+2a n −a n−12+2a n−1=0，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1+2）＝0，∵a 1＞0，a 2＞0，∴a n +a n ﹣1＝0不能对任意的n ≥2恒成立， ∴a n ﹣a n ﹣1+2＝0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝﹣2，故{a n }为等差数列，公差为﹣2，首项为a 1＝19， ∴通项公式为a n ＝19﹣2（n ﹣1）＝﹣2n +21，A 正确； B 选项，S n =n(a 1+a n )2=n(19+21−2n)2=−n 2+20n ， 故S n n=−n +20，则当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=−n +20−(−n +21)=−1，故{Snn }为等差数列，B 正确；C 选项，S n =−n 2+20n =−(n −10)2+100，∴当n ＝10时，S n 取得最大值，C 错误；D 选项，令a n ＞0得1≤n ≤10，令a n ＜0得n ≥11， 则当n ∈[1，8]时，b n ＝a n a n +1a n +2＞0， 当n ＝9时，b 9＜0，当n ＝10时，b 10＞0， 当n ≥11时，b n ＜0，又b 9＝a 9a 10a 11＝3×1×（﹣1）＝﹣3，b 10＝a 10a 11a 12＝1×（﹣1）×（﹣3）＝3， 则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值，D 正确． 故选：ABD ．12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1）解：对于A ：因为AB →⋅AO →=|AB →|⋅|AO →|⋅cos∠BAO =|AB →|×12|AB →|=12|AB →|2=2，故A 正确；对于B ：由BD →=μBA →+(1−μ)BC →（λ，μ∈R ）可知，点A ，D ，C 共线， 又BD →=λ(BA →|BA →|+BC→|BC →|) 可知，点D 在∠CBA 的角平分线上，所以BD 为△ABC 的角平分线，AD 与DC 不一定相等，故B 错误；对于C ：若2BO →=BA →+BC →则点O 是AC 的中点，点O 又是△ABC 的外心，所以∠ABC ＝90°，即B 为直角顶点，所以B 为垂心，故C 正确； 对于D ：因为∠B =π3 所以∠AOC =2π3如图，建立平面直角坐标系， 设C （r ，0），A(−12r ，√32r)，B （r cos θ，r sin θ），θ∈(2π3，2π)， 因为OB →=mOA →+nOC →，所以{rcosθ=m ⋅(−12r)+nrrsinθ=m ⋅√32r，得m =2√3，n =cosθ1√3， m +n =cosθ+√3sinθ=2sin(θ+π6)，θ∈(2π3，2π)，θ+π6∈(5π6，13π6)， sin(θ+π6)∈[−1，12)， 则m +n ∈[﹣2，1）．故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ 9 ． 解：∵f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴g （x ）=3xa x −1=1(a 3)x −3−x 为奇函数，法1°：y =(a 3)x −3﹣x为奇函数，又y ＝3x ﹣3﹣x为奇函数，∴a3=3，∴a ＝9．法2°：∵y =(a3)x −3﹣x为奇函数，其定义域为R ，∴(a 3)1−13+(a 3)−1−3＝0，整理得a 2﹣10a +9＝0， 解得a ＝9或a ＝1（舍去）． 故答案为：9．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是25．解：由题意知，甲在五一长假期间值班2天，有C 52=10种值班方法，其中甲连续2天值班的情况有4种， 所以甲连续值班的概率P =410=25．故答案为：25．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 √217． 解：如图，因为OM ∥PF 1，所以点M 是PF 2的中点，连接F 1Q ， 由MF 2→=2F 2Q →，得|PF 2|＝4|F 2Q |，设|F 2Q |＝t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 1|＝2a ﹣4t ，|QF 1|＝2a ﹣t ，由余弦定理得|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， （2a ﹣t ）＝2（2a ﹣4t ）2+（5t ）2﹣2（2a ﹣4t ）×5t ×2a−4t4t， 整理得t =514a ，则|F 1F 2|=√(4t)2−(2a −4t)2=√16at −4a 2=2√217a ， e =2c2a =|F 1F 2|2a =√217． 故答案为：√217． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 (−∞，−12) ． 解：由f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)， 得f ′(x)=x 2+2ax +1−1x+1， 所以f ″(x)=2x +2a +1(x+1)2，因为x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点， 所以f ′（0）＝1﹣1＝0，且f ''（0）＜0， 所以2a +1＜0，所以a ＜−12． 故答案为：(−∞，−12)．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线． 解：（1）因为2b sin A +b sin B ＝c sin2B ，所以由正弦定理得：2sin B sin A +sin B sin B ＝2sin C sin B cos B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以2sin A +sin B ＝2sin C cos B ， 因为sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 所以2sin B cos C +sin B ＝0，所以cosC =−12， 因为C ∈（0，π），所以C =23π；（2）选择①，因为CD 为△ABC 的一条中线， 所以CD →=12(CA →+CB →)，所以CD →2=14(CA →2+CB →2+2CA →⋅CB →)，即1=14[4+a 2+2×2a ×(−12)]，解得：a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择②，因为CD 为△ABC 的一条角平分线， 所以S △ACD +S △BCD ＝S △ABC ，即12b ⋅CD ×√32+12a ⋅CD ×√32=12ab ×√32， 因为b ＝2，CD ＝1，所以a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择③，因为CD 为△ABC 的一条高线， 所以S △ABC =12absinC =12c ⋅CD ， 因为b ＝2，CD ＝1，所以c =√3a ，由余弦定理有：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即3a 2=a 2+4−4a ×(−12)， 解得：a ＝2或a ＝﹣1（舍去），所以c =2√3．，即AB =2√3．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和． 解：（1）因为当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2且a 1＝1， 若n ＝2，则2S 2＝2（1+a 2）＝3a 2﹣2，解得a 2＝4， 若n ≥3，则2S n ﹣1＝na n ﹣1﹣2， 两式相减可得2a n ＝（n +1）a n ﹣na n ﹣1， 整理得a n n=a n−1n−1，即a n n=a n−1n−1=...=a 22=2，可得a n ＝2n ，可知n ＝1不符合上式，n ＝2符合上式， 所以a n ={1，n =12n ，n ≥2．（2）因为b n =2a n a n+1={2，n =112n(n+1)，n ≥2，即b n ={2，n =1⋅12(1n−1n+1)，n ≥2， 当n ＝1时，令数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2；当n ≥2时，则T n ＝b 1+b 2+...+b n ，＝2+12[(12−13)+(13−14)+...+(1n −1n+1)]=2+12×(12−1n+1)=94−12(n+1)，可知n ＝1符合上式，所以T n =94−12(n+1)． 19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．解：（1）因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ， 又因为AB ⊥QD ，AD ∩QD ＝D ，所以AB ⊥平面QAD ， 又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面QAD ， 因为平面QAD ∩平面ABCD ＝AD ，QA ＝QD ， 取AD 的中点O ，连接QO ，则QO ⊥AD ，以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OQ 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，1，0），Q （0，0，2√2）， BC →=（0，2，0），DC →=（2，0，0），DQ →=（0，﹣1，2√2），设平面QCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝0，所以n →=（0，2√2，1），所以点B 到平面QCD 的距离为d =|BC →⋅n →||n →|=|0+4√2+0|0+8+1=4√23；（2）因为平面ADQ 的一个法向量为DC →=（2，0，0），DB →=（2，﹣2，0），设平面BDQ 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=2x −2y =0m →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝2√2，所以m →=（2√2，2√2，1）， 设二面角B ﹣QD ﹣A 为θ，则θ∈[0，π]， 计算cos θ=m →⋅DC →|m →||DC →|=4√2+0+08+8+1×2=2√217，sin θ=√1−cos 2θ=√1−817=3√1717， 所以二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值为3√1717． 20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”．（1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim n→∞∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．解：（1）每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为a10，摸到黑球的概率为1−a10， 所以件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球“的概率为P （A ）=C 42•（a10）2•（1−a10）2＝6[a10（1−a10）]2，因为a10（1−a10）≤[a 10+(1−a10)2]2=14，当且仅当a10=1−a10=12时，a ＝5，即等号成立，故a 0＝5．（2）由（1）知：每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为12， X ＝1，2，3…，P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…）， P （X ＝1）＝a 1=12， P （X ＝2）＝a 2=122， P （X ＝3）＝a 3=123，…， P （X ＝k ）＝a k =12k ，…，所以∑ n i=1ka k =∑ni=1k 2k=12+222+323+...+n2n ，① 12∑ n i=1ka k =122+223+324+...+n−12n +n2n+1，② ①﹣②得：12∑ n i=1ka k =12+122+123+...+12n −n2n+1=12−12n+11−12−n 2n+1=1−2+n2n+1， 所以∑ n i=1ka k ＝2−n+22n ， E （X ）=lim n→∞∑ n i=1ka k =lim n→∞（2−n+22n ）＝2． 21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 解：（1）因为点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上， 所以2＝2P ，解得P ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝2x ，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{y =kx +m y 2=2x ，得k 2x 2+2（km ﹣1）x +m 2＝0， Δ＝4（km ﹣1）2﹣4k 2m 2＝4（1﹣2km ）＞0， x 1+x 2=−2(km−1)k2，x 1x 2=m 2k2，因为|AF |+|BF |＝5，所以x 1+x 2+1=−2(km−1)k2+1＝5，km ＝1﹣2k 2，所以m =1k −2k ，① 设AB 的中点为（x 0，y 0）， 所以x 0=x 1+x 22=2，y 0＝kx 0+m ＝2k +m ， 所以AB 的垂直平分线方程为y ﹣2k ﹣m =−1k（x ﹣2），② 联立①②，可得y =−1k（x ﹣3）， 所以AB 的垂直平分线过定点（3，0）． （2）|AB |=√1+k 2•2√1−2kmk 2=√1+k2•2√4k 2−1k 2，点Q 到直线AB 的距离为d ：d =|3k+m|√1+k=|k+1k|√1+k，所以S △ABQ =12|AB |d =12√1+k 2•2√4k 2−1k 2•|k+1k |√1+k 2=(k 2+1)√4k 2−1k 3，S △ABQ 2=(k 2+1)2(4k 2−1)k6=（1+1k2）2（4−1k2）， 令1k 2=t ，则0＜t ＜4，f （t ）＝（t +1）2（4﹣t ），f ′（t ）＝2（t +1）（4﹣t ）﹣（t +1）2＝（t +1）（7﹣3t ）＝0， 解得：t ＝﹣1（舍去），t =73，当0＜t ＜73时，f ′（t ）＞0，当73＜t ＜4时，f ′（t ）＜0，所以f （t ）在（0，73）单调递增，在（73，4）单调递减，所以当t =73时，f （t ）取最大值为（73+1）2×（4−73）=50027，所以△ABQ 面积最大值为10√159．22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．解：（1）∵f （x ）＝e x ，f ′（x ）＝e x ， ∴f ′（t ）＝1⇒e t ＝1⇒t ＝0，f （0）＝1，∴曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线方程为y ﹣1＝1•（x ﹣0）即y ＝x +1．（2）∵令p(x)=e x x （x ＜1），则 p ′(x)=e x (x−1)x 2＜0 恒成立，p(x)=e xx 在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减．g （x ）＝e sin x +e cos x ，g ′（x ）＝e sin x •cos x ﹣e cos x •sin x ，∴g ′（x ）＞0⇒sinx ⋅cosx(e sinxsinx −e cosxcosx )＞0⇒{sinxcosx ＞0sinx ＜cosx或{sinxcosx ＜0sinx ＜0cosx ＞0⇒2kπ＜x ＜2kπ+π4或2kπ+5π4＜x ＜2kπ+3π2或2kπ+3π2＜x ＜2kπ+2π（k ∈Z ），∴g （x ）在(2kπ，2kπ+π4)(k ∈Z)，(2kπ+5π4，2kπ+2π)(k ∈Z)上单调递增，在(2kπ+π4，2kπ+5π4)（k ∈z ）上单调递减．。
数学高三上期中经典测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（ ）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20213．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20475．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或57．设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x,y 有f (xy )=f (x )+f (y )，已知f (12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f (S n )=f (a n )+f (a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18=（ ） A ．136B ．9C ．18D ．368．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．139．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-310．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．911．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202012．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．213．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．514．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=()2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒15．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC 的面积为______．17．设0,0,25x y x y >>+=______.18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=_________．19．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅_______________．20．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 21．不等式211x x --<的解集是 ． 22．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．23．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤.24．已知数列{}n a 的通项n a =15项的和等于_______.25．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题26．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S28．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．29．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 30．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．D 10．D11．B12．D13．B14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc求bc即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦17．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立18．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法19．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简20．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛21．【解析】【分析】【详解】由条件可得22．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式23．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误24．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B 【解析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.3．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期期中综合素质评价数学试题及答案
A．沿正方体的表面从点 A 到点 P 的最短距离是 109
B．保持 PM 与 BD 垂直时，点 M 的轨迹长度为 3 2
4
C．若保持 PM 26 ，则 M 的轨迹长度为 π
3
D．平面 ADP 被正方体 ABCD ABC D 截得截面为直角梯形
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有
1
D． 1,
e
）
7．在同一平面直角坐标系内，函数 y f ( x) 及其导函数� = �′ � 的图象如图所示，已知两
图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则（ ）
试卷第 1页，共 5页
A．函数 y f ( x ) x 的最大值为 1
B．函数 y
ex
的最小值为 1
n n2
(2)记数列 cn 的前 n 项和为 Tn ，且 cn
，若对 n N* ， T2n k 恒成立，求 k
1
, n为偶数
an
的取值范围.
18．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA ， PC 的中点，且平
面 PBD 平面 BEF .
因此可得 C1 E CE ，
易知 AC 2 2, A1C1 2 ，由正四棱台性质可得 CE
所以该正四棱台的高为 C1E CE
因此该四棱台的体积是 V
1
2
AC A1C1 ；
2
2
2
，
2
1 2
2 7 2
.
1 22 12 22
3
2
2023-2024学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5}，则C ＝{x |x ＝2a +b ，a ∈A ，b ∈B }中的元素个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．√3tan18°tan42°﹣tan162°+tan42°的值为（ ） A ．√33B ．−√3C ．√3D ．−√334．函数y ＝1+x +sinxx 2的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin 2x2+cos 2x2=12；P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）＝sin x ﹣sin y ；P 3：∀x ∈[0，π]，√1−cos2x2=sin x ； P 4：sin x ＝cos y ⇒x +y =π2． 其中假命题的是（ ） A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 1，P 3D ．P 2，P 36．已知a =√2−1，e 2b ＝2，c =15ln5，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知函数f （x ﹣1）的图象关于（1，﹣1）对称，f （x +1）为偶函数，则下列函数是奇函数的是（ ） A ．y ＝f （x ）﹣1 B ．y ＝f （x +2）﹣1 C ．y ＝f （x +4）+1D ．y ＝f （x +3）+18．在下列四组函数中，函数f （x ）与g （x ）的图象上存在关于x 轴对称的点的是（ ） A ．f （x ）＝x +2，g(x)=√x B ．f(x)=(13)x+1，g （x ）＝1+e x C ．f （x ）＝﹣x 2，g （x ）＝lnxD ．f （x ）＝2x ，g （x ）＝lgx二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三上册数学期中试卷及答案精选 数学是一门很重要的学科，即将参加高考的同学们已经做好准备上战场了吗?下面小编整理了高三上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。 高三上册数学期中试卷及答案精选(一) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1、设集合 ，集合 ，则 等于( ) A. (1,2) B. (1,2] C. [1,2) D. [1,2] 2、已知 和 ，若 ，则 ( ) A.5 B.8 C. D.64 3、等比数列 的各项为正数，且 ( ) A.12 B.10 C.8 D.2+ 4、如图1，已知ABCDEF是边长为1的正六边形， 则 的值为( ) A. B. C. D. 5、将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则 的最小值是( ) A. B. C. D. 6、已知定义域为R的函数 不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A. B. C. D. 7、下列四个结论：①设a，b为向量，若|a•b|=|a||b|，则a∥b恒成立; ②命题“若 ”的逆命题为“若 ”; ③“命题 为真”是“命题 为真”的充分 不必要条件; 其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 8、对于函数 ，部分 与 的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 7 5 1 8 数列 满足： ，且对于任意 ，点 都在函数 的图像上，则 ( ) A.4054 B.5046 C.5075 D.6047 9、设函数 的图像在点 处切线的斜率为 ，则函数 的部分图像为( ) 10、已知向量 , 满足 ，且关于 的函数 在实数集 上单调递增，则向量 , 的夹角的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 11、如图2是函数 图像的一部分，对不同的 ，若 ，有 ，则( ) A. 在 上是增函数 B. 在 上是减函数 C. 在 上是增函数 D. 在 上是减函数 12、若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置上。 13、若 是纯虚数，则 的值为 。 14、若幂函数 过点 ，则满足不等式 的实数 的取值范围是 。 15、函数 的图象与 轴所围成的封闭图形面积为 。 16、已知函数 是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数 满足： ， ， ， ，考查下列结论： ① ;② 为奇函数;③数列 为等差数列;④数列 为等比数列。 以上命题正确的是 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、(本小题10分) 设 ：关于x的不等式 的解集是 ; ：函数y= 的定义域为R.若 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取 值范围. 18、(本小题12分) 已知向量 ，向量 ，函数 (Ⅰ)求 的最小正周期 ; (Ⅱ)已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， 为锐角， ， ，且 恰是 在 上的最大值，求 ， . 19、(本小题12分) 已知数列 与 满足： ， 且 ， . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)令 ， ，证明： 是等比数列; 20、(本小题12分) 罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用 为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小? 21、(本小题12分) 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ， (Ⅰ)求 的面积. (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列， 求{ }的前n项 和Sn. 22、(本小题12分) 已知函数 ， ，令 ， 其中 是函数 的导函数。 (Ⅰ)当 时，求 的极值; (Ⅱ)当 时，若存在 ，使得 恒成立，求 的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C D C A D B C A D 一、选择题：(每小题5分，共60分) 二、填空题：(每小题5分，共20分) 13、 14、 15、 16、 ②③④ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分) 高三上册数学期中试卷及答案精选(二) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2.已知复数 ,若 是实数，则实数 的值为 ( ) A. B. C. D. 3.若定义在 上的函数 满足 且 则 等于 ( ) A. 1 B. C.2 D. 4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ① ，② ， ③ ， ④ ，则输出的函数是 ( ) A. B. C. D. 5.以下判断正确的是 ( ) A.函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件 B.命题“存在 ”的否定是“任意 ” C.“ ”是“ 函数 是偶函数”的充要条件 D.命题“在 中，若 ”的逆命题为假命题 6.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 则该几何体的体积为 A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3 7.若数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和为 ( ) A. B. C. D. 8. 设 ，则 ( ) A. B. C. D. 9.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合，则 的值为 ( ) A¬. B . C. D. 10.如图所示,两个不共线向量 的夹角为 ， 分别为 的中点,点 在直线 上, 且 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 .若直线y= 与椭圆 的一个交点M满足 ,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知曲线 平行，则实数 . 14.已知向量 . 15.已知 ，则 . 16.已知点P(x,y)满足线性约束条件 ，点M(3,1), O为坐标原点, 则 的 最大值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题12分) 已知函数 . (Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心; (Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值. 外语 数学 优 良 及格 优 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 18.(本小题12分)某校高三文科学生参加了9月的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩,抽出100名学生的数学、外语成绩统计,其结果如下表: (1)若数学成绩优秀率为35%,求 的值; (2)在外语成绩为良的学生中,已知 ,求数学成绩 优比良的人数少的概率. 19.(本小题12分) 如图,三棱柱 中, , 四边形 为菱形, , 为 的中点, 为 的中点. (1)证明:平面 平面 ; (2) 若 求 到平面 的距离. 20.(本小题12分) 已知圆 经过点 , ,并且直线 平分圆 . (1)求圆 的标准方程; (2)若过点 ,且斜率为 的直线 与圆 有两个不同的交点 . ①求实数 的取值范围;②若 ，求 的值. 21. (本小题12分) 设函数 ， . (1)求函数 在区间 上的值域; (2)证明：当a>0时， . 四.选考题(本小题10分) 请从下列两道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卡上注明题号。 22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 . (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值. 23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数 ，且 的解集为 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ，且 ，求证： . 参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 , ,则 ( A ) A. B. C. D. 2.已知复数 ,若 是实数，则实数 的值为 ( D ) A. B. C. D. 3.若定义在 上的函数 满足 且 则 等于( A ) A. 1 B. C.2 D. 4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ① ，② ， ③ ， ④ ， 则输出的函数是 ( D ) A. B. C. D. 5.以下判断正确的是 ( C ) A.函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件 B.命题“存在 ”的否定是“任意 ” C.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件