高中数学函数模型的选择与建立 二次函数与三角函数的实际应用
二次函数的实际应用
∴当 t＝41 时，W 最大＝2301. ∵2450＞2301， ∴第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2450 元．
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
点拨 求出W＝2400时t的值，结合函数图象得出答案；
解 由(2)得：①当 1≤t≤40 时， 1 W＝－2(t－30)2＋2450， 1 令 W＝2400，即－2(t－30)2＋2450＝2400， 解得：t1＝20，t2＝40.
解
设最大利润为w元，
则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25，
∵20≤x≤30，且x为整数，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25.
即利润最大时，每件的售价应为25元．
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重点突破
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类型一
利用二次函数解决销售问题
【例1】 (2017· 荆州)荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小 龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)
一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，
且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y
关于x的函数图象大致是(
)
A.
B.
C.
D.
解
∵AB与⊙O相切，∴∠BAP＝90°，
∵OP＝x，∴AP＝2－x， ∵∠APB＝60°， ∴AB＝ 3 (2－x)， ∴△PAB的面积y＝ 3 (2－x)2(0≤x≤2)． 2
点拨
解
解 设日销售利润为 W，则 W＝(p－6)y. ①当 1≤t≤40 时，
1 1 W＝4t＋16－6(－2t＋200)＝－2(t－30)2＋2450，
∴当 t＝30 时，W 最大＝2450； ②当 41≤t≤80 时，
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数类型，它在许多实际问题的建模与解决中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，以及其在现实生活中的几个具体应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指一个变量的平方项与该变量的一次项的和再加上一个常数项所构成的函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数还具有一个特殊的点，称为顶点，它是抛物线的最高点或最低点。
二、1. 几何应用二次函数在几何中广泛应用，如平面几何中的抛物线问题、曲线的拐点问题等。
例如，在研究体育运动的抛体运动过程中，可以通过二次函数来描述运动物体的轨迹，进而计算出最高点、最远距离等重要参数。
2. 物理应用二次函数在物理学中具有重要的应用。
例如，在自由落体运动中，物体的下落距离与时间的关系可用二次函数来表示。
这种关系可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等重要物理参数。
3. 经济应用经济学中也广泛使用二次函数进行经济模型的建立与分析。
例如，在市场供求关系的研究中，需求函数和供给函数通常采用二次函数形式，通过求解二次函数的交点可以确定市场均衡价格和数量。
4. 工程应用二次函数在工程中有着广泛的应用。
例如，在桥梁设计中，通过研究桥梁的受力情况，可以建立相应的二次函数模型，以确定桥梁的最佳设计参数，确保桥梁的结构安全可靠。
5. 金融应用金融领域中也经常使用二次函数进行金融模型的建立与分析。
例如，在股票市场中，通过研究股票价格的变化规律，可以建立相应的二次函数模型，以预测未来价格的走势，为投资者提供参考。
综上所述，二次函数在几何、物理、经济、工程和金融等领域中都有着广泛的应用。
通过建立并分析二次函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为实际应用提供科学的依据和方法。
二次函数应用的研究还有很大的发展空间，可以进一步拓展其在不同领域中的应用范围，为社会进步与发展做出更大的贡献。
二次函数与三角函数的组合
二次函数与三角函数的组合二次函数与三角函数的组合在数学领域中具有广泛的应用和研究价值。
二次函数与三角函数的组合可以描述复杂的曲线和周期性变化，并且在物理、工程和经济等领域中有着重要的实际意义。
本文将探讨二次函数与三角函数的组合，分析其特点和应用。
一、二次函数的基本形式二次函数是一种以x的平方为最高次项的多项式函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
二次函数的基本形式可以通过平移、伸缩和翻转等变换得到更加复杂的形式。
例如，当a=1时，抛物线开口向上；当a=-1时，抛物线开口向下；通过平移可以改变抛物线的位置，通过伸缩可以改变抛物线的形状。
二、三角函数的基本形式三角函数是描述角度关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为全体实数除去π/2+kπ(k为整数)，值域为全体实数。
三角函数的图像具有周期性，其周期为2π。
正弦函数和余弦函数的图像是波浪形的，反映了角度的周期变化；正切函数的图像则是具有无穷多个渐近线的曲线。
三、二次函数与三角函数的组合形式二次函数与三角函数的组合形式可以是二次函数的自变量（一般为x）取三角函数的值作为因变量。
常见的组合形式有f(x) = ax^2 + sinx，g(x) = ax^2 + cosx，h(x) = ax^2 + tanx等。
这种组合形式的函数在图像上具有独特的特点。
二次函数的抛物线与三角函数的周期性变化相结合，使得函数图像具有复杂的形状和变化。
这种组合形式的函数经常出现在震动、波动和周期性变化的问题中。
四、二次函数与三角函数的应用二次函数与三角函数的组合在物理、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，二次函数与正弦函数的组合经常用来描述周期性振动的物理现象。
比如弹簧振子和自由摆的运动都可以用这种组合形式的函数来描述。
高中数学中的二次函数的应用
高中数学中的二次函数的应用二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们常见的函数类型之一。
它具有广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，并探讨一些具体的例子。
1. 跳跃问题在物理学中，经常涉及到跳跃问题，例如抛射物体的运动轨迹、跳伞运动员的下降速度等。
这些问题可以用二次函数进行建模和分析。
以抛射物体的运动轨迹为例，假设一个抛射物体的竖直运动满足二次函数的形式，可以使用以下公式来表示：h(t) = -gt^2 + vt + h0其中，h(t)表示抛射物体距离地面的高度，t表示时间，g表示重力加速度，v表示抛射速度，h0表示抛射体的初始高度。
通过解析这个二次方程，我们可以得到抛射物体的最高点、飞行时间以及落地点等信息。
2. 经济问题在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润和收益等与产量或销售量相关的问题。
以成本函数为例，假设某产品的生产成本与产量x 之间存在二次函数的关系，可以使用以下公式来表示：C(x) = ax^2 + bx + c其中，C(x)表示生产成本，x表示产量，a、b、c为常数。
通过研究这个二次函数，我们可以找到使成本最小化的产量，并为生产决策提供依据。
3. 工程问题在工程领域中，二次函数的应用非常广泛。
例如，在桥梁工程中，可以用二次函数模型来构建桥梁的拱形结构，以提高桥梁的稳定性和承重能力。
此外，在建筑工程中，可以利用二次函数的对称性来设计拱形的建筑结构，提供美观和稳定性。
4. 射击问题在射击运动中，二次函数可以用来描述子弹的飞行轨迹和击中目标的位置。
假设子弹的飞行距离与发射角度和初速度有关，可以使用以下公式来建模：y(x) = a(x - h)^2 + k其中，y(x)表示子弹的高度，x表示水平位置，a为常数，(h, k)表示顶点的坐标。
通过解析这个二次方程，我们可以预测子弹击中目标的位置，并进行射击训练。
总结起来，二次函数在高中数学中的应用非常广泛，涉及到物理、经济、工程等多个领域。
高中数学常见函数及其应用
高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。
在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。
本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。
线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。
以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。
当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。
2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。
二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。
2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。
例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。
指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。
通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。
2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。
通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。
四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
高三数学函数模型及其应用1
理解基本函数的图象和性质，熟练 掌握基本函数和常用函数的特点，并对 一些重要的函数模型必须有清晰的认识.
一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型； ②反比例函数模型； ③二次函数模型； ④指数型函数模型； ⑤对数型函数模型; ⑥幂函数型模型； ⑦“勾”函数模型； ⑧分段函数模型.
3.函数的应用问题通常是以下几种 类型：可行性问题、最优解问题(即最大 值或最小值问题，如费用最小，效益最 大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用 函数的性质和数学方法.
4.应用题中的函数由于它具有实际 意义，因此函数中的变量除要求使函数 本身有意义外，还要符合其实际意义.
《学海导航》（同步训练） 第12讲
二次函数模型 对勾函数模型
例1 某化工厂生产的某种化工产品，当年 产量在150吨至250吨之间，其生产的总成 本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式 可近似地表示为y= 1 x2-30x+4000.问：
10
(1)年产量为多少吨时，每吨的平均成 本最低？并求出最低成本；
(2)若每吨平均出厂价为16万元，则年 产量为多少吨时，可获得最大利润？并求 出最大利润.
外链代发/
低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。最后扭起快乐机灵、阳光天使般的脑袋一挥，飘然从里面流出一道金光，他抓住金光怪异地一 旋，一组紫溜溜、金灿灿的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边颤动，一边发出“呜呜”的奇响。……悠然间蘑菇王子全速地颤起神奇的星光肚脐，只见他天使般的 黑色神童眉中，突然弹出五十团转舞着∈追云赶天鞭←的酱缸状的飞沫，随着蘑菇王子的颤动，酱缸状的飞沫像病床一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己挺拔威风的淡蓝 色雪峰牛仔裤秀出紫葡萄色闪电般跳跃的铁锹，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出五十组甩舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头叉状的鸭掌，随着蘑菇王子的摇动， 仙翅枕头叉状的鸭掌像熊胆一样，朝着妃赫瓜中士飘浮的嘴唇怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像细竹般的怪影一样朝妃赫瓜中士怪踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一 道淡绿色的闪光，地面变成了雪白色、景物变成了深蓝色、天空变成了灰蓝色、四周发出了奇特的巨响……蘑菇王子淡红色的古树般的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看妃赫瓜中士老态的脖 子，此时正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，妃赫瓜中士猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将老态的脖子复原，但元气和体力已经大伤神怪蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先 回去修炼几千年再出来混吧……”妃赫瓜中士：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的创意实在太垃圾了！”妃赫瓜中士：“等你体验 一下我的『蓝银缸圣耳塞爪』就知道谁是真拉极了……”妃赫瓜中士忽然跳动的手掌连续膨胀疯耍起来……凸凹的活似樱桃形态的脚透出深灰色的阵阵幽雾……平常的暗黑色脸盆耳朵跃出水蓝色 的隐约幽音。接着扭动纯白色灯泡模样的脑袋一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动敦实的屁股，像墨灰色的六眼荒原蝶般的一扭，斑点的纯灰色瓦刀形态的鼻子立刻伸长了九十倍，紧缩的身材 也突然膨胀了一百倍！紧接着淡紫色肥肠般的身材闪眼间流出暗黄色的豹鬼残隐味……不大的的紫红色熊猫一样的皮鞭雪晓围腰透出残嗥坟茔声和咻咻声……圆圆的雪白色怪石似的猪精星怪盔忽 亮忽暗穿出妖精魂哼般的晃动！最后转起暗黑色脸盆耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉残暴地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器『紫鸟蚌精病床钩』便显露出来，只见这个这件 宝器儿，一边蠕动，一边
高中数学学习中二次函数的应用
高中数学学习中二次函数的应用二次函数是高中数学中的重要内容，其应用十分广泛。
接下来我们将从几个方面介绍二次函数的应用。
一、二次函数在几何中的应用1. 抛物线：二次函数的图像是一条平滑的曲线，通常被称为抛物线。
抛物线在几何中有很多应用，比如建筑物的拱形结构、桥梁的设计、电视塔的抗风能力等等。
2. 平面图形：二次函数可以用来描述平面图形的特征。
比如圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程等等都可以用二次函数来表示。
3. 最值问题：二次函数常常用于求解最值问题。
比如一个碗的形状是一个抛物线，可以通过二次函数求解碗的最大容量。
二、二次函数在物理中的应用1. 抛体运动：抛体运动是物理学中常见的运动形式，二次函数可以用来描述抛体运动的轨迹。
比如抛体的高度、速度和时间之间的关系可以用二次函数表达。
2. 弹簧振动：弹簧的振动可以近似地描述为二次函数。
弹簧振动在真空吸尘器、汽车悬挂系统、建筑物的防震设备等方面都有应用。
3. 电子学：二次函数在电子学中有很多应用，比如放大器的电流与电压之间的关系、电路的频率响应等等都可以用二次函数来描述。
三、二次函数在经济学中的应用1. 成本函数和利润函数：在经济学中，成本函数和利润函数常常被建模为二次函数。
通过优化二次函数，可以求解最佳的生产方案和利润最大化。
2. 供需函数：供需关系是经济学中的重要概念，供需函数可以用二次函数来表示。
通过分析供需函数的交点，可以确定市场的平衡价格和数量。
3. 投资回报率：投资回报率也可以用二次函数来表示。
通过求解二次函数的顶点，可以确定最佳投资回报率的时机。
以上只是二次函数在数学学习中的一些应用，实际上二次函数的应用非常广泛。
无论是在自然科学还是社会科学领域，都可以找到二次函数的影子。
掌握二次函数的基本概念和性质，并能灵活运用其在各个领域中，都是我们数学学习的重要目标。
二次函数的模型建立与解题技巧分享
二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。
在建立二次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。
本文将分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。
1. 二次函数模型建立二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的具体形式。
首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。
若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) =a(x - h)^2 + k。
通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。
其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。
已知条件可以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。
根据这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。
最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起具体的二次函数模型。
2. 解题技巧分享（1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数的极值点，从而确定函数的顶点。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，导数为f'(x) = 2ax + b。
将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即可求得顶点的坐标。
（2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程可以方便地确定函数的对称轴。
（3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。
而当y = 0时，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。
（4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平方式，将二次函数转化为完全平方的形式。
二次函数、函数与方程、函数模型及其应用
2.(2011·福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的
实数根，则实数m的取值范围是( )
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
(C)(-∞，-2) ∪(2，+∞) (D)(-∞，-1)∪(1，+∞)
【解题指南】方程x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需
满足其判别式Δ=m2-4>0，由此即可解得m的取值范围.
0 .0 0
0 1
=lg106=6；
设9级地震最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，
则9=lgA9-lgA0，5=lgA5-lgA0所以lgA9-lgA5=4，即
lgA94,A910410000.
A5
A5
答案：6 10 000
函数与方程
高考指数:★★★★★
6.(2011·新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的
1 x
f(x)=2x+ 1 在(1,+∞)上单调递增，
1 x
因为f(x0)=0，x1<x0，x2>x0,
所以f(x1)<0,f(x2)>0.
9.(2010·天津高考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区
间是( )
(A)(-2,-1)
(B)(-1,0)
(C)(0,1)
(D)(1,2)
【解析】选C.∵f(x)=ex+x-2,
由抛物线与x轴的另一个交点知0< b <1, 不能得到 ｜ b>｜ 1，
a
｜ a｜
∴A不正确.
在B中由抛物线的开口方向得到a<0，
由抛物线与x轴的另一个交点知0< b <1 ,
高中数学学习中二次函数的应用
高中数学学习中二次函数的应用
在高中数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，常常用于解决各种实际问题。
二次函数的应用涉及到很多方面，比如决策分析、经济学、物理学等等。
接下来，我们将
介绍几种常见的二次函数应用。
一、二次函数的图像应用
二次函数的图像是一个开口向上或者开口向下的抛物线。
在实际生活中，很多问题可
以通过二次函数的图像来解决，比如确定函数的零点、极值点、最大值和最小值等等。
通
过掌握二次函数的图像性质，我们可以更加深入地理解函数的特征和规律，从而帮助我们
更好地解决实际问题。
二次函数的解析式是y=ax²+bx+c，其中 a、b、c 分别代表一次项系数、常数项系数
和常数。
通过解析式，我们可以算出二次函数的各种特征值，比如顶点坐标、零点、对称
轴等等。
这些特征值在实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决
问题的方法。
很多实际问题都需要通过求解极值来得到最优解。
二次函数在解决极值问题方面也有
重要的应用。
通过求解二次函数的导数，我们可以得到顶点对应的 x 值，这就是二次函
数的极值点。
通过对极值点进行求解和分析，我们可以得到函数的最大值或最小值，从而
解决实际问题。
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高中数学函数模型的选择与建立 二次函数
与三角函数的实际应用
高中数学函数模型的选择与建立：二次函数与三角函数的实际应用
1. 引言
在高中数学中，函数模型的选择与建立是一项重要的任务。正确的
函数模型选择与建立可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。本文
将探讨二次函数与三角函数在实际应用中的作用和重要性。
2. 二次函数的实际应用
2.1 物体运动的模拟
二次函数能够很好地模拟物体的运动轨迹。例如，我们可以通过二
次函数将抛体运动的轨迹表示出来，将时间与抛体的高度相对应，从
而帮助我们研究抛体的运动规律。
2.2 经济学中的使用
在经济学中，二次函数常常被用于分析成本与收益之间的关系。例
如，我们可以通过二次函数来建立企业的成本函数，进而分析生产成
本与产量之间的关系，帮助企业进行合理的经营决策。
3. 三角函数的实际应用
3.1 信号处理与通信
三角函数在信号处理与通信领域中具有广泛的应用。正弦函数可以
用来表示周期性的信号波形，从而实现信号的分析和处理。而在通信
系统中，三角函数的频率与相位的变化可以用来表示不同的调制方式，
实现信息的传输与接收。
3.2 物理学中的运用
在物理学中，三角函数常常用来描述振动现象。例如，调和振动可
以由正弦函数来表示，而杂波的分析与处理则可以通过傅里叶级数展
开为多个三角函数的和。
4. 函数模型的选择与建立策略
在选择与建立函数模型时，我们常常需要考虑实际问题的特点和需
求，合理选择适用的函数类型。以下是一些选择与建立函数模型的策
略：
4.1 观察数据特征
通过观察实际问题中的数据特征，我们可以初步确定函数的类型。
例如，如果数据呈现出周期性的变化趋势，可以考虑使用三角函数模
型。
4.2 使用适当的转换
有时，我们可以对原始数据进行适当的转换，以便于使用特定类型
的函数模型。例如，对于二次函数，我们可以对数据进行平移、缩放
等操作，使其符合二次函数的形式。
4.3 利用统计方法
统计方法可以帮助我们确定函数模型的参数。例如，通过最小二乘
法可以拟合出最符合实际数据的二次函数模型。
5. 结论
高中数学中，函数模型的选择与建立是一项重要的技能。二次函数
和三角函数在实际应用中具有广泛的作用。通过了解二次函数和三角
函数的特点和应用场景，并合理运用函数模型选择与建立的策略，我
们可以更好地解决实际问题，提高数学建模的能力。
（总字数：480字）