28_1_3 特殊角的三角函数值 基础训练(解析版)
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值(教案)
-对于将特殊角的三角函数值应用于解决复杂问题，学生可能会感到困惑，不知如何下手。
举例解释：在解决一个实际问题时，如果学生需要用到特殊角的三角函数值来计算一个直角三角形的未知边长，他们可能会不清楚应该使用哪个函数值，以及如何正确地设置方程。这时，教师需要指导学生识别问题中的直角三角形，确定已知量和未知量，然后选择合适的三角函数值来建立方程，并解决问题。
4.关注学生在实践活动中的表现，鼓励他们积极参与，提高合作学习能力。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对特殊角的锐角三角函数值的概念掌握得还算不错，但在实际应用上，尤其是将理论应用到解决具体问题时，部分学生显得有些吃力。这说明我们在教学过程中，除了要让学生记住这些特殊角的函数值，更重要的是要培养他们运用这些知识解决实际问题的能力。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单明了的语言解释概念，并通过案例分析让学生了解这些函数值在实际生活中的应用。但我也注意到，有些学生在听讲过程中显得有些迷茫，这可能是因为我对某些知识点的讲解还不够透彻，或者举例不够贴近学生的生活实际。
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值（教案）
一、教学内容
本节课我们将学习人教版九年级下册第28章“锐角三角函数”中的第1节“特殊角的锐角三角函数值”。教学内容主要包括以下几个部分：
1.掌握特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦和正切函数值；
2.学会利用特殊角的锐角三角函数值解决实际问题；
在实践活动中，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够积极参与，相互交流，共同解决问题。但我也发现，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能是因为我对小组讨论的引导不够到位，或者学生的合作学习能力还有待提高。
28.1锐角三角函数特殊角的锐角三角函数值(教案)2023-2024学年人教版数学九年级下册
3.通过实际例题，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示范、练习等环节，帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值，并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力：通过解决实际例题，让学生运用锐角三角函数进行计算和分析，提高数学运算与数据分析能力，为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求，关注学生核心素养的培养，帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识，再开篇直接输出。
2.逻辑推理：通过特殊角的锐角三角函数值的推导，提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析：培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容，引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义，强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答：检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况：评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材：人教版数学九年级下册。
2.课件：包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题：针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解，但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中，我尝试通过一些记忆方法，如编口诀、画图等，帮助学生记忆。从学生的反馈来看，这些方法还是有一定效果的，但还需在后续教学中继续巩固。
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
人教版数学九年级下册28.1.2特殊角的三角函数值及用计算器求锐角三角函数值教案
4.提高学生的数学运算能力，使学生熟练使用科学计算器进行三角函数值的计算，并能正确应用于实际问题；
5.培养学生的数据分析素养，让学生在解决实际问题的过程中，学会分析数据、处理数据，从而提高解决问题的能力。
-对于将三角函数应用于实际问题，学生可能难以理解如何构建数学模型，教师可以通过实际例题，逐步引导学生建立模型；
-对于三角函数性质的深入理解，需要通过直观的图示和逻辑推理，让学生明白其背后的数学原理，而不仅仅是记忆结论。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《特殊角的三角函数值及用计算器求锐角三角函数值》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算角度或边长的情况？”（如测量窗台斜度、计算三角形的面积等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊角的三角函数值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握特殊角的三角函数值：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切值；
角函数解决实际问题，如计算角度或边长等；
-理解并运用三角函数的基本性质，如正弦、余弦、正切的周期性、对称性等。
专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道(解析版)
专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道1．计算：()1013tan30132π-⎛⎫+︒--- ⎪⎝⎭；2()101 3.14tan 603π-⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭．3．计算101(2)1tan602π-︒⎛⎫---- ⎪⎝⎭4．计算：1001()3tan 30(13π---+ 【答案】﹣55．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan 245°＋34tan 230°－cos60°.6114cos 45()|2|2-︒++-7．计算：101()2cos 451(3.14)4π-︒-+-+-.8．计算：201345(20171)--- ．45(2017-9．计算：201(24602sin π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭．10．计算：2022cos6012( 3.14)π--+--．11．计算：2sin45°0(2019)π+-【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．计算：011)6sin30-︒－13．计算 101(12cos302-︒⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭14．计算：04sin 60|1|1)︒--+15．计算：0212tan 60( 3.14)()2π--︒--+-16．计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°17．计算：101()(1)2cos6092π-++-+2cos609+18．计算：140111 1.414)2sin 602-︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭19101()2cos60(2π)2---︒+-．20．计算：0|3|(3)tan 45π-+-︒【答案】3.【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.【详解】原式31213=+-+=【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.21．计算：1145tan 603-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭°°22．计算：021(2020)sin 45()2︒--+- 【答案】-2【分析】根据零次幂的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂分别化简后再相加减.12sin 45(2︒-【点睛】此题考查计算能力，掌握零次幂的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关23．计算：222cos602sin 45tan 60sin 303︒-︒+︒-︒．24．计算：0112sin 45(2)()3π-︒+--．2520112cos30()2-+︒+-．26．计算：1201tan 452cos60(2)2π-⎛⎫︒-︒+--- ⎪⎝⎭27．计算：（13）﹣2﹣（π02|+4tan60°．28．计算)2013460.2cos -⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭29．计算()01cot 3012sin 60cos60tan 30︒--︒+︒+︒．30．计算：2tan 452sin60cot 302cos 45︒-︒︒-︒．。
初中三角函数练习试题和答案解析
C
D
C
E
EH学习指导参考
B
F D
WORD格式整理版
0.7344九年级( 1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD 3m,
标杆与旗杆的水平距离BD 15m，人的眼睛与地面的高度EF 1。6m,人与标杆CD的
水平距离DF 2m，求旗杆AB的高度．
0.7345如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从
（1）火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？
（2）火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s )？
19、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.
如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A
点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得ACB 68.
tan 40 ≈ 0.8391，3 ≈ 1。732．
P
北
Q
C
30
B
40
A
18、如图10，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时,从地面C处的雷
学习指导参考
B
A
WORD格式整理版
达站测得AC的距离是6km，仰角是43．1s后,火箭到达B点，此时测得BC的距离是
6.13km,仰角为45。54，解答下列问题：
7．已知Rt△ABC中,∠ C=90° ,AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）
2 2 2 3
A．sinB=
3B．cosB=3C．tanB=3D．tanB=2
8．点( -sin60 °，cos60 °）关于y轴对称的点的坐标是(）
专题二、特殊角的三角函数值
专题二、特殊角的三角函数值例1（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________． 例2（2012陕西）计算：．例3(2012广安)计算：cos45o+ ；例4 计算|－3|＋2cos 45°－1)0． 例5 计算－＋(－1)2007－cos 60°．例6计算||＋(cos 60°－tan 30°)0 例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|.例8（2012呼和浩特）计算：例9（2011天水）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= ．例10（2011•莱芜）若a=3﹣tan60°，则=。
同步练习：1、（2011浙江）计算：|－1|5－π）0+4cos45°.2、（2011浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；3、计算：20110＋－2sin45°；4、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1(α是锐角)； ③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．6、如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝，BC AB 的长为 ．（第6题）（第10题）(02cos 45=︒---)32(21813-12⎛⎫- ⎪⎝⎭312-⎛⎫⎪⎝⎭11|12sin 45--+︒196)121(2-+-÷--a a a a 8137、当x ＝sin 60°时，代数式·＋的值是 ．8、已知cos 59°24′≈0.509，则sin 30°36′≈ ．9、若∠A ，∠B 互余，且tan A －tan B ＝2，则tan2A ＋tan2B ＝ ．10、如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，EC ＝1，cosB ＝，则这个菱形的面积是 .11．已知正方形ABCD 的边长为1，若将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在DC 延长线上的点D ′处，则∠BAD ′的正弦值为 .12．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．（第12题）13．在△ABC 中，∠B ＝30°，tan C ＝2，AB ＝2，则BC ＝ ． 14．设θ为锐角，且x2＋3x ＋2sin θ＝0．则θ＝ ．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 边上，BD ＝4，AD ＝BC ， cos ∠ADC ＝．(1)求DC 的长；(2)求sinB 的值．（第15题）2242x x x -+22244x x x x +-+42xx -51335参考答案： 例1.【答案】1例2. 【解析】原式【答案】例3. 解析： =例4.解：原式＝3＋2×－1＋2．例5.解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．例6.＋1十＋＝＋1．例7. 解：原式＝8－1＋12＝10. 例8. 【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】例9.根据特殊角的三角函数值计算．tanA•tan （90°﹣A ）=1．解：原式=+1+=2．例10.。
三角函数特殊角值表
关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
公式六： π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
sin（－α）＝－sinα
——仅供参考
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关
系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的
tan（π/2－α）＝cotα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
tan（3π/2－α）＝cotα
（以上 k∈Z）
——仅供参考
利用公式二和公式三可以得到的三角函数值之间的关系
一、特殊角三角函数值
角度
120
180
0° 30° 45° 60° 90°
135° 150°
函数
°
°
270 360°
°
角 a 的弧 0
度
sin
0
1
0 —1 0
cos
1
0 —1 — 2
2
2
— 3
—1
0
新人教版九年级数学下册《28章锐角三角函数28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案_5
特殊角的锐角三角函数值及用计算器求角的三角函数值一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学目标本节课教学目标如下：知识与技能：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算3．会用计算器求一个角的锐角函数值。
过程与方法：1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
2. 经历计算器求三角函数值的过程培养学生的动手能力。
情感态度与价值观：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
三、教学重难点教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
教学难点：三角函数值的应用四、教具学具三角尺，直尺，多媒体课件，科学计算器五、教学流程（一）出示学习目标1.自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值。
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用。
3.会使用科学计算器求锐角的三角函数值。
4.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小。
（二）复习巩固1.如图所示在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c 三者之间的关系是，∠A+∠B= 。
特殊角的三角函数值-九年级数学下册尖子生同步培优题典解析版浙教版
2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.2特殊角的三角函数值姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•余杭区二模）若，则锐角 1sin 2α=(α=)A ．B ．C ．D ．30︒45︒50︒60︒【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解析】，1sin 2α= 锐角．30α=︒故选：．A2．（2020秋•兴化市期末）已知为锐角，且等于 αsin(10)α-︒=α()A ．B ．C ．D ．70︒60︒50︒30︒【分析】根据特殊角的三角函数值可得，进而可得的值．1060α-︒=︒α【解析】，sin(10)α-︒=，1060α∴-︒=︒．70α∴=︒故选：．A3．（2021•金州区一模）已知是锐角，且等于 A ∠sin A =A ∠()A ．B ．C ．D ．30︒45︒60︒75︒【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答．【解析】是锐角，，A ∠ sin A =．60A ∴∠=︒故选：．C4．（2021•，你猜想锐角的度数应是 20)1α+︒=α()A ．B ．C ．D ．40︒30︒20︒10︒【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【解析】，20)1α+︒=，tan(20)α∴+︒=为锐角，α ，．2030α∴+︒=︒10α=︒故选：．D 5．（2020秋•潍城区期中）计算的结果为 22sin 30cos 60︒+︒()A ．B ．C ．1D ．123214【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解析】222211sin 30cos 60((22︒+︒=+1144=+．12=故选：．A6．（2020•拱墅区校级模拟）在锐角中，，则 ABC ∆2(tan 2sin |0C B +-=(A ∠=)A ．B ．C ．D ．30︒45︒60︒75︒【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出，，进60C ∠=︒45B ∠=︒而得出答案．【解析】， 2(tan 2sin |0C B +-=，tan C ∴=sin B =，，60C ∴∠=︒45B ∠=︒．75A ∴∠=︒故选：．D7．（2019秋•乳山市期末）锐角满足，且的取值范围为 αsin α>tan α<α()A ．B ．C ．D ．3045α︒<<︒4560α︒<<︒6090α︒<<︒3060α︒<<︒【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数关系的增减性，得出答案．【解析】，且 sin α>tan α<．4560α∴︒<<︒故选：．B 8．（2020秋•鄞州区期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是 αβ045αβ︒<<<︒αβ()A ．B ．C ．D ．0sin α<<0tan 1β<<cos sin βα<sin cos βα<【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解析】，045αβ︒<<<︒、A 0sin α<<、，是真命题，不符合题意；B 0tan 1β<<、，是假命题，符合题意；C cos sin βα>、，是真命题，不符合题意；D sin cos βα<故选：．C 9．（2020•浙江自主招生）因为，，所以；由1cos602︒=1cos 2402︒=-cos 240cos(18060)cos60︒=︒+︒=-︒此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知： αcos(180)cos αα︒+=-cos 210(︒=)A ．B ．C ．D ．12-【分析】当为锐角时有．把代入计算即可．αcos(180)cos αα︒+=-210︒【解析】，cos(180)cos αα︒+=-．cos 210cos(18030)cos30∴︒=︒+︒=-︒=故选：．C 10．（2020•芗城区校级一模）按如图所示的运算程序，能使输出值为的是 y 12()A ．，B ．，C ．，D ．，60α=︒45β=︒30α=︒45β=︒30α=︒30β=︒45α=︒30β=︒【分析】根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断．【解析】、，，A 60α=︒45β=︒，则；αβ>sin y α==、，，B 30α=︒45β=︒，则αβ<cos y β==、，，C 30α=︒30β=︒，则；αβ=1sin 2y α==、，，D 45α=︒30β=︒，则；αβ>sin y α==故选：．C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•西湖区二模）的值等于 ．sin 30︒12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解析】．1sin 302︒=故答案为：．1212．（2020秋•长春期末）计算： 2 ．2tan 451︒+=【分析】把代入原式计算即可．tan 451︒=【解析】2tan 451︒+211+=11=+．2=故答案为2．13．（2020秋•杭州期末）已知，则锐角 45 度．tan 1A =A ∠=【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可得出答案．【解析】，tan 1A = 锐角．∴45A ∠=︒故答案为：45．14．（2021•薛城区模拟）中，若，则 105 度．ABC ∆2|sin cos )0A B +-=C ∠=【分析】根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再sin A cos B A ∠B ∠根据三角形的内角和是180度，求出的值．C ∠【解析】由题意知，sin 0A =cos 0B -=，sin A ∴=cos B =，．45A ∴∠=︒30B ∠=︒．105C ∴∠=︒15．（2020秋•莱州市期中）在中，若，则的形状是 等腰三角ABC ∆21|sin |(cos 02A B -+-=ABC ∆形 ．【分析】直接利用非负数的性质、特殊角的三角函数值进而得出，，即可得出答案．30A ∴∠=︒30B ∠=︒【解析】，21|sin |(cos 02A B -+=，，1sin 02A ∴-=cos 0B =，，1sin 2A ∴=cosB =，，30A ∴∠=︒30B ∠=︒的形状是等腰三角形．ABC ∴∆故答案为：等腰三角形．16．（2020秋•梁平区期末）比较大小： （用“”或“”或“”连接）2sin 60tan 45︒+︒>4cos60︒>=<．【分析】首先代入特殊角的三角函数值计算出和的值，再比较大小即可．2sin 60tan 45︒+︒4cos60︒【解析】，2sin 60tan 45211︒+︒=+=+，14cos60422︒=⨯=， 1>，∴12>，2sin 60tan 454cos60∴︒+︒>︒故答案为：．>17．（2020•婺城区校级开学）比较三角函数值的大小： ．（填入“”或者“” cos30︒>cos 45︒><)【分析】由锐角的余弦值随角度增大而减小求解．【解析】锐角的余弦值随角度增大而减小，且，3045︒<︒．cos30cos 45∴︒>︒故答案为：．>18．（2020秋•萧山区期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ①③④ ．（填序号）αβ①；22sin cos 1αα+=②；cos 22cos αα=③当时，；090αβ︒<<<︒0sin sin 1αβ<<<④．sin cos tan ααα=⋅【分析】在中，，、、对的边分别为、、，利用勾股定理得到Rt ABC ∆90C ∠=︒A ∠B ∠C ∠a b c ，设，根据三角函数的定义得到，，则222a b c +=A α∠=sin a c α=cos b c α=，从而可对①进行判断；由于，所以，则可222222222sin cos a b a b c c c αα++=+=tan a b α=cos tan sin a c ααα⋅=对④进行判断；利用反例对②进行判断；根据正弦函数为增函数对③进行判断．【解析】在中，，、、对的边分别为、、，则，Rt ABC ∆90C ∠=︒A ∠B ∠C ∠a b c 222a b c +=设，则，，A α∠=sin a c α=cos b c α=，所以①正确；222222222sin cos 1a b a b c c c αα+∴+=+==，tan a bα= ，cos tan b a a c b c αα∴⋅=⋅=，所以④正确；sin cos tan ααα∴=⋅若，则，②错误；30α=︒1cos 2cos602α=︒=2cos 2cos30α=︒=当时，，所以③正确；090αβ︒<<<︒0sin sin 1αβ<<<故答案为①③④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•龙游县期末）计算：．sin 30cos60tan 45tan 60︒+︒-︒⋅︒【分析】，，，1sin 302︒=1cos602︒=tan 451︒=tan 60︒=【解析】原式11122=+-．1=-20．（2020秋•越城区期末）计算．cos 452sin 30tan 60︒-︒+︒【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解析】原式122=-⨯+．1=+-21．（2021秋•岱岳区校级月考）计算：（1）；2sin 60tan 30cos30tan 45︒-︒⋅︒+︒（2）．22sin 66cos 66tan 27tan 63︒+︒-︒⋅︒【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值，代入计算即可；（2）由，，即可求出答案．22sin 66cos 661︒+︒=tan 27tan 631︒⋅︒=【解析】（1）原式21=+31142=-+；54=（2），，22sin 66cos 661︒+︒= tan 27tan 631︒⋅︒=原式．∴110=-=22．（2020秋•平果市期末）若为锐角）．sin(15)αα-︒=（1）求的值；α（2）计算：．22sin cos αα+【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值得出相应的锐角的度数，进而求出的值，α（2）根据（1）所得到的记录即可得出正确答案．【解析】（1），为锐角，sin(15)α-︒α1545α∴-︒=︒；60α∴=︒（2）22sin cos αα+22(sin 60)(cos60)=︒+︒．221(12=+=23．（2020秋•肇州县期末）计算：（1）一；2sin 30︒3tan 45sin 454cos60︒⋅︒+︒（2）．sin 45cos 45sin 60cos30tan 60︒+︒⋅︒︒-︒【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减混合运算法则计算；（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算．【解析】（1）一2sin 30︒3tan 45sin 454cos60︒⋅︒+︒11231422=⨯-⨯+⨯12=；3=（2）sin 45cos 45sin 60cos30tan 60︒+︒⋅︒︒-︒=+=+=+．=24．（2019•铜仁地区）如图，定义：在直角三角形中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，ABC αα记作，即，根据上述角的余切定义，解下列问题：tan c αAC ctan BCααα==角的邻边角的对边（1）tan 30c ︒=（2）如图，已知，其中为锐角，试求的值．3tan 4A =A ∠tan c A【分析】（1）根据直角三角形的性质用表示出及的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即AC AB AC 可；（2）由于，所以可设，，则，再根据锐角三角函数的定义进行解答即3tan 4A =3BC x =4AC x =5AB x =可．【解析】（1）中，，Rt ABC ∆ 30α=︒，12BC AB ∴=，AC AB ∴===tan 30AC c BC ∴︒==；（2），3tan 4A = 设，，∴3BC x =4AC x =．44tan 33AC x c A BC x ∴===。
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28.1.3 特殊角的三角函数值
基础训练
一、单选题：
1）
A．cos30︒B．tan30︒C．cos45︒D．sin30︒
2．已知()
tan90α
︒-α的度数是（）
A．60°B．45°C．30°D．75°
3．在ABC中，90
C
∠=︒，若
1
sin
2
A=，则cos B的值为（）
A．1
2
B C．2D 【答案】A
4．下列各式中不成立的是（ ）
A ．22sin 60sin 301︒+︒=
B ．tan 45tan30︒>︒
C ．tan45sin45>︒︒
D ．sin30cos301︒+︒=
5．若2(tan 1)|2cos 0A B -+=，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
6．式子2cos30tan45
︒-︒的值是（）
A．0B．C．2D．2-
7．若菱形的周长为2，则菱形两邻角的度数比为（）
A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1
菱形的周长为
AB CD
//
C
∴∠=
135
∴∠∠
C B
:
故选：D．
二、填空题：
8．已知α是锐角，tan0
α-=，则α＝______；cosα=______．
##0.5
【答案】60°##60度1
2
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin ABC
∠＝____．##0.5
【答案】1
2
【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得sin ABC ∠的
10．已知()2sin 453α+=α=________．
15
)
453=)3452=【详解】解：()2sin 453α+=)3452
=， 4560=，
15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．
11．计算：()22cos 60sin 45︒+︒︒=___________．
【答案】34
##0.75 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，即可求解．
12．0111()()
23--+|tan45°＝_____．
13．在ABC 中，若()2sin tan 10A B -= ，则C ∠的度数为__________ 【答案】75︒##75度
∠的正切值是______．14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB
三、解答题：
15．计算：
(1)()012260cos60-+-π︒-︒；
(2))021sin 4520226tan302︒+︒．
16．先化简，再求值：22231393a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭
，其中2sin603tan 45a =︒+︒.
17．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，
G 是弧AC 上一动点且不与点A ，C 重合，AG DC ，
的延长线交于点F ，连结BC ．CD =2BE =．
(1)求半径长．
(2)求扇形DOC 的面积． 设O 的半径为Rt OEC 中，32
COE ∠=
60COE =︒，再由垂径定理可得扇形的面积公式求解即可．
）解：如图，连接OC ．设O 的半径为R ．
Rt OEC 中，22OC OE =＋()222R =-。