高二数学必修三教案：《线性规划》
线性规划教案
线性规划教案【教案名称】：线性规划教案【教学目标】：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划模型的建立方法；3. 理解线性规划的求解过程和最优解的意义；4. 能够运用线性规划方法解决实际问题。
【教学内容】：一、线性规划的基本概念1. 线性规划的定义及其应用领域；2. 线性规划模型的一般形式；3. 线性规划问题的基本假设。
二、线性规划模型的建立方法1. 确定决策变量和目标函数；2. 制定约束条件；3. 构建线性规划模型。
三、线性规划的求解过程1. 图解法求解线性规划问题；2. 单纯形法求解线性规划问题；3. 整数规划问题的求解方法。
四、线性规划的最优解及其意义1. 最优解的定义和判定条件；2. 最优解的意义和应用。
五、线性规划的实际应用1. 生产计划问题的线性规划建模；2. 运输问题的线性规划建模；3. 投资组合问题的线性规划建模。
【教学步骤】：一、导入环节1. 引入线性规划的应用背景，激发学生的学习兴趣；2. 提出线性规划的重要性和实际应用价值。
二、理论讲解1. 介绍线性规划的基本概念和应用领域；2. 详细解释线性规划模型的建立方法；3. 分步讲解线性规划的求解过程和最优解的意义；4. 给出线性规划实际应用的案例分析。
三、案例分析1. 选择一个生产计划问题的案例，引导学生进行线性规划建模；2. 使用图解法和单纯形法求解该案例，并比较两种方法的优缺点；3. 分析最优解的意义和对决策的指导作用。
四、练习与讨论1. 提供多个线性规划问题的练习题，让学生进行解答；2. 小组讨论解题思路和方法，分享解题经验；3. 教师进行答疑和点评，引导学生深入理解线性规划的应用。
五、拓展延伸1. 引导学生思考线性规划在其他领域的应用，如金融、物流等；2. 鼓励学生自主学习相关拓展知识，深化对线性规划的理解。
【教学手段】：1. 板书：重点概念、公式和解题步骤；2. 多媒体演示：案例分析、图解法和单纯形法的示意图；3. 小组讨论：解题思路和方法的交流与分享；4. 练习题：巩固学生的解题能力和应用能力。
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种优化方法，用于在给定的约束条件下寻觅一个线性目标函数的最优解。
在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，它可以匡助我们解决一些实际问题，例如资源分配、生产计划等。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是我们要优化的线性函数，通常表示为最大化或者最小化某个变量。
约束条件是限制目标函数变量的取值范围的条件，可以是等式或者不等式。
可行解是满足所有约束条件的解。
二、线性规划的数学模型线性规划可以通过数学模型来表示。
设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ...,gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)为线性函数，g1(x1, x2, ..., xn)≤b1,g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm为线性不等式。
三、线性规划的求解方法线性规划可以使用图形法、单纯形法等方法进行求解。
其中，图形法适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解。
而单纯形法适合于多维问题，通过构造初始单纯形表，不断迭代求解，找到最优解。
四、线性规划的应用举例1.资源分配问题：某工厂生产两种产品A和B，每天可用的资源有限，产品A和B的生产所需资源不同，且每种产品的利润也不同。
如何合理分配资源，使得利润最大化？2.生产计划问题：某工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间、所需资源和利润不同。
如何安排生产计划，使得产量最大化同时资源利用率最高？3.投资组合问题：某投资者有多种投资标的可选，每种标的的收益率、风险和投资额不同。
如何合理选择投资标的，使得收益最大化同时风险最小化？五、线性规划的局限性线性规划方法在解决一些实际问题时可能存在一些局限性。
高二数学教案：简单的线性规划
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解．。
高二数学课件：《简单的线性规划》
高二数学课件：《简单的线性规划》机遇如风，才智似帆，勤奋为桨，现实是水，欲一帆风顺，须据此努力。
学生掌握寻找整点解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握数形结合的数学思想，尽管侧重于用数研究形，但同时也用形去研究数，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.【课件二】教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的值和最小值.我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上.作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足.即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解.。
线性规划教案
线性规划教案一、教案概述本教案旨在介绍线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，帮助学生掌握线性规划的基本理论和应用技巧。
通过理论讲解、示例分析和实践操作等多种教学方法，使学生能够灵活运用线性规划方法解决实际问题。
二、教学目标1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划模型的建立方法；3. 学会使用单纯形法和对偶理论求解线性规划问题；4. 能够应用线性规划解决实际问题。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和特点1.2 线性规划的基本术语和符号1.3 线性规划的应用领域2. 线性规划模型的建立方法2.1 目标函数的建立2.2 约束条件的建立2.3 决策变量的定义3. 单纯形法的基本原理和步骤3.1 单纯形表格的构建3.2 单纯形法的迭代计算过程3.3 单纯形法的终止条件和解的判定4. 对偶理论及其应用4.1 对偶问题的建立4.2 对偶问题与原始问题的关系4.3 对偶理论在线性规划中的应用5. 实际问题的线性规划求解5.1 生产计划问题的线性规划求解5.2 运输问题的线性规划求解5.3 投资组合问题的线性规划求解四、教学方法1. 理论讲解：通过教师讲解线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，让学生对线性规划有全面的认识。
2. 示例分析：通过具体的实例分析，引导学生理解线性规划模型的建立过程和解题思路。
3. 实践操作：提供一些实际问题，让学生运用线性规划方法进行求解，并对结果进行分析和讨论。
4. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和经验，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检验学生对线性规划的理解和应用能力。
2. 作业布置：布置一些课后作业，要求学生独立完成线性规划问题的求解，检验学生的独立思考和解决问题的能力。
3. 实践项目：组织学生参与一些实际项目，运用线性规划方法解决实际问题，并进行报告和评估。
六、教学资源1. 教材：《线性规划教程》2. 多媒体教学课件：包括线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧的讲解和示例分析。
线性规划教案
一、教案概述
本教案旨在介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法，以及在实际问题中的应用。通过本教案的学习，学生将能够理解线性规划的基本原理，掌握线性规划模型的建立和求解技巧，以及应用线性规划解决实际问题的能力。
二、教学目标
1.理解线性规划的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
3.练习与讨论：设计一定数量的练习题，让学生进行实践操作和讨论，巩固所学知识。
五、教学评估与反馈
1.课堂练习：布置一些练习题，检验学生对线性规划的理解和应用能力。
2.作业评估：布置一道综合性的作业题，考察学生对线性规划的综合应用能力。
3.学生反馈：鼓励学生提出问题和意见，及时调整教学方法和内容。
六、教学资源
2.掌握线性规划模型的建立方法，能够将实际问题转化为线性规划模型。
3.学会使用单纯形法和对偶理论等方法求解线性规划问题。
4.能够应用线性规划解决实际问题，如生产计划、资源分配等。
三、教学内容与流程
1.线性规划的基本概念
a.介绍线性规划的定义和基本特点。
b.解释线性规划中的决策变量、目标函数和约束条件的含义。
1.教材：线性规划教材，包括基本概念、模型建立和求解方法的介绍。
2.课件：线性规划的PPT讲义，包括概念解释、例题演示和应用实例等。
3.练习题：线性规划的练习题集，包括基础练习和综合应用题。
七、教学反思
本教案通过清晰的教学目标、详细的教学内容和流程，以及多种教学方法和手段，旨在匡助学生全面理解线性规划的基本概念和求解方法，提高应用线性规划解决实际问题的能力。教学过程中，应注重引导学生思量和讨论，激发学生的学习兴趣和动力。同时，及时进行评估和反馈，以便及时调整教学策略，提高教学效果。
高中线性规划
高中线性规划一、概述线性规划是运筹学中的一种优化方法，通过建立数学模型，解决最大化或最小化目标函数的问题。
在高中数学中，线性规划是一种重要的内容，旨在培养学生的数学建模和解决实际问题的能力。
本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解题步骤和应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来寻找最优解。
目标函数通常是一个线性函数，可以表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列约束条件，通常表示为一组线性不等式或等式。
约束条件可以用不等式组的形式表示，如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，也可以用等式组的形式表示，如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b。
3. 变量：线性规划中的变量表示问题中需要求解的未知数，通常用x₁、x₂、...、xₙ表示。
三、解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数和约束条件，并将其转化为数学模型。
2. 确定可行域：将约束条件表示为几何图形，确定可行域，即满足所有约束条件的解集合。
3. 确定最优解：在可行域内，确定目标函数的最大值或最小值。
可以使用图形法、代入法或单纯形法等方法求解。
4. 检验最优解：将最优解代入原问题，验证是否满足所有约束条件。
四、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为5元，每单位产品B 的利润为8元。
公司的生产能力限制为每天生产A产品不超过1000个，B产品不超过800个。
另外，公司的销售部门预计每天销售A产品最多900个，B产品最多700个。
问如何安排生产，使得利润最大化？解题步骤如下：1. 建立数学模型：设x₁为生产的A产品数量，x₂为生产的B产品数量。
目标函数：z = 5x₁ + 8x₂（最大化利润）约束条件：- 生产能力限制：x₁ ≤ 1000，x₂ ≤ 800- 销售限制：x₁ ≤ 900，x₂ ≤ 700- 非负约束：x₁ ≥ 0，x₂ ≥ 02. 确定可行域：根据约束条件，绘制出可行域的图形。
线性规划教案
线性规划教案一、教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划的数学模型的建立方法；3. 学会使用线性规划的求解方法解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容：1. 线性规划的概念和基本特点；2. 线性规划的数学模型的建立方法；3. 线性规划的图形解法；4. 线性规划的单纯形法求解；5. 线性规划的灵敏度分析。
三、教学重点：1. 线性规划的数学模型的建立方法；2. 线性规划的单纯形法求解。
四、教学难点：1. 线性规划的单纯形法求解；2. 线性规划的灵敏度分析。
五、教学方法：1. 讲授法：通过教师的讲解，介绍线性规划的概念、基本特点和数学模型的建立方法；2. 实例分析法：通过实际问题的分析和解决过程，引导学生掌握线性规划的图形解法和单纯形法求解；3. 讨论法：组织学生进行小组讨论，共同解决线性规划相关问题，培养学生的合作能力和问题解决能力。
六、教学过程：1. 导入（5分钟）介绍线性规划的概念和应用领域，引发学生对线性规划的兴趣。
2. 知识讲解（30分钟）a. 线性规划的基本概念和基本特点；b. 线性规划数学模型的建立方法；c. 线性规划的图形解法；d. 线性规划的单纯形法求解；e. 线性规划的灵敏度分析。
3. 实例分析（40分钟）a. 通过一个实际问题，引导学生使用线性规划的图形解法求解；b. 通过另一个实际问题，引导学生使用线性规划的单纯形法求解。
4. 小组讨论（30分钟）将学生分成小组，每个小组根据自己选择的实际问题，进行线性规划的数学模型的建立和求解，并进行结果分析和讨论。
5. 总结归纳（10分钟）教师对本节课的内容进行总结归纳，强调线性规划的重要性和应用价值。
七、教学资源：1. 教材：线性规划相关章节；2. 实例问题：教师准备多个实际问题供学生分析和解决；3. 计算工具：计算器、电脑等。
八、教学评估：1. 课堂练习：通过课堂上的实例分析和小组讨论，检查学生对线性规划的数学模型的建立和求解方法的掌握情况；2. 作业：布置相关练习题，检查学生对线性规划的图形解法、单纯形法求解和灵敏度分析的理解和应用能力。
线性规划教案
线性规划教案一、引言线性规划是运筹学中的重要分支，它通过建立数学模型，解决实际问题中的最优化问题。
本教案旨在帮助学生理解线性规划的基本概念、模型建立和求解方法，以及应用于实际问题的能力。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
2. 掌握线性规划模型的建立方法，能够将实际问题转化为线性规划模型。
3. 熟悉线性规划的求解方法，包括图形法、单纯形法等。
4. 能够应用线性规划解决实际问题，如生产计划、资源分配等。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念线性规划是一种数学优化方法，其基本概念包括：- 决策变量：表示需要决策的量，通常用x1、x2、...、xn表示。
- 目标函数：表示需要最大化或最小化的目标，通常用Z表示。
- 约束条件：表示问题的限制条件，通常以不等式或等式形式给出。
2. 线性规划模型的建立方法线性规划模型的建立方法包括以下步骤：- 确定决策变量：根据实际问题确定需要决策的变量。
- 建立目标函数：根据问题要求确定需要最大化或最小化的目标函数。
- 确定约束条件：根据问题给出的限制条件，建立约束条件。
- 确定变量的取值范围：根据实际问题确定变量的取值范围。
3. 线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，常用的有图形法和单纯形法。
- 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到最优解。
- 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
4. 线性规划的应用线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等实际情境中。
通过将实际问题转化为线性规划模型，可以帮助决策者做出最优决策。
五、教学方法本教案采用讲授与实践相结合的教学方法，包括讲解线性规划的基本概念、示范建立线性规划模型的方法，以及引导学生进行实际问题的求解练习。
六、教学步骤1. 引入线性规划的概念，介绍线性规划的应用领域和重要性。
2. 讲解线性规划的基本概念，包括决策变量、目标函数、约束条件等。
简单的线性规划高二数学 教案
江西省南昌大学附属中学简单的线性规划高二数学胡凌云一、教材在本章节中的地位及作用1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性．2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答．2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．三、教学重点与难点1．教学重点：建立线性规划模型2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．教学手段新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况．3．学生课前准备坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔五、教学过程设计教学流程图(一)创设情境，新课导入(教师活动)通过多媒体创设情境(学生活动) 思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答．引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资金购买单价分别为6元的笔筒和7元的文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法．(二)例题示范，形成技能(教师活动)电脑打出例题，并作分析．(学生活动)思考、并根据分析，尝试解答．例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？[分析]本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务 （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）① 确定变量及目标函数：第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板数为z 张，则z =x+y ② 分析约束条件；③ 建立线性规划模型；设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，由题中表格得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x试求满足上述约束条件的x, y ，且使目标函数z ＝x+y 取得最小值(其中x, y 均为正整数)．因此把实际问题转化为线性规划问题.（求解）④ 运用图解法求出最优解；用多媒体教学, 着重分析如何寻找最优解是整数解.⑤ 回答实际问题的解．解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x z=x+y ，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线l : x+y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，且与原点距离最近，此时z=x+y 取最小值.解方程组215327x y x y +=⎧⎨+=⎩,,得交点A 的坐标（183955,），由于185和395都不是整数，所以可行域内的点(183955, )不是最优解.将直线l 1向可行域内平移，最先到达的整点为B(3,9)和C(4,8)它们是最优解，此时z 取得最小值12. 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.[说明]这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线l ，找出整点最优解．此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确．设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是例1的难点．为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态演示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹，从而大大优化了课堂结构．例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过360 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？[分析] 本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大． （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表：产品消耗量 资源 甲产品（1t ）乙产品（1t ）资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石（t ） 5 4 200 煤（t ） 4 9 360 利润（元）6001000(建模)(1)确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为x t, y t, 利润总额为z 元，则用x ，y 如何表示z ？(2)分析约束条件：z 值随甲、乙两种产品的产量x ，y 变化而变化，但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素? (3)建立线性规划模型：已知变量x,y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 求x, y 取何值时，目标函数z ＝600x +1000y 取得最大值，（求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 目标函数为：z=600x+1000y . 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线l :600x+1000y=0, 即直线l :3x+5y=0,把直线向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x =36029≈12.3y=100029≈34.5答：应生产甲产品约12.3 t ，乙产品约34.5 t ，能使利润总额达到最大[说明]对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值．按四舍五入取值即x =12.4,y =34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y 不在可行域内．可以验证点（12.4,34.4）和(12.3,34.5)在可行域内，但当x =12.4,y =34.4时，z =41840；当x =12.3,y =34.5时，z =41880，因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M 点“较远”，但必须离l 1距离最小．本例要求精确到0.1 t ，只需把坐标平面以0.1 单位网格化，在格点上找到离l 1距离最小的点，就是符合题意的最优解．设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决．用多媒体展示最优解的近似值．引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：(三)学生互动巩固提高(教师活动)电脑打出练习、要求学生独立解答．巡视学生解答情况，纠正错误．(学生活动)用坐标纸作图、解答．某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益?（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大收益．）（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评）设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用．(四)概括提炼，总结升华(引导学生从知识和思想方法两方面进行总结)1．本节课你学了哪些知识？2．本节课渗透了什么数学思想方法？(五)布置作业，探究延续1．课本作业：P65，习题7．4第3，5题．2．选做题：P88，第16题3．拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以便及时矫正．(六)板书设计（略）(七)教学设计说明1．本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想.2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．3．对于应用问题而言，学生遇到的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，故将本节课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在同学们面前．以利于他们理解；分析完题意后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法． 4．本节课的设计，力图让学生在教师的指导下，从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高．。
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人的一生，总是在追求自由的一生，青春的激情会随着岁月的风蚀而消逝殆尽。
下面为您推荐高二数学必修三教案：《线性规划》。
教学目标
（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及解等基本概念；
（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
（5）结合教学内容，培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学建议
一、知识结构
教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.
二、重点、难点分析
本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.
对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：
（1）二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）.其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.
（2）二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.
对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出解作为突破这个难点的关键.
对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的
本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点解的方法.
教法建议
（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较生疏的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进
不感到忽然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念
（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证实、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识把握较好，
完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.
（3）要举几个典型例题，非凡是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.
（4）建议通过本节教学着重培养学生把握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.
（5）对作业、思考题、研究性题的建议：作业主要练习学生规范的解题步骤和作图能力；思考题主要供学有余力的学生课后完成；研究性题综合性较大，主
要用于拓宽学生的思维.
（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解四
周寻找.
假如可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.
（7）在线性规划的实际问题中，主要把握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.线性规划教学设计方案（一）
教学目标
使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.
重点难点
了解二元一次不等式表示平面区域.
教学过程
引入新课
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
二元一次不等式表示的平面区域
1.先分析一个具体的例子
我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（-1，-1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域.
由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点
成立，下面我们证实这个事实.
在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴
于是
所以
因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，
都成立
同理，对于直线左下方的任意点，
都成立
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.
是直线右上方的平面区域（如图）
类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合
是直线左下方的平面区域.
2.二元一次不等式和表示平面域.
（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.
（2）判定方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点，以的正负情
况便可判定表示这一直线哪一侧的平面区域，非凡地，当时，常把原点作为此
非凡点.
应用举例
例1 画出不等式表示的平面区域
解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，
∴ ∴ 原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影
部分.
例2 画出不等式组
表示的平面区域
分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，
因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平
面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.总结提炼
1.二元一次不等式表示的平面区域.
2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.
3.二元一次不等式组表示的平面区域.
布置作业
1.不等式表示的区域在的（）.
A.右上方
B.右下方
C.左上方
D.左下方
2.不等式表示的平面区域是（）.
3.不等式组表示的平面区域是（）.
4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.
5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 .
6.画出表示的区域.
答案：
1.B
2.D
3.B
4.
5.（-1，-1）。