考研高数讲解新高等数学上册辅导讲解第一章上课资料

第一章函数与极限第 1 页第一节映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。

三、函数性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性有界：假设，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，那么称在区间上无界上界、下界：假设，使得，，称在区间上有上界；假设，使得，，称在区间上有下界定理：假设在区间上有界在区间上有上界也有下界。

2、单调性严格单调增〔减〕：假设，且，恒有广义单调增〔减〕：假设，恒有，3、奇偶性偶函数：奇函数：常见奇函数：等常见偶函数：等4、周期性周期函数：，对，有，且，那么称为周期为周期函数。

常见周期函数：等【例1】〔87二〕是〔〕（A）有界函数. 〔B〕单调函数.〔C〕周期函数. 〔D〕偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设定义域为，定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。

【例2】〔88一二〕，且，求并写出它定义域.2、反函数将函数称为直接函数，函数称为反函数。

与图形关于直线对称。

五、初等函数第二节数列与函数极限一、数列极限定义数列：，，称为整标函数。

其函数值：叫做数列〔序列〕。

数列每一个数称为项，第项称为数列一般项。

简记数列为数列极限：已给数列与常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，那么称当时，以为极限，或收敛于，记为或。

反之，假设无极限，说发散。

二、函数极限定义〔1〕：设函数在内有定义，为一常数，假设对于，都，使有，那么称当时，以为极限，记为或。

单侧极限：左极限：。

右极限：定理：〔2〕：设函数在充分大时有定义，为一常数，假设对于，都，使都有，那么称当时，以为极限，记为或。

单侧极限：；定理：【例1】设〔为常数〕，求值，使得存在。

三、极限性质性质1 〔极限唯一性〕数列——假设存在，那么极限值是唯一。

函数——假设存在，那么其极限值是唯一。

性质2 〔有界性〕数列——如果收敛，那么一定有界。

〔全局有界性〕注：有界数列不一定收敛。

函数——如果，那么存在常数与，使得当时，有。

〔函数极限局部有界性〕性质3 〔保号性〕数列——，，那么，当时，都有。

推论：如果数列从某一项起，且，那么注：结论中“〞中等号不能去掉．．．．。

．．中等号可以去掉．．．．，前提函数——假设，且，那么必存在，使得，都有。

推论：设，且在内，那么注：结论中“〞中等号不能去掉．．．．。

．．中等号可以去掉．．．．，前提【例2】设在点某邻域内有定义，且，那么必存在某邻域，使得〔〕(A) (B)(C) (D)不能判断大小性质4 〔数列与子列关系〕假设，那么它任一子数列也收敛，且极限也为。

注：假设两个子数列极限不相等，那么该数列发散。

性质5 〔数列极限与函数极限〕存在存在且为同一值〔〕反之：假设，而，那么不存在。

第三节无穷小与无穷大一、无穷小〔量〕假设，那么称当时，是无穷小〔量〕。

注：无穷小量是一个变化中过程量，它趋向于零，但不一定等于0。

函数极限与无穷小关系定理〔为一常数〕，且二、无穷大〔量〕如果当时，对应函数值绝对值无限增大，那么称当时，是无穷大〔量〕。

或：假设对〔无论多么大〕，总，，有，那么称当时，是无穷大〔量〕，记为。

注：说明极限不存在，说明为无穷大量；无穷大量是一个变化中过程量，是一个持续变化量；无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定为无穷大。

【例1】〔87二〕函数〔〕（A）当时为无穷大.〔B〕在内有界.〔C〕在内无界〔D〕当时有有限极限.【答案】〔C〕【例2】〔91三〕设数列通项为：那么当，是〔〕（A）无穷大量. 〔B〕无穷小量.〔C〕有界变量. 〔D〕无界变量.【答案】〔D〕二、无穷小与无穷大关系定理：【例3】〔90二〕，其中是常数，那么〔A〕. 〔B〕.〔C〕. 〔D〕.【答案】〔C〕三、无穷小性质〔1〕有限个无穷小代数与仍是无穷小。

〔2〕有界函数与无穷小乘积仍是无穷小注：常数与无穷小乘积仍是无穷小两个无穷小乘积仍是无穷小；有限个无穷小乘积仍是无穷小。

【例4】〔07数二〕【答案】0第四节极限运算法那么一、极限四那么运算公式以下公式中，自变量是同一变化趋势。

设，，那么有〔1〕〔2〕假设是常数，那么〔3〕假设，〔4〕设，而，，那么必有。

【例1】〔92一二〕当时，函数极限（A）等于2 〔B〕等于0〔C〕为〔D〕不存在但不为【答案】〔D〕【例2】求以下极限并总结规律〔1〕〔2〕〔3〕【答案】〔1〕2；〔2〕；〔3〕0总结：【例3】设，，，那么以下命题中不正确是〔〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】〔B〕【例4】设，不，不，那么以下结论正确是〔〕（A）不〔B〕不〔C〕不〔D〕不【答案】〔D〕3、复合函数极限运算法那么定理〔复合函数极限运算法那么〕假设，，且存在，当时，有，那么第五节极限存在准那么两个重要极限一、准那么一夹挤准那么1、假设数列，及满足以下条件：①，当时，有成立那么存在，且。

2、假设函数，及满足以下条件：①在内，有成立那么存在，且。

3、假设函数，及满足以下条件：①在内有成立那么存在，且。

【例1】〔95二〕【例2】设，都有，求，。

【答案】；二、准那么二单调有界准那么为单调增数列：为单调减数列：极限存在单调有界准那么：假设单调数列是有界，那么存在。

【例3】〔96一〕设，，试证数列极限存在，并求此极限.三、重要极限重要极限一：重要极限二：；利用重要极限求极限：【例4】求极限【例5】〔89二〕 .【例6】〔91三〕以下各式中正确是〔〕〔A〕. 〔B〕.〔C〕. 〔D〕.【例7】〔90一〕设为非零常数，那么 .【例8】〔92二〕求.【例9】〔95一〕 .第六节无穷小比拟一、无穷小比拟定义设，是两个无穷小〔都是同一个自变量在同一变化过程中无穷小量，且与之比也是同一个自变量，同一变化过程中极限〕：如果，就说是比高阶无穷小，记为如果，就说是比低阶无穷小；如果，就说与是同阶无穷小；如果，就说与是等价无穷小；如果，就说是阶无穷小。

二、等价无穷小替换定理设，，且存在，那么存在，且。

常用重要等价无穷小：当时，，，，，，，，注；1、等价无穷小替换定理是等价无穷小因子替换定理，只有因子可以替换，只有在乘除法中因子才可以替换。

2、等价无穷小与变量替换结合〔□～□,当□时〕【例1】〔91一〕当时，与是等价无穷小，那么常数 .【例2】〔92三〕当时，以下四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶无穷小量？（A）. 〔B〕.〔C〕. 〔D〕.【例3】〔95二〕求.【例4】〔89三〕设，那么当时，（A）是等价无穷小.〔B〕与是同阶但非等价无穷小.〔C〕是比更高阶无穷小.〔D〕是比拟低阶无穷小.【例5】〔91一〕求.【例6】求.【例7】〔91三〕求极限.第七节函数连续性与连续点一、函数连续性定义在处连续：，其中，假设在内每一点处都连续，那么称在内连续，记为，称为连续区间。

单侧连续：假设，那么称在点左连续；假设，那么称在点右连续。

【例1】判定在处连续性．【例2】〔88二〕设在内连续，那么 .【例3】〔94二〕假设在上连续，那么 .二、函数连续点连续点：假设函数在点不连续，那么称为连续点。

连续点分类：为第一类连续点：假设，都存在假设，那么为跳跃连续点假设，那么为可去连续点【例】，为可去连续点；，为跳跃连续点；第二类连续点：假设，中至少有一个不存在，那么为函数第二类连续点具体分为：无穷连续点；震荡连续点【例】，，所以是第二类连续点，不存在，所以是第二类连续点【例4】设，那么[ ]（A）在点连续，在点连续〔B〕在点连续，在点连续〔C〕在点，都连续〔D〕在点，都连续【例5】设，讨论函数连续性。

【例6】〔92三〕设函数，问函数在处是否连续？假设不连续，修改函数在处定义，使之连续.第八节连续函数运算、初等函数连续性及闭区间上连续函数性质一、初等函数连续性①一切根本初等函数在其有定义点都连续。

②假设函数与在点连续，那么函数、及在点连续。

③假设函数在点处连续，设，而函数在点处连续，那么复合函数：在点处连续。

结论：初等函数在其定义域内都是连续。

由于函数在其连续点满足：，那么初等函数在其有定义点处求极限问题就转化为：求这一点函数值。

也就是：求极限代入求值。

【例】；二、闭区间上连续函数性质定理1〔最值与有界性定理〕设函数在闭区间上连续，那么在该区间必有最大值与最小值且有界。

几何意义：一段连续曲线必有最高点与最低点，相应地有最大值与最小值。

定理2〔介值定理〕设函数在闭区间上连续，那么对介于与之间任何值，在开区间内至少存在一点，使。

几何意义是：连续曲线与水平直线至少相交于一点。

定理3〔零点定理〕假设与异号〔即〕，那么连续曲线与轴至少有一个交点，亦即方程在区间内至少有一个实根〔也就是至少有一个零点〕。

【例1】证明在区间内至少有一个根。

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