概率论与数理统计习题及答案第四章

习题4-1

1. 设随机变量X

求()E X ；E (2－3 X );

2()E X ；2(35)E X +.

解 由定义和数学期望的性质知

2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为

,0,()0,

0.x

e x

f x x -?>?=???≤

求X

e Z X Y 22-==和的数学期望.

解

()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞

-====?e d ,

220

1

()()3

X

x x E Z E e

e e dx ∞

---==?=

?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第

55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]

上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为

1

,060,()600,

.x f x =?????≤≤其它

记Y 为游客等候电梯的时间,则

5,05,25,525,()55,2555,65,

5560.

X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-

?

???≤≤≤≤

因此,

600

1()[()]()()()60

E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞

===

?

?

()

5255560

5

25

55

1(5)(25)(55)(65)60

x dx x dx x dx x dx =

-+-+-+-??

??

=11.67(分钟)..

14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？

解 设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量

???=.

A ,0,A 1不发生事件发生事件，X

则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值

1,,0.c a X Y c X -=?=?=?

，

于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-?=+?==-+. 据题意有10%ap c a -+=?, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.

习题4-2

1. 选择题

(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)](

)E X

-=.

(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解

22[3(2)]3(44)E X E X X -=-+

23[()4()4]E X E X =-+

23{()[()]4()4}D X E X E X =+-+ 3(3144)36=?+++=.

可见，应选(D).

(2) 设

~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).

(A)

10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.

解 因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之,

n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).

(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2

(,)N μσ

, 则有( ).

(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.

(C)

()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.

解 注意到0)()()(=-=-Y E X E Y X E .由于X 与Y 相互独立,所以

22)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).

(4) 在下列结论中, 错误的是( ).

(A) 若

~(,),().X B n p E X np =则

(B) 若()

~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =.

(D) 若

2~(,),X N μσ 则

~(0,1)X N μ

σ

-.

解

)1,1(~-U X , 则3

1

12212)()(22==-=

a b X D . 选(B). 2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 由数学期望和方差的性质有

E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,

(32)9()4()D X Y D X D Y -=+

})]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -?+-?=

13)45(4)45(9=-?+-?=.

3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布,

22~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .

解 由题设知

2

1122(60)()3,()3,()0,()4,

E X D X E X D X -==

===由期望的性质可得

123

123()(23)()2()3()

1

3203 4.

3

E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-?+?

=

又123,,X X X 相互独立, 所以

123123()(23)()4()9()

1344920.

9

D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+?+?

=

4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为

12

的正态分布, 求

||X Y -的的期望和方差.

解 记U X Y =-. 由于11

~(0,),~(0,)22

X N Y N , 所以

()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.

由此~(0,1)U N . 进而

222

222

0 (||)(||)||

x x x

E X Y E U x dx xe dx e

+∞

---

+∞+∞

-∞

-====

?

2222

(||)()()[()]101

E U E U D U E U

==+=+=.

故而

2

22

2 (||)(||)(||)[(||)]11

D X Y D U

E U E U

π-==-=-=-.

5. 设随机变量]2,1

[

~-

U

X, 随机变量

?

?

?

?

?

<

-

=

>

=

.0

,1

,0

,0

,0

,1

X

X

X

Y

求期望()

E Y和方差)

(Y

D.

解因为X的概率密度为

1

,12,

()3

0,.

X

x

f x

-

=

?

?

?

??

≤≤

其它

于是Y的分布率为

00

--1

1

{1}{0}

3

1

()d d

3

X

P Y P X f x x x

∞

=-=<==

=

??,

{0}{0}0

P Y P X

====,

+2

00

2

{1}{0}

3

1

()d d

3

X

P Y P X f x x x

∞

==>==

=

??.

因此

121

()1001

333

E Y=-?+?+?=,

2222

12

()(1)0011

33

E Y=-?+?+?=.

故有22

18

()()[()]1

99

D Y

E Y E Y

=-=-=.

6. 设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

1,1,

1, 1.

U

X

U

--

=

>-

?

?

?

若≤

若

1,1,

1, 1.

U

Y

U

-

=

>

?

?

?

若≤

若

求E(X+Y), D(X+Y).

解(1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).

{1,1}{P X Y P U =-=-=≤1,U -≤-1

-2

11}{1}4

1d 4P U x =-=

=??

≤, {1,1}{P X Y P U =-==≤1,U -1}0>=, {1,1}{1P X Y P U ==-=>-,U ≤1

111}2

1d 4x -=

=??, 211

{1,1}{1,1}4

1d 4P X Y P U U x ===>->==??.

于是得X 和Y 的联合密度分布为

(2) Y X +和)(Y X +的概率分布分别为

由此可见

22()044

E X Y +=-+=;2

()[()]2D X Y E X Y +=+=.

习题4-3

1. 选择题

(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件

(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.

解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).

(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).

(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.

解 对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).

(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).

(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.

(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.

(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解 仅仅由(X , Y )的边缘分布不能完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)

2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .

解

(32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-

)()(126449Y D X D XY ??-?+?=ρ

727.24626.0122436≈???-+=.

3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22

()()2E X E Y ==,

求2[()]E X

Y +.

解

222[()]()2()()

42[Cov(,)()()]

E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++

42420.526.

ρ=+=+??=

4. 设随机变量(X , Y )

若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由

∑∑∞=∞

==11

1i j ij

p

得4.0=+b a . 其次由

0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==??+??+??+??=+ 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律

于是 , . 故 C o v (,)()()()0.8 1.40.X Y E X Y E X E Y =-=-?=.

5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)

X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ), 协方差

Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .

解 由于X ,Y 的相关系数为零, 所以X 和Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布). 因此

25944)()(4)2()(=+?=+=-=Y D X D Y X D Z D ,

Cov(,)Cov(,2)

2Cov(,)Cov(,)2()08X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=. 因此

8

0.825

XZ ρ=

==?.

6. 设随机变量(X , Y )服从二维正态分布: 2~(1,3)X N , 2~(0,4)Y N ; X 与Y 的相

关系数1,232

XY

X Y

Z ρ=-=+. 求: (1) E (Z ), D (Z )； (2) X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3)问

X 与Z 是否相互独立?为什么?

解 (1) 由于)3,1(~2N X , )4,0(~2N Y , 所以

16)(,0)(,9)(,1)(====Y D Y E X D X E ,

而

1

Cov(,)3462

XY X Y ρ==-??=-.

因此 31

021131)(21)(31)23()(=?+?=+=+=Y E X E Y X E Z E ,

1111

()()()()2C o v (,

)

329432X Y D Z D D X D Y X Y =+=++ 111916Cov(,)943

X Y =?+?+3)6(31

41=-?++=.

(2) 由于

1111

Cov(,)Cov(,

)()Cov(,)9(6)0,323232

X

Y X Z X D X X Y =+=+=?+?-= 所以

0XZ ρ=

=.

(3) 由0=XZ ρ知X 与Z 不相关, 又X 与Z 均服从正态分布, 故知X 与Z 相互独立.

7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X

与Y 不相关.

证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等

价的.

事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±.

因此

()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ?=?=.

其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则

Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.

进而0

XY ρ=

=, 即X 与Y 不相关. 最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.

总习题四

1. 设X 和Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为

1{},1,2,3

3

P X i i ==

=. 又设max{,},min{,}U X Y V X Y ==. (1) 写出二维随机变量(U , V )的分布律;

(2) 求()E U .

解 (1) 下面实际计算一下{1,3}P U

V ==.

注意到max{,},min{,}U X Y V X Y ==, 因此

{1,3}{1,3}{3,1}P U V P X Y P X Y =====+==

{1}{3}{3}{1}P X P Y P X P Y ===+==

9

231313131=?+?=.

(2) 由(,)U V 的分布律可得关于U 的边缘分布律

所以

22

()1239999

E U =?+?+?=

. 2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25

. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函

数和数学期望.

解 令X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2

~(3,)

X

B . 即X 的分布律为

从而3

1

27543686

(){}01231251251251255k E X kP X k ====?+?+?+?=∑.

3. 设随机变量),(Y X 的概率密度为

2

12,01,

(,)0,.y y x f x y ??=???≤≤≤其它

求22

(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.

解 11

240

4()(,)1245

x E X xf x y dxdy dx x y dy x dx ∞∞-∞-∞

=

=?==

??

???. 1

1

2

40003()(,)1235x

E X yf x y dxdy dx y y dy x dx ∞

∞

-∞-∞==?==

?

????.

112500031

()(,)12362x E XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx ∞∞-∞-∞==?===?????.

122222220

()()(,)()12x

E X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞-∞

-∞

+=+=+??

?

??

1550

12423216

(4)5653015

x x dx =+

=+==?. 4. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为

1

sin(),

0,0,

222(,)0,.

≤≤≤≤其它ππ

x y x y f x y ?+?=?

??

求E (X ),D (X ),E (Y ),D (Y ),E (XY )和 Cov(X ,Y ).

解

2

2001()(,)sin()24

E X xf x y dxdy x x y dxdy ππ

π+∞+∞-∞

-∞

==+=?

?

??.

2

22

2

2200()(,)1sin() 2.282

E X x f x y dxdy

x x y dxdy ππππ+∞+∞-∞

-∞

==+=+-?

?

??

于是有

2216

)]([)()(2

2

2-+

=

-=π

πX E X E X D . 利用对称性,有

2216

)(,4

)(2

-+

=

=

π

ππ

Y D Y E .

又

()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞

-∞

=?

?

22

001sin()2

xy x y dxdy π

π

=

+?? 220

0220

01sin()21

[sin cos cos sin ]2xdx y x y dy

xdx y x y x y dy

π

π

ππ=+=+????

12

-=

π

.

所以协方差

2

Cov(,)()()()12

16

X Y E XY E X E Y π

π=-=

-

-.

5. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2

N , 求

(1)

();()E X Y D X Y --；

(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y .

解 (1) 记Y X -=ξ

.由于)2

1

,0(~),21,0(~N Y N X ,所以

,0)()()(=-=Y E X E E ξ 1)()()(=+=Y D X D D ξ.

由此)1,0(~N ξ. 所以

222

2

(||)(||)||x x E X Y E x dx xe

dx ξ+∞+∞-

-

-∞

-==?

22

x e

+∞

-

==

101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .

故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|2

2

2-=???

? ??-=-==-E E D Y X D .

(2) 注意到

2||)(),max (Y X Y X Y X -++=

, 2

|

|),min(Y X Y X Y X --+=.

所以

π

π21

221|]}[|)()({21)],[max(=

=-++=Y X E Y E X E Y X E ,

π

π21

221|]}[|)()({21)],[min(-

=-=--+=Y X E Y E X E Y X E .

6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为

,02,02,

8(,)0,

.x y

x y f x y +??=?

?

?≤≤≤≤其它 求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).

解 注意到

),(y x f 只在区域2≤≤0,2≤≤0:y x G 上不为零, 所以

()(,)8G

x y

E X xf x y dxdy x x y ∞∞-∞-∞+==????d d

222000117()(1)846

dx x x y dy x x dx =+=+=???,

2

2()(,)E X

x f x y dxdy ∞∞-∞

-∞

=?

?

222232

000115()()843

dx x x y dy x x dx =

+=+=???, 因而 36

116735)]([)()(222

2=-=-=X E X E X D .

又

()(,)E XY xyf x y dxdy ∞∞-∞

-∞

=?

?

22220001144

()()8433

dx xy x y dy x x dx =

+=+=???. 由对称性知

2275()(),()()63

E Y E X E Y E X ====, 3611

)()(=

=X D Y D .

这样，

4491

Cov(,)()()()33636

X Y E XY E X E Y =-=

-=-, 1

11XY ρ==-,

5

()()()2Cov(,)9

D X Y D X D Y X Y +=++=.

7. 设A , B 为随机事件, 且1

11

(),(|),(|)432

P A P B A P A B =

==, 令 10A X A =???，发生,，不发生, 10B Y B =???

，发生,，不发生.

求: (1) 二维随机变量(X , Y )的概率分布; (2) X 与Y 的相关系数XY ρ.

解 由

1()(|)3

()

P AB P B A P A ==得1

111

()()33412

P AB P A =

=?=, 进而由1(|)2

P A B = ()()

P AB P B =

得1()2()6

P B P AB ==

. 在此基础上可以求得

(1)

1{1,1}()12

P X Y P AB ====

,

1

1

1

{0,1}()()()61212

P X Y P AB P B P AB ====-=

-

=

,

111

{1,0}()()()4126

P X Y P AB P A P AB ====-=-=,

{0,0}()1()1[()()()]P X Y P AB P A B P A P B P AB ====-=-+-

1112

1[]46123

=-+-=.

故(X , Y )的概率分布为

(2) 由(1)

因此

21

1

(),(),4

4E X E X =

=

22113

()()[()]41616

D X

E X E X =-=-=,

22211115

(),(),()()[()]6663636

E Y E Y D Y E Y E Y ===-=-=

. 又由(X , Y )的分布律可得

21111

()0

0011011312121212

E XY =?

?+??+?

?+??=

. 故

1

11

XY

ρ-?

===.