上海历年高考数学压轴题题选
上海历年高考数学压轴题题选
(2012文)
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}12max ,,...,k k b a a a =(1,2,...,k m =),即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a
(2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,...,k m =),求证:k k b a =(1,2,...,k m =)
(3)设100m =,常数1,12a ??
∈ ???
,若(1)22
(1)
n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,
求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-
(2012理)
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
对于数集{}121,,,...,n X x x x =-,其中120...n x x x <<<<,2n ≥,定义向量集{}
(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈r r ,
若对任意1a Y ∈u r ,存在2a Y ∈u u r ,使得120a a ?=u r u u r
,则称X 具有性质P ,例如{}1,1,2-具有性质P
(1)若2x >,且{}1,1,2,x -具有性质P ,求x 的值 (2)若X 具有性质P ,求证:1X ∈,且当1n x >时,11x =
(3)若X 具有性质P ,且11x =、2x q =(q 为常数),求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式
(2012春)
23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
(2011文)
23、(18分)已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+,27n b n =+(*
n N ∈),将集合
**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列,构成数列123,,,,,n c c c c L L 。
⑴ 求三个最小的数,使它们既是数列{}n a 中的项,又是数列{}n b 中的项; ⑵ 12340,,,,c c c c L 中有多少项不是数列{}n b 中的项?说明理由; ⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S (*
n N ∈)。
(2011理)
22、(18分)已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+,27n b n =+(*n N ∈),将集合
**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列,构成数列123,,,,,n c c c c L L 。
⑴ 求1234,,,c c c c ;
⑵ 求证:在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a L L ; ⑶ 求数列{}n c 的通项公式。
(2011理)
23、(18分)已知平面上的线段l 及点P ,在l 上任取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离,记作(,)d P l 。
⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ; ⑵ 设l 是长为2的线段,求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积;
⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==,其中12,l AB l CD ==,
,,,A B C D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2分,②6分,③8分;若选择
了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。 ② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 ③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。
(2011春)
21. (本题满分14分)本题公园小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分。
已知抛物线y x F 4:2
=
(1)△ABC 的三个顶点在抛物线F 上,记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,,
若A 的坐标在原点,求CA BC AB k k k +-的值;
(2)请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形,写出各多边形各边所在的
直线斜率之间的关系式,并说明理由。
说明:第(2)小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
(2010文)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-,则称x 比y 接近m .
(1)若2
1x -比3接近0,求x 的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a 、b ,证明:22
a b ab +比33a b +接近2;
(3)已知函数()f x 的定义域{}
,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈,()f x 等于1sin x +和1sin x -中接
近0的那个值.写出函数()f x 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).
(2010理)
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分10分。
若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-,则称x 比y 远离m .
(1)若2
1x -比1远离0,求x 的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a 、b ,证明:33a b +比22
a b ab +远离2;
(3)已知函数()f x 的定义域?
?????∈∈???+≠
=R x Z k k x x D ,,42π
π.
任取x D ∈,()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
(2010文)
23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知椭圆Γ的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>,(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.
(1)若点M 满足1()2
AM AQ AB =+uuu r uuu r uu u r
,求点M 的坐标;
(2)设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点,交直线22:l y k x =于点E .若2
122b k k a
?=-,证明:E
为CD 的中点;
(3)设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上,如何构作过PQ 中点F 的直线l ,使得l 与椭圆Γ 的两个交点1P 、2
P 满足12PP PP PQ +=uu u r uuu r uu u r ?令10a =,5b =,点P 的坐标是(-8,-1)
,若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足
12PP PP PQ +=uu u r uuu r uu u r
,求点1P 、2P 的坐标.
(2010理)
23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
已知椭圆Γ的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,点P 的坐标为(b a ,-).
(1)若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足1()2PM PA PB =+uuu r uu r uu r
,求点M 的坐标;
(2)设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点,交直线22:l y k x =于点E .若2
122b k k a
?=-,
证明:E 为CD 的中点;
(3)对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<
12PP PP PQ +=uu u r uuu r uu u r
,写出求作点1P 、2P 的步骤,并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.
(2010春)
23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分。
已知首项为1x 的数列}{n x 满足1
1+=
+n n
n x ax x (a 为常数)。 (1)若对于任意的11-≠x ,有n n x x =+2对于任意的*
N n ∈都成立,求a 的值;
(2)当1=a 时,若01>x ,数列}{n x 是递增数列还是递减数列?请说明理由;
(3)当a 确定后,数列}{n x 由其首项1x 确定,当2=a 时,通过对数列}{n x 的探究,写出“}{n x 是有穷数列”的一个真命题(不必证明)。
说明:对于第3题,将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性,给予不同的评分。
(2009理)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。 已知函数()y f x =的反函数。定义:若对给定的实数(0)a a ≠,函数()y f x a =+与1
()y f x a -=+互为
反函数,则称()y f x =满足“a 和性质”;若函数()y f ax =与1
()y f ax -=互为反函数,则称()y f x =满足“a
积性质”。
(1) 判断函数2
()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”,并说明理由; (2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3) 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >,满足“a 积性质”。求()y f x =的表达式。
(2009文)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列
(1)若 31n a n =+,是否存在*
,m n N ∈,有1m m k a a a ++=?请说明理由;
(2)若n
n b aq =(a 、q 为常数,且aq ≠0)对任意m 存在k ,有1m m k b b b +?=,试求a 、q 满足的充要条件; (3)若21,3n
n n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和式数列中{}n a 的一项,请证明.
(2009理)
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。
已知{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列。
(1) 若31n a n =+,是否存在*
m k N ∈、,有1?m m k a a a ++=说明理由;
(2) 找出所有数列{}n a 和{}n b ,使对一切*n N ∈,
1
n n n
a b a +=,并说明理由; (3) 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ,使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一
项,请证明。
(2008文)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知数列{}n a :11a =,22a =,3a r =,32n n a a +=+(n 是正整数),与数列{}n b :11b =,20b =,31b =-,40b =,4n n b b +=(n 是正整数).记112233n n n T b a b a b a b a =++++L .
(1)若1213264a a a a ++++=L ,求r 的值; (2)求证:当n 是正整数时,124n T n =-;
(3)已知0r >,且存在正整数m ,使得在121m T +,122m T +,…,1212m T +中有4项为100.求r 的值,并指出哪4项为100.
(2008理)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小题满分8分。
已知1a 为首项的数列{}n a 满足: 1,3,
,3,n n n n
n a c a a a a d
++?
=?≥??.
(1)当11,1,3a c d ===时,求数列{}n a 的通项公式;
(2)当101,1,3a c d <<==时,试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ; (3)当11
0,a m
<<
(m 是正整数),1c m =,正整数3d m ≥时,求证:数列21a m -,
321m a m +-,621m a m +-,921
m a m
+-成等比数列当且仅当3d m =。
(2007文)
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
如果有穷数列123m a a a a ,,,,L (m 为正整数)满足条件m a a =1,12-=m a a ,…,1a a m =,即1
+-=i m i a a (12i m =,,,L )
,我们称其为“对称数列”. 例如,数列12521,,,,与数列842248,,,,,都是“对称数列”
. (1)设{}n b 是7项的“对称数列”,其中1234b b b b ,,,是等差数列,且21=b ,114=b .依次写出{}n b 的每一项; (2)设{}n c 是49项的“对称数列”,其中252649c c c ,,,L 是首项为1,公比为2的等比数列,求{}n c 各项的和S ; (3)设{}n d 是100项的“对称数列”,其中5152100d d d ,,,L 是首项为2,公差为3的等差数列.求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =,,,L .
(2007理)
20.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分. 如果有穷数列123n a a a a ,,,,L (n 为正整数)满足条件n a a =1,12-=n a a ,…,1a a n =,即1
+-=i n i a a (12i n =,,,L )
,我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列01m
m m m C C C ,,,L 就是“对称数列”. (1){}n b 是项数为7的“对称数列”,其中1234b b b b ,,,是等差数列,且21=b ,114=b .依次写出{}n b 每一项; (2)设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”,其中121k k k c c c +-,,,L 是首项为50,公差为4-的等差数列.记{}n c 各项的和为12-k S .当k 为何值时,12-k S 取得最大值?并求出12-k S 的最大值;
(3)对于确定的正整数1>m ,写出所有项数不超过m 2的“对称数列”,使得211222m -,,
,,L 依次是该数列中连续的项;当m 1500>时,求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S .
(2007文)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分.
1我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”,其中
222c b a +=,0>a ,0>>c b .
如图,设点0F ,1F ,2F 是相应椭圆的焦点,1A ,2A 和1B ,2B 是“果圆” 与x ,y 轴的交点,M 是线段
21A A 的中点.
(1)若012F F F △是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程; (2)设P 是“果圆”的半椭圆
12
2
22=+c x
b y (0)x ≤上任意一点. 求证:当PM 取得最小值时,P 在点12B B ,或1A 处;
(3)若P 是“果圆”上任意一点,求PM 取得最小值时点P
(2007理)
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”,其中
222c b a +=,0>a ,0>>c b .
如图,点0F ,1F ,2F 是相应椭圆的焦点,1A ,2A 和1B ,2B 分别是“果圆”与x ,y 轴的交点. (1)若012F F F △是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当21A A >21B B 时,求
a
b
的取值范围; (3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究: 是否存在实数k ,使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个 椭圆上?若存在,求出所有可能的k 值;若不存在,说明理由.
(2007春)
17. (本题满分14分)
求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积3
16
后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为316,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为3
16
,
求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中,求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.
(2007春)
21. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
(1) 设第2行的数依次为12,,,n B B B L ,试用q n ,表示12n B B B +++L 的值;
(2) 设第3列的数依次为123,,,,n c c c c L ,求证:对于任意非零实数q ,2312c c c >+;
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第一问).
① 能否找到q 的值,使得(2) 中的数列123,,,,n c c c c L 的前m 项12,,,m c c c L (3≥m ) 成为等比数列? 若能找到,m 的值有多少个?若不能找到,说明理由.
② 能否找到q 的值,使得填完表格后,除第1列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?
并说明理由.
(2006文)
22(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分
已知函数a
y x x
=+
有如下性质:如果常数0a >,那么该函数在(
上是减函数,在)
+∞上是增函数
(1)如果函数2(0)b
y x x x
=+>在(]0,4上是减函数,在[)4,+∞上是增函数,求b 的值 (2)设常数[]1,4c ∈,求函数()(12)c
f x x x x =+≤≤的最大值和最小值; (3)当n 是正整数时,研究函数()(0)n
n c g x x c x
=+>的单调性,并说明理由
(2006理)
22 (本题满分18分,本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分)
已知函数y =x +x
a
有如下性质:如果常数a >0,那么该函数在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)
上是增函数
(1)如果函数y =x +x
b
2(x >0)的值域为[6,+∞),求b 的值;
(2)研究函数y =2
x +
2x c
(常数c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; (3)对函数y =x +x a 和y =2
x +2x
a (常数a >0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例
研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数)(x F =n x x )1(2++n
x x
)1(2+
(n 是正整数)在区间[2
1
,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论)
(2006春)
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列 ,其中 是首项为1,公差为1的等差数列; 是公差为 的等差数列; 是公差为 的等差数列( ). (1)若 ,求 ;
(2)试写出 关于 的关系式,并求 的取值范围;
(3)续写已知数列,使得 是公差为 的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
(2005)
22、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分。
对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =,规定:函数??
?
??∈??∈∈∈=g f g f g
f D
x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(。
(1)若函数1
1)(-=
x x f ,2
)(x x g =,写出函数)(x h 的解析式; (2)求问题(1)中函数)(x h 的值域;
(3)若)()(α+=x f x g ,其中α是常数,且[]πα,0∈,请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =,及一个α的值,使得x x h 4cos )(=,并予以证明。
(2005春)
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分8分. 第3小题满分5分.
(1)求右焦点坐标是)0,2(,且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ,
交椭圆C 于A B 、两点,AB 的中点为M . 证明:当直线l 平行移动时, 动点M 在一条过原点的定直线上;
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标
出椭圆的中心.
(2004)
21.(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分
如图,P —ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等. (棱长和是指 多面体中所有棱的长度之和) (1)证明:P —ABC 为正四面体; (2)若PD=
2
1
PA, 求二面角D —BC —A 的大小;(结果用反三角函数值表示) (3)设棱台DEF —ABC 的体积为V, 是否存在体积为V 且各棱长均相等的 直平行六面体,使得它与棱台DEF —ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出 这样的一个直平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.
(2004春)
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第一小题满分6分,第2小题满分8
分. 如图,点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点,
A
A 1
B 1
B C 1
C
M
N P
1BB PM ⊥交1AA 于点M ,1BB PN ⊥交1CC 于点N .
(1) 求证:MN CC ⊥1;
(2) 在任意DEF ?中有余弦定理:
DFE EF DF EF DF DE ∠?-+=cos 2222. 拓展到空间,类比余弦定理,
写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. (2004春)
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知倾斜角为?45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB . (1) 求点B 的坐标;
(2) 若直线l 与双曲线1:222
=-y a
x C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值;
(3) 对于平面上任一点P ,当点Q 在线段AB 上运动时,称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P
在x 轴上运动,写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.
(2003文)
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.
已知数列}{n a (n 为正整数)是首项是a 1,公比为q 的等比数列.
(1)求和:012122232a C a C a C -+,012313233343a C a C a C a C -+-.
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论,并加以证明.
(3)设q ≠1,S n 是等比数列}{n a 的前n 项和,求:012312341(1)n n
n n n n n n S C S C S C S C S C +-+-++-L
(2003理)
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分.
已知数列}{n a (n 为正整数)是首项是a 1,公比为q 的等比数列.
①求和:;,3
34233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-
②由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论,并加以证明.
(2003理)
已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体:存在非零常数T ,对任意R x ∈,有)()(x Tf T x f =+成立.
(1)函数x x f =)(是否属于集合M ?说明理由;
(2)设函数x
a x f =)((0>a 且1≠a )的图像与x y =的图像有公共点,证明:M a x f x
∈=)(;
(3)若函数M kx x f ∈=sin )(,求实数k 的取值范围.
(2003春)
(2003春)
(2002文)
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分。 规定(1)(1)!
m
x x x x m C m --+=
L ,其中R x ∈,m 是正整数,且10
=x C ,这是组合数m n C (n,m 是正整数,
且n m
≤)的一种推广。
(1)求315
-C
的值。(2)设x>0,当x 为何值时,
2
1
3)
(x
x C C
取得最小值?
(3)组合数的两个性质:① m
n n m
n C C -=;②m
n m n m n C C C 1
1+-=+ 是否都能推广到m
x
C
(R x ∈,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,
则说明理由。
(2002理)
22.(02上海秋)(12分)规定C m
x =
x(x -1)…(x -m +1)m!
,其中x ∈R ,m 是正整数,且C 0x =1,这是组合数C m
n (m ,n
是正整数,且m ≤n)的一种推广. (1)求C 3
15的值;
(2)组合数的两个性质:①C m
n =C n
m
n ;②C m
n+1=C m
n +C m
1
n ,是否都能推广到C m
x (x ∈R , m 是正整数)的情形?若能推广,请写出推广的形式,并给出证明;若不能,请说 明理由.
(3)已知组合数C m
x 是正整数,证明:当x ∈Z ,m 是正整数时,C m
x ∈Z. 补充:
在圆锥曲线中,有如下结论:AB 是抛物线px y 22
=(0>p )的一条弦,
C 是AB 的中点,过C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为
D ,若A 、B 两点
纵坐标之差的绝对值为定值即a y y B A =-||(0>a ),则S △p
a ADB 162
=.
试运用上述结论求解:
(1)若E 、F 分别为AD 和BD 的中点,过E 、F 平行于x 轴的直线
与抛物线分别交于点M 、N ,求AMD S ?和BND S ?;
(2)你能在上述问题的启发下,设计出一种方法求抛物线与弦
AB 围成的“弓形”的面积吗?
(3)求曲线2
x y =与x 轴的正半轴及直线1=x 所围成的曲边形的面积.
历年高考数学真题(全国卷整理版)43964
参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A =,B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (A) (B ) (C) (D)
(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ =,则cos2α= (A) (B ) (C) (D) (8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2= (A)1 4(B) 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 (9)已知x=lnπ,y=log52, 1 2 z=e,则 (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x (10) 已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c= (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 (11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (A)12种(B)18种(C)24种(D)36种 (12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若x,y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 (14)当函数取得最大值时,x=___________。 (15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。 (16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。
[数学]数学高考压轴题大全
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
2014年高考数学压轴题(理科)
2014年包九中数学压轴模拟卷一(理科) (试卷总分150分 考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =( ) A .(0,2) B .),2(+∞ C .),0[+∞ D .),2()0,(+∞?-∞ 2. 在复平面内,复数311z i i =--,则复数z 对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.关于直线m ,n 与平面 α,β,有下列四个命题: ①m ∥α,n ∥β 且 α∥β,则m ∥n ; ②m ⊥α,n ⊥β 且 α⊥β,则m ⊥n ; ③m ⊥α,n ∥β 且 α∥β,则m ⊥n ; ④m ∥α,n ⊥β 且 α⊥β,则m ∥n . 其中真命题的序号是( ). A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数,则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是( ) 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于( ) A .2 B .3 C .—3 D .—2 6.执行右面的程序框图,如果输出的是341a =,那么判断框( ) A .4?k < B .5?k < C .6?k < D .7?k < 7. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml (不含80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证,并处200元以上500元以下 罚款;血液酒精浓度在80mg/100ml (含80)以 上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证,并处500元以上 2000元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2013年8月15日至8
历年高考真题(数学文化)
历年高考真题(数学文化) 1.(2019湖北·理)常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数, 如他们研究过图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能表示成三角形, 将其称为三角形数;类似地, 称图2中的1, 4, 9, 16…这样的数为正方形数, 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.(2019湖北·文)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 A .1升 B .6667升 C .4447升 D .3337 升 3.(2019湖北·理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 升. 4.(2019?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径, “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V , 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据π =3.14159…..判断, 下列近似公式中最精确的一个是( ) A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.(2019?湖北)在平面直角坐标系中, 若点P (x , y )的坐标x , y 均为整数, 则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点, 则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S , 其内部的格点数记为N , 边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形, 对应的S=1, N=0, L=4. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S , N , L 分别是________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a , b , c 为常数.若某格点多边形对应的N=71, L=18, 则S=________(用数值作答). 6.(2019?湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周, 令相乘也, 又以高乘之, 三十六成一, 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h , 计算其体积