新教材高中数学第四章指数函数与对数函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11
新教材高中数学第4章指数函数与对数函数第1课时对数函数的图象和性质pptx课件新人教A版必修第一册
[解] 当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，
此时由3.1<5.2，得loga3.1<loga5.2；
当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，
此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2．
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•
•
•
发现规律 比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用________________．
对数函数的单调性
(2)同真数的利用对数函数的____或用________转化．
(3)底数和真数都不同，找______．
图象
换底公式
中间量
• [跟进训练]
•
3
4
2．比较下列各组值的大小：(1)log5 与log5 ；
(0，0)
• (0，0) [由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的图象必过定点(0疑难
类型1 对数函数的图象问题
类型2 比较对数值的大小
类型3 解对数不等式
类型1 对数函数的图象问题
【例1】
(1)如图，若C1，C2分别为函数 B
y＝logax和y＝logbx的图象，则(
x＝a
(|x－a|)的图象是关于直线______对称的轴对称图形；函数y＝
f (x)<0
f
(x)≥0
• |f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在________的部分相同，在__________的
部分关于x轴对称．
[跟进训练]
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝
a－x与y＝logax的图象为(
人教高中数学必修一A版《对数》指数函数与对数函数说课复习(对数的概念)
第四章 指数函数与对数函数
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)log127＝－3；
3
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(3)43＝64; (4)14－2＝16. 解：(1)由 log216＝4 可得 24＝16.
(2)由
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(3)设 x＝lg1000，则 10x＝1000＝103，
所以 x＝3，
即 lg1000＝3.
(4)设 x＝lg0.001，则 10x＝0.001＝10－3，所以 x＝－3，即 lg0.001
＝－3.
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
利用对数的性质求值
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第四章 指数函数与对数函数
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本部分内容讲解结束
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4.3 对 数
第二课时 对数的运算
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第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
■名师点拨 logaN 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可 分开书写．
2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
知识点三 解对数不等式
6．已知 log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则 x 的取值范围为( )
A.12，＋∞ C.－12，12
B.－∞，12 D.0，12
答案 A
解析 因为函数 y＝log0.3x 是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价
3x>0， 于x＋1>0，
3x>x＋1，
解得
1 x>2.
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln
2 2 <ln
1＝0，
得到 c 最小；再与 1 比较，a＝log2 3<log22＝1，b＝30.01>30＝1，得到 b 最
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数 知识点易错点解题方法提炼汇总
第四章指数函数与对数函数4.1 指数 .......................................................................................................................... - 1 -4.2 指数函数 .................................................................................................................. - 6 -4.2.1指数函数的概念.......................................................................................... - 6 -4.2.2指数函数的图象和性质.............................................................................. - 9 -4.3对数 ...................................................................................................................... - 15 -4.3.1对数的概念................................................................................................ - 15 -4.3.2对数的运算................................................................................................ - 19 -4.4对数函数 .............................................................................................................. - 23 -4.4.1对数函数的概念........................................................................................ - 23 -4.4.2对数函数的图象和性质............................................................................ - 28 -4.4.3不同函数增长的差异................................................................................ - 36 -4.5函数的应用(二) .................................................................................................... - 40 -4.5.1函数的零点与方程的解............................................................................ - 40 -4.5.2用二分法求方程的近似解........................................................................ - 45 -4.5.3函数模型的应用及数学建模.................................................................... - 49 -4.1 指数知识点一n次方根及根式如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根(2)根式①定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②性质：(n＞1，且n∈N＋)(ⅰ)(na)n＝a.(ⅱ)na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.知识点二指数幂及运算知识梳理(1)分数指数幂的意义①规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．②规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s；②(a r)s＝a rs；③(ab)r＝a r b r.(3)无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．解题方法探究探究一利用根式的性质化简求值[例1](1)化简a＋4(1－a)4的结果是()A．1B．2a－1 C．1或2a－1 D．0(2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是()A．(6a－6b)6＝a－b B.8(a2＋b2)8＝a2＋b2C.4a4－4b4＝a－b D.10(a＋b)10＝a＋b(3)设－3＜x＜3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．[解析] (1)a ＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C. (2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4， ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，(－3＜x ＜1)，－4，(1≤x ＜3).[答案] (1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．探究二 根式与分数幂的转化[例2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)： (1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3)a a ；(4)y 2xx 3y 3y 6x 3.[解析] (1)a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52.(2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a 113. (3)a a ＝(a ·a 12)12＝(a 32)12＝a 34. (4)y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 313＝y 2xx 3y ·y 2x ＝y 2x (x 2·y )12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 1212＝y 54＝y 4y .(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．探究三 指数幂的运算[例3] 计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14(0.02723＋50×0.001 634)－12. [解析] (1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．易错点归纳一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值． [解析] ∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)， 由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47， ∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322.2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析] ∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5， 且a 12＋a －12＞0，∴a 12＋a－12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题常用指数幂的变换技巧已知幂目标指数变换技巧a k差：k－1除：a ka＝ak－1a k和：k＋2乘：a k·a2＝a k＋2a k倒数：1k换元、乘方：令a k＝t，则a k积：3k 乘方：(a k)3＝a3k[典例]设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，求证：2c＝2a＋1b.[证明]令3a＝4b＝6c＝t，则.因为3×2＝6，所以，即1a＋12b＝1c，所以2c＝2a＋1b.4.2 指数函数4.2.1指数函数的概念知识点指数函数的概念函数y＝x2与y＝2x在解析式上，有什么不同？知识梳理(1)函数y＝a x(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.(2)指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)解析式的结构特征①底数：大于0且不等于1的常数．②指数：自变量x .③系数：a x 前的系数必须是1.解题方法探究探究一 指数函数的概念[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝x x ；(5)y ＝x α(α是常数)． [解析] (1)y ＝10x 符合定义，是指数函数． (2)y ＝10x＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数．(3)y ＝－4x 中系数为－1而非1，不是指数函数．(4)y ＝x x 中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x ； (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1；(3)a x 的系数是1.探究二 指数函数的定义域及值域 [例2] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解析] (1)令t ＝1x －4，∵x ∈R 且x ≠4.∴t ≠0.∴y ＝2t ∈(0,1)∪(1，＋∞)，故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)， 值域为(0,1)∪(1，＋∞)．(2)令t ＝－|x |，可知x ∈R ，∴|x |≥0，t ≤0. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t∈[1，＋∞)，故原函数的定义域为R ，值域为[1，＋∞)．函数y ＝a f (x )的定义域、值域的求法(1)函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． (2)函数y ＝a f (x )的值域的求法如下： ①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M .易错点归纳一、底数a 必须大于0且不等于1的理由 1．若a ＝0，则⎩⎨⎧x ＞0，a x 恒等于0，x ≤0，a x 无意义.2．若a ＜0，则对于一些函数，比如y ＝(－4)x ，当x ＝±12，±14，…时，在实数范围内函数值不存在．3．若a ＝1，则y ＝1x ＝1是常量，没有研究的必要．为了避免以上情况，所以规定a ＞0且a ≠1.[典例] 下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝(－4)x C ．y ＝5x ＋1D ．y ＝52x[解析] A 中虽然是一个幂，但自变量出现在底数上，故不是指数函数；B 中虽然是一个幂，且自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“大于0且不等于1”这个条件，故不是指数函数；C 中虽然是一个幂，x 也出现在指数上，但指数并不是自变量x ，故不是指数函数；D 中52x ＝25x 恰好符合指数函数的三个特点，故是指数函数．[答案] D二、忽视指数函数的值域致错[典例] 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的值域．[解析] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．纠错心得 此题换元后，误认为t ∈R .忽视⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的值域．求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y ＝a f (x )型函数，先求出f (x )的值域A ，再画y ＝a x (x ∈A )的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域．4.2.2 指数函数的图象和性质知识点 指数函数的图象和性质y ＝2x 与y ＝(12)x 的单调性有什么不同？ 知识梳理0＜a ＜1a ＞1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1减函数增函数无奇偶性解题方法探究探究一利用指数函数单调性比较大小[例1]比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.50.3和0.81.2.[解析](1)函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数的性质知1．50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c与b d的大小，可取a d为中间量，a c与a d利用指数函数的单调性比较大小，b d与a d利用函数的图象比较大小.探究二利用指数函数的单调性解不等式[例2][教材P12010题拓展探究](1)如果a－5x＞a x＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范围．[解析]①当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，则－5x＜x＋7，解得x＞－7 6.②当a＞1时，y＝a x为增函数，则－5x＞x＋7，∴x＜－7 6，综上，当0＜a＜1时，x∈(－76，＋∞)，当a＞1时，x∈(－∞，－7 6)．(2)设f(x)＝a x，g(x)＝(1a)x(a＞0，a≠1)，如果对于∀x∈(0，＋∞)都有f(x)＞g(x)，求a的取值范围．[解析]由f(x)＞g(x)得a x＞1 a x∴a2x＞1，∀x∈(0，＋∞)都成立．∴a＞1.(3)设f(x)＝3x，g(x)＝10－93x，如果f(x)＜g(x)，那么x的取值范围是多少？[解析]由f(x)＜g(x)得3x＜10－93x，即(3x)2－10×3x＋9＜0.设t＝3x＞0，故有t2－10t＋9＜0，1＜t＜9，即1＜3x＜9，∴0＜x＜2.解含指数式的不等式的策略(1)指数型不等式a f(x)＞a g(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a ＜1时，f (x )＜g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a ＞0，且a ≠1)，a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (a ＞0，且a ≠1)等．探究三 指数函数性质的综合应用 [例3] 已知f (x )＝x (12x －1＋12)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f (x )>0.[解析] (1)由2x －1≠0得2x ≠20，故x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}． (2)函数f (x )是偶函数． 理由如下：由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称， ∵f (x )＝x (12x －1＋12)＝x 2·2x ＋12x －1，∴f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·(2－x ＋1)·2x (2－x －1)·2x＝－x 2·1＋2x1－2x＝x 2·2x ＋12x －1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)证明：由(2)知f (x )＝x 2·2x ＋12x －1.对于任意x ∈R ，都有2x ＋1>0 若x >0，则2x >20，所以2x －1>0，于是x2·2x＋12x－1>0，即f(x)>0，若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，于是x2·2x＋12x－1>0，即f(x)>0，综上知：f(x)>0.解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．(4)形如y＝a f(x)的函数的单调性，若a＞1，y＝a f(x)的单调性与u＝f(x)的单调性相同，若0＜a＜1，y＝a f(x)的单调性与u＝f(x)的单调性相反.易错点归纳一、“同为幂值，差别这么大”——指数函数与幂函数的区别指数函数y＝a x与幂函数y＝xα，其函数值都是幂的形式．但是自变量的位置发生了变化，其图象性质也会有变化．[典例]一个函数y＝f(x)是幂函数或指数函数，过点(－2，14)，研究这个函数的定义域、值域、单调性，如果该函数具有奇偶性，能确定f(x)是什么函数吗？[解析]若y＝f(x)为指数函数，设为y＝a x(a＞0，a≠1)．∵函数过点(－2，1 4)，∴14＝a－2，∴a＝2.f(x)＝2x，定义域为R.值域为(0，＋∞)．单调增函数，是非奇非偶函数．若y＝f(x)为幂函数，设为y＝xα，过点(－2，1 4)，∴14＝(－2)α，∴α＝－2.∴f(x)＝x－2，即f(x)＝1 x2.定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞)．在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．此时f(x)是偶函数，具有奇偶性．故可确定f(x)＝x－2.二、忽视对底数的讨论致错[典例]函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为12，则a＝________.[解析](1)当a＞1时，函数f(x)＝a x在[0,1]上是增函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；当x＝0时，函数f(x)取最小值．由题意得f(1)－f(0)＝12，即a－a0＝12，解得a＝3 2.(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝a x在[0,1]上是减函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由题意得f(0)－f(1)＝12，即a0－a＝12，解得a＝12.综上知a＝32或12.[答案]32或12纠错心得既要考虑当a＞1时，函数f(x)在[0,1]上是增函数的情况，也不能忽视当0＜a＜1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数的情况．4.3 对数4.3.1 对数的概念知识点一 对数的概念如果2＝1.11x ，如何求x ？知识梳理 (1)如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg_N . (3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作ln_N .(4)对数与指数的关系当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . 知识点二 对数的基本性质由a 0＝1，a 1＝a ，可想到怎样的对数关系？ 知识梳理解题方法探究探究一 指数式与对数式的互化 [例1] (1)将下列指数式化成对数式： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；②3－2＝19；③43＝64；④⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝3. (2)将下列对数式写成指数式：①log 28＝3；②log 1214＝2；③log a a 2＝2(a >0，且a ≠1)；④log 3127＝－3.[解析] (1)①3＝log 1218；②－2＝log 319；③3＝log 464；④x ＝log 133.(2)①23＝8；②⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14；③a 2＝a 2(a >0，且a ≠1)；④3－3＝127.(1)log a N ＝b 与a b ＝N (a ＞0且a ≠1，N ＞0)是等价的，表示a ，b ，N 三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．(2)对数式与指数式的关系如图：探究二 利用指数与对数的互化求变量的值 [例2] [教材P 123例2拓展探究] (1)若log x 27＝32，则x ＝________. (2)log 2x ＝－23，则x ＝________. (3)若－ln e 3＝x ，则x ＝________. (4)若x log 34＝1，则4x ＋4－x ＝________. (5)若f (x )＝3x ，则f (log 32)＝________. [解析] (1)由log x 27＝32，可得＝27， ∴. (2)由log 2x ＝－23，可得.∴x ＝＝314＝322.(3)由－ln e 3＝x ，则ln e 3＝－x . ∴e －x ＝e 3，∴x ＝－3. (4)由x log 34＝1，∴log 34＝1x ，∴31x ＝4， 4x ＝3，∴4－x ＝13， 4x ＋4－x ＝3＋13＝103. (5)设t ＝log 32，则3t ＝2， ∴f (log 32)＝f (t )＝3t ＝2.[答案] (1)9 (2)322 (3)－3 (4)103 (5)2指数与对数互化的本质指数式a b ＝N (a >0，且a ≠1)与对数式b ＝log a N (a >0，a ≠1，N >0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式.探究三 对数的性质及应用 [例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)ln[log 2(lg x )]＝0.[解析] (1)∵log 2(log 4x )＝0， ∴log 4x ＝20＝1， ∴x ＝41＝4. (2)∵log 3(lg x )＝1， ∴lg x ＝31＝3， ∴x ＝103＝1 000. (3)∵log 2(lg x )＝1， ∴lg x ＝21＝2， ∴x ＝102＝100.(1)对数的性质：①在指数式中N ＞0，故零和负数没有对数．②设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1.∴log a 1＝0.即1的对数等于0. ③设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，所以log a a ＝1，即底数的对数为1.(2)涉及两个以上对数，方法由外向里，逐层解决，其中将1或0化成同底对数，有利于去掉log ，从而最终解出x .易错点归纳一、“完璧归赵”——指数式与对数式的换算 由a x ＝N 得x ＝log a N ，再代回到a x ＝N 中， 可得出a log a N ＝N (a ＞0，a ≠1) [典例] 计算[解析](2)原式＝(3)原式＝.二、忽视对数式的存在条件致错[典例] 若log (x －2)(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值．[解析]由题意得⎩⎨⎧x 2－7x ＋13＝1 ①x －2＞0②x －2≠1③，由①得x 2－7x ＋12＝0. ∴x ＝3或x ＝4.又由②③得x ＞2且x ≠3. ∴x ＝4.纠错心得 在对数的定义中：a b ＝N ⇔b ＝log a N 要注意条件：a ＞0且a ≠1，N ＞0，b ∈R .对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1，做题时常因忽略此条件而出错，要特别注意底数含有字母的情况．4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质lg 2＋lg 5如何计算？lg 110能直接计算吗？ 知识梳理 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 对数换底公式lg N 与ln N 之间有联系吗？知识梳理 log a b ＝log c blog ca (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．即log a b ＝1log ba .解题方法探究探究一 对数运算性质的应用 [例1] 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log 2748＋log 212－12log 242； (3)lg 5·lg 8 000＋(lg 23)2lg 600－12lg 0.036－12lg 0.1；(4)lg(3＋5＋3－5)．[解析] (1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(lg2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.(2)原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12. (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3；分母＝(lg 6＋2)－lg 361 000×110＝lg 6＋2－lg 6100＝4.∴原式＝34.(4)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg 10＝12.1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数．2．注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的． 3．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题．探究二 用换底公式求对数值 [例2] [教材P 126练习3变式探究](1)计算(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432. [解析] (log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39－log 23214log 212＝(12log 23＋13log 23)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32＋14log 232＝56log 23×32log 32＋54＝56×32×log 23×log 32＋54＝54＋54＝52.(2)计算(log 43－log 83)(log 32－log 92)． [解析] 原式＝(lg 3lg 4－lg 3lg 8)(lg 2lg 3－lg 2lg 9)＝(lg 32lg 2－lg 33lg 2)(lg 2lg 3－lg 22lg 3)＝lg 36lg 2×lg 22lg 3＝112.(3)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．[解析](1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log253＋log225log24＋log25log28⎝⎛⎭⎪⎫log52＋log54log525＋log58log5125＝⎝⎛⎭⎪⎫3log25＋2log252log22＋log253log22(log52＋2log522log55＋3log523log55)＝(3＋1＋13)log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．探究三含附加条件的对数式的求值[例3](1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.[解析]因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是法一：log3645＝log1845log1836＝log18(9×5)log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.法二：因为lg 9lg 18＝log189＝a，所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a .(2)设3a＝5b＝15，求1a ＋1b 的值．[解析] ∵3a ＝5b ＝15，两边取常用对数， 得a lg 3＝b lg 5＝12lg 15， ∴a ＝lg 152lg 3，b ＝lg 152lg 5，∴1a ＋1b ＝2lg 3lg 15＋2lg 5lg 15＝2(lg 3＋lg 5)lg 15＝2lg 15lg 15＝2.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数．易错点归纳一、对数运算性质及换底公式的拓展变形1．换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．2．几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a ＞0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈N *)(1)log a nb n ＝log a b ；(2)log a mb n ＝nm log a b ；(3)log a b ＝1log b a ；(4)log a b ·log b c ＝log a c .[典例] 已知f (3x )＝4x log 23＋234，求f (2)＋f (4)＋…＋f (28)．[解析] f (3x )＝4x log23＋234，即f (3x )＝4x log 23＋234， 即f (3x )＝4log 23x ＋234，∴f(x)＝4log2x＋234.∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4log22＋234)＋(4log24＋234)＋…＋(4log228＋234)＝8×234＋4(log22＋log24＋…＋log228)＝1 872＋4(log22＋2log22＋…＋8log22)＝1 872＋144＝2 016.二、忽略对数的限制条件导致错误[典例]若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值．[解析]因为lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，所以(x－2y)(x＋y)＝0，所以xy＝2或xy＝－1.因为x＞0，y＞0，所以xy＞0，故舍去xy＝－1，所以xy＝2.纠错心得对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽略x－y＞0，x＋2y＞0，x＞0，y＞0，而出现增解xy＝－1.4.4对数函数4.4.1对数函数的概念知识点对数函数的概念我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？知识梳理(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数(logarithmic function)，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数概念的注意点①形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y＝2log2x，y＝log5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数．②定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．③底数：对数函数对底数的限制：a＞0，且a≠1.解题方法探究探究一对数函数的概念[例1]指出下列函数中哪些是对数函数？(1)y＝log a x2(a＞0且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log7x；(4)y＝log x a(x＞0且x≠1)；(5)y＝log5x.[解析]只有(5)为对数函数．(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log7x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.探究二对数函数的定义域[例2][教材P130例1的拓展探究](1)①y＝log2|x|的定义域为________．②y＝log a(4－x)＋lg(x－2)的定义域为________．③y＝log a(4－x)＋1x－3的定义域为________．④y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________．⑤y＝6－5x－x2lg(x＋3)的定义域为________．[解析]①|x|>0，∴x≠0.②由{4－x>0x－2>0得2＜x＜4.③由{4－x>0x－3≠0得x＜4且x≠3.④由{16－4x>0x＋1>0x＋1≠1得{x＜4，x＞－1，x≠0.⑤要使函数有意义，则有{6－5x－x2≥0，x＋3>0，lg(x＋3)≠0，即{－6≤x≤1，x>－3，x＋3≠1，即{－6≤x≤1，x>－3，x≠－2.∴－3<x<－2或－2＜x≤1，故函数的定义域为(－3，－2)∪(－2,1]．[答案]①(－∞，0)∪(0，＋∞)②(2,4)③(－∞，3)∪(3,4)④(－1,0)∪(0,4)⑤(－3，－2)∪(－2,1](2)①若函数f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，则a的范围为________．②若函数f(x)＝log2(4x－a)的定义域为R，则a的范围为________．③若函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的范围为________．[解析]①f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，即a－4x＞0的解集为(－∞，1)，即x＝1是a－4x＝0的根，∴a＝4.②由题意得4x－a＞0对∀x∈R都成立，∴a＜4x恒成立，∴a≤0.③只要u＝x2＋ax＋1与x轴无交点，即u＞0恒成立，∴Δ＝a2－4＜0，∴－2＜a＜2.[答案]①{4}②(－∞，0]③(－2,2)探究三对数函数值的求解[例3](1)设函数f(x)＝{1＋log2(2－x)，x<1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析] 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.[答案] C (2)已知f (x )＝log 31－x1＋x. ①求f (12)，f (－12)； ②求f (12 019)＋f (－12 019)； ③求f (a )＋f (－a )的值，a ∈(－1,1)． [解析] ①f (12)＝log 31－121＋12＝log 313＝－1. f (－12)＝log 31＋121－12＝log 33＝1. ②f (12 019)＝log 31－12 0191＋12 019＝log 32 0182 020， f (－12 019)＝log 31＋12 0191－12 019＝log 32 0202 018， ∴f (12 019)＋f (－12 019)＝log 32 0182 020＋log 32 0202 018＝0. ③f (a )＋f (－a )＝log 31－a 1＋a ＋log 31＋a 1－a ＝log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a ·1＋a 1－a ＝0.计算对数函数的函数值，主要依据对数的运算性质．易错点归纳一、对数函数在哪里——对数函数与其他函数的综合问题对数函数与其他函数的综合，一种是以对数函数“log a x ”为基本量成为f (log a x )型，二是以对数函数为外型，为“log a f (x )”型，无论哪种形式，首先要分清，哪一部分相当于对数函数．[典例] 已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k ，a >0且a ≠1. (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，y ＝f (log 2x )有最小值？求出该最小值． [解析] (1)由题意得{ log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k ，即{ a 2－a ＋k ＝22，(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k ， 解得{ k ＝4＋a －a 2，log 2a ＝0或log 2a ＝1，因为a ≠1，所以{ k ＝2，a ＝2.(2)y ＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74，所以当log 2x ＝12，即当x ＝2时，f (log 2x )有最小值，最小值为74. 二、忽视对数函数的定义域致错[典例] 已知函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式及定义域； (2)求f (x )的值域．[解析] (1)因为lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )， 所以{ x >0，3－x >0，lg y >0，解得{ 0<x <3，y >1.因为lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，所以lg y ＝3x ·(3－x )，所以y ＝f (x )＝103x (3－x )＝10－3x 2＋9x ，其中0<x <3，即定义域为(0,3)．(2)因为－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，0<x <3，所以0<－3x 2＋9x ≤274，所以1<y ≤10274，即f (x )的值域为(1,10274]．纠错心得 忽略所给式子的限制条件误认为x ∈R ，所求的函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号后的解析式去确定函数的定义域．研究函数的有关性质时，我们不仅要关注转化、变形后的函数解析式有意义，更要关注题目中提供的原始条件的有关式子有意义．4.4.2对数函数的图象和性质知识点一对数函数的图象和性质x图象与y＝log2x图象利用列表描点作y＝log2x的图象，单调性如何？y＝log12有什么关系？y＝log2x在表中对应的y值是多少？x y0.5－1102 14681216知识梳理0＜a＜1a＞1图象定(0，＋∞)义域值R域性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0减函数增函数知识点二反函数的概念y＝2x图象与y＝log2x的图象之间有什么关系？知识梳理一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．解题方法探究探究一对数函数的图象[例1][教材P133图象拓展探究](1)如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．[解析]由图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞1，b＞1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜1,0＜d＜1.过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0.[答案]b＞a＞1＞d＞c(2)函数f(x)＝a x－2＋log a(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________．[解析]当x＝2时，f(2)＝a0＋log a1＋1＝2，所以图象必经过点(2,2)．[答案](2,2)(3)作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．[解析]第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)；第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)；第三步：将函数y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象(如图③)．1.含绝对值的函数图象的变换含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换．一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在x 轴上方相同，在x 轴下方关于x 轴对称．2．对数函数y ＝log a x 的底数a 越大，函数图象在x 轴上方部分越远离y 轴的正方向，即“底大图右”，如图所示．3．两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”，如图①，如图②.探究二 比较大小、解不等式 [例2] 比较下列各组数的大小： (1)log 1245与log 1267；(2)log123与log153；(3)log a2与log a3.[解析](1)y＝log12x在(0，＋∞)上递减，又因为45＜67，所以log1245＞log1267.(2)法一：log123－log153＝lg 3lg12－lg 3lg15＝lg 3(lg15－lg12)lg12lg15.∵y＝lg x是增函数，∴lg15<lg12<0<lg 3.∴log123－log153<0，∴log123<log153.法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log15x的图象在y＝log12x图象的上方，所以log123＜log153.(3)当a＞1时，y＝log a x为增函数，所以log a2＜log a3.当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数，所以log a2＞log a3.对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．(1)log a f (x )<log a g (x )，a >1与不等式组⎩⎨⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )<g (x )同解．(2)log a f (x )<log a g (x )，0<a <1与不等式组⎩⎨⎧f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x )同解．(3)特别地：当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a >1及0<a <1进行分类讨论．探究三 函数y ＝log a f (x )单调区间求法[例4] 求函数f (x )＝log a (2x 2－3x －2)的单调区间． [解析] 由2x 2－3x －2>0得函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2或x <－12. ①a >1时，t ＝2x 2－3x －2在(2，＋∞)上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上为减函数，∴f (x )在(2，＋∞)上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上为减函数．②0<a <1时，t ＝2x 2－3x －2在(2，＋∞)上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上为减函数，∴f (x )在(2，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上为增函数．综上，由①②可知，当a >1时，f (x )的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12；当0<a <1时，f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，单调减区间为(2，＋∞)．对于函数y ＝log a f (x )，如果定义域为D .y ＝log a f (x )的增区间 y ＝log a f (x )的减区间 a >1定义域内f (x )的单调增区间定义域内f (x )的单调减区间0<a<1定义域内f(x)的单调减区间定义域内f(x)的单调增区间探究四函数y＝log a f(x)的最值与值域[例5]求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log1(3＋2x－x2)．2[解析](1)设u＝x2＋4≥4.而y＝log2u是增函数．y≥log24＝2.∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(3＋2x－x2)，(2)y＝log12设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.令t＞0，－1＜x＜3.0＜t≤4.又∵y＝log1t为减函数．24＝－2∴y≥log12(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．∴函数y＝log12求形如y＝log a f(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)求f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．易错点归纳一、“化整为零”求解对数综合问题常见的对数函数的综合问题及解决策略(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种： ①由f (－x )＝±f (x )直接列关于参数的方程(组)求解．②由f (－a )＝±f (a )(其中a 是某具体数)得关于参数的方程(组)，求解，但此时需检验．(2)用定义证明y ＝log a f (x )型函数的单调性时，应先比较与x 1，x 2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．[典例] 已知函数f (x )＝ln 1－mxx －1是奇函数． (1)求m 的值；(2)判定f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． [解析] (1)f (－x )＝ln 1＋mx －x －1＝ln －1－mx1＋x， －f (x )＝－ln1－mx x －1＝ln x －11－mx， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即ln －1－mx 1＋x ＝ln －1＋x1－mx ，∴－1－mx 1＋x ＝－1＋x 1－mx，解得m ＝±1.当m ＝1时，1－mx x －1＝－1，函数无意义，∴m ＝－1.(2)f (x )在(1，＋∞)上是减函数，证明如下： 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1.任取x 1，x 2满足1＜x 1＜x 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).∵x 2－x 1＞0，x 1－1＞0，x 2－1＞0. ∴2(x 2－x 1)(x 2－1)(x 1－1)＞0，∴1＋2x1－1＞1＋2x2－1，∴ln(1＋2x1－1)＞ln⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x2－1，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．二、忽视对对数函数的底数的讨论[典例]函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值．[解析]当a＞1时，因为函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值是log a4，最小值是log a2，所以log a4－log a2＝1，即log a 42＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，y＝log a x在[2,4]上的最大值为log a2，最小值为log a4，∴log a2－log a4＝1，∴log a 12＝1，∴a＝12.综上，a＝2或a＝1 2.纠错心得此题易忽略对底数a的分类讨论，而只解一种情况．求闭区间上函数的最值时必须明确函数的单调性，否则需分类讨论．三、互为反函数的两个函数图象间的关系根据指数与对数的关系，由y＝a x(a＞0，且a≠1)可以得到x＝log a y(a＞0，且a≠1)，x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，将x＝log a y(a＞0，且a≠1)中的字母x和y对调，写成y＝log a x(a＞0，且a≠1)．则y＝a x与y＝log a x(a＞0，a≠1)为互为反函数；其图象关于y＝x对称．y＝a x与x＝log a y(a ＞0，a≠1)是等价形式．原函数y＝a x(a＞0，a≠1)的定义域R是反函数y＝log a x的值域．原函数y＝a x的值域(0，＋∞)是y＝log a x的定义域．原函数y＝a x的点(x0，y0)，则(y0，x0)在y＝log a x上．[典例]设函数y＝－x＋2与函数y＝10x和y＝lg x分别交于A、B两点，若设A(x1，y1)、B(x2，y2)，求x1＋x2的值．[解析]∵y＝10x与y＝lg x是互为反函数．其图象关于y＝x对称．A(x1，y1)在y＝10x上．B(x2，y2)在y＝lg x上．∴A、B两点关于y＝x对称．即B(y1，x1)，∴x1＋x2＝x1＋y1.又∵A(x1，y1)在y＝－x＋2上∴y1＝－x1＋2∴x1＋y1＝2.∴x1＋x2＝2.4.4.3不同函数增长的差异知识点一函数y＝a x与y＝kx间的增长比较(a＞1，k＞0)函数y＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x＞2x会恒成立？知识梳理(1)y＝a x(a＞1)与y＝kx(k＞0)在区间[0，＋∞)都单调递增．(2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx的增长速度．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有a x＞kx.知识点二函数y＝log a x(a＞1)与y＝kx(k＞0)的增长比较函数y＝lg x与y＝110x有几个交点，x在什么范围下，lg x＜110x会恒成立？知识梳理一般地，虽然对数函数y＝log a x(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y ＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x 的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.知识点三指数函数y＝a x与幂函数y＝x n(a＞1，n＞0)的增长比较函数y＝2x与y＝x2有几个交点，x在什么范围下，有2x＞x2恒成立？知识梳理(1)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数的运算课件新人教A版必修第一册ppt
7 log2 4 5log2 2 7 2 51 19
2
（2）lg 5 100 lg105
2
5
【提升总结】 对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是: (1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 对数. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【变式练习】
1.求下列各式的值：
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多 少倍（精确到1）.
解:(1) M lg 20 lg 0.001 lg 20 lg 20 000 0.001
lg 2 lg104 4.3
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由 M lg A lg A0 可得
(2)
log3
45
log3
5
log3
45 5
log3 9 log3 32
2log3 3 2
4.(2017·北京高考文科·T8)同(2017·北京高考理科·T8)根
据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可
观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数
中与 M 最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) ( ) N
p logc N logc a
即证得
loga
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
结论：对数的运算性质
loga (M N ) loga M loga N
loga
M N
loga M
loga
N
loga M n nloga M
loga
N
logc logc
N a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; M 0, N 0, n R)
2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
知识点二 比较大小
3．已知 log3 b＜log3 a＜log3 c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析 由于函数 y＝log3 x 为减函数，因此由 log3 b＜log3 a＜log3 c 可得
5
5
5
5
b＞a＞c，又由于函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
1＋x
1－x
且 f(－x)＝lg 1－x＝－lg 1＋x＝－f(x)，
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数44对数函数443对数函数的图象与性质2课件新人教A版必修第
A.0，12 C.12，＋∞
B.0，12 D. (0，＋∞)
解析：当 x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，而函数 f(x)＝log2a(x＋1)>0，
故
0<2a<1，即
1 0<a<2.
5．函数 y＝ln|2x－1 3|的图象为( A )
解析：易知 2x－3≠0，即 x≠32，排除 C、D 项．当 x>32时， 函数为减函数，当 x<32时，函数为增函数，所以选 A.
复习课件
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.3对数函数的图 象与性质2课件新人教A版必修第一册
2021/4/17
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数44对数函数443 对数函数的图象与性质2课件新人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数 第38课时 对数函数的图象与性质(2)
D.－∞，12
解析：由 2x2－3x＋1>0 得(2x－1)(x－1)>0，解得 x<12或 x>1.设
t＝2x2－3x＋1＝2x－342－18，所以函数 t 的单调递增区间为(1，＋
∞)．又 y＝log1 t 为减函数，故 y＝log1 (2x2－3x＋1)的单调递减区
2
2
间为(1，＋∞)．
4．若定义在(－1,0)内的函数 f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数 a 的 取值范围是( A )
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2021/4/17
新教材高中数学第四章指数函数与
25
对数函数44对数函数443对数函数
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。
新教材高中数学第四章指数函数课后篇巩固提升含解析新人教A版必修第一册
新教材高中数学新人教A版选择性必修第一册：4.2 指数函数课后篇巩固提升合格考达标练1.若函数f(x)=(m2-m-1)a x(a>0,a≠1)是指数函数,则实数m的值为()A.2B.1C.3D.2或-1,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.2.(2021河南新乡高一期中)已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,则a,b,c的大小关系正确的是()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b40.1>40=1,而0<0.40.8<0.40.5<0.40=1,即a>1,0<c<b<1,所以a>b>c.故选C.3.(2021北京房山高一期末)如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则()A.b<-1B.-1<b<0C.0<b<1D.b>1f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则0<f(0)<1,即0<b+1<1,解得-1<b<0.故选B.4.函数y=a x-a(a>0,a≠1)的图象可能是()a>1时,y=a x是增函数,-a<-1,则函数y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=a x是减函数,y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项D不正确,选项C正确.5.已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=a x+b的图象不经过第象限.<a<1,指数函数y=a x单调递减,-1<b<0,将函数y=a x的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=a x+b的图象,可知图象不过第三象限.6.(2021陕西西安高一期中)已知0<a<b<1,则a a,a b,b a从大到小的顺序是.a>a a>a ba a,a b,由于0<a<b<1,函数y=a x为减函数,故a a>a b,再比较a a,b a,由于0<a<b<1,函数y=x a在(0,+∞)上单调递减,故b a>a a.综上b a>a a>a b.7.设函数f(x)=1210-ax,其中a为常数,且f(3)=116,则a的值为;若f(x)≥4,则x的取值范围为.[6,+∞)解析函数f(x)=1210-ax,由f(3)=116,得1210-3a=116,得3a-10=-4,解得a=2,故f(x)=22x-10.由f(x)≥4,得22x-10≥22,故2x-10≥2,解得x≥6.8.(2021陕西咸阳四校高一期中)已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N.(1)若M+N=6,求实数a的值;(2)若M=2N,求实数a的值.当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)的最大值为M=f(2)=a2,最小值N=f(1)=a;②当0<a<1时,f(x)在[1,2]上单调递减,则f(x)的最大值为M=f(1)=a,最小值N=f(2)=a2.(1)∵M+N=6,∴a2+a=6,解得a=2,或a=-3(舍去).(2)∵M=2N,∴当a>1时,a2=2a,解得a=2,或a=0(舍去);当0<a<1时,2a2=a,解得a=12,或a=0(舍去).综上所述,a=2或a=12.等级考提升练9.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点()A.-2,14B.-1,12C.(1,2)D.3,18f(x)=a x,a>0且a≠1.∵f(-1)=1a =2,解得a=12,即f(x)=12x.∵f(-2)=12-2=4,f(-1)=12-1=2,f(1)=12,f(3)=123=18.故D正确.10.(2021安徽黄山高一期末)若2 020a =2 021b >1,则 ( )A.0<b<a B .a<b<0 C .0<a<b D .b<a<0y=2020x 以及y=2021x 的图象,因为2020a =2021b >1,所以0<b<a.11.函数y=a |x|+1(a>0,且a ≠1),x ∈[-k ,k ],k>0的图象可能为( ),函数y=a |x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B .当0<a<1时,函数图象如选项C 所示.当a>1时,函数图象在区间[0,k ]上单调递增,但图象应该是下凸,排除D .故选C .12.(2021北京通州高一期末)函数f (x )={a x ,x ≤0,3a -x ,x >0(a>0,且a ≠1)在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞)B .(0,1)C .13,1D .0,13解析因为函数f (x )={a x ,x ≤0,3a -x ,x >0(a>0,且a ≠1)在R 上单调递减,所以{0<a <1,a 0≥3a -0,解得0<a ≤13,即实数a的取值范围是0,13.故选D .13.定义max{a ,b ,c }为a ,b ,c 中的最大值,设M=max{2x ,2x-3,6-x },则M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6M=max{2x ,2x-3,6-x }的图象,如图所示.由图可知,函数M 在A (2,4)处取得最小值22=6-2=4,即M 的最小值为4,故选C .14.(多选题)(2020山东临沂高一期末)如图,某湖泊中蓝藻的面积y (单位:m 2)与时间t (单位:月)的关系满足y=a t ,则下列说法正确的是( )A.蓝藻面积每个月的增长率为100% B .蓝藻每个月增加的面积都相等 C .第6个月时,蓝藻面积就会超过60 m 2D .若蓝藻面积蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1,t 2,t 3,则一定有t 1+t 2=t 3,函数y=a t 图象经过(1,2),即a 1=2,则a=2,∴y=2t .∴2t+1-2t =2t 不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,且每个月的增长率为100%,故A 对,B 错;当t=6时,y=26=64>60,故C 对;若蓝藻面积蔓延到2m 2,3m 2,6m 2所经过的时间分别是t 1,t 2,t 3,则2t 1=2,2t 2=3,2t 3=6,则2t 1·2t 2=2×3,即2t 1+t 2=6,则t 1+t 2=t 3,故D 对.15.(2021四川阆中高一期中)已知函数f (x )=a x (a>0且a ≠1)的图象经过点2,19.(1)求a ,并比较f (b 2+b+1)与f 34的大小;(2)求函数g (x )=a x2-2x -3的值域.解(1)由已知得a 2=19,解得a=13,故f (x )=13x .∵f (x )=13x在R 上单调递减,且b 2+b+1=(b +12)2+34≥34,∴f34≥f (b 2+b+1).(2)令t=x 2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, ∵y=13t在R 上单调递减,∴y=13t ≤13-4=81. ∵y=13t>0, 故g (x )的值域是(0,81]. 16.已知函数f (x )=a x +b (a>0,且a ≠1). (1)若f (x )的图象如图①所示,求a ,b 的值; (2)若f (x )的图象如图②所示,求a ,b 的取值范围;(3)在(1)中,若|f (x )|=m 有且仅有一个实数解,求出m 的取值范围.因为函数f (x )的图象过点(2,0),(0,-2),所以{a 2+b =0,a 0+b =-2,解得a=√3,b=-3.(2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1),因为f (0)=1+b<0,即b<-1,所以b 的取值范围为(-∞,-1).(3)由题图①可知y=|f (x )|的图象如图所示.由图可知使|f (x )|=m 有且仅有一个实数解的m 的取值范围为{m|m=0或m ≥3}.新情境创新练17.(多选题)(2021福建泉州实验中学高一期中)已知函数f (x )是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x ∈(0,4]时,f (x )的图象如图所示,那么满足不等式f (x )≥3x -1的x 的可能取值是( )A.-3 B .-1C .1D .3解析因为函数f (x )是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f (x )在[-4,0)∪(0,4]的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x -1的图象,因为f (2)=89,所以f (-2)=-f (2)=-89=3-2-1,又f (1)=2=31-1,即f (x )与y=3x -1交于-2,-89和(1,2)两点.由图象可得f (x )≥3x -1的解满足x ≤-2或0<x ≤1.又定义域为[-4,0)∪(0,4],所以x ∈[-4,-2]∪(0,1].故选AC .。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数对数函数的概念图象及性质教案
考点学习目标核心素养对数函数的概念理解对数函数的概念，会判断对数函数数学抽象对数函数的图象初步掌握对数函数的图象和性质直观想象对数函数的定义域问题能利用对数函数的性质解决与之有关的定义域问题数学运算问题导学预习教材P１３0—P１３５，并思考以下问题：１．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？２．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log２x与y＝log错误!x的图象吗？３．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？１．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x（a>0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．■名师点拨在对数函数的定义表达式y＝log a x（a>0，且a≠１）中，log a x前边的系数必须是１，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．２．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜１a＞１图象性质定义域（0，＋∞）值域R定点（１，0），即x＝１时，y＝0单调性在（0，＋∞）上是减函数在（0，＋∞）上是增函数■名师点拨底数a 与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>１时，对数函数的图象“上升”；当0<a<１时，对数函数的图象“下降”．３．反函数指数函数y＝a x（a>0，且a≠１）和对数函数y＝log a x（a>0，且a≠１）互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）y＝log２x２与y＝log x３都是对数函数．（）（２）对数函数的定义域、值域都是R.（）（３）对数函数的图象一定在y轴右侧．（）（４）函数y＝log２x与y＝２x互为反函数．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝ln xＢ．y＝ln（x＋１）Ｃ．y＝log x e Ｄ．y＝log x x答案：A函数f（x）＝lg（３x）—错误!的定义域是（）Ａ．（0，２）Ｂ．[0，２]Ｃ．[0，２）Ｄ．（0，２]答案：D对数函数f（x）＝log a x的图象过点（３，１），则f（9）的值为________．答案：２若对数函数y＝log （１—２a）x，x∈（0，＋∞）是增函数，则a的取值范围为________．答案：（—∞，0）对数函数的概念下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数．错误!判断一个函数是对数函数的方法１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝log错误!（x＋１）Ｃ．y＝２log错误!xＤ．y＝log错误!x＋１解析：选Ａ．形如y＝log a x（a>0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选Ａ．２．若函数y＝（a２—４a＋４）·log a x是对数函数，则实数a的值为________．解析：因为（a２—４a＋４）·log a x是对数函数，则a２—４a＋４＝１，得a＝１或a＝３．由于a>0，a≠１，则a＝１舍去，即a＝３．答案：３３．若对数函数f（x）＝log a x的图象过点（２，１），则f（8）＝________．解析：依题意知１＝log a２，所以a＝２，所以f（x）＝log２x，故f（8）＝log２8＝３．答案：３与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域：（１）y＝错误!；（２）y＝log２（１6—４x）；（３）y＝log（x—１）（３—x）．【解】（１）要使函数式有意义，需错误!解得x>１，且x≠２．所以函数y＝错误!的定义域是{x|x>１，且x≠２}．（２）要使函数式有意义，需１6—４x>0，解得x<２．所以函数y＝log２（１6—４x）的定义域是{x|x<２}．（３）要使函数式有意义，需错误!解得１<x<３，且x≠２．所以函数y＝log（x—１）（３—x）的定义域是{x|１<x<３，且x≠２}．错误!（１）求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则１分母不能为0；２根指数为偶数时，被开方数非负；３对数的真数大于0，底数大于0且不为１．（２）求函数定义域的步骤１列出使函数有意义的不等式（组）；２化简并解出自变量的取值范围；３确定函数的定义域．求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log x—２（５—x）．解：（１）要使函数式有意义，需错误!所以错误!所以—１<x<１．所以该函数的定义域为（—１，１）．（２）要使函数式有意义，需错误!所以错误!所以２<x<５，且x≠３．所以该函数的定义域为（２，３）∪（３，５）．对数型函数的图象角度一对数型函数图象的辨析已知a＞0，且a≠１，则函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是（）【解析】当a＞１时，函数y＝log a x为增函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标大于１；当0＜a＜１时，函数y＝log a x为减函数，且直线y＝x＋a与y轴的交点的纵坐标在0到１之间，只有C符合，故选Ｃ．【答案】C角度二作对数型函数的图象画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调性：（１）y＝log３（x—２）；（２）y＝|log错误!x|.【解】（１）函数y＝log３（x—２）的图象如图１．其定义域为（２，＋∞），值域为R，在区间（２，＋∞）上是增函数．（２）y＝|log错误!x|＝错误!其图象如图２．其定义域为（0，＋∞），值域为[0，＋∞），在（0，１]上是减函数，在（１，＋∞）上是增函数．角度三对数型函数图象的数据分析如图，若C１，C２分别为函数y＝log a x和y＝log b x的图象，则（）Ａ．0＜a＜b＜１Ｂ．0＜b＜a＜１Ｃ．a＞b＞１Ｄ．b＞a＞１【解析】作直线y＝１，则直线与C１，C２的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜１．【答案】B错误!有关对数型函数图象问题的应用技巧（１）求函数y＝m＋log a f（x）（a＞0，且a≠１）的图象过定点时，只需令f（x）＝１求出x，即得定点为（x，m）．（２）给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．（３）根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝１与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．１．在同一坐标系中，函数y＝２—x与y＝log２x的图象是（）解析：选Ａ．函数y＝２—x＝错误!错误!过定点（0，１），单调递减，函数y＝log２x过定点（１，0），单调递增，故选Ａ．２．已知函数y＝log a（x＋b）（a＞0且a≠１）的图象如图所示．（１）求实数a与b的值；（２）函数y＝log a（x＋b）与y＝log a x的图象有何关系？解：（１）由图象可知，函数的图象过（—３，0）点与（0，２）点，所以得方程0＝log a（—３＋b）与２＝log a b，解得a＝２，b＝４．（２）函数y＝log a（x＋４）的图象可以由y＝log a x的图象向左平移４个单位得到．１．对数函数的图象过点M（１6，４），则此对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log４xＢ．y＝log错误!xＣ．y＝log错误!xＤ．y＝log２x解析：选Ｄ．由于对数函数的图象过点M（１6，４），所以４＝log a１6，得a＝２．所以对数函数的解析式为y＝log２x，故选Ｄ．２．已知函数f（x）＝log a（x—１）＋４（a>0，且a≠１）的图象恒过定点Q，则Q点坐标是（）Ａ．（0，５）B．（１，４）C．（２，４）D．（２，５）解析：选Ｃ．令x—１＝１，即x＝２．则f（x）＝４．即函数图象恒过定点Q（２，４）．故选Ｃ．３．若函数y＝log a（x＋a）（a>0且a≠１）的图象过点（—１，0）．（１）求a的值；（２）求函数的定义域．解：（１）将点（—１，0）代入y＝log a（x＋a）（a>0且a≠１）中，有0＝log a（—１＋a），则—１＋a＝１，所以a＝２．（２）由（１）知y＝log２（x＋２），由x＋２>0，解得x>—２，所以函数的定义域为{x|x>—２}．[A 基础达标]１．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝（错误!）２Ｃ．y＝log２２xＤ．y＝２log２x解析：选Ｃ．y＝错误!＝|x|，y＝（错误!）２的定义域为{x|x≥0}，y＝log２２x＝x（x∈R），y＝２log２x＝x（x>0），故与函数y＝x是同一个函数的是y＝log２２x.故选Ｃ．２．y＝２x与y＝log２x的图象关于（）Ａ．x轴对称Ｂ．直线y＝x对称Ｃ．原点对称Ｄ．y轴对称解析：选Ｂ．函数y＝２x与y＝log２x互为反函数，故函数图象关于直线y＝x对称．３．函数f（x）＝ln错误!错误!＋错误!的定义域为（）Ａ．错误!Ｂ．（—２，＋∞）Ｃ．错误!∪错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．对于函数f（x）＝ln错误!错误!＋错误!，有错误!解得x>—２且x≠错误!.故定义域为错误!∪错误!.４．函数y＝lg（x＋１）的图象大致是（）解析：选Ｃ．由底数大于１可排除A、B，y＝lg（x＋１）可看作是y＝lg x的图象向左平移１个单位．（或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数）５．若函数y＝f（x）是函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的反函数，且f（２）＝１，则f（x）＝（）Ａ．log２xＢ．错误!Ｃ．log错误!xＤ．２x—２解析：选Ａ．函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的反函数是f（x）＝log a x，又f（２）＝１，即log a２＝１，所以a＝２．故f（x）＝log２x.6．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，错误!解得a＝５．答案：５7．函数y＝log a（x＋１）—２（a>0且a≠１）的图象恒过点________．解析：依题意，当x＝0时，y＝log a（0＋１）—２＝0—２＝—２，故图象恒过定点（0，—２）．答案：（0，—２）8．如果函数f（x）＝（３—a）x，g（x）＝log a x的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f（x），g（x）均为增函数，则错误!即１＜a＜２，若f（x），g（x）均为减函数，则错误!无解．综上，a的取值范围是（１，２）．答案：（１，２）9．已知函数f（x）＝log３x.（１）作出函数f（x）的图象；（２）由图象观察当x>１时，函数的值域．解：（１）函数f（x）的图象如图：（２）当x>１时，f（x）>0．故当x>１时，函数值域为（0，＋∞）．１0．已知函数f（x）＝log a（３＋２x），g（x）＝log a（３—２x）（a＞0，且a≠１）．（１）求函数y＝f（x）—g（x）的定义域；（２）判断函数y＝f（x）—g（x）的奇偶性，并予以证明．解：（１）要使函数y＝f（x）—g（x）有意义，必须有错误!解得—错误!＜x＜错误!.所以函数y＝f（x）—g（x）的定义域是错误!.（２）由（１）知函数y＝f（x）—g（x）的定义域关于原点对称，所以，f（—x）—g（—x）＝log a（３—２x）—log a（３＋２x）＝—[log a（３＋２x）—log a（３—２x）]＝—[f（x）—g（x）]．所以函数y＝f（x）—g（x）是奇函数．[B 能力提升]１１．函数f（x）＝错误!的定义域为（0，１0]，则实数a的值为（）Ａ．0 Ｂ．１0Ｃ．１Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由已知，得a—lg x≥0的解集为（0，１0]，由a—lg x≥0，得lg x≤a，又当0<x≤１0时，lg x≤１，所以a＝１，故选Ｃ．１２．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lg（x＋１），求f（x）的表达式，并画出f（x）的大致图象．解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0．又当x∈（—∞，0）时，—x∈（0，＋∞），所以f（—x）＝lg（１—x）．又f（—x）＝—f（x），所以f（x）＝—lg（１—x），所以f（x）的解析式为f（x）＝错误!所以f（x）的大致图象如图所示：１３．求函数y＝（log错误!x）２—错误!log错误!x＋５在区间[２，４]上的最大值和最小值．解：因为２≤x≤４，所以log错误!２≥log错误!x≥log错误!４，即—１≥log错误!x≥—２．设t＝log错误!x，则—２≤t≤—１，所以y＝t２—错误!t＋５，其图象的对称轴为直线t＝错误!，所以当t＝—２时，y max＝１0；当t＝—１时，y min＝错误!.[C 拓展探究]１４．已知f（x）＝２＋log３x，x∈[１，9]，g（x）＝（f（x））２＋f（x２）．（１）求g（x）的定义域；（２）求g（x）的最大值以及g（x）取得最大值时x的值．解：（１）因为f（x）的定义域为[１，9]，所以要使函数g（x）＝（f（x））２＋f（x２）有意义，必须满足错误!所以１≤x≤３，所以g（x）的定义域为[１，３]．（２）因为f（x）＝２＋log３x，所以g（x）＝（f（x））２＋f（x２）＝（２＋log３x）２＋２＋log３x２＝（log３x）２＋6log３x＋6＝（log３x＋３）２—３．因为g（x）的定义域为[１，３]，所以0≤log３x≤１．所以当log３x＝１，即x＝３时，函数g（x）取得最大值．所以g（x）max＝g（３）＝１３．。
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- 1 - 新教材高中数学第四章指数函数与对数函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11 章末复习提升课
指数与对数的运算 求下列各式的值：
(1)827－23－3e·e23＋（2－e）2＋10lg 2； (2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg125－log29×log32.
【解】 (1)827－23－3e·e23＋（2－e）2＋10lg 2 ＝233－23－e13·e23＋(e－2)＋2 ＝23－2－e＋e－2＋2＝322＝94. - 1 -
(2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg125－log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg15－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.
(1)指数与对数的运算应遵循的原则 ①指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的； ②对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行． (2)底数相同的对数式化简的两种基本方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
1．计算：278－13＋log2(log216)＝________． 解析：原式23－3×－13＋log24＝23＋2＝83. 答案：83 2．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y的值为________． 解析：由2x＝3，log483＝y得x＝log23，y＝log483＝12log283，所以x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3. 答案：3
指数函数、对数函数的图象问题 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) - 1 -
【解析】 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－
x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B. 【答案】 B
(1)识别函数的图象从以下几个方面入手： ①单调性：函数图象的变化趋势； ②奇偶性：函数图象的对称性； ③特殊点对应的函数值． (2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．
1．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.
因为a＞1，所以函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限，所以选D. 2．对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． 解析：当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)． 答案：(－1，－1)
指数函数、对数函数的性质 - 1 -
设f(x)＝log121－axx－1为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 【解】 (1)因为f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，
所以log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1＝log12x－11－ax.
所以1＋ax－x－1＝x－11－ax， 即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)， 所以a＝－1(a＝1舍去)．
(2)由(1)可知f(x)＝log12x＋1x－1
＝log121＋2x－1(x>1)， 令u(x)＝1＋2x－1(x>1)， 对任意的1u(x1)－u(x2)＝1＋2x1－1－1＋2x2－1
＝2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）. 因为1所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
所以2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）>0， 即u(x1)－u(x2)>0. 所以函数u(x)＝1＋2x－1在(1，＋∞)上是减函数． 又因为函数y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(x)＝log12x＋1x－1在(1，＋∞)上为增函数． - 1 -
基本初等函数单调性的判断与应用 (1)对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响，对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响． (2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．
1．设函数f(x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0，2)上是增函数 B．奇函数，且在(0，2)上是减函数 C．偶函数，且在(0，2)上是增函数 D．偶函数，且在(0，2)上是减函数
解析：选A.由题意得2＋x>0，2－x>0，解得－2对称．因为f(－x)＝ln(2－x)－ln(2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；又y＝ln(2＋x)在(－2，2)上单调递增，y＝ln(2－x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在(－2，2)上单调递增．故选A. 2．若函数y＝loga(2x－1)(0＜a＜1)在区间[3，6]上有最小值为－2，则实数a的值为________． 解析：因为0所以函数y＝loga(2x－1)在区间[3，6]上为减函数，所以当x＝6时，y有最小值为－2，即loga11＝－2，
所以a－2＝1a2＝11，解得a＝1111.
答案：1111
函数的应用 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：
月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： - 1 -
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝203(x－4)2(x≥1)，
h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 【解】 (1)用h(x)模拟比较合理，理由如下： 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30； f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.
利用已知函数模型解决实际问题的方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．
1．函数f(x)＝lg x与g(x)＝7－2x图象交点的横坐标所在区间是( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(1，5) 解析：选C.函数h(x)＝f(x)－g(x)＝lg x－(7－2x)＝lg x＋2x－7在(0，＋∞)上单调递增，且h(3)＝lg 3＋2×3－7＝lg 3－1<0，h(4)＝lg 4＋2×4－7＝lg 4＋1>0. 所以函数h(x)的零点所在区间为(3，4)，即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标所在区间为(3，4)．故选C. 2．国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球
密封不好，经过t天后气球体积变为V＝ae－kt.若经过25天后，气球体积变为原来的23，则至
少经过________天后，气球体积小于原来的13.(lg 3≈0.477，lg 2≈0.301，结果保留整数) 解析：由已知“经过t天气球体积变为V＝ae－kt，经过25天后，气球体积变为原来的23”得， ae－25k＝23a⇒e－25k＝23，
则－25k＝ln 23，① - 1 -
设t0天后气球体积变为原来的13，即V＝ae－kt0＝13a，即e－kt0＝13，则－kt0＝ln 13，② ①②两式相除可得－25k－kt0＝ln23ln13，即25t0＝ln23ln13＝lg 2－lg 3－lg 3≈0.301－0.477－0.477≈0.369，所以t0≈68，即至少经过68天后，气球体积小于原来的13.
答案：68