轴对称知识点梳理.
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点在日常生活中，轴对称经常出现在各种图形、物品和自然事物中。
轴对称是一种基本的几何概念，是我们理解图形、计算面积和体积等几何问题的重要基础。
本篇文章将重点讨论轴对称的概念、性质和应用，帮助读者全面了解轴对称的知识点。
一、轴对称的基本概念轴对称是指平面上的一个点、线或面，将图形沿着该点、线或面折叠后，两侧重合的现象。
例如，一个圆可以沿着其圆心为轴对称，一个矩形可以沿着其中心的对角线为轴对称。
轴对称的基本概念包括以下几个要素：1. 轴：轴是平面上的一个点、直线或面，用于将图形分割成对称的两部分。
2. 对称中心：对称中心是轴对称的中心点或中心线，是图形对称的基准点。
3. 对称轴：对称轴是指通过对称中心的直线或平面，用于确定图形的对称位置。
4. 对称面：对称面是指沿着某个平面进行对称的现象，例如，一个立方体可以沿着一个面为对称面。
二、轴对称的性质轴对称是一种基本的几何概念，具有一些重要的性质，包括：1. 对称关系：轴对称的两侧是对称关系，互为镜像。
例如，一个字母“S”在其对称轴的两侧是相似的镜像形。
2. 对称轴必须经过对称中心：轴对称的对称轴必须经过对称中心，这是其对称的基准点。
3. 对称轴是唯一的：轴对称的对称轴是唯一的，它既可以是一条直线，也可以是一个平面。
4. 对称图形具有相同的面积和周长：轴对称的图形具有相同的面积和周长，这意味着，我们可以通过测量一侧的面积和周长，计算出整个图形的面积和周长。
三、轴对称的应用轴对称是一种重要的几何概念，在各种领域都有广泛的应用，包括：1. 在工程绘图中，轴对称被广泛用于设计对称性的零件和构件。
例如，一个机器零件可能需要在两侧具有相等的重量和力学性能，这就需要使用轴对称进行设计。
2. 在纹样和图案设计中，轴对称是一种常见的设计手段。
例如，一些印度图案和中国的剪纸，都是基于轴对称设计的。
3. 在数学中，轴对称被广泛应用于计算面积和体积。
例如，计算一个图形的面积，可以将其沿着某个轴对称的线分割成对称的两部分，计算一部分的面积后，再乘以2。
第二章轴对称图形知识点归纳+典型例题+提优
2.1轴对称与轴对称图形姓名_______学号_______班级_______ 学习目标:1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念.2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系.学习重点:了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值.学习难点:能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念．学习过程:一、创设情境观察如下的图案, 它们有什么共同的特征?二、探索活动活动一折纸印墨迹问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、点C与点F都是关于直线MN的对称点.活动二切藕制作成轴对称的两个截面联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？活动三把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________.请你找出图1-5中的各图的对称轴.联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系三、课堂练习1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点.2.画出下列各轴对称图形的对称轴.四、课堂小结了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别. 能正确区分轴对称图形和轴对称..五、课后作业1.下列奥运会会徽是轴对称图形吗？如果是，画出对称轴.2.（1）正五边形（各边相等且各角也相等的五边形，如图①）有几条对称轴？（2）在图①中画一条对角线得到图②，图②有几条对称轴？（3）如果再图②中再画一条对角线，那么所得图形有几条对称轴？3.请你为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽。
八年级数学角的轴对称性知识点梳理及练习
角的轴对称性学习目标：1. 通过动手试验掌握角平分线的性质与判定；2. 理解角平分线与对称轴的关系；3. 掌握角平分线的性质及判定。
学习重点：角平分线的性质与判定的理解。
学习难点：运用角平分线性质及判定解决问题。
1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB2. 角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.例题：已知：如图，AB ∥CD ，∠BAC 和∠ACD 的平分线交于点P ，试说明：点P 到AB 、CD 的距离相等.PDC BA【变式】已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：PA 平分∠MAN ．考点训练1. （2020·无锡市期中）如图，直线123l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2.（2020春•凌海市期末）在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，则点P 、Q 、M 、N 中在AOB ∠的平分线上是( )A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点3. （2020•南山区模拟）如图，ABC ∆中，5AB =，4AC =，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于D 和E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于二分之一DE 为半径作弧，两弧交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，GH AC ⊥于H ，2GH =，则ABG ∆的面积为( )A ．4B ．5C ．9D ．104. （2020春•竞秀区期末）如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若两平行线AD 与BC 间的距离为4，则(PE = )A ．4B ．2C ．8D ．6【变式】（2020春•锦州期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD =，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．45. （2020•开福区模拟）如图，点O 在ABC ∆内，且到三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠等于( )A ．110︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒6. （2019·南京市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确7. （2020春•南岗区校级期中）如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC ∆的面积为221cm ，8AB cm =，6AC cm =，则DE 的长为 cm ．8 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，AC ＝15cm ，且CD ∶AD ＝2∶3，则点D 到AB 的距离为 ．CD BA9. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝ ．10. （2020春•沙坪坝区期末）如图，OP 平分AOB ∠，PM OA ⊥于M ，点D 在OB 上，DH OP ⊥于H ．若4OD =，7OP =，3PM =，则DH 的长为 ．11. 如图所示，A 、B 是两个工厂，m 、n 是两条公路，现要在这一地区建一加油站，要求这个加油站到A 、B 两个工厂的路程相等、到两条公路m 、n 的距离也相等，是否存在同时满足这两个要求的地点？怎样找出这个地点？m n B A12. （2020春•岳阳期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，且E 为AB 的中点．（1）求B ∠的度数．（2）若5DE =，求BC 的长．13. 如图所示，OC 平分∠AOB，P 是OC 上一点，D 是OA 是上一点，E 是OB 上一点，且PD ＝PE ，试说明：∠PDO＋∠PEO＝180°.PO E D CB A思维拓展如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5如图,△ABC 中,∠B =90∘，两直角边AB =7，BC =24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PD ⊥AC ，垂足分别为E. F. D ，求PD 的长。
轴对称知识点
一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线后，直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指个图形；（2）轴对称图形存在条对称轴；有的则存在条对称轴；（3）图形被对称轴分成的两部分；（4）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于个图形，如果沿一条直线对折后，它们能，那么称这个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：（1）有个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是形，但两个图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是而不是线段；三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离。
四、线段的垂直平分线1、于一条线段并且这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的距离相等。
五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做三角形；2、相等的两条边叫做；另一边叫做；3、两腰的夹角叫做，腰与底边的夹角叫做；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其或，或所在的直线是它的对称轴。
6、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线，简称为“三线合一”。
7、等腰三角形的两个底角，简写成“”。
8、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：（1）相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个相等，那么它们所对的也相等相等，简写为“”。
六、等边三角形1、等边三角形是指都相等的三角形，又称三角形，是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底与腰的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线都是它的对称轴。
4、等边三角形的都相等，都是600。
七、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为（对称点），能够重合的线段称为，能够重合的角称为。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是指物体具有在某一平面上的镜像对称性质。
在数学和几何学中，轴对称是一种特殊的对称形式，是对称性的重要表现形式之一。
下面将对轴对称的知识点进行总结。
一、轴对称的概念轴对称是指物体或图形在某一平面上的镜像对称性质。
这个平面被称为轴线或对称轴。
沿着轴线对物体进行镜像变换，使得物体的每一个点与镜像点相关联，二者之间的距离保持不变。
轴对称可以存在于二维图形、立体物体以及其他几何结构中。
二、轴对称的特点1. 图形的每一点都关于轴线对称，对称点在轴线上。
2. 对称图形的延长线与轴线重合，对称图形的每一条直线都是轴线上两个对称点的中垂线或垂直平分线。
3. 对称图形的面积、周长和内角和与其镜像图形相等。
4. 对称图形的对称中心与图形的每一个点距离的平方和最小。
三、轴对称的判定方法1. 观察图形是否有明显的对称形状，例如正方形、圆等。
2. 通过自身对折或平移观察是否可以重合。
3. 镜像变换：通过将图形投影到一个平面上，并观察是否与投影前的图形重合完成。
四、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称的图案可以给人以和谐、美感的感受，常用于服装、陶瓷、织物等设计中。
2. 建筑设计：许多建筑物在设计中运用了轴对称的原则，例如古代的宫殿、寺庙等，可以使建筑更加庄重、稳定。
3. 生物学：许多生物体的结构具有轴对称性，例如动物的身体结构，植物的花朵等都存在轴对称现象，这也是生命体的一种基本特征。
4. 数学研究：轴对称是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、代数和图论等领域的研究中。
特别是在图论中，轴对称是许多图形算法的基础。
五、轴对称的相关定理1. 轴对称的性质可以应用于线段、角、多边形、三角形等几何概念的研究中，例如轴对称定理、轴对称三角形定理等。
2. 轴对称可以通过镜像变换来实现，这也与线性变换和矩阵运算有关。
研究轴对称问题可以进一步理解和应用线性代数等数学知识。
六、轴对称与其他对称性质的关系1. 轴对称是平移对称的一种特殊形式。
轴对称古代知识点总结
轴对称古代知识点总结一、轴对称的概念轴对称，又称对称轴，是指物体上的某条直线，对这条直线上的点作对称变换时，这条直线是对称变换的轴。
也就是说，沿着轴对称的直线将物体划分为两部分，两部分是完全相似的，只是在轴对称线上的点的位置互相翻折。
轴对称是几何图形中的一种对称性。
在古代的数学中，轴对称的概念并不是以轴对称的名义出现的，但在古代的几何学和美学中，对称性的概念得到了充分的重视。
古希腊的几何学家欧几里得在其著作《几何原本》中系统地论述了几何学的基本概念，其中包括了对称性的讨论。
在古代的雕塑和建筑中，对称性也被广泛地应用，因此，轴对称的概念在古代的数学和美学中得到了广泛的应用和发展。
二、轴对称的性质1、轴对称的稳定性轴对称的稳定性是指物体在轴对称的直线上做对称变换后，物体的形状、大小、质地等性质不变。
这个性质使得轴对称的直线成为了一种特殊的对称轴，因为它不仅能够将物体分为两部分，还能够保持物体的形状和结构不变。
2、轴对称的唯一性在平面上，物体的轴对称轴是唯一的。
也就是说，如果一个物体有轴对称，那么它的轴对称轴是唯一的。
这个性质在数学和美学中都得到了广泛的应用，因为它使得研究轴对称的直线更加简洁和明了。
3、轴对称的延伸性轴对称的直线可以被延伸到整个空间中。
也就是说，轴对称的性质并不仅仅局限于平面上，而是可以延伸到三维空间中。
这个性质使得轴对称的概念更加普遍和实用。
三、轴对称的应用1、在建筑中的应用古代的建筑中，轴对称的概念被广泛地运用。
古罗马的庞贝城就是一个典型的例子。
在庞贝城的建筑中，轴对称的对称性得到了充分的体现。
建筑师们利用轴对称的直线将建筑物分成了对称的部分，使得整个建筑物看起来更加整齐和谐。
2、在绘画中的应用古代的绘画中，轴对称的概念被广泛地运用。
例如，在中国的绘画中，轴对称的直线被用来构建绘画作品的结构。
在古代的绘画作品中，轴对称的直线被用来分割画面，使得画面更加平衡和和谐。
3、在雕塑中的应用古代的雕塑中，轴对称的概念被广泛地运用。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称:两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点.3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系"。
（2）联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体"便是轴对称图形。
4、轴对称的性质:（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
（2）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6、等腰三角形：（1）定义。
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
（2）性质.①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”,只有一条。
②等边对等角。
③三线合一。
（3）判定.①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
7、等边三角形：（1）定义。
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明:等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此,等边三角形是特殊的等腰三角形。
(2）性质.①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”,有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定。
①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个内角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）重要结论。
在Rt△中,30°角所对直角边等于斜边的一半。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是几何学中一个重要的概念，它在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
轴对称是指某个图形或物体通过一个轴线进行对称时，两边完全一致的性质。
在本文中，我们将讨论轴对称的定义、性质和应用，并且介绍一些与轴对称相关的重要知识点。
首先，让我们来了解一下轴对称的定义。
轴对称是指一个图形或物体相对于某个轴线对称，也就是说，通过这个轴线，图形或物体的两边是完全一致的。
轴对称可以在平面图形中看到，如圆、正方形和矩形，也可以在三维物体中观察到，如立方体和圆柱体。
轴对称是指对称性的一种表现形式，它使得物体更加稳定、对称和美观。
轴对称具有一些重要的性质。
首先，任何图形或物体都可以有轴对称的特性，但并不是所有的图形都有轴对称。
例如，一个长方形具有轴对称性，而一个任意形状的图形则不一定具有轴对称性。
其次，在一个轴对称图形中，与轴线对称的两个点之间的距离是相等的。
这是因为轴对称性要求两边完全一致，在不损失对称性的前提下，点与轴线的距离必须相等。
最后，轴对称图形可以通过折叠沿着轴线重叠在一起。
这是因为两边完全一致，所以它们可以完全叠在一起。
轴对称具有广泛的应用。
在艺术领域，轴对称可以被用来组织和设计画作、雕塑和建筑物。
许多艺术品都运用了轴对称来增强美感和视觉效果。
在生活中，轴对称也经常出现在日用品中。
例如，镜子是常见的具有轴对称特性的物体。
它们通过镜面上下左右的对称，可以反射出完整的镜像。
在科学研究中，轴对称也有着广泛的应用。
例如，轴对称可以用于研究分子的结构、晶体的对称性以及光学中的偏振等。
除了轴对称的基本概念外，还有其他一些与轴对称相关的重要知识点。
首先是轴对称图形的判定方法。
判定一个图形是否具有轴对称性的方法之一是观察图形是否可以通过某条直线进行对折，如果两边重合，那么它就是轴对称的。
其次是轴对称和平移的关系。
轴对称性是平移不变性的一种特例。
也就是说，如果一个图形具有轴对称性，并且在平移下保持不变，那么它就是具有轴对称性的。
关于对称知识点总结
关于对称知识点总结一、对称的定义对称是指一个物体的一部分关于某个中心或轴旋转、翻转等操作后，与另一部分完全重合的性质。
简单地说，就是一个物体可以通过某种变换保持不变。
在几何学中，对称通常涉及到轴对称和中心对称两种类型。
1. 轴对称：轴对称是指存在一个直线，使得图形绕这条直线旋转180度后，图形仍然不变。
这条直线就被称为轴线，而关于轴线的对称变换就被称为轴对称变换。
轴对称的图形通常具有左右对称或上下对称的性质。
2. 中心对称：中心对称是指存在一个点，使得图形绕这个点旋转180度后，图形仍然不变。
这个点就被称为中心，而关于中心的对称变换就被称为中心对称变换。
中心对称的图形通常具有圆形或椭圆形的性质。
二、对称的性质对称具有许多重要的性质，在数学中，这些性质对于解题和证明都具有重要的作用。
下面我们来介绍一些常见的对称性质：1. 对称性质：对称性是物体的一种基本性质。
一个图形如果关于某个中心或轴对称，那么它的两部分互为镜像，即完全重合。
这种性质在几何学中有很广泛的应用，比如在证明定理、计算面积等方面。
2. 对称轴：对称轴是指一个图形能够关于其上的直线旋转180度后仍保持不变的直线。
对称轴通常具有一些特殊的性质，比如在研究多边形的对称性质时，我们常常需要找到多边形的对称轴来简化问题。
3. 对称中心：对称中心是指一个图形能够关于其上的点旋转180度后仍保持不变的点。
对称中心通常具有一些特殊的性质，比如在研究圆的对称性质时，我们常常需要找到圆的对称中心来简化问题。
4. 对称图形：对称图形是指具有轴对称或中心对称性质的图形。
对称图形通常具有美观性和稳定性，因此在设计建筑、家具等方面都得到了广泛的应用。
三、对称的分类在数学中，对称的分类通常以轴对称和中心对称为基础进行划分。
不同类型的对称性质具有不同的特点和应用，下面我们来介绍一些常见的对称类型：1. 轴对称图形：轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。
轴对称图形通常都具有左右对称或上下对称的性质，比如矩形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结
一、会判断轴对称图形以及做出其对称抽
[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
二、（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
三、（1）会作出已知图形关于某条直线的对称图形，会写作法。
P40
（2）会在直角坐标系中已知图形关于某条直线的对称图（找出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标，并描出这些点，并连接这些点。
P44
（3）会作已知线段的垂直平分线，会写作法。
（4）已知等腰三角形底边和底边上的高，会作出该等腰三角形。
P52
三、（1）垂直平分线又叫中垂线。
（2）图形轴对称的性质及线段。
P32
（3）线段垂直平分线的性质和性质逆定理。
P33
四、等腰三角形
(1)等腰三角形的性质P50
(2)等腰三角形的判定
1、根据定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）
（3）等边三角形的判定：
1、三个角相等的三角形是等边三角形。
2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
轴对称知识点梳理
1、轴对称图形:
一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称:
两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:
(1区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ;轴对称讨论
的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
(2联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴
对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质:
(1成轴对称的两个图形全等。
(2对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 (3对应点到对称轴的距离相等。 (4对
应点的连线互相平行。 5、线段的垂直平分线:
(1定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。
如图2, ∵CA=CB ,
直线m ⊥AB 于C ,
∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 (2性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3,
∵CA=CB ,
直线m ⊥AB 于C ,
点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。
(3判定。
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3,∵PA=PB ,
直线m 是线段AB 的垂直平分线, ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形:
(1定义。有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与
底的夹角叫做底角。
说明:顶角=180°- 2底角
底角=
顶角顶角2
1
-902180︒=-︒
可见,底角只能是锐角。 (2性质。
①等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的
垂直平分线” ,只有一条。
②等边对等角。
如图5,在△ABC 中 ∵AB=AC
∴∠B=∠C 。 ③三线合一。
(3判定。 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5,在△ABC 中,
∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形 。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5,在△ABC 中 ∵∠B=∠C
∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形:
(1定义。三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。
说明:等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形,因此,等边三角形是特殊的等腰
三角形。
m
C
A B
D'
D C'
B'
A'
K
J I H 图1
图2 m
C
A B
P
图3
底边底角底角顶
角腰
腰D C
B A 图5 图4
2
(2性质。
①等边三角形是轴对称图形,其对称轴是“三边的垂直平分线” ,有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
如图
6,在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。
(3判定。
①三条边都相等的三角形是等边三角形。 如图6,在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴△ABC 是等边三角形 。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。 如图6,在△ABC 中
∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC 是等边三角形 。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 如图6,在△ABC 中
∵AB=AC (或AB=BC,AC=BC
∠A=60°(∠B=60°,∠C=60° ∴△ABC 是等边三角形 。
(4重要结论。在Rt △中,30°角所对直角边等于斜边的一半。 如图7,
∵在Rt △ABC 中,
∠C=90°,∠A=30° ∴BC=
2
1AB 或AB=2BC
8、平面直角坐标系中的轴对称: (1,(,(b a x b a -横不变,纵反向
轴对称
关于
(2,(,(b a y b a -横反向,纵不变
轴对称关于
说明:要作出一个图形关于坐标轴(或直线成轴对称的图形,只需根据作出各顶点
的对称点,再顺次连结各对称点。对称点的作法见11(1。 9、对称轴的画法:
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中,连结其中一对对应点并作出所得
线段的垂直平分线。
注意:①有的轴对称图形只有一条对称轴,有的不止一条,要画出所有的对称轴。
②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 10、常见的轴对称图形: (1英文字
母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
(2中文。日,目,木,土,十,士,中,一,二,三,六,米,山,甲,由,田,天,又,只,支,圭,凹,凸,出,
兰,合,全,仝,人,关,甘,等等。
(3数字。0 3 8 (4图形。
说明:①圆有无数条对称轴。 ②正n 边形有n 条对称轴。 11、掌握作图:
作出点A 关于直线m 对称的点A / 。 作法:如图
①以点A 为圆心,适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN 交于两点C 、
D 。②分别以点C,D 为圆心,大于
CD 2
1
的长为半径画圆弧,设两条圆弧交于点E 。
③作射线AE ,设交直线mn 于点F 。
○4在射线AE 上截取FA /=FA ,点A /
即为所求。
图7
图6
A B C