第二组 基础回扣 变式训练(二)
二级结论实际应用、变式及解析(PDF文档,31页)
纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工㊁改造㊁引申㊁推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了 题型+模型 的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确㊁快捷.结论一例1 设集合A =(x ,y )x 24+y 216=1{},B ={(x ,y )|y =3x},则A ɘB 的子集的个数是( ).A .4B .3C .2D .1变式1 已知集合A =x |x 2-3x +2=0,x ɪR {},B =x |0<x <5,x ɪN {},则满足条件A ⊆C ⫋B 的集合C 的个数为( ).A .1B .2C .3D .4例2 已知M ,N 为集合I 的非空子集,且M ,N 不相等,若N ɘ∁I M =∅,则M ɣN =( ).A .MB .NC .ID .∅变式1 设集合A ={x |x 2-6x +5=0},B ={x |a x -1=0},若A ɘB =B ,则由实数a 的所有可能取值组成的集合C 为( ).A .1,15{}B .12,13{}C .0,1,15{}D .0,12,13{}常考二级结论及其应用结论二例3 设全集U ={a ,b ,c ,d },集合A ={a ,b },B ={b ,c ,d },则∁U A ()ɣ∁UB ()=.变式1 已知全集U =A ɣB 中有m 个元素,∁U A ()ɣ∁U B ()中有n 个元素.若A ɘB 非空,则A ɘB 的元素个数为( ).A .m n B .m +n C .n -mD .m -n变式2 写出下列命题的否定.(1)命题p ᶱq :A =0或B =0;(2)命题p ɡq :A =0且B =0.结论三例4 设函数f (x )=(x +1)(x -4)+t a n x x 2-4的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.变式1 已知函数f (x )=l n 1+9x 2-3x ()+1,则f (l g 2)+f l g 12æèçöø÷=( ).A .-1B .0C .1D .2变式2 对于函数f (x )=a s i n x +b x +c (其中a ,b ɪR ,c ɪZ ),选取a ,b ,c 的一组值计算f (1)和f (-1),所得出的正确结果一定不可能是( ).A .4和6B .3和1C .2和4D .1和2结论四例5 设点P 在曲线y =12e x上,点Q 在曲线y =l n (2x )上,则|P Q |的最小值为( ).A .1-l n 2B .2(1-l n 2)C .1+l n 2D .2(1+l n 2)变式1 若x 1满足2x +2x=5,x 2满足2x +2l o g 2(x -1)=5,则x 1+x 2=( ).A .52B .3C .72D .4结论五例6 已知函数f (x )满足:f (5)=14,4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ɪR ),则f (2015)=.变式1 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=l o g 2(1-x )(x ɤ0)f (x -1)-f (x -2)(x >0){,则f (2017)=( ).A .-1B .0C .1D .2变式2 已知定义在R 上的函数f (x )满足f x +32æèçöø÷=-f (x ),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (2016)+f (2017)=( ).A .-2B .-1C .0D .1结论六例7对于定义域为[0,1]的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:(1)对任意的xɪ[0,1]总有f(x)ȡ0;(2)f(1)=1;(3)若x1ȡ0,x2ȡ0,x1+x2ɤ1,都有f(x1+x2)ȡf(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为理想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x0ɪ[0,1],使得f(x0)ɪ[0,1],且f[f(x0)]=x0.求证:f(x0)=x0.变式1设函数f(x)=e x+x-a(aɪR,e为自然对数的底数).若曲线y=s i n x上存在点(x0, y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是().A.[1,e]B.[e-1,1]C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]变式2若函数y=l o g a(x2-a x+1)(a>0且aʂ1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是.结论七例8 已知a >0,则x 0满足关于x 的方程a x =b 的充要条件是( ).A .∃x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0B .∃x ɪR ,12a x 2-b x ɤ12a x 20-b x 0C .∀x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0D .∀x ɪR ,12a x 2-b x ɤ12a x 20-b x 0变式1 若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+a x +b )的图像关于直线x =-2对称,则f (x )的最大值是.变式2 定义m i n [f (x ),g (x )]=f (x ),f (x )ɤg (x )g (x ),f (x )>g (x){.若函数f (x )=x 2+t x +s 的图像经过两点(x 1,0),(x 2,0),且存在整数m ,使得m <x 1<x 2<m +1成立,则( ).A .m i n [f (m ),f (m +1)]<14B .m i n [f (m ),f (m +1)]>14C .m i n [f (m ),f (m +1)]=14D .m i n [f (m ),f (m +1)]ȡ14变式3 设m a x {f (x ),g (x )}=f (x ),f (x )>g (x )g (x ),f (x )ɤg (x ){,若函数h (x )=x 2+p x +q (p ,q ɪR )的图像经过不同的两点(α,0),(β,0),且存在整数n ,使得n <α<β<n +1成立,则( ).A .m a x {h (n ),h (n +1)}>1B .m a x {h (n ),h (n +1)}<1C .m a x {h (n ),h (n +1)}>12D .m a x {h (n ),h (n +1)}<12结论八例9已知函数f(x)=1l n(x+1)-x,则y=f(x)的图像大致为().A. B. D.变式1已知函数f(x)=e x,xɪR.求证:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.变式2设函数f(x)=1-e-x.求证:当x>-1时,f(x)ȡx x+1.结论九例10已知函数f(x)=A c o s(ωx+φ)的图像如图2-2所示,fπ2æèçöø÷=-23,则f(0)=().A.-23B.2312D.12图变式1 已知函数y =g (x )的图像由f (x )=s i n 2x 的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-所示,则.变式2 设函数f (x )=A s i n (ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间π6,π2éëêêùûúú上具有单调性,且f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷=-f π6æèçöø÷,则f (x )的最小正周期为 .结论十例11 在әA B C 中,A B ң=c ,A C ң=b .若点D 满足B D ң=2D C ң,则A D ң=( ).A .23b +13cB .53c -23bC .23b -13cD .13b +23c 变式1 若在直线l 上存在不同的三点A ,B ,C ,使得关于实数x 的方程x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0有解(点O 不在直线上),则此方程的解集为( ).A.∅B .{-1,0}C .{-1} D.-1+52,-1-52{}变式2 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,c =t a +(1-t )b ,若b ㊃c =0,则t =.结论十一例12 在әA B C 中,点M 是B C 的中点,AM =3,B C =10,则A B ң㊃A C ң=.变式1 在әA B C 中,设点P 0是A B 边上一定点,满足P 0B =14A B ,且对于A B 边上任一点P ,恒有P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,则( ).A .øA B C =90ʎB .øB A C =90ʎC .A B =A C D .A C =B C变式2 点P 是棱长为1的正方体A B C D A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则P A ң㊃P C 1ң的取值范围是( ).A .-1,-14éëêêùûúúB .-12,-14éëêêùûúúC .[-1,0]D .-12,0éëêêùûúú变式3 已知圆M :x 2+(y -1)2=1,圆N :x 2+(y +1)2=1,直线l 1,l 2分别过圆心M ,N ,且l 1与圆M 相交于A ,B 两点,l 2与圆N 相交于C ,D 两点,点P 是椭圆y 24+x 23=1上的任意一动点,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң的最小值为 .例13 在平面上,A B 1ңʅA B 2ң,O B 1ң=O B 2ң=1,A P ң=A B 1ң+A B 2ң.若O P ң<12,则O A ң的取值范围是( ).A .0,52æèçùûúúB .52,72æèçùûúúC .52,2æèçùûúúD .72,2æèçùûúú变式1 在R t әA B C 中,点D 是斜边A B 的中点,点P 为线段C D 的中点,则|P A |2+|P B |2|PC |2=( ).A .2B .4C .5D .10结论十二例14 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( ).A.12B .1C .2D.3变式1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=100,S 100=10,则S 110=.结论十三例15 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ).A .58B .88C .143D .176变式1 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m =.变式2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3(n ɪN *),则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ).A .2B .3C .4D .5结论十四例16已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列1a n{}的前5项和为().A.158或5B.3116或5C.3116D.158变式1在等比数列{a n}中,公比为q,其前n项和为S n.已知S5=3116,a3=14,则1a1+1a2+1a3+1a4+1a5= .例17等比数列{a n}的前n项和为S n,已知对任意的nɪN*,点(n,S n)均在函数y=b x+ r(b>0且bʂ1,b,r为常数)的图像上,求r的值.变式1已知等比数列{a n}的前n项和S n=t㊃5n-2-15,nɪN*,则实数t=().A.4B.5C.45D.15(),则f(n)=.变式2设f(n)=3+33+35+37+ +32n+9nɪΝ结论十五例18 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=( ).A .2B .73C .83D .3变式1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ).A .31B .32C .63D .64变式2 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 4S 8=13,则S 8S 16=( ).A .310B .13C .19D .18结论十六例19 过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线A B 的方程为( ).A .2x +y -3=0B .2x -y -3=0C .4x -y -3=0D .4x +y -3=0变式1 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线a x +b y =1与圆O 的位置关系是().A.相切B .相交C .相离 D.不确定变式2 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点1,12æèçöø÷作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B 两点,直线A B 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .结论十七例20 直线m 与椭圆x 22+y 2=1分别交于点P 1,P 2,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1ʂ0),直线O P 的斜率为k 2,则k 1㊃k 2的值为( ).A.2B .-2C .12D .-12变式1 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线相交于P ,Q 两点,那么线段P Q 中点的轨迹方程是( ).A.y 2=2x -1B .y 2=2x -2C .y 2=-2x +1D .y 2=-2x +2例21 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若A B 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .x 245+y 236=1B .x 236+y 218=1C .x 227+y 218=1D .x 218+y 29=1变式1 椭圆C :x 24+y 23=1的左㊁右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆C 上且直线P A 2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线P A 1的斜率的取值范围是( ).A .12,34éëêêùûúúB .38,34éëêêùûúúC .12,1éëêêùûúúD .34,1éëêêùûúú变式2 如图2-11所示,在平面直角坐标系x O y 中,过坐标原点的直线交椭圆x 24+y 22=1于P ,A 两点,其中点P 在第一象限,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点C ,联结A CB 线P A 的斜率为k .对任意k >0,求证:P A ʅP B .图2-11结论十八例22 已知椭圆C :x 24+y 23=1,点A 为椭圆上的定点,若其坐标为A 1,32æèçöø÷,E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数.求证:直线E F 的斜率为定值,并求出这个定值.变式1 已知抛物线C :y 2=2x ,定点P (8,4)在抛物线上,设A ,B 是抛物线上的两个动点,直线P A ,P B 的斜率分别为k P A ,k P B ,且满足k P A +k P B =0.求证:直线A B 的斜率k A B 为定值,并求出该定值.结论十九例23 已知椭圆x 4+y 3=1,直线l :y =k x +m 与椭圆交于A ,B 两点(A ,B 不是左㊁右顶点),且以A B 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.变式1 已知抛物线y 2=2p x (p >0)上异于顶点的两动点A ,B 满足以A B 为直径的圆过顶点.求证:A B 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.变式2 如图2-16所示,点O 为坐标原点,直线l 在x 轴上的截距为a (a >0),且交抛物线y 2=2px (p >0)于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点,当a =2p 时,求øMO N 的大小.图2-16变式3 已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得øA C B =90ʎ,则a 的取值范围为.结论二十例24已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若M Aң㊃M Bң=0,则k=().A.12B.22C.2D.2变式1过抛物线y2=2p x(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自点M ,N 向直线l :x =-a 作垂线,垂足分别为点M 1,N 1.当a =p2时,求证:AM 1ʅA N 1.结论二十一例25 如图2-21所示,F 1,F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二㊁四象限的公共点.若四边形A F 1B F 2为矩形,则C 2的离心率是( ).A .2B .3C .32D .62变式1 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且P F 1ңʅP F 2ң.若әP F 1F 2的面积为9,则b =.变式2 已知双曲线x 2-y 22=1的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上且MF 1ң㊃M F 2ң=0,则点M 到x 轴的距离为( ).A .43B .53C .233D .3变式3 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1有相同的焦点F 1和F 2,它们的一个交点为P ,设øF 1P F 2=2α,求证:t a n α=nb.第二篇 常考二级结论及其应用例1解析 由题意知,集合A 为椭圆x 24+y 216=1上所有点的集合,集合B 是指数函数y =3x图像上所有点的集合.如图2-22所示,由图知集合A ɘB 中有2个元素,故A ɘB 的子集个数是22=4.故选A .图2-22解析由题意知A ={1,2},B ={1,2,3,4},因为A ⊆C ⫋B ,所以集合C 是集合{1,2}与集合{3,4}的任意一个真子集的并集,即求集合{3,4}的真子集的个数,故集合C 的个数为22-1=3.故选C .例2解析 如图2-23所示,若N ɘ∁IM =∅,则N ⊆M ,故选A .图2-23解析由题意知A ={1,5},若A ɘB =B ,则B ⊆A .①若B =∅,则a =0;②若B ʂ∅,则1ɪB 或5ɪB ,即a -1=0或5a -1=0,解得a =1或a =15.故集合C =0,1,15{}.故选C .∅⊆A .例3解析 因为A ɘB ={b },所以∁U A ()ɣ(∁UB )={a ,c ,d }.解析因为U A )ɣ(∁U B )=∁U (A ɘB ),即集合∁U (A ɘB )中有n 个元素.又全集U 中有m 个元素,所以A ɘB 中有m -n 个元素.故选D .评注本题若结合V e n n 图求解会更快捷.解析 (p ᶱq )=( p )ɡ( q ),即 (p ᶱq ):A ʂ0且B ʂ0.(2)因为 (p ɡq )=( p )ᶱ( q ),即 (p ɡq ):A ʂ0或B ʂ0.评注 (1)p ᶱq :A =0或B =0⇔A B =0, (p ᶱq ):A B ʂ0⇔A ʂ0且B ʂ0.(2)p ɡq :A =0且B =0⇔A 2+B 2=0, (p ɡq ):A 2+B 2ʂ0⇔A ʂ0或B ʂ0.例4解析 f (x )=(x +1)(x -4)+t a n xx 2-4=1+t a n x -3x x 2-4,设g(x )=t a n x -3xx 2-4.因为g (-x )=t a n (-x )+3xx 2-4=-g (x ),即g (x )为定义域上的奇函数.所以g (x )m a x +g (x )m i n =0,故M +m =[g (x )+1]m a x +[g (x )+1]m i n =2+g (x )m a x +解析令g x )=l n 1+9x 2-3x (),x ɪR ,则g (-x )=l n 1+9x 2+3x ().因为g (x )+g (-x )=l n 1+9x 2-3x ()+l n 1+9x 2+3x ()=l n (1+9x 2-9x 2)=l n 1=0,所以g (x )是定义在R 上的奇函数.又l g 12=-l g 2,所以g (l g 2)+g l g 12æèçöø÷=0,f (lg 2)+f l g 12æèçöø÷=g (l g 2)+1+g l g 12æèçöø÷+故选.解析令=a s i n x +b x ,x ɪR ,则g (-x )=a s i n (-x )-b x =-g (x ),即g (x )是定义在R 上的奇函数.故g (-1)+g (1)=0,所以f (1)+f (-1)=g (1)+c +g (-1)+c =2c .又c ɪZ ,所以f (1)+f (-1)=2c 为偶数,故一定不可能是1和2.故选D .例5解析 由题意知函数y =12e x 与y =l n (2x )互为反函数,其图像关于直线y =x 对称,如图2-24所示.两曲线上点之间的最小距离|P 0Q 0|恰好是y =x 与y =12e x上点的最小距离的2倍,设y =12e x上点P 0(x 0,y 0)处的切线与y =x 平行,有12e x 0=1,解得x 0=l n 2,y 0=1,所以y =x 与y =12e x上点的最小距离,即为点P 0到直线y =x 的距离,且为22(1-l n 2),故|P Q |的最小值为22(1-l n 2)ˑ2=2(1-l n 2).故选B.图解析 因为2x +2x=5,所以x +2x -1=52.同理x +l o g 2(x -1)=52,令t =x -1,则x =t +1,即t 1是t +2t=32的解,t 2是t +l o g 2t =32的解,且t 1=x 1-1,t 2=x 2-1.如图2-25所示,t 1为函数y =2t与y =32-t 图像交点P 的横坐标,t 2为函数y =l o g 2t 与y =32-t 图像交点Q 的横坐标,所以P (t 1,2t 1),Q (t 2,l o g 2t 2).因为函数y =2t与y =l o g 2t 互为反函数,所以点P ,Q 关于直线y =x 轴对称,即t 1=l o g 2t 2,t 2=2t 1,所以t 1+t 2=t 1+2t 1=t 1+32-t 1æèçöø÷=32.所以x 1+x 2=t 1+1+t 2+1=32+272.故选图例6解析 因为f (5)=14,且4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ɪR ),所以令y =5,则f(x )=f (x +5)+f (x -5)①故f (x +5)=f (x +10)+f (x )②由①+②得f (x +10)+f (x -5)=0,即f (x +10)=-f (x -5),得f (x +15)=-f (x ),T =30.因此f )=f (5+30ˑ67)=f (5)=14.解析当时,有f (x )=f (x -1)-f (x -2)①同理有f (x +1)=f (x )-f (x -1)②①+②得f (x +1)=-f (x -2),即f (x +3)=-f (x ).所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),T =6.于是f (2017)=f (1+6ˑ336)=f (1)=f (0)-f (-1)=l o g 21-l o g 22=0-1=-1.故选解析 因为f x +32æèçöø÷=-f (x ),所以f (x +3)=-f x +32æèçöø÷=f (x ),T =3.则有f (1)=f (-2)=-1,f (2)=f (-1)=-1,f (3)=f (0)=2,于是f (1)+f (2)+f (3)=0,所以f (1)+f (2)+ +f (2016)+f (2017)=[f (1)+f (2)+f (3)]+ +[f (2014)+f (2015)+f (2016)]+f (2017)=672ˑ[f (1)+f (2)+f (3)]+f (2017)=f (1+3ˑ672)=f (1)=f (-2)=-1.故选B .例7解析 假设f (x 0)=t ,则f [f (x 0)]=f (t )=x 0.当x 0>t 时,由条件(3)可推出函数f (x )在[0,1]上非减,所以f (x 0)ȡf (t ),即t ȡx 0,与x 0>t 矛盾,故当x 0>t 时不成立.同理,当x 0<t 时,有f (x 0)ɤf (t ),即t ɤx 0,与x 矛盾.综上所述,t =x 0,故f (x 0)=x 0.解析 令t =g (x )=e x+x -a ,则y =t (t ȡ0).g'(x )=e x+1,因为g '(x )>0恒成立,所以g (x )在定义域上为增函数,幂函数y =t =t 12在[0,+ɕ)上也为单调增函数,由复合函数的单调性可知f (x )=e x+x -a 在定义域上为增函数.若曲线y =s i n x 上存在点(x 0,y 0)使得f [f (y 0)]=y 0成立,即存在y 0ɪ[-1,1]使得f [f (y 0)]=y 0成立,由结论六知,方程f (x )=x 在[-1,1]上有解,即∃x ɪ[-1,1],使得e x+x -a =x ,亦即a =e x +x -x 2在[0,1]上有解.令h (x )=e x +x -x 2,x ɪ[0,1],h '(x )=e x+1-2x .当x ɪ[0,1]时,h '(x )>0恒成立,故h (x )在[0,1]上单调递增,所以h (x )ɪ[h (0),h (1)]=a ɪ[1,e ].故选A .解析 令t =g x )=x 2-a x +1,则y =f (t )=l o g a t .①当0<a <1时,抛物线t =g (x )的对称轴x =a 2ɪ0,12æèçöø÷.如图2-26所示,g (x )在(1,2)上为增函数,而y =f (t )在(0,+ɕ)上为减函数.所以复合函数y =f [g (x )]=l o g a (x 2-a x +1,与已知条件不符.(a) (b)图2-26②当a >1时,抛物线t =g (x )在a 2,+ɕéëêêöø÷上为增函数,y =f (t )在(0,+ɕ)上为增函数,若复合函数y =l o g a (x 2-a x +1)在(1,2)上为增函数,则需g (x )在(1,2)上单调递增,且g (1)ȡ0,即a 2ɤ12-a ȡ0a >1ìîíïïïï,解得1<a ɤ2.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2].评注 复合函数利用 同增异减 判断其单调性时,一定要注意单调区间是定义域的子集.就本题而言,g (x )在(1,2)上的函数值均为正数才有意义.例8解析 由已知得a x 0=b ,即x 0=ba .观察选项,发现与二次函数f (x )=12a x 2-b x (a >0,x ɪR )有关.结合如图2-27所示图形可知,抛物线y =f (x )的对称轴为x =b a ,在-ɕ,b a æèçùûúú上单调递减,在b a ,+ɕéëêêöø÷上单调递增.若x 0=b a ,则∀x ɪR ,都有f (x )ȡf (x 0),即12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0.反之,若∀x ɪR ,12a x 2-b x ȡ12a x 20-b x 0恒成立,则f (x 0)为f (x )的最小值,即x 0=ba.故选C .图解析因为f (x )的图像关于直线x =-2对称,且f (1)=f (-1)=0,即x 1=-1,x 2=1是函数f (x )的两个零点,所以方程x 2+a x +b =0也有两解,分别为x 3=-3,x 4=-5.则f (x )=(1-x 2)(x 2+a x +b )=-(x +1)(x -1)(x +3)(x +5)=-(x 2+4x +3)(x 2+4x -5).令t =x 2+4x ,t ɪ[-4,+ɕ),y =-(t +3)㊃(t -5)=-(t 2-2t -15)=-(t -1)2+16.所以当t =1,即x 2+4x =1时,f (x )有最大值解析依题意f (x )=(x -x 1)(x -x 2),m i n [f (m ),f (m +1)]ɤf (m )f (m +1).令x 1-m =x ,x 2-m =y ,则有0<x <y <1,f (m )=(m -x 1)(m -x 2)=x y ,f (m +1)=(m +1-x 1)(m +1-x 2)=(1-x )(1-y ),所以f (m )f (m +1)=x y (1-x )(1-y )<x +1-x 2æèçöø÷2y +1-y 2æèçöø÷2=142,故m i n [f (m ),f (m +1)]ɤf (m )f (m +1)<14.故选A .解析依题意,设h (x )=(x -α)(x -β),m a x {h (n ),h (n +1)}ȡh (n )h (n +1).令α-n =x ,β-n =y ,则有0<x <y <1,h (n )=(n -α)(n -β)=x y ,h (n +1)=(n +1-α)(n +1-β)=(1-x )(1-y ),显然,h (n ),h (n +1)都小于1,所以m a x {h (n ),h (n +1)}<1.故选B .例9解析 因为f (x )的定义域为x +1>0l n (x +1)-x ʂ0{,即{x |x >-1且x ʂ0},所以排除选项D ;令g (x )=l n (x +1)-x ,则由经典不等式l n (x +1)ɤx 知,g (x )ɤ0恒成立,故f (x )=1g (x )<0恒成立,所以排除A ,C .故选B .解析 令g (x )=f (x )-12x 2+x +1æèçöø÷=e x -12x 2-x -1,x ɪR .g '(x )=e x-x -1,由经典不等式e xȡx +1(x ɪR )恒成立可知,g'(x )ȡ0恒成立,所以g (x )在R 上为单调递增函数,且g (0)=0,故函数g (x )有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.解析 x >-1时,f (x )ȡxx +1⇔x >-1,1-e -x ȡx x +1⇔1-x x +1ȡe -x(x >-1)⇔1x +1ȡ1ex (x >-1)⇔x +1ɤe x(x >-1).由经典不等式e xȡx +1(x ɪR )恒成立可知,x >-1时,e xȡx +1,即x >-1时,f (x )ȡxx +1.例10解析 依题意,易知函数y =f (x )的最小正周期为T =211π12-7π12æèçöø÷=2π3,所以f (0)=f 2π3æèçöø÷.因为函数y =f (x )的图像关于点7π12,0æèçöø÷中心对称.又2π3+π22=7π12,所以f 2π3æèçöø÷=-f π2æèçöø÷=23,所以f (0)=23.故选解析由题意知f (x )与g (x )的最小正周期均为π.其中f (x )图像上的点A ,B 平移后对应g (x )图像上的C ,D 两点.又A ,B 两点关于直线x=π4对称,所以x B +x A 2=π4,解得x B =3π8.又x D =17π24,所以φ=17π24-3π8=17π-9π24=π3.解析记f x 的最小周期为T ,因为f (x )在区间π6,π2éëêêùûúú上具有单调性,所以T 2ȡπ2-π6=π3,即T ȡ2π3.又f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷=-f π6æèçöø÷,且2π3-π2=π6<T ,可作出函数f (x )的示意图如图2-28所示(一种情况):所以x 1=π2+π6æèçöø÷ˑ12=π3,x 2=π2+2π3æèçöø÷ˑ12=7π12,于是T 4=x 2-x 1=7π12-π3=π4,故T =π.图评注 f π2æèçöø÷=-f π6æèçöø÷,且在同一单调区间内,故相应两点π6,f π6æèçöø÷æèçöø÷,π2,f π2æèçöø÷æèçöø÷关于点(x 1,0)中心对称,f π2æèçöø÷=f 2π3æèçöø÷,且在同一周期内,故相应两点关于直线x =x 2轴对称.例11解析 如图2-29所示,在әA B C 中,因为B D ң=2D C ң,所以B D ңʊD C ң,且|B D |=2|D C |,即点D 为线段B C 的三等分点.故A D ң=A B ң+B D ң=A B ң+23B C ң=A B ң+23A C ң-A B ң()=13A B ң+23A C ң=13c +23b .故选 图2-29评注 在平面O A B 内,向量O A ң与O Bң不共线,若点P 为平面内任意一点,且O P ң=λO A ң+μOB ң,λ,μɪR .如图2-30所示,点P 0为线段A B 的中点,则有以下相关结论:(1)若点P 在线段A P 0上(不含端点),则0<μ<12<λ<1,且λ+μ=1.(2)若点P 在线段B P 0上(不含端点),则0<λ<12<μ<1,且λ+μ=1.(3)若点P 在B A 的延长线上,则λ>1,μ<0,且λ+μ=1.(4)若点P 在A B 的延长线上,则λ<0,μ>1,且λ+μ=1.(5)若点P 在әO A B 内部(不含边界),则0<λ<1,0<μ<1,且0<λ+μ<1.(6)若点P 在O P 0的延长线上,则λ=μ>12.总之,①若点P 与点O 在直线A B 同侧,且O P ң=λO A ң+μO B ң,则λ+μ<1;②若点P 与点O 在直线A B 两侧,且O P ң=λO A ң+μO B ң,则λ+μ>1;③若点P 在直线A B 上,且O P ң=λO A ң+μOB ң,则λ+μ=1,且点P 与A ,B 两点间的距离大小与O A ң,O B ң的系数(即图2-30解析 由于x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0,即x 2O A ң+xO B ң+O C ң-O B ң=0,所以O C ң=-x 2O A ң-xO B ң+O B ң=-x 2O A ң+(1-x )O B ң.因为A ,B ,C 三点共线,所以-x 2+(1-x )=1,解得x =0或-1.当x =0时,x 2O A ң+xO B ң+B C ң=0,即B C ң=0不合题意,所以x =-1.故选C .解析如图1所示,设O A ң=a ,O B ң=b ,因为单位向量a ,b 的夹角为60ʎ,所以әO A B 为等边三角形.又c =t a +(1-t )㊃b ,设O C ң=c ,则A ,B ,C 三点共线.又b ㊃c =0,所以过点O 作O B的垂线与B A 的延长线交于点C ,易知|A C |=|A B |,即点A 为B C 的中点,所以c =a +A C ң=a +B A ң=a +(O A ң-O B ң)=2a -b .故t =2.图2-31例12解析 如图2-32所示,因为点M 为B C 的中点,所以A B ң㊃A C ң|A M ң|2|M C ң|25=-16.图2-32解析 如图2-所示,取B C 中点为点Q ,则P 0B ң㊃P 0C ң=|P 0Q ң|2-|Q C ң|2.同理,边A B 上任作一点P ,有P B ң㊃P C ң=|P Q ң|2-|Q C ң|2.因为P B ң㊃P C ңȡP 0B ң㊃P 0C ң,所以|P Q ң|2-|Q C ң|2ȡ|P 0Q ң|2-|Q C ң|2,即|P Q ң|2ȡ|P 0Q ң|2恒成立,亦即P Q ңȡP 0Q ң,所以P 0Q ʅA B ,当点P 为A B 中点时,则P C ʅA B ,即әA B C 为等腰三角形,且C A =C B .故选D.图2-33解析如图34所示,在正方体A B C DA 1B 1C 1D 1中,设A C 1的中点为点Q ,则P Aң㊃P C 1ң=|P Q ң|2-|Q A ң|2.因为正方体棱长为1,所以中心Q 与底面A 1B 1C 1D 1内任一点连线的线段P Q 的长度取值范围为12,32éëêêùûúú,且Q A ң=32,所以P A ң㊃P C 1ң|P Q ң|2-34-12,0éëêêùûúú.故选D .图2-34解析 P A ң㊃P B ң=(P M ң+M A ң)㊃(P M ң+M B ң)=(P M ң+M A ң)㊃(P M ң-M A ң)=|P M ң|2-|M A ң|2=|P M ң|2-1,同理P C ң㊃P D ң=|P N ң|2-1,则P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ң=|P M ң|2+|P N ң|2-2=(|P M ң|+|P N ң|)2-2|P M ң||P N ң|-2=(2a )2-2-2|P M ң||P N ң|=14-2||P M ң||P N ң|.又|P M ң||P N ң|ɤ|P M ң|+|P N ң|2æèçöø÷2=a 2=4,当且仅当|P M ң|=|P N ң|时等号成立.故P A ң㊃P B ң+P C ң㊃P D ңȡ14-2ˑ4=6.故填6.例13解析 如图2-35所示,因为A B 1ңʅA B2ң,A P ң=AB 1ң+A B 2ң,所以四边形A B 1P B 2为矩形.又因为O B 1ң=O B 2ң=1,所以|O A ң|2+|O P ң|2=|O B 1ң|2+|O B 2ң|2=2.所以|O A ң|2=2-|O P ң|2.又因为O P ң<12,所以|O A ң|2ɪ74,2æèçùûúú,即O A ңɪ72,2æèçùûúú.故选D .解析 如图6所示,在әA B C 中,设C A ң+C B ң=C E ң,则四边形A C B E 为平行四边形.又øA C B =90ʎ,所以四边形A C B E 为矩形,则|P C ң|2+|P E ң|2=|P A ң|2+|P B ң|2.又点P 为C D中点,所以|P A |2+|P B |2|P C |2=|P C |2+|P E |2|P C |2=|P C |2+(3|P C |)2|P C |2=10.故选D图2-35图2-36例14解析 因为S n=n (a 1+a n )2,所以S n n =a 1+a n2=a 1+d2(n -1),那么S 33-S 22=d 2=1,得d =2.故选解析 因为{a n }是等差数列,所以S nn{}也为等差数列,令b n =S nn,公差为d ,故b 10=S 1010=10,b 100=S 100100=110,则d =b 100-b 10100-10=110-1090=-11100,所以b 110=b 10+100d =10+100ˑ-11100æèçöø÷=-1,即S 110110=-1,所以S 110=-110.评注 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m =n ,S n =m (m ʂn ,m ,n ɪN *),则S m +n =-(m +n ).例15解析 因为{a n }为等差数列,又a 4+a 8=16,所以a 6=a 4+a 82=8,于是S 11=11a 6=8ˑ11=故选解析因为{n 是等差数列,所以S 2m -1=(2m -1)a m =38.又a m -1+a m +1-a 2m =0,所以2a m -a 2m =-a m (a m -2)=0,解得a m =0(舍)或a m =2,所以S 2m -1=(2m -1)㊃2=38,解得m =10.解析因为{a n }和{b n }都是等差数列,所以a 1+a 2n -1=2a n ,所以A 2n -1=(a 1+a 2n -1)(2n -1)2=(2n -1)a n (n ɪN *).同理B 2n -1=(2n -1)b n ,所以a n b n =A 2n -1B 2n -1=7(2n -1)+452n +2=7+12n +1(nɪN *).所以要使得a nb n为整数,正整数n 可能的值为1,2,3,5,11,共5个.故选D .例16解析 设数列{a n }的公比为q ,若q =1,则S 3=3,S 6=6,9S 3ʂS 6,与已知矛盾,故q ʂ1.所以有9(1-q 3)1-q =1-q 61-q,即9=1+q 3.解得q =2.所以数列1a n{}是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1-12æèçöø÷51-12=3116.故选C .评注 这里由于项数不多,可用和定义列方程,不必分情况.9(a 1+a 2+a 3)=a 1+a 2+…+a =2,下同.解析解法一:因为{a n }为等比数列,且S 5=3116,a 3=14,若q =1,则S 5=5a 3=54,与已知矛盾.故q ʂ1.所以有a 1(1-q 5)1-q =3116,1-q 51-q =3116a 1.因为1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5可看作是数列1a 5,1a 4,1a 3,1a 2,1a 1的5项和,且首项为1a 5,公比为q .故所求和为1a 5(1-q 5)1-q =1a 5㊃3116a 1=3116a 23=31.解法二:由等比数列{a n }知,a 1a 5=a 2a 4=a 23,得1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=a 1+a 5a 1a 5+a 2+a 4a 2a 4+a 3a 23=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5a 23=S 5a 23=3116116=31.评注 若a 1,a 2,a 3是公比为q 的等比数列,则1a 1,1a 2,1a 3是公比为1q的等比数列;a 3,a 2,a 1是公比为1q的等比数列;1a 3,1a 2,1a 1是公比为q的等比数列.本题需深入理解等比数列性质及求和公式的变形应用.例17解析 解法一:因为(n ,S n )在函数y =b x+r 的图像上,所以S n =b n+r ,n ɪN *.所以S 1=b +r ,S 2=b 2+r ,S 3=b 3+r .于是有a 1=b +r ,a 2=b 2-b ,a 3=b 3-b 2.因为{a n }是等比数列,所以(b 2-b )2=(b +r )㊃(b 3-b 2),且b >0,b ʂ1,解得r =-1.解法二:数列{a n }为等比数列,q ʂ1时,S n =λ-λq n (λ=a 11-q),所以S n =r +b n=(-1)+1㊃bn ,故r =-1.评注 若本题为填空题或选择题,由q ʂ1的等比数列前n 项和公式S n =a 1(1-q n)1-q =a 11-q-a 11-q㊃q n =k ㊃q n -k 的形式知r =-1(即q n的系数与常数项互为相反数),需灵活掌握公式变形应用解析 因为S n =t ㊃5n -2-15=t 25㊃5n-15.又{a n }为等比数列,所以t 25-15=0,解得t =5.故选分析由题意知f (n )为等比数列求和问题,其中a 1=3,q =333= =32n +932n +7=9,末项为32n +9,但项数不易确定,故使用S n=a 1(1-q n)1-q =a 1-a nq 1-q计算更为迅捷.解析 由S n =a 1-a nq 1-q ,知f (n )=3-32n +9ˑ91-9=38(32n +9ˑ3-1)=38(9n +5-1).例18解析 由已知S 6S 3=3,得S 6=3S 3,因为S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也为等比数列,所以(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),则(2S 3)2=S 3(S 9-3S 3),化简得S 9=7S 3,从而S 9S 6=7S 33S 3=73.故选B .评注 本题利用S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍为等比数列,以S 3为基本量,设而不求体现了整体思想,故可令S 3=1,则S 6=3,从而S 6-S 3=2,S 9-S 6=4,所以S 9=7,故S 9S 6=73.如此求解更为简捷.解析由结论十五(2)知,S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,故(S 4-S 2)2=S 2㊃(S 6-S 4),得S 6-S 4=(S 4-S 2)2S 2=(15-3)23=48,故S 63.故选C .解析由结论十五(1)知,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,不妨设S 4=k ,则S 8=3k ,故k ,2k ,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列,所以S 12-S 8=3k ,S 16-S 12=4k ,可得S 12=6k ,S 16=10k ,所以S 8S 16=3k 10k =310.故选A .例19解析 解法一:因为点P (3,1)在圆C :(x -1)2+y 2=1外,所以直线A B 的方程为(3-1)(x -1)+y =1,即2x +y -3=0.故选A .解法二:如图2-37所示,设P (3,1),圆心C (1,0),切点分别为A ,B .由题意可知A (1,1),k P C =12.又A B ʅP C ,所以k A B =-2.故直线A B 的方程为y -1=-2(x -1),即故选图解析依题意,点M (a ,b )在圆O :x 22外,则a 2+b 2>1.圆心O (0,0)到直线l :a x +b y =1的距离d =1a 2+b2<1=r ,因此直线a x +b y =1与圆O的位置关系是相交.故选B .解析 令P 1,12æèçöø÷,由题意,过点P 作圆x 2+y 2=1的切线有两条,其中一条为x =1,则切点为(1,0),设A (1,0),则A 为椭圆的右焦点,即c =1,如图2-38所示.由结论十六中的1(2)可知直线A B 方程为1㊃x +12㊃y =1,即2x +y -2=0.设C 为椭圆的上顶点,可得C (0,2),即c =1,b =2,所以a 2=b 2+c 2=5,所以椭圆方程为x 25+y 24=1.图例20解析 令P (x 0,y 0),由结论十七的1(3)可知,k 12b 2a212.故选D .解析设线段P Q 中点为M (x ,y ),焦点为F ,由结论十七中的3可知,k P Q =2y=k M F =y -0x -1,可得y 2=2(x -1)=2x -2.故选B .例21解析 如图2-39所示,设P (1,-1),则有k A B ㊃k O P =-b 2a 2,即-b2a2=k F P ㊃k O P =0-(-1)3-1ˑ-11=-12,亦即a 2=2b 2.由c 2=a 2-b 2=2b 2-b 2=b 2,得b 2=9,所以a 2=18,即椭圆方程为x 218+y 29=1.故选D .图2-39解析设P A 2的斜率为k 2,P A 1的斜率为k 1,则k 1㊃k 2=-b 2a2=-34.又k 2ɪ[-2,-1],所以k 1ɪ38,34éëêêùûúú.故选B .分析 由结论十七1(2)知k A B ㊃k P B =-b2a2,所以要想证明k P A ㊃k P B =-1,需证明k A B 与k P A 之间的关系,即k P A =2k A B =2k A C .解析 证明:设P (x 0,y 0),则A (-x 0,-y 0),C (x 0,0),k A C =0+y 0x 0-(-x 0)=y 02x 0.又k P A =y 0x 0=k ,所以k A C =k2.由k B A ㊃k B P =-b 2a2知,k B P ㊃k B A =k B P ㊃k A C =k 2㊃k P B =-24,所以k P B ㊃k =-1,即P A ʅP B .评注 本题为解答题,求解时应对相应结论加以证明.若为填空题或选择题,可直接应用.例22解析 设直线A E 的方程为y =k (x -1)+32(k ʂ0),联立方程组y =k (x -1)+32x 24+y 23=1ìîíïïïï,消去y 整理,得(4k 2+3)x 2+(12k -8k 2)x +432-k æèçöø÷2-12=0,则x E =432-k æèçöø÷2-12(4k 2+3)x A =(3-2k )2-124k 2+3①同理,设直线A F 的方程为y =-k (x -1)+32,则x F =(3+2k )2-124k 2+3②所以k E F =y F -y E x F -x E =-k (x F -1)+32-k (x E -1)+32éëêêùûúúx F -x E=-k (x F +x E )+2kx F -x E,将式①,式②代入上式,化简得k E F =12,为定值.评注 由结论十八(1)知k A B 实际上是点P 关于x 轴的对称点(x 0,-y 0)处切线的斜率,即k E F =b2a 2㊃x 0y =34㊃132=12.解析设A x 1y 1),B (x 2,y2),P (8,4),k P A =k ,k P B =-k (k ʂ0),直线P A 的方程为y -4=k (x -8),得x =1k(y -4)+8.联立x =1k (y -4)+8y 2=2x ìîíïïï,消去x ,整理得y 2=2k(y -4)+16,即y 2-2k y +8k-16=0,得y 1+4=2k ,x 1=1k (y1-4)+8=1k 2k -8æèçöø÷+8.同理可得y 2+4=-2k,x 2=-1k -2k -8æèçöø÷+8=1k 2k +8æèçöø÷+8.所以直线A B 的斜率k A B =y 1-y 2x 1-x 2=4k -16k=-14.所以直线A B 的斜率k A B 为定值,且为-14.评注 由结论十八(3)知,k A B =-p y 0=-14.例23分析 要证直线y =k x +m 过定点,必须知道直线l :y =k x +m 中k 与m 的关系.解析证明:设A x 1y 1B x 2y 2联立方程组x 24+y 23=1y =k x +m ìîíïïï,消y 得,3x 2+4(k x +m )2=12,整理得(4k 2+3)x 2+8k m x +4m 2-12=0,则有Δ=(8k m )2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0,即m 2<4k 2+3,且x 1+x 2=-8k m 4k 2+3x 1x 2=4m 2-124k 2+3ìîíïïïï①因为以A B 为直径的圆过椭圆右顶点(2,0),设P (2,0),则P A ʅP B ,所以P A ң㊃P B ң=0,得(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0,即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+y 1y2=0,亦即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+(k x 1+m )(k x 2+m )=0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k m -2)(x 1+x 2)+m 2+4=0②把式①代入式②化简得7m 2+16k m +4k 2=0,得m =-2k 或m =-2k7.(1)当m =-2k 时,直线l :y =k x -2k 过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;(2)当m =-2k 7时,直线l :y =k x -2k 7过定点27,0æèçöø÷,且满足m 2<4k 2+3,符合题意.所以l :y =k x +m 过定点27,0æèçöø÷.解析由题意知l A B 的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设l A B :x =t y +m ,A (x 1,y 2),B (x 2,y 2),联立方程组y 2=2px x =t y+m {,消x 得,y 2-2p t y -2p m =0,从而Δ=(-2p t )2-4(-2p m )=4p 2t 2+8p m >0,pt 2+2m >0,y 1+y 2=2pt y 1y 2=-2pm {①因为以A B 为直径的圆过顶点O (0,0),所以O A ң㊃O B ң=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,也即(t y 1+m )(t y 2+m )+y 1y 2=0,整理得(t 2+1)y 1y 2+t m (y 1+y 2)+m 2=0,把式①代入上式化简得m (m -2p )=0,。
高三一轮复习秘籍-第一章第2讲匀变速直线运动的规律
第一章运动的描述匀变速直线运动第2讲匀变速直线运动的规律过好双基关————回扣基础知识训练基础题目一、匀变速直线运动的规律1．速度公式：v＝v0＋at.2．位移公式：x＝v0t＋12at2.3．位移速度关系式：v2－v20＝2ax.二、匀变速直线运动的推论1．三个推论(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，即x2－x1＝x3－x2＝…＝x n－x n－1＝aT2.(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．平均速度公式：v＝v0＋v2＝v t 2 .(3)位移中点速度2220 2vv vx +=2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶v n＝1∶2∶3∶…∶n.(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶x n＝12∶22∶32∶…∶n2.(3)第1个T 内、第2个T 内、第3个T 内、…、第n 个T 内的位移之比为x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x N ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶(2－3)∶…∶(n －n －1)．三、自由落体运动和竖直上抛运动1．自由落体运动(1)条件：物体只受重力，从静止开始下落．(2)基本规律①速度公式：v ＝gt .②位移公式：x ＝12gt 2.③速度位移关系式：③v 2＝2gx .(3)伽利略对自由落体运动的研究①伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论．②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推．这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)结合起来．2．竖直上抛运动(1)运动特点：加速度为g ，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．(2)运动性质：匀变速直线运动．(3)基本规律①速度公式：v ＝v 0－gt ；②位移公式：x ＝v 0t －12gt 2.研透命题点————细研考纲和真题分析突破命题点1．三个概念的进一步理解(1)质点不同于几何“点”，它无大小但有质量，能否看成质点是由研究问题的性质决定，而不是依据物体自身大小和形状来判断．(2)参考系一般选取地面或相对地面静止的物体．(3)位移是由初位置指向末位置的有向线段，线段的长度表示位移的大小．2．三点注意(1)对于质点要从建立理想化模型的角度来理解．(2)在研究两个物体间的相对运动时，选择其中一个物体为参考系，可以使分析和计算更简单．(3)位移的矢量性是研究问题时应切记的性质．【例1】在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示．下面说法正确的是()A．地球在金星与太阳之间B．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点C．以太阳为参考系，金星绕太阳一周位移不为零D．以太阳为参考系，可以认为金星是运动的答案D解析金星通过太阳和地球之间时，我们才看到金星没有被太阳照亮的一面呈黑色，选项A错误；因为观测“金星凌日”时太阳的大小对所研究问题起着至关重要的作用，所以不能将太阳看成质点，选项B错误；金星绕太阳一周，起点与终点重合，位移为零，选项C错误；金星相对于太阳的空间位置发生了变化，所以以太阳为参考系，金星是运动的，选项D正确．【变式1】(多选)湖中O处有一观察站，一小船从O处出发一直向东直线行驶4km，又向北直线行驶3km，已知sin37°＝0.6，则下列说法中正确的是()A．相对于O处的观察员，小船运动的路程为7kmB．相对于小船，O处的观察员始终处于静止状态C．相对于O处的观察员，小船最终位于东偏北37°方向5km处D．研究小船在湖中行驶时间时，小船可以看做质点答案ACD解析在O处的观察员看来，小船最终离自己的距离为32＋42km＝5km，方向为东偏北θ，满足sinθ＝0.6，即θ＝37°，运动的路程为7km，选项A，C正确；以小船为参考系，O处的观察员是运动的，B错误；若研究小船在湖中行驶时间时，小船的大小相对于行驶的距离可以忽略不计，故小船可以看做质点，选项D正确．1．区别与联系(1)区别：平均速度是过程量，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度；瞬时速度是状态量，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度．(2)联系：瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度．2．方法和技巧(1)判断是否为瞬时速度，关键是看该速度是否对应“位置”或“时刻”．(2)求平均速度要找准“位移”和发生这段位移所需的“时间”．【例2】在某GPS定位器上，显示了以下数据：航向267°，航速36km/h，航程60km，累计100min，时间10∶29∶57，则此时瞬时速度和开机后平均速度为()A．3.6m/s、10m/s B．10m/s、10m/sC．3.6m/s、6m/s D．10m/s、6m/s答案B解析GPS定位器上显示的航速为瞬时速度36km/h＝10m/s，航程60km，累计100min ，平均速度为v ＝Δx Δt ＝60×103100×60m/s ＝10m/s ，故B 正确．【变式2】(多选)如图所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，沿AB ，ABC ，ABCD ，ABCDE 四段曲线轨迹运动所用的时间分别是1s,2s,3s,4s ．下列说法正确的是()A ．物体沿曲线A →E 的平均速率为1m/sB ．物体在ABC 段的平均速度大小为52m/s C ．AB 段的平均速度比ABC 段的平均速度更能反映物体处于A 点时的瞬时速度D ．物体在B 点时的速度等于AC 段的平均速度答案BC 解析平均速率是路程与时间的比值，图中信息不能求出ABCDE 段轨迹的长度，故不能求出平均速率，选项A 错误；由v ＝s t 可得v ＝52m/s ，选项B 正确；所选取的过程离A 点越近，其过程的平均速度越接近A 点的瞬时速度，选项C 正确；物体在B 点的速度不一定等于AC 段的平均速度，选项D 错误．【变式3】一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离x随时间t变化的关系为x＝(5＋2t3)m，它的速度v随时间t变化的关系为v＝6t2 (m/s)，该质点在t＝2s时的速度和t＝2s到t＝3s时间内的平均速度的大小分别为()A．12m/s39m/s B．24m/s38m/sC．12m/s19.5m/s D．24m/s13m/s答案B解析由v＝6t2(m/s)得，当t＝2s时，v＝24m/s；根据质点离开O点的距离随时间变化的关系为x＝(5＋2t3)m得：当t＝2s时，x2＝21m，t＝3s时，x3＝59m；则质点在t＝2s到t＝3s时间内的位移Δx＝x3－x2＝38m，平均速度v＝ΔxΔt ＝381m/s＝38m/s，故选B.◆拓展点用平均速度法求解瞬时速度——极限思想的应用1．用极限法求瞬时速度和瞬时加速度(1)公式v＝ΔxΔt中，当Δt→0时v是瞬时速度．(2)公式a＝ΔvΔt中，当Δt→0时a是瞬时加速度．2．注意(1)用v＝ΔxΔt求瞬时速度时，求出的是粗略值，Δt(Δx)越小，求出的结果越接近真实值．(2)对于匀变速直线运动，一段时间内的平均速度可以精确地表示物体在这一段时间中间时刻的瞬时速度．【例3】为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为d ＝3.0cm 的遮光板，如图所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt 1＝0.30s ，通过第二个光电门的时间为Δt 2＝0.10s ，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt ＝3.0s ，则滑块的加速度约为()A ．0.067m/s 2B ．0.67m/s 2C ．6.7m/s 2D ．不能计算出答案A 解析遮光板通过第一个光电门时的速度v 1＝d Δt 1＝0.030.30m/s ＝0.10m/s ，遮光板通过第二个光电门时的速度v 2＝d Δt 2＝0.030.10m/s ＝0.30m/s ，故滑块的加速度a ＝v 2－v 1Δt ≈0.067m/s 2，选项A 正确．1．三个概念的比较比较项目速度速度变化量加速度物理意义描述物体运动快慢和方向的物理量描述物体速度改变的物理量，是过程量描述物体速度变化快慢和方向的物理量定义式v＝ΔxΔtΔv＝v－v0a＝ΔvΔt＝v－v0t决定因素v的大小由v0、a、Δt决定Δv由v与v0进行矢量运算，由Δv＝aΔt知Δv由a与Δt决定a不是由v、t、Δv来决定的，而是由Fm来决定方向平均速度与位移同向由v－v0或a的方向决定与Δv的方向一致，由F的方向决定，而与v0、v的方向无关2.判断直线运动中的“加速”或“减速”方法物体做加速运动还是减速运动，关键是看物体的加速度与速度的方向关系．(1)a和v同向(加速直线运动)→a不变，v随时间均匀增加a增大，v增加得越来越快a减小，v增加得越来越慢(2)a和v反向(减速直线运动)→a不变，v随时间均匀减小或反向增加a增大，v减小或反向增加得越来越快a减小，v减小或反向增加得越来越慢【例4】(多选)一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s，在这1s内该物体的可能运动情况为()A．加速度的大小为6m/s2，方向与初速度的方向相同B．加速度的大小为6m/s2，方向与初速度的方向相反C．加速度的大小为14m/s2，方向与初速度的方向相同D．加速度的大小为14m/s2，方向与初速度的方向相反答案AD解析以初速度的方向为正方向，若初、末速度方向相同，加速度a＝v－v0 t＝10－41m/s2＝6m/s2，方向与初速度的方向相同，A正确，B错误；若初、末速度方向相反，加速度a＝v－v0t＝－10－41m/s2＝－14m/s2，负号表示方向与初速度的方向相反，C错误，D正确．【变式4】一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度的方向相同，但加速度大小先保持不变，再逐渐减小直至零，则在此过程中() A．速度先逐渐增大，然后逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值B．速度先均匀增大，然后增大得越来越慢，当加速度减小到零时，速度达到最大值C．位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大D．位移先逐渐增大，后逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值答案B解析加速度与速度同向，速度应增大，当加速度不变时，速度均匀增大；当加速度减小时，速度仍增大，但增大得越来越慢；当加速度为零时，速度达到最大值，保持不变，选项A错误，B正确；因质点速度方向不变化，始终向前运动，最终做匀速运动，所以位移一直在增大，选项C、D均错误．【变式5】一物体做加速度为－1m/s2的直线运动，t＝0时速度为－5m/s，下列说法正确的是()A．初速度为－5m/s说明物体在做减速运动B．加速度为－1m/s2说明物体在做减速运动C．t＝1s时物体的速度为－4m/sD．初速度和加速度方向相同，物体在做加速运动答案D解析当速度方向与加速度方向相同时，物体做加速运动，根据速度公式v ＝v0＋at，当t＝1s时物体速度为v1＝－5m/s＋(－1)×1m/s＝－6m/s，故A、B、C错误，D正确．。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学必修4 9.2.1 等差数列》
明确学习目标渗透核心素养
【情景引入】
1教师播放视频（高斯与数列的故事）
2请学生阅读以下案例并回答相应问题
案例错误!：在过去的三百多年里，人们分别在下列
时间里观测到了哈雷慧星：
1682，1758，1834，1910，1986，…
问题1：你能预测出彗星下一次出现的大致时间
吗？能写出通项公式吗？
案例错误!通常情况下，从地面到10公里的高空，气
温随高度的变化而变化符合一定的规律（如下表）
问题2：把表中温度排成一列： 28, , 15, , 2, ，-1，…
它能构成一个数列吗？是单调数列吗？
问题3：根据上述规律珠穆朗玛峰的峰顶大约多少度？
【新知探究1】等差数列的概念
思考1：（1）28, ,15, , 2, ，-2，…
（2）1682，1758，1834，1910，1986，…
（3）奥运会举办时间：1896，1900，1904，1908,
（4）5，5，5，5，5，5，5。
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选教材回扣保温特训
保温特训(十) 附加必做部分基础回扣训练1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A ＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B -AM-C的平面角的大小．2．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG⊥平面D1EF.3．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．4．设m，n∈N*，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝2 011时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011，求a0－a1＋a2－…－a2 011；(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m，n变化时，试求x2系数的最小值．5. 已知数列{a n}满足：a1＝12，a n＋1＝2a na n＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0＜a n＜a n＋1对于任意n∈N*都成立．考前名师叮嘱1．求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角，特别注意的异面直线所成角的范围，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值．2．二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解．最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角．3．用平面的法向量和直线的方向向量来证明空间几何问题，简单快捷．解题的关键是先定与问题相关的平面及其法向量．如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量．4．解决概率问题，关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，列出随机变量ξ的所有取值并求出相应的概率P(ξ)，列出分布列，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思考方法．5．求离散型随机变量的分布列首先要明确随机变量取哪些值，然后求取每一个值得概率，最后列成表格形式．6．离散型随机变量分布列的两个性质：①p i≥0(i＝1,2，...)；②P1＋P2＋ (1)7. 要注意区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系数”8．在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．9．求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之．10．有些数学问题，形式上极其类似二项式定理的展开式形式，因而我们要能扣住它的展开式各项特征，适当加以变化，进而构造出定理的相应结构，达到解决问题之目的．11．数学归纳法解题的基本步骤： (1)明确首取值n 0并验证真假．(必不可少) (2)“假设n ＝k 时命题正确”并写出命题形式．(3)分析“n ＝k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．(4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．12．数学归纳法解题时要注意，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．参考答案 保温特训(十)1．(1)证明 以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62.所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－3，62. 因为A 1B →·AM →＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×⎝ ⎛⎭⎪⎫62＝0，所以A 1B ⊥AM .(2)解 因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC .因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB→是平面AMC 的一个法向量，CB →＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA→＝(－1，3，0)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，62.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA→＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋62z ＝0，令z ＝2，得x ＝6，y ＝ 2.所以n ＝(6，2，2)因为|CB →|＝1，|n |＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝C B →·n |CB →||n |＝22，因此二面角B -AM -C 的大小为45°.2．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，C 1(0,4,2)，E (3,3,0)，F (2,4,0)， 于是EC 1→＝(－3,1,2)，FD 1→＝(－2，－4,2)．设EC 1与FD 1所成角为α，则cos α＝EC 1→·FD 1→|EC 1→||FD 1→|＝(－3)×(－2)＋1×(－4)＋2×2(－3)2＋12＋22(－2)2＋(－4)2＋22＝2114. ∴异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值为2114.(2)因点G 在平面A 1B 1C 1D 1上，故可设G (x ，y,2)．DG →＝(x ，y,2)，FD 1→＝(－2，－4，2)，EF →＝(－1,1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧DG →·FD 1→＝0，DG →·EF →＝0得⎩⎨⎧－2x －4y ＋4＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23.故当点G 在面A 1B 1C 1D 1上，且到A 1D 1，C 1D 1距离均为23时，DG ⊥D 1EF .3．解 (1)先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法， 所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12种不同的阵容．(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343， P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343.ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.4．解 (1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＝(1－2)2 011＋(1－1)2 011＝－1.(2)因为2C 1m ＋C 1n ＝2m ＋n ＝20，所以n ＝20－2m ，则x 2的系数为22C 2m ＋C 2n ＝4×m (m －1)2＋n (n －1)2＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.所以当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值为85.5．(1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45. (2)证明 ①当n ＝1时，由(1)知0＜a 1＜a 2，不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0＜a k ＜a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1＞0.而a k ＋2－a k ＋1＝ 2a k ＋1a k ＋1＋1－2a ka k ＋1＝2a k ＋1(a k ＋1)－2a k (a k ＋1＋1)(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＝2(a k ＋1－a k )(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＞0，所以0＜a k ＋1＜a k ＋2，即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0＜a n＜a n＋1对于任意n∈N*成立．。
【拿高分-选好题第二波】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选教材回扣保温特训10
保温特训(十)附加必做部分基础回扣训练1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B -AM-C的平面角的大小．2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB＝FB＝1.(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG⊥平面D1EF.3．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．4．设m，n∈N*，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝2 011时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011，求a0－a1＋a2－…－a2 011；(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m，n变化时，试求x2系数的最小值．5. 已知数列{a n}满足：a1＝12，a n＋1＝2a na n＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0＜a n＜a n＋1对于任意n∈N*都成立．考前名师叮嘱1．求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角，特别注意的异面直线所成角的范围，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值．2．二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解．最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角．3．用平面的法向量和直线的方向向量来证明空间几何问题，简单快捷．解题的关键是先定与问题相关的平面及其法向量．如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量．4．解决概率问题，关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，列出随机变量ξ的所有取值并求出相应的概率P (ξ)，列出分布列，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思考方法．5．求离散型随机变量的分布列首先要明确随机变量取哪些值，然后求取每一个值得概率，最后列成表格形式．6．离散型随机变量分布列的两个性质：①p i ≥0(i ＝1,2，…)；②P 1＋P 2＋…＝1. 7. 要注意区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系数”8．在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法． 9．求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之．10．有些数学问题，形式上极其类似二项式定理的展开式形式，因而我们要能扣住它的展开式各项特征，适当加以变化，进而构造出定理的相应结构，达到解决问题之目的． 11．数学归纳法解题的基本步骤： (1)明确首取值n 0并验证真假．(必不可少) (2)“假设n ＝k 时命题正确”并写出命题形式．(3)分析“n ＝k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． (4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．12．数学归纳法解题时要注意，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．参考答案 保温特训(十)1．(1)证明 以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图所示， 则B (1,0,0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62.所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－3，62. 因为A 1B →·AM →＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×⎝ ⎛⎭⎪⎫62＝0，所以A 1B ⊥AM .(2)解 因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC . 所以CB→是平面AMC 的一个法向量，CB →＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA→＝(－1，3，0)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，62.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA→＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋62z ＝0，令z ＝2，得x ＝6，y ＝ 2.所以n ＝(6，2，2)因为|CB →|＝1，|n |＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝C B →·n |CB →||n |＝22，因此二面角B -AM -C 的大小为45°.2．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，C 1(0,4,2)，E (3,3,0)，F (2,4,0)， 于是EC 1→＝(－3,1,2)，FD 1→＝(－2，－4,2)．设EC 1与FD 1所成角为α，则cos α＝EC 1→·FD 1→|EC 1→||FD 1→|＝(－3)×(－2)＋1×(－4)＋2×2(－3)2＋12＋22(－2)2＋(－4)2＋22＝2114. ∴异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值为2114. (2)因点G 在平面A 1B 1C 1D 1上，故可设G (x ，y,2)．DG →＝(x ，y,2)，FD 1→＝(－2，－4，2)，EF →＝(－1,1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧DG →·FD 1→＝0，DG →·EF →＝0得⎩⎨⎧－2x －4y ＋4＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23.故当点G 在面A 1B 1C 1D 1上，且到A 1D 1，C 1D 1距离均为23时，DG ⊥D 1EF .3．解 (1)先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12种不同的阵容．(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343， P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343.ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.4．解 (1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＝(1－2)2 011＋(1－1)2 011＝－1.(2)因为2C 1m ＋C 1n ＝2m ＋n ＝20，所以n ＝20－2m ，则x 2的系数为22C 2m ＋C 2n ＝4×m (m －1)2＋n (n －1)2＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.所以当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值为85.5．(1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)知0＜a 1＜a 2，不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0＜a k ＜a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1＞0.而a k ＋2－a k ＋1＝ 2a k ＋1a k ＋1＋1－2a ka k ＋1＝2a k ＋1(a k ＋1)－2a k (a k ＋1＋1)(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＝2(a k ＋1－a k )(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＞0，所以0＜a k ＋1＜a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0＜a n ＜a n ＋1对于任意n ∈N *成立．。
2024-2025学年人教版九年级中考数学复习课件——二次函数与利润类问题
销销售单价（元、件）
11
19
日销售量（件）
18
2
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价（元/件）定为多少时，日销
售利润最大？最大利润是多少？
分析：第二问已经说明y和x之间是一次函数的关系
解：(2) 设 = +
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销
售期”共有多少天？
分析：第三问问的是销售量，回到题目中找到销售量，销售
量y与x之间是分段函数。分段去讨论。
（3）当0 ≤ ≤ 30时， = 2
令 2 ≥ 48
解得：24 ≤ ≤ 30
②当30 < ≤ 40时， = −6 + 240
令 −6 + 240 ≥ 48
解得：30 < ≤ 40
∴ 综上所述，当24 ≤ ≤ 40时，日销售量不低于48天，则火热销
售期共有16天
变式训练3、某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3
件乙商品，需65元、
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
变式训练3、某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3
件乙商品，需65元、
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为（单位：元/件），在销售过程中发现：当11 ≤ ≤ 19时，甲商品的日销售
量（单位：件）与销售单价之间存在一次函数关系，、之间的部分数值对应关系如表：请写出当
∵对称轴： = − 2 = 2.5, = −20 < 0
高考数学回扣专项练回扣练5.docx
回扣练5 不等式与线性规划1.已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________.2.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则A ∩B ＝________.3.若直线2ax ＋by －2＝0(a 、b ∈R )平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b的最小值是________.4.在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为________.5.已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b的最小值是________.6.若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对任意的x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为________________. 7.已知关于x 的不等式ax ＋b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是________.8.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________. 9.设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，求2a ＋3b的最小值为________.10.已知f (x )＝ax －cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6.若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________.11.已知正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，都有(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0成立，则实数a 的取值范围为______________.12.设P (x ，y )为函数y ＝x 2－1(x >3)图象上一动点，记m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2，则当m最小时，点P 的坐标为________.13.O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，2x －y ≥0，y ≥0，则OM →·ON→的最大值为________.14.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋ac2的最小值为________. 15.(2015·无锡模拟)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.答案精析回扣5 不等式与线性规划1.(1e，e 2) 解析 ∵|f (1＋ln x )|<1，∴－1<f (1＋ln x )<1， ∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)， 又∵f (x )在R 上为减函数， ∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2， ∴1e <x <e 2. 2.∅解析 A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.3.3＋2 2解析 直线平分圆，则必过圆心. 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴圆心C (1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1. ∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab≥3＋2 2.4.83解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)，通过解方程组可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，B (2,3)，C (0，－1)，E (0,1)，如图可知，S △ABC ＝S △ACE＋S △BCE ＝12×CE ×(x B －x A )＝83.5.3＋2 2解析 由已知得2a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (2a ＋b )＝3＋2a b ＋ba≥3＋2 2.6.(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞解析 原不等式可化为(1－m 2)x 2＋(1＋m )x －1<0，当1－m 2＝0时，得m ＝1或m ＝－1. ①当m ＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；②当m ＝1时，不等式可化为2x －1<0，解得x <12，故不等式的解集不是R ，不合题意；③当1－m 2≠0时，由不等式恒成立可得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2<0，Δ＝(1＋m )2＋4(1－m 2)<0，解得m <－1或m >53.综上，m 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 7.(－1,2)解析 由已知得a <0，b ＝－a ，ax －b x －2>0，即为ax ＋a x －2>0，得x ＋1x －2<0，解得－1<x <2. 8.9解析 由题意，x ＝1是f ′(x )＝12x 2－2ax －2b 的一个零点，所以12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6(a >0，b >0)，因此ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立. 9.256解析 作出可行域可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12， ∴2a ＋3b ＝6，从而有2a ＋3b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫6ba ＋4＋9＋6ab ＝136＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫6b a ＋6a b＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2b a ·a b ＝256. 10.a ≤－32解析 f ′(x )＝a －2cos x (－sin x )＝a ＋sin 2x .依题意可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6上为减函数，故f ′(x )≤0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6恒成立.即a ≤－sin 2x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6恒成立.记g (x )＝－sin2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π6.易知g (x )为减函数，故g (x )min ＝－32，所以a ≤－32.11.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376解析 要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y 恒成立.由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时，等号成立，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，函数y ＝(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t 在t ≥6时单调递增，所以y ＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376.12.(2,3)解析 m ＝3x ＋x 2－6x －1＋x ＋3x 2－10x 2－3＝6＋x 2－3x －1＋x －1x 2－3≥6＋2x 2－3x －1·x －1x 2－3＝8，当且仅当x 2－3x －1＝x －1x 2－3，即x ＝2时，m 取得最小值，此时点P 的坐标为(2,3). 13.2 2解析 如图，点N 在图中阴影区域内，当O 、M 、N 共线时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，OM →·ON →＝(1,1)·(2，2)＝2 2. 14.32解析 ∵x 2－2x －3>0，∴x <－1或x >3. ∵A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，A ∪B ＝R ， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，∴－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝c a， ∴b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a >0，∴b 2a ＋a c 2≥2b 2c 2＝2b c ＝－6a －4a ＝32， 当且仅当b 2a ＝ac2时，取等号.15.[－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].。
语文二轮微专题回扣与规范：第一章 语文基础再强化2 Word版含答案.doc
微专题二字形一、写一写：高频错别字(在括号里写出正确字)①泊．来品(舶)②甘败．下风(拜)③自抱．自弃(暴) ④挖墙角．(脚)⑤再接再励．(厉) ⑥出奇．不意(其)⑦水笼．头(龙) ⑧趋之若骛．(鹜)⑨世外桃园．(源) ⑩名．信片(明)⑪旁证．博引(征) ⑫人情事．故(世)⑬罗．嗦(啰) ⑭既．使(即)⑮重迭．(叠) ` ⑯天随．人愿(遂)⑰哀．声叹气(唉) ⑱卑恭曲．．膝(躬、屈)⑲辨．证法(辩) ⑳得不尝．失(偿)○21喝采．(彩) ○22锤练．(炼)○23书声朗朗．．(琅琅) ○24消．声匿迹(销)○25云宵．(霄) ○26急燥．(躁)○27座．标(坐) ○28安祥．(详)○29嘻．笑怒骂(嬉) ○30计日成．功(程)○31貌和．神离(合) ○32恢．谐(诙)○33宏．亮(洪) ○34包函．(涵)○35连．名(联) ○36联．接号(连)○37善．长(擅) ○38好象．(像)○39优．久(悠) ○40凑和．(合)○41灸．烤(炙) ○42变换．莫测(幻)○43各行其事．(是) ○44坚．苦奋斗(艰)○45愤．发图强(奋) ○46浮想连篇．．(联、翩)○47记忆尤．新(犹) ○48后世．之师(事)○49纠纠．．武夫(赳赳) ○50绿草如荫．(茵)○51名列前矛．(茅) ○52能曲．能伸(屈)○53迫不急．待(及) ○54试．目以待(拭)○55手．屈一指(首) ○56挺．而走险(铤)○57屈．意逢迎(曲) ○58巧．装打扮(乔)○59融汇．贯通(会) ○60闻．过饰非(文)○61一愁．莫展(筹) ○62心恢．意冷(灰)○63兴高彩．烈(采) ○64修．养生息(休)○65以德抱．怨(报) ○66原形必．露(毕)○67仗义直．言(执) ○68宣．宾夺主(喧)○69直接．了当(截) ○70坐收鱼．利(渔)二、练一练：熟悉考点、题型和答题技巧1．形近(似)字下列各组词语中，有两个错别字的一组是() A．摩挲既使不翼而飞家徒四壁B．惆怅慰藉不能自已火中取栗C．朝廷赋予病入膏肓烟消云散D．告罄气慨修葺一新括不知耻答案 D解析A项既—即。
2019年高考语文二轮复习(通用版)考前基础回扣 题型组合训练 第3练 Word版含解析
第3练语言基础知识＋名句名篇默写＋小说阅读一、语言基础知识1．(原创)下列各句中加点成语的使用，全都正确的一项是()①北京救护车在路上得不到避让致使伤者身亡的新闻告诉我们，提高国民素养，构建健康和谐的社会，不可能一蹴而就．．．．。
②李白、杜甫缘悭一面．．．．，天宝四年(745)李白在任城，杜甫来访，后二人同游任城，次年秋又会于曲阜。
③李繁民对画马胸有主宰，心储造化，作画时风舒云卷，一挥而就．．．．，整个过程酣畅淋漓，艺术形象呼之欲出。
④昏暗的密室内，安伯尘清楚地感觉到那个女子自始至终都在打量着自己，这目光让他如鲠在喉．．．．，浑身不自在。
⑤由于做了充分准备，带着异样激情，对新编历史剧《成败萧何》这个剧本，李莉一气呵成．．．．，36天就完成了初稿。
⑥俄罗斯总统普京在会见俄罗斯人权全权代表们时表示，西方各国不至于从四面八方打压俄罗斯，即使有这种意图，他们也望尘莫及．．．．。
A．①②④B．①③⑤C．②⑤⑥D．③④⑥答案：B解析：①“一蹴而就”踏一步就成功。
比喻事情轻而易举，一下子就成功。
②“缘悭一面”无缘相见。
与后文“二人同游”矛盾。
③“一挥而就”形容才思敏捷，一动笔就写成。
作谓语、定语；含褒义。
④“如鲠在喉”好像鱼刺卡在喉咙里，形容心里有话没有说出来，非常难受。
这里形容极度不安，应用“如芒在背”。
⑤“一气呵成”形容文章的气势首尾贯通；形容完成整个工作的过程中不间断，不松懈。
⑥“望尘莫及”形容远远落后。
用在此处不合语境，应为“鞭长莫及”。
2．(2016·河南省六市高三第二次联考)下列各句中，没有语病的一句是()A．未来的数字货币要在保护隐私和打击违法犯罪行为之间找到平衡点，尤其针对洗钱、恐怖主义等犯罪行为要保留必要的遏制。
B．中美母语基础阅读教育之间的差距，曹永军老师认为，并不能怪学生，因为更荒谬的现状是，“不少老师自己都不读书”。
C．这个春节，铺天盖地的红包雨，让老人们也参与进来。
通过微信、支付宝聊天的互动，他们发现了与儿女信息交流的新渠道。
【浙江专版】人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训含解析
【浙江专版】人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训含解析1点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是()A .在y轴内B .在xOy平面内C.在xOz平面内 D .在yOz平面内解析：选C 点A(2,0,3)的纵坐标为0,因此点A应在xOz平面内.2.若直线 I: (m2— 2m— 3)x + (2m2 + m— 1)y — 2m + 6= 0 的斜率为 1, 则实数m的值为()4A . — 1 B.34 3 1C.— 1 或3 D . 1 或2 2m2 + m— 1工 0,解析：选B由直线的斜率为1,得m2 — 2m — 34 一---------- = 1解得m =彳选B. 2m2 + m—1，3.过圆x2 + y2 — 4x = 0外一点(m, n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m, n满足的关系式是( )A. (m — 2)2 + n2= 4B. (m + 2)2 + n2= 4C. (m— 2)2 + n2= 8D. (m + 2)2 + n2= 8解析：选C 圆x2 + y2 — 4x = 0的圆心坐标为(2,0),半径r = 2•由题意，知(m— 2)2 + n2= 8.4.光线从点A( — 3,5)射到x轴上，经反射后通过点B(2,10),贝卩光线从A到B的距离是( )A. 5 ,2B. 2 5C. 5； 10 D . 10 5解析：选C 按照光学原理，光线从 A到B的距离，等于点A关于x 轴的对称点A '到点B的距离，易求得A ' ( — 3,— 5).因此|A' B| = -, 2 + 3 2+ 10+ 5 2= 5 10.5.直线y = x+ b与曲线x = “. 1 — y2有且仅有一个公共点，则b的取值范畴是( )A . |b|= 2 B. — 1<b< 1 或 b=— _2C . — 1< b< 1D .非 A, B, C 的结论解析：选B 作出曲线x =寸1 — y2和直线y = x +(0,1)b,利 用图形直观考查它们的关系，查找解决咨询题的方°法. 将曲线x =寸1 — y2变为x2 + y2 = 1(x>0).当直线y 一 x+ b 与曲线x2 + y2= 1相切时，则满足 寸一 | =頁，b- 士迈.1, |b观看图像，可得当b=— ,2或一 1<b< 1时，直线与曲线x=-, 1 — y2有 且仅有一个公共点.6.已知三点A(1,0), B(0, 3), C(2, 3),贝仏ABC 外接圆的圆心到 原点的距离为(—人畀B.~fC-55 D-3_解析：选B 在坐标系中画出厶ABC(如图),利用两点 间的距离公式可得|AB| = |AC|= |BC| = 2(也能够借助图形 直截了当观看得出)，因此△ ABC 为等边三角形.设BC2 的中点为L D,点E 为外心，同时也是重心.因此|AE| = 2| 1+ 4=缪，故选B .B 的垂直平分线的方程是 ________ .解析：由题意，知圆x2 + y2 — 4x+ 6y = 0和圆x2 + y2 — 6x = 0交于A,B 两点，则弦AB 的垂直平分线，确实是两个圆的圆心的连线.圆 x2+ y2 —4x+ 6y= 0的圆心坐标为(2, — 3),圆x2 + y2 — 6x= 0的圆心坐标为(3,0), 因此所求直线的方程为y ++3= x —2，即3x — y — 9= 0.3 3— 2答案：3x — y — 9= 08._________ (全国丙卷)已知直线I: mx+y+ 3m — .3= 0与圆x2 + y2 = 12交于 A, B 两点，过A , B 分不作I 的垂线与x 轴交于C, D 两点.若|AB| = 2AD| =彎，从而 |OE|h jOA|2 + |AE|2 =7.圆 x2 + y2 — 4x + 6= 0 和圆 x2 + y2 — 6x = 0 交于 A, B 两点，则弦 AC (2^)3, 则 |CD|= _____ .解析：由直线I: mx + y + 3m —■ _ 3= 0知其过定点(一3, 3)，圆心0 到直线I的距离为d=|3m—血.Vm2 + 1画出符合题意的图形如图所示，过点 Rt△ CDE 中，可得 |CD|=上芈=2 ；;3X 答案：4 cos69. 过点P(3,0)作一直线I ，使它被两直线I1 : 2x — y — 2= 0和12: x+ y+ 3= 0所截的线段AB 以P 为中点，贝眦直线I 的方程是 ____________ .解析：法一：设直线I 的方程为y= k(x — 3), 将此方程分不与I1 , I2的方程联立，y = k x — 3 , y= k x — 3 , 得y 和y的/合—y —3k 三0 3k —3^ 3 = 0， 解得xA = 和xB = ,k — 2 k+ 1T P(3,0)是线段 AB 的中点，二 xA + xB = 6, 3k — 2 3k — 3 即 + = 6,解得k= 8. k — 2 k+ 1故直线I 的方程为y 三8(x — 3),即卩8x — y — 24= 0. 法二：设直线I1上的点A 的坐标为(x1, y1),T P(3,0)是线段AB 的中点， 则直线I2上的点B 的坐标为(6 — x1, —丫以彳=112x1 — y1 — 2 = 0,xi= 3 ,…解得 ’ _6—x1 + 1 — y 16 + 3 = 0, A 16•••点A 的坐标为 寸，罟，由两点式可得直线1三的方程为8x — y — 24= 0. 答案：8x — y — 24= 010. 已知以点C 为圆心的圆通过点 A( — 1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x + 3y — 15= 0上.设点P 在圆C 上，求△ PAB 的面积的最大值.解：•••线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的斜率为1,=2 3得 2+ (护)2= 12 ，解得m = 13 m2 +1 3,因此直线I 的倾斜角 f .又直线I 的斜6'nC 作 CE 丄 BD ，则/ DCE =—.在 2 4 6 寸 4.n cos^ 由| 率为—r•线段AB的垂直平分线的方程为y— 2=— (x— 1)，即y = — x + 3. y = — x + 3, x = — 3,联立解得口口LT、x+3y —15=0,y=6,即圆心C为(—3,6),则半径 r =\ — 3+ 1 2 + 62 = 2 ；'10.又|AB|== 3+ 1 2+ 42= 4 2,•••圆心 C 到 AB 的距离 d = ： 2 10 2- 2 2 2 = 4 2,•••点P到AB的距离的最大值为d + r = 4 2 + 2 10,1• △ PAB 的面积的最大值为 2X 4 2X (4 2 + 2 10)= 16+ 8 5.11•如图，已知点A(2,3), B(4,1), △ ABC是以A B为底边的等腰三角形，点C在直线I: x— 2y+ 2= 0上.(1)求 AB边上的高CE所在直线的方程；’'(2)求厶ABC的面积.解：(1)由题意可知，E为AB的中点,口 1• E(3,2),且 kCE= —尿=1,• CE所在直线方程为y — 2= x — 3,即x — y — 1 = 0.x — 2y+ 2= 0, ⑵由 x — y—1=0, 得 C(4,3),•|AC|= |BC| = 2, AC丄BC,1•SA ABC = 2|AC| • |BC| = 2.2 212.已知：以点C t, ~t(t € R, t工0)为圆心的圆与x轴交于点O, A ,与y轴交于点O, B，其中O为原点.(1)求证：△ OAB的面积为定值;(2)设直线y= — 2x+ 4与圆C交于点M , N，若OM = ON,求圆C的方程.4解：(1)证明：•••圆C过原点O,「. r2= OC2 = t2 +石.2 4 t2设圆C的方程是(x —1)2 + y—乍2= t2 + 4令 x = 0,得 y1 = 0, y2 =半；令 y= 0,得 x1 = 0, x2 = 2t.1 t 1 4•SAOAB = 2|OA| X |OB| =产£ X |2t|= 4,即厶OAB的面积为定值.(2)v OM = ON , CM = CN, • OC 垂直平分线段 MN.1 1T kMN = — 2,「. kO C = 2.•直线 OC 的方程是 y=2x.2 1 2 2•j =尹解得t = 2或t = — 2.当t = 2时，圆心C的坐标为(2,1), OC= .5,1现在C点到直线y= — 2x + 4的距离d= 5< . 5,圆C与直线y = — 2x + 4相交于两点.当t =-2时，圆心C 的坐标为（一2,— 1）, 9现在C 点到直线y= — 2x + 4的距离d= 5 圆C 与直线y = — 2x + 4不相交， t= — 2不符合题意，舍去.•••圆 C 的方程为（x — 2）2 + （y — 1）2= 5.OC= 5,>5,。
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基础回扣变式训练(二)从以上阅读语篇材料中我们可以回扣以下基础知识。
Ⅰ.语篇中的重点单词1．option/′ɒpʃn/n.选择；选择权；选择的自由2．scene/siːn/n.地点；现场；景象；场面3．exist/I g′z I st/v.存在；生存；生活4．compete/kəm′piːt/v.竞争；对抗；参赛5．intended/I n′tend I d/adj.意欲达到的；打算的；为……打算(或设计)的6．deserve/d I′zɜːv/v.应得；应受7．treat/triːt/v.治疗；以……方式对待；款待某人；把……看作n.乐趣；款待8．measure/′meʒə(r)/v.度量；测量；权衡n.办法；措施；尺寸；测量单位9．advance/əd′vɑːns/v.前进；进步；预付；提前adj.提前的；预先的n．前进；发展10．recognize/′rekəɡna I z/v.认出；认识；承认；认可；识别Ⅱ.语篇中的重点短语1．be set in以……为背景2．enable sb. to do sth.使某人能够做某事3．instead of代替，而不是4．take notice of注意到5．make an effort to do努力做……6．be familiar to为……所熟悉7．set off出发，动身；使爆炸；引起8．manage to do设法做Ⅲ.语篇中的重点句型1．it作形式主语It did not take long for Jeffery Cariaso，a famous coach，to take notice of Ballos’ outstanding performance.没过多久，著名教练杰弗里·卡里阿索就注意到了巴罗斯的杰出表现。
2．v.-ing作宾补She seemed sad，watching her dog being led away by his new owner.她似乎很悲伤，看着她的狗正在被新主人领走。
3．v.-ing作状语Realizing it must have lost its way back home，I managed to call the Pigeon Association up for help.意识到它肯定是找不到回家的路了，我设法打电话给鸽子协会寻求帮助。
4．what引导宾语从句My parents and I all felt happy for what we had done.我父母和我都为我们所做的感到高兴。
根据以上回扣的基础知识，完成以下练习Ⅰ.单词拼写1．It was so serious an accident that I had no option but to call the police.2．On receiving the call，the police hurried to the scene(现场)，where the traffic accident happened. 3．If you want to go to the airport to go aboard a plane on time，you’d better set off in advance. 4．With many wild animals dying out，the present situation deserves(应受，值得) paying attention to.5．As far as I’m concerned，women and men should be treated(对待) equally in all aspects. 6．So I suppose I can get a good mark which will enable me to enter my ideal college. 7．Charity work，which is still at an early stage in China，is not familiar(熟悉的) to many people. 8．He asked the tailor to make some new clothes to his own measure.Ⅱ.单句语法填空1．We had intended(intend) to go for a picnic this weekend，but had to put off because of the bad weather.2．Living in a competitive(compete)society，the young have to equip themselves with knowledge and technology.3．I haven’t seen her since she was a little girl and she has changed beyond recognition (recognize)．4．If you want people to take notice of you，you must make your accomplishments visible. 5．There exist many different theories about when human beings came into existence.(exist) 6．The novel which is popular with teenagers is set in Pre-war London.7．The local clubs are making every effort to interest(interest) more young people.8．If only you would settle down instead of flittering(flitter) around the countryside.9．Pick yourself up.Courage is doing what you are afraid to do.10．Do you think you can manage to get(get) us some tickets?Ⅲ.完成句子1．It is true that we may suffer from failure from time to time.However，it’s important that we (should) not lose the enthusiasm to keep on trying.(it作形式主语)诚然，我们有时会遭受失败。
然而，重要的是我们不能失去继续努力的热情。
2．Having lived with that girl for 5 months，we all know her very well.(v.-ing作状语)与那个女孩一起住了5 个月，我们对她很熟悉了。
3．Be careful that you don’t set the fireworks off by mistake.(set off)小心别误把烟火放了。
4．She is thinking about what she should say next.(what从句)她正在想接下来应该说什么。
5．I heard a song being sung by a little girl when I passed by her room yesterday.(being done作宾补)昨天我路过她的房间时，听到一个小女孩正在唱歌。
Ⅳ.语法填空请阅读下面这篇运用以上词汇和句型编写的短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。
The story was set in a busy street.Jack would have a job interview.In order to leave a good 1.impression(impress)，he intended to have a suit made to 2.his(he) own measure.He went to the 3.tailor’s(tailor) on foot instead of taking a bus.On the way，he was lost in thought，thinking how he could compete 4.with/against his competitors.In the street，there 5.existed(exist) many people and heavy traffic coming and going.Suddenly a car came rushing,6.but Jack didn’t take notice of it.Seeing a man coming，the driver had to brake hard to protect him 7.from being run over，but it was too late.Jack was knocked down.A policeman rushed to the scene.He recognized Jack and made an effort8.to help(help) him.He started his police car and sent Jack to the nearest hospital to 9.be treated(treat)．The policeman deserved 10.praising/to be praised(praise)．。