2017-2018学年浙江省台州市高二下学期期末考试数学试题解析版

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2017-2018学年浙江省丽水市高二(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±5，0）D．（0，±5）2．（5分）下列命题错误的是（）A．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l平行B．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l异面C．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l垂直D．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l相交3．（5分）“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CD，C1D1的中点，则四面体EFGH在平面CC1D1D上的正投影是（）A．B．C．D．5．（5分）若二次函数f（x）＝ax2+bx+c图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数，若，则（）A．a＝﹣2B．a＝0C．a＝1D．a＝27．（5分）由0，1，2，3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有（）A．6 个B．8个C．10个D．12个8．（5分）利用数学归纳法证明“（n≥2且n∈N*）”的过程中，由假设“n＝k”成立，推导“n＝k+1”也成立时，该不等式左边的变化是（）A．增加B．增加C．增加并减少D．增加并减少9．（5分）若（x+2）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6，则a2＝（）A．10B．15C．30D．6010．（5分）已知空间向量，向量，且4x+2y+z＝4，则不可能是（）A．B．1C．D．411．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，，点Q为△ABC所在平面内的动点，若PQ与P A所成角为定值θ，，则动点Q的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．（5分）设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共7小题，其中13-16题每小题6分，17-19题每小题6分，共36分．13．（6分）已知a，b∈R，（a+bi）i＝3+4i（i是虚数单位），则a＝，b＝．14．（6分）向量＝（2x，1，3），＝（1，y，9），若与共线，则x＝，y＝．15．（6分）已知直线，则直线l在x轴上的截距是，倾斜角是．16．（6分）已知函数f（x）＝x3+3mx2+nx+m2在x＝﹣1时有极值0，则m＝，n＝．17．（4分）某城市街区如右图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从A 点到B点的最短路径的走法有种．18．（4分）已知过点P（﹣1，1）的直线m交x轴于点A，抛物线x2＝y上有一点B使P A ⊥PB，若AB是抛物线x2＝y的切线，则直线m的方程是．19．（4分）在△ABC中，D为AB的中点，AC＝2CD＝4，△ABC的面积为6，BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（12分）设曲线C：x2+y2﹣2ax+5＝0．（Ⅰ）若曲线C表示圆，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝3时，若直线l：y＝kx与曲线C交于A，B两点，且，求实数k的值．21．（13分）如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB∥EF，AF＝EF ＝BE＝1，．（1）求证：BF⊥平面ADF；（2）求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值．22．（14分）设F是抛物线y2＝4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM 过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．（Ⅰ）证明：y0＝y1﹣y2；（Ⅱ）证明：点N的横坐标为定值．23．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣3）e x﹣x2+4x，g（x）＝xe x﹣5x+1．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调减区间；（Ⅱ）证明：f（x）＜g（x）；（Ⅲ）当x∈（﹣∞，3）时，f（x）≤ax﹣3恒成立，求实数a的值．2017-2018学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：双曲线的a＝4，b＝3，c＝＝5，且双曲线的焦点在x轴上，可得焦点坐标为（±5，0）．故选：C．2．【解答】解：在A中，若直线l平行于平面α，则平面α内的直线与l平行或异面，故A 正确；在B中，若直线l平行于平面α，则平面α内的直线与l异面或平行，故B正确；在C中，若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l异面垂直，故C正确；在D中，若直线l平行于平面α，则平面α内的直线与l平行或异面，故D错误．故选：D．3．【解答】解：方程的标准形式为＝1，若表示椭圆，则m＞0且≠，即m＞0且m≠4，则“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．4．【解答】解：如图1，点E在平面CC1D1D上的投影是DD′的中点E′，点F在平面CC1D1D上的投影是CC1的中点F′；∴四面体EFGH在平面CC1D1D上的正投影是正方形E′GF′H，且E′F′是实线，GH是虚线如图2所示．故选：C．5．【解答】解：依题意有：⇒，∴f′（x）＝2ax+b的图象是直线，斜率为2a＞0，在y轴上的截距b＜0，故选：A．6．【解答】解：根据题意，函数，则f′（x）＝a cos（ax+），若，则有a cos＝，则a＝2，故选：D．7．【解答】解：先排列1，3形成了3空，将0，2插入其中，有A22A32＝12，其中若是0在首位，则有A21A22＝4种，故由0，1，2，3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有12﹣4＝8种，故选：B．8．【解答】解：当n＝k时，左边＝++…+，当n＝k+1时，左边＝++…++++，由“n＝k”变成“n＝k+1”时增加并减少，故选：D．9．【解答】解：根据题意，（x+2）6＝[（x+1）+1]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6，则a2为其展开式中（x+1）2的系数，[（x+1）+1]6的展开式为T r+1＝C6r（x+1）6﹣r，其中当r＝4时，有T5＝C64（x+1）2＝15（x+1）2，则有a2＝15，故选：B．10．【解答】解：，＝（x+y，y，z），且4x+2y+z＝4，∴＝（x+y）2+y2+z2＝（x+y）2+y2+（4﹣4x﹣2y）2＝17x2+6y2+18xy﹣32x﹣16y+16＝17++≥；∴||≥＞，∴不可能是．故选：A．11．【解答】解：由题意可知，三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面上的射影为底面三角形的中心．如图，以OA所在直线为x轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由已知求得OA＝OP＝1，则A（1，0，0），P（0，0，1），设Q（x，y，0），则，，由已知PQ与P A所成角为定值θ，，则cosθ＝＝，则2cos2θ（x2+y2+1）＝（x+1）2，化简可得：（2cos2θ﹣1）x2+2cos2θy2﹣2x＝1﹣2cos2θ．∵，∴2cos2θ﹣1＞0，可得动点Q的轨迹是椭圆．故选：B．12．【解答】解：联立椭圆与直线方程，可得C（，）．⇒线段OC的中点P（，）．∵，则线段OC的中点P在BF上，又直线BF的方程为：．∴⇒．故选：A．二、填空题：本题共7小题，其中13-16题每小题6分，17-19题每小题6分，共36分．13．【解答】解：由（a+bi）i＝﹣b+ai＝3+4i，得﹣b＝3，a＝4，即a＝4，b＝﹣3．故答案为：4，﹣3．14．【解答】解：∵向量＝（2x，1，3），＝（1，y，9），与共线，∴，解得x＝，y＝3．故答案为：，3．15．【解答】解：直线，令y＝0，求得x＝﹣1，在x轴上的截距是﹣1，它的斜截式方程为y＝﹣x﹣，则直线l的斜率为﹣，故它的倾斜角为150°，故答案为：﹣1；150°．16．【解答】解：∵f（x）＝x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）＝3x2+6mx+n依题意可得即解得或当m＝1，n＝3时函数f（x）＝x3+3x2+3x+1，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：2 917．【解答】解：要从A点到B点，至少需要走2条向下的路和3条向右的路，若下图，我们只需要从这5步路中选出其中2步走向下的路即可走到B点，故有C52＝10条最短路径，要从A点到C点，至少需要走1条向下的路和2条向右的路，只需要从这3步路中选出其中1步走向下的路即可走到C点，故有C31＝3条最短路径故从A点到B点的最短路径的走法有10﹣3＝7种，故答案为：718．【解答】解：设直线m：y＝k（x+1）+1．⇒A（﹣1﹣，0）由⇒kx2+x+1﹣k＝0，⇒B（1﹣，（1﹣）2）．∴直线AB：，联立抛物线x2＝y，可得x2﹣﹣（1+）（1﹣）2＝0．由△＝0可得（1﹣）2，∴，或k＝1∴直线m的方程是x+3y﹣2＝0或x﹣y+2＝019．【解答】解：如图所示，根据题意，过A作CD的垂线，垂足为F，过B作CD的垂线，垂足为F，由题意得AC＝2CD＝4，△ABC的面积为6，S△ACD＝＝＝3，∴BE＝AF＝3，设，的夹角为θ，则＝•（）＝，∴﹣9≤12cosθ≤9，解得﹣≤cosθ≤．∴AC与BE所成角的余弦值取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．【解答】解：（Ⅰ）曲线C变形可得：（x﹣a）2+y2＝a2﹣5，由a2﹣5＞0，可得a＜或a＞；（Ⅱ）∵a＝3，∴C的方程为x2+y2﹣6x+5＝0，即（x﹣3）2+y2＝4．∴圆心C（3，0），半径r＝2，∵|AB|＝2，∴C到直线AB的距离d＝，解得k＝．21．【解答】证明：（1）等腰梯形ABEF中，∵AB＝2，EF＝AF＝BE＝1，∴cos∠F AB＝，∴BF＝＝，∴AF2+BF2＝AB2，∴AF⊥BF，在△DFB中，BF2+DF2＝BD2，BF⊥DF∵AF∩DF＝F，∴BF⊥平面ADF．解：（2）作FO⊥AB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，则＝（0，1，0），＝（﹣，），设平面DCEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得平面DCEF的法向量为，又∴cos＜＞＝＝．∴BF与平面DCEF所成角的正弦值为．22．【解答】证明：（Ⅰ）因为MQ∥OP，所以k MQ＝k OP，所以＝，所以y0＝y1﹣y2；（Ⅱ）因为直线PM过点F，可得＝，所以y1y0＝﹣4，由（Ⅰ）得y0＝y1﹣y2，所以y1＝﹣，y2＝﹣﹣y0，因为OM：y＝x，PQ：y﹣y1＝（x﹣），即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，设点N坐标为（m，n），又因为直线QP，MO交于点N，所以n＝m，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，可得y0＝，4m﹣（﹣﹣﹣y0）n+（﹣）（﹣﹣y0）＝0，消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，因为n2+4m2≠0，所以2m+1＝0，即m＝﹣，所以点N的横坐标为定值﹣．23．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）＝（x﹣2）（e x﹣2），由f′（x）＜0，得ln2＜x＜2，所以f（x）的单调递减区间是（ln2，2）..……………………………………………（4分）（Ⅱ）记h（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣3e x﹣x2+9x﹣1，h′（x）＝﹣3e x﹣2x+9，h″（x）＝﹣3e x﹣2＜0，所以h′（x）在R上为减函数因为h′（0）＝6＞0，h′（1）＝﹣3e+7＜0，所以存在唯一x0∈（0，1），使h′（x0）＝0，故﹣3＝2x0﹣9，当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＜0；所以h（x）max＝h（x0）＝﹣3﹣+9x0﹣1＝﹣9+2x0﹣+9x0﹣1＝﹣（x0﹣1）（x0﹣10）＜0所以f（x）＜g（x）．………………………………………………………（9分）（Ⅲ）因为x＜3，所以e x≥，易证e x≥x+1，当x＝0时取到等号，由x+1≥得：（x+1）（x﹣3）≤x2+（a﹣4）x﹣3，（a﹣2）x≥0，所以a﹣2＝0，即a＝2．…………………………………………………（15分）。

2017-2018学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷及答案

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【解答】解：根据题意，（x﹣1）（x﹣2）＞0⇒
或
，
解可得：x＞2 或 x＜1，即不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜1}；故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意将原不等式变形，属于基础题． 3．【考点】87：等比数列的性质．
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【解答】解：∵{an}是等比数列，a2＝2，a8＝8， ∴a4•a6＝a2a8＝2×8＝16．故选：C．【点评】本题考查等比数列的两项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【考点】71：不等关系与不等式．
19．（15 分）已知函数 f（x）＝x2+ax+b．（Ⅰ）若 f（x）＜0 的解集为（﹣1，2），求 a，b 的值；（Ⅱ）当 b＝4 时，若对任意的 x＞0，f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
20．（15 分）已知两个不共线的向量，，它们的夹角为 θ，且
，
，λ 为实
数．
（Ⅰ）若（Ⅱ）若
C．若 a＜|b|，则 a2＜b2
D．若 a≠|b|，则 a2≠b2
5．（4 分）若点 P 在直线 AB 上，且

，
，则 λ 的值为（）
A．﹣3
B．
C．
D．3
6．（4 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2+c2+ac＝12，且 b＝2，，则△ABC 的面积为（）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．【考点】98：向量的加法．菁优网版权所有

浙江省台州市黄岩中学2018-2019学年高二数学文下学期期末试卷含解析

浙江省台州市黄岩中学2018-2019学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值是A．B．C．D．参考答案：B2. 定义在R上的函数f(x)满足：则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】设，则，函数在定义域上单调递增，，，又，，故选：A．3. 一元二次不等式的解集是，则的值是（）。

A. B. C. D.参考答案：D略4. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差为A．10 B．20 C．30D．40参考答案：A5. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：D略6. 命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题．否命题．逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C考点：四种命题的真假关系．专题：阅读型．分析：因为原命题与它的逆否命题真假相同，故只需写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可．解答：解：命题“若a＞0，则a＞1”是假命题，它的逆命题为：“若a＞1，则a＞0”为真命题．所以在四个命题中真命题的个数是2故选C点评：本题考查四种命题的关系、命题真假的判断，属基本题型的考查．在判断命题的真假时，要充分利用“原命题与它的逆否命题真假相同”这一结论．7. 算法的有穷性是指（）A．算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的C．算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确参考答案：C8. 某工厂生产某种零件，零件质量采用电脑自动化控制，某日生产100个零件，记产生出第n个零件时电脑显示的前n个零件的正品率为f（n），则下列关系式不可能成立的是（）A．f（1）＜f（2）＜…＜f（100）B．存在n∈{1，2，…，99}，使得f（n）=2f（n+1）C．存在n∈{1，2，…，98}，使得f（n）＜f（n+1），且f（n+1）=f（n+2）D．f（1）=f（2）=…=f（100）参考答案：C略9. 如果直线与直线互相垂直，那么a的值等于（）A．B．C．D．参考答案：D10. 某公司有员工150人，其中50岁以上的有15人，35—49岁的有45人，不到35岁的有90人，为了调查员工的身体健康状况，采用分层抽样方法从中抽取30名员工，则各年龄段人数分别为（）A.3，9，18B.5，9，16C.3，10，17D.5，10，15参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. “若，则”是。

【数学】浙江省湖州市2017-2018学年高二下学期期末考试试题(word版附答案)

浙江省湖州市2017-2018学年高二下学期期末考试试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}2A x x =≤，{}22x B x =<，则A B = （） A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≥- C ．{}2x x ≤ D ．{}12x x ≤≤2.函数()ln f x x x =的图象在()()1,1f 点处的切线的倾斜角是（）A ．34πB ．23πC ．3πD ．4π 3.已知1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ等于（） A ．2425 B ．2425- C ．1225 D ．1225- 4.用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，在第二步的证明时，正确的证法是（）A ．假设()n k k N *=∈，证明1n k =+时命题也成立 B ．假设n k =（k 是正奇数），证明1n k =+时命题也成立C. 假设n k =（k 是正奇数），证明2n k =+时命题也成立D ．假设()21n k k N =+∈，证明1n k =+时命题也成立5.从2名男生和3名女生中选两人参加两项不同的活动，则这两人中既有男生又有女生的概率是（）A ．35B ．34 C. 45 D ．7106.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个长度单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．72,21212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C. 7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．22,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 7.函数2ln x y x x=+的图象可能是（）A ．B ． C. D ．8.某班六位学生参演一个文艺节目，分别饰演其中的6个不同角色，其中1号角色只能由小丁或小军出演，6号角色不能由小丁出演，则不同的角色分配方案有（）A ．192种B ．288种 C. 240种 D ．216种9.设x ，y ，z 都是正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C.352y z x << D ．325y x z <<10.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1cos tan 21cos 2ααβαα-<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则（） A ．42ααβ<< B ．2αβα<< C.84ααβ<< D ．168ααβ<<第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知,x y R ∈且132x yi i i+=+-，则复数z x yi =+的虚部是，z = ． 12.平面向量(),1a m =- ，()2,4b = ，且a b ⊥ 及0a b c ++= ，则m = ，c = ．13.多项式()()412x x ++的展开式中，含2x 的系数为，展开式的各项系数和为．（均用数字作答）14.已知函数()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期T = ，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为． 15.如图所示，用4种不同的颜色给图中5个区域涂色（4种颜色可不用完），要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域不涂同一种颜色，则不同的涂色方法有种.16.设函数()()()22ln 1f x x ax b x =-+-，,a b R ∈，当1x >时，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围是．17.单位向量a ，b ，c 满足12b c ⋅= ，则()()22201a b c λλλ---≤≤ 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数()31f x x ax =--，x R ∈，a R ∈. （Ⅰ）求()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若3a =，求()f x 在[]2,2-上的最大值与最小值.19. 从n 个正整数1，2，3，…，n 中任取两个不同的数，若取出的两数之和等于7的概率为328. （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）若()201212nn n x a a x a x a x -=++++ . ①求3a 的值；②在{}0123,,,,,n a a a a a 中任取不同的3个元素，求取出的3个元素的乘积是负数的概率.20. 如图，三棱锥P ABC -中，E ，D 分别是棱BC ，AC 的中点，4PB PC AB ===，8AC =，BC =PA =（Ⅰ）证明：BC ⊥平面PED ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值.21. 已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，O 是坐标原点，2OF = ，过F 作x 轴的垂线交椭圆于直线A ，B 两点，且OAB ∆的面积是103. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且与x 轴交于点M ，且2P M M Q = ，求O P Q ∆的面积取得最大值时l 的斜率.22.已知函数()()ln 1mf x x m R x =+∈-. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当12m ≥，()1,x ∈+∞时，证明：()1f x >.。

2017-2018学年浙江省丽水市高二(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±5，0）D．（0，±5）2．（5分）下列命题错误的是（）A．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l平行B．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l异面C．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l垂直D．若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l相交3．（5分）“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CD，C1D1的中点，则四面体EFGH在平面CC1D1D上的正投影是（）A．B．C．D．5．（5分）若二次函数f（x）＝ax2+bx+c图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数，若，则（）A．a＝﹣2B．a＝0C．a＝1D．a＝27．（5分）由0，1，2，3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有（）A．6 个B．8个C．10个D．12个8．（5分）利用数学归纳法证明“（n≥2且n∈N*）”的过程中，由假设“n＝k”成立，推导“n＝k+1”也成立时，该不等式左边的变化是（）A．增加B．增加C．增加并减少D．增加并减少9．（5分）若（x+2）6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6，则a2＝（）A．10B．15C．30D．6010．（5分）已知空间向量，向量，且4x+2y+z＝4，则不可能是（）A．B．1C．D．411．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，，点Q为△ABC所在平面内的动点，若PQ与P A所成角为定值θ，，则动点Q的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．（5分）设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共7小题，其中13-16题每小题6分，17-19题每小题6分，共36分．13．（6分）已知a，b∈R，（a+bi）i＝3+4i（i是虚数单位），则a＝，b＝．14．（6分）向量＝（2x，1，3），＝（1，y，9），若与共线，则x＝，y＝．15．（6分）已知直线，则直线l在x轴上的截距是，倾斜角是．16．（6分）已知函数f（x）＝x3+3mx2+nx+m2在x＝﹣1时有极值0，则m＝，n＝．17．（4分）某城市街区如右图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从A 点到B点的最短路径的走法有种．18．（4分）已知过点P（﹣1，1）的直线m交x轴于点A，抛物线x2＝y上有一点B使P A ⊥PB，若AB是抛物线x2＝y的切线，则直线m的方程是．19．（4分）在△ABC中，D为AB的中点，AC＝2CD＝4，△ABC的面积为6，BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（12分）设曲线C：x2+y2﹣2ax+5＝0．（Ⅰ）若曲线C表示圆，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝3时，若直线l：y＝kx与曲线C交于A，B两点，且，求实数k 的值．21．（13分）如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB∥EF，AF＝EF ＝BE＝1，．（1）求证：BF⊥平面ADF；（2）求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值．22．（14分）设F是抛物线y2＝4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM 过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．（Ⅰ）证明：y0＝y1﹣y2；（Ⅱ）证明：点N的横坐标为定值．23．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣3）e x﹣x2+4x，g（x）＝xe x﹣5x+1．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调减区间；（Ⅱ）证明：f（x）＜g（x）；（Ⅲ）当x∈（﹣∞，3）时，f（x）≤ax﹣3恒成立，求实数a的值．2017-2018学年浙江省丽水市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线的a＝4，b＝3，c＝＝5，且双曲线的焦点在x轴上，可得焦点坐标为（±5，0）．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法，考查基本量a，b，c的关系，以及运算能力，属于基础题．2．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：在A中，若直线l平行于平面α，则平面α内的直线与l平行或异面，故A 正确；在B中，若直线l平行于平面α，则平面α内的直线与l异面或平行，故B正确；在C中，若直线l平行于平面α，则平面α内存在直线与l异面垂直，故C正确；在D中，若直线l平行于平面α，则平面α内的直线与l平行或异面，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：方程的标准形式为＝1，若表示椭圆，则m＞0且≠，即m＞0且m≠4，则“m＞0”是“方程mx2+4y2＝1所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的特点求出m的范围是解决本题的关键．4．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【解答】解：如图1，点E在平面CC1D1D上的投影是DD′的中点E′，点F在平面CC1D1D上的投影是CC1的中点F′；∴四面体EFGH在平面CC1D1D上的正投影是正方形E′GF′H，且E′F′是实线，GH是虚线如图2所示．故选：C．【点评】本题考查了几何体在平面内的正投影应用问题，是基础题．5．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：依题意有：⇒，∴f′（x）＝2ax+b的图象是直线，斜率为2a＞0，在y轴上的截距b＜0，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，属中档题．6．【考点】63：导数的运算；66：简单复合函数的导数．【解答】解：根据题意，函数，则f′（x）＝a cos（ax+），若，则有a cos＝，则a＝2，故选：D ．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式． 7．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：先排列1，3形成了3空，将0，2插入其中，有A 22A 32＝12，其中若是0在首位，则有A 21A 22＝4种，故由0，1，2，3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有12﹣4＝8种，故选：B ．【点评】本题考查了排列组合中的不相邻问题，和间接法，属于中档题 8．【考点】RG ：数学归纳法．【解答】解：当n ＝k 时，左边＝++…+，当n ＝k +1时，左边＝++…++++，由“n ＝k ”变成“n ＝k +1”时增加并减少，故选：D ．【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P （n ）是关于自然数n 的命题，若1）（奠基） P （n ）在n ＝1时成立；2）（归纳）在P （k ）（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出P （k +1）成立，则P （n ）对一切自然数n 都成立．9．【考点】DA ：二项式定理．【解答】解：根据题意，（x +2）6＝[（x +1）+1]6＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+a 3（x +1）3+a 4（x +1）4+a 5（x +1）5+a 6（x +1）6，则a 2为其展开式中（x +1）2的系数， [（x +1）+1]6的展开式为T r +1＝C 6r（x +1）6﹣r，其中当r ＝4时，有T 5＝C 64（x +1）2＝15（x +1）2，则有a 2＝15，故选：B ．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是对（x +2）的变形． 10．【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【解答】解：，＝（x+y，y，z），且4x+2y+z＝4，∴＝（x+y）2+y2+z2＝（x+y）2+y2+（4﹣4x﹣2y）2＝17x2+6y2+18xy﹣32x﹣16y+16＝17++≥；∴||≥＞，∴不可能是．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与函数最值的应用问题，是中档题．11．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：由题意可知，三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面上的射影为底面三角形的中心．如图，以OA所在直线为x轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由已知求得OA＝OP＝1，则A（1，0，0），P（0，0，1），设Q（x，y，0），则，，由已知PQ与P A所成角为定值θ，，则cosθ＝＝，则2cos2θ（x2+y2+1）＝（x+1）2，化简可得：（2cos2θ﹣1）x2+2cos2θy2﹣2x＝1﹣2cos2θ．∵，∴2cos2θ﹣1＞0，可得动点Q的轨迹是椭圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用向量法求解轨迹方程问题，是中档题．12．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：联立椭圆与直线方程，可得C（，）．⇒线段OC的中点P（，）．∵，则线段OC的中点P在BF上，又直线BF的方程为：．∴⇒．故选：A．【点评】本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据平行四边形的性质，求出C 点的坐标，是解答本题的关键．属于中档题二、填空题：本题共7小题，其中13-16题每小题6分，17-19题每小题6分，共36分．13．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由（a+bi）i＝﹣b+ai＝3+4i，得﹣b＝3，a＝4，即a＝4，b＝﹣3．故答案为：4，﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．14．【考点】M5：共线向量与共面向量．【解答】解：∵向量＝（2x，1，3），＝（1，y，9），与共线，∴，解得x＝，y＝3．故答案为：，3．【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：直线，令y＝0，求得x＝﹣1，在x轴上的截距是﹣1，它的斜截式方程为y＝﹣x﹣，则直线l的斜率为﹣，故它的倾斜角为150°，故答案为：﹣1；150°．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，直线在坐标轴上的截距的定义，属于基础题．16．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：∵f（x）＝x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）＝3x2+6mx+n依题意可得即解得或当m＝1，n＝3时函数f（x）＝x3+3x2+3x+1，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：2 9【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值⇒f′（x0）＝0．反之结论不成立，即函数有f′（x0）＝0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题．17．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：要从A点到B点，至少需要走2条向下的路和3条向右的路，若下图，我们只需要从这5步路中选出其中2步走向下的路即可走到B点，故有C52＝10条最短路径，要从A点到C点，至少需要走1条向下的路和2条向右的路，只需要从这3步路中选出其中1步走向下的路即可走到C点，故有C31＝3条最短路径故从A点到B点的最短路径的走法有10﹣3＝7种，故答案为：7【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题．18．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：设直线m：y＝k（x+1）+1．⇒A（﹣1﹣，0）由⇒kx2+x+1﹣k＝0，⇒B（1﹣，（1﹣）2）．∴直线AB：，联立抛物线x2＝y，可得x2﹣﹣（1+）（1﹣）2＝0．由△＝0可得（1﹣）2，∴，或k＝1∴直线m的方程是x+3y﹣2＝0或x﹣y+2＝0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．19．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：如图所示，根据题意，过A作CD的垂线，垂足为F，过B作CD的垂线，垂足为F，由题意得AC＝2CD＝4，△ABC的面积为6，S△ACD＝＝＝3，∴BE＝AF＝3，设，的夹角为θ，则＝•（）＝，∴﹣9≤12cosθ≤9，解得﹣≤cosθ≤．∴AC与BE所成角的余弦值取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查平面图形的翻折问题，考查异面直线的夹角的范围，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）曲线C变形可得：（x﹣a）2+y2＝a2﹣5，由a2﹣5＞0，可得a＜或a＞；（Ⅱ）∵a＝3，∴C的方程为x2+y2﹣6x+5＝0，即（x﹣3）2+y2＝4．∴圆心C（3，0），半径r＝2，∵|AB|＝2，∴C到直线AB的距离d＝，解得k＝．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．21．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】证明：（1）等腰梯形ABEF中，∵AB＝2，EF＝AF＝BE＝1，∴cos∠F AB＝，∴BF＝＝，∴AF2+BF2＝AB2，∴AF⊥BF，在△DFB中，BF2+DF2＝BD2，BF⊥DF∵AF∩DF＝F，∴BF⊥平面ADF．解：（2）作FO⊥AB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，则＝（0，1，0），＝（﹣，），设平面DCEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得平面DCEF的法向量为，又∴cos＜＞＝＝．∴BF与平面DCEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】证明：（Ⅰ）因为MQ∥OP，所以k MQ＝k OP，所以＝，所以y0＝y1﹣y2；（Ⅱ）因为直线PM过点F，可得＝，所以y1y0＝﹣4，由（Ⅰ）得y0＝y1﹣y2，所以y1＝﹣，y2＝﹣﹣y0，因为OM：y＝x，PQ：y﹣y1＝（x﹣），即4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，设点N坐标为（m，n），又因为直线QP，MO交于点N，所以n＝m，4m﹣（y1+y2）n+y1y2＝0，可得y0＝，4m﹣（﹣﹣﹣y0）n+（﹣）（﹣﹣y0）＝0，消去y0得2mn2+n2+8m3+4m2＝0，所以（2m+1）n2+4m2（2m+1）＝0，所以（2m+1）（n2+4m2）＝0，因为n2+4m2≠0，所以2m+1＝0，即m＝﹣，所以点N的横坐标为定值﹣．【点评】本题考查抛物线的方程的运用，以及直线方程的运用，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．23．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）＝（x﹣2）（e x﹣2），由f′（x）＜0，得ln2＜x＜2，所以f（x）的单调递减区间是（ln2，2）..……………………………………………（4分）（Ⅱ）记h（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣3e x﹣x2+9x﹣1，h′（x）＝﹣3e x﹣2x+9，h″（x）＝﹣3e x﹣2＜0，所以h′（x）在R上为减函数因为h′（0）＝6＞0，h′（1）＝﹣3e+7＜0，所以存在唯一x0∈（0，1），使h′（x0）＝0，故﹣3＝2x0﹣9，当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＜0；所以h（x）max＝h（x0）＝﹣3﹣+9x0﹣1＝﹣9+2x0﹣+9x0﹣1＝﹣（x0﹣1）（x0﹣10）＜0所以f（x）＜g（x）．………………………………………………………（9分）（Ⅲ）因为x＜3，所以e x≥，易证e x≥x+1，当x＝0时取到等号，由x+1≥得：（x+1）（x﹣3）≤x2+（a﹣4）x﹣3，（a﹣2）x≥0，所以a﹣2＝0，即a＝2．…………………………………………………（15分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．。

浙江省台州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案

台州市2023学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学（答案在最后）2024.6一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}3x x ≤ B.{}2,3 C.{}2,3,4,5 D.{}345x x x x ≤==或或【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解.【详解】因为集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B.2.复数z 及其共轭复数z 满足232i z z +=+（其中i 是虚数单位），则z =（）A.23i 3-+B.23i 3--C.12i+ D.12i-【答案】D 【解析】【分析】设出复数z 的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出z 即可.【详解】设i,,z a b a b =+∈R ，由232i z z +=+，得i 2(i)32i a b a b ++-=+，即3i 32i a b -=+，因此1,2a b ==-，所以12z i =-.故选：D3.已知向量()1,a x = ，(),4b x = ，x ∈R ．若()//a b b +，则x =（）A.2B.2或2-C.4- D.4-或1-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示式列出方程，求解即得.【详解】因()1,a x =，(),4b x = ，则(1,4)a b x x +=++ ，由()//a b b +可得，(4)4(1)x x x +=+，解得，2x =或2-.故选：B.4.已知a ，b 为正实数，22411a b +=，则（）A.ab 的最小值为4B.ab 的最大值为4C.ab 的最小值为2D.ab 的最大值为2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得.【详解】因a ，b 为正实数，由22411a b +=可得22412412a b ab ab =+≥⨯=，即得4ab ≥，当且仅当21a b=时取等号，即a b ==时，ab 的最小值为4.故选：A.5.设定义在R 上的函数()sin2f x x =．记()()1f x f x =，对任意的*n ∈N ，()()1n n f x f x +'⎡⎤=⎣⎦，则()2024f x =（）A.sin2xB.cos2x- C.20232cos2x- D.20242sin2x【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的求导法则可得对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-，代入计算，即可求解.【详解】由题意可得，()1sin2f x x =，()()2sin 22cos 2f x x x '==，()()232cos 22sin 2f x x x '==-，()()2342sin 22cos 2f x x x =-=-，()()3452cos 22sin 2f x x x '=-=，通过以上可以看出()n f x 满足以下规律：①对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-；②对于*n ∈N ，若n 除4余1，则()12sin 2n n f x x -=，③对于*n ∈N ，若n 除4余2，则()12cos 2n n f x x -=，④对于*n ∈N ，若n 除4余3，则()12sin 2n n f x x -=-，则()()2023202450642cos 2f x f x x⨯==-.故选：C6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C 【解析】【分析】分两种情况，甲、乙两人站前排和甲、乙两人站后排，先排甲、乙再排其他人，利用分类加法原理可求解.【详解】分两种情况，当甲、乙两人站前排时，有2323A A 12⋅=种排法，当甲、乙两人站后排时，先排甲、乙再排其他人，有2122322A A A 24⋅⋅=种排法，综上，共有122436+=种排法.故选：C7.现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为0.5．他对题目若有思路，做对的概率为0.75；若没有思路，做对的概率为0.25．在已知张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为（）A.716B.12C.916D.58【答案】D 【解析】【分析】首先利用全概率公式求做1题且作对的概率，再结合二项分布概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 为张君对1题有思路，A 表示张君对1题没有思路，事件B 表示做对，则()()()()()0.50.750.50.250.5P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=，所以2题恰有1题作对的概率为12C 0.50.50.5⨯⨯=，则2题中作对1题，且只有1题有思路的概率()12C 0.50.750.50.750.50.250.50.250.3125P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为0.312550.6250.58==.故选：D8.设323210()f x a x a x a x a =+++（1023,,,a a a a ∈R 且30a ≠），方程()0f x =在复数集C 内的三个根为123,,x x x ，可以将上述方程变形为3123()()()0a x x x x x x ---=，展开得到2312331223333131230()()x x x x x a x a x x x a x a x x x x x -+-+++=+，比较该方程与方程()0f x =，可以得到011223311233321233,,a x a ax x x x x a x x x x x x a a ++=+=--+=．已知(i)1i f =+（i 是虚数单位），且tan ,tan ,tan αβγ是()0f x =的三个实根，则tan()αβγ++=（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由(i)1i f =+结合复数相等得02131,1a a a a -=-=，再借助复数根的定义，结合和角的正切公式计算即得.【详解】依题意，3232101i i i i a a a a ++=++，即0213()i 1(i )a a a a --=++，而0123,,,a a a a ∈R 且30a ≠，则02131,1a a a a -=-=，23tan tan tan a a αβγ++=-，13tan tan tan tan tan tan a a αββγγα++=，03tan tan tan a a αβγ=-，所以tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()tan tan 1tan()tan 1tan 1tan tan αβγαβγαβαβγαβαβγγαβ++++-++==+-+⋅-⋅-0233021313tan tan tan tan tan tan tan tan tan t 1an tan t )1(a 1n a a a a a a a a a a αβγαβγαββγγα-+-=+===---++-+-.故选：B【点睛】关键点点睛：由已知结合复数相等求得02131,1a a a a -=-=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若随机变量X 服从二项分布15,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()29D X =B.若随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则()()731P X P X >+≥=C.当事件A ，B ，C 两两独立时，()()()()P ABC P A P B P C =D.当事件A ，B ，C 两两互斥时，()()()()P A B C P A P B P C ++=++【答案】BD 【解析】【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A ；根据正态分布得对称性，从而可判断B ；根据独立事件乘积公式结合具体事件说明即可判断C ；根据互斥事件和概率公式计算，即可判断D ．【详解】对于A ，由随机变量X 服从二项分布1(5,)3B ，得1110()51339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则对称轴为5X =，()()73P X P X >=<，所以()()731P X P X >+≥=，故B 正确；对于C ，三个事件A ，B ，C 两两独立能推出()()()P AB P A P B =，且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，比如：从1，2，3，4中随机选出一个数字，事件A ：取出的数字为1或2．事件B ：取出的数字为1或3，事件C ：取出的数字为1或4，则AB AC BC ABC ===为取出数字1，所以()()()()()()()11,24P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======，满足()()()P AB P A P B =．且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，故选项C 错误；当事件A ，B ，C 两两互斥时，则,A B C +互斥则()()()()()()P A B C P A B P C P A P B P C ++=++=++,D 选项正确；故选：BD.10.关于函数()3f x x =的图象的切线，下列说法正确的是（）A.在点()1,1A 处的切线方程为32y x =-B.经过点()1,1A 的切线方程为32y x =-C.切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点D.在点()311,P x x 处的切线过点()()30001,Q x x xx ≠，则012x x =-【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A 、C 、D ，设切点为()322,x x ，表示出切线方程，求出2x ，即可判断B.【详解】由()3f x x =得()23f x x '=，对于A ：由()13f '=，所以函数在点()1,1A 处的切线方程为()131y x -=-，即32y x =-，故A 正确；对于B ：设切点为()322,x x ，所以()2223f x x '=，所以切线方程为()322223y x x x x -=-，又切线过点()1,1A ，所以()32222131x x x -=-，解得21x =或212x =-，所以过点()1,1A 的切线方程为32y x =-或3410x y -+=，故B 错误；对于C 、D ：()2113f x x ='，则在点()311,P x x 的切线方程为()321113y x x x x -=-，则()013203113x x x x x -=-，即()()()1222001100113x xx x x x x x x -++=-，因为10x x ≠，则122200113x x x x x ++=，即12201020x x x x +-=，即()()101020x x xx +-=，所以012x x =-，又()00f '=，当0x ≠时()230f x x '=>，又点()()3001,Q x x xx ≠在函数()3f x x =上，且与点()311,P x x 相异，即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点），对于切线():0l y kx b k =+≠，则切点不是坐标原点，所以切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点，故C 、D 正确.故选：ACD11.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为定值．若ABC △的面积212S a =，则（）A.tan A 的最大值为43B.22b c +的最小值为22aC.ABC △周长的最小值为)1a+D.b c的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得到sin a b C =，2sin a bc A =，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 利用利用余弦定理、同角三角函数关系式和基本不等式计算判断各个选项；【详解】211sin ,sin ,22S a ab C a b C ==∴= 211sin 22S a bc A == ，2sin a bc A ∴=，∴2sin sin sin sin ,sin sin sin A B A C A B C ==，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 对于A ，根据余弦定理2222222cos ,2cos a b c bc A b c a bc A =+-∴+=+，2sin a bc A = ，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，22sin 2cos bc A bc A b c bc bc++∴=，22sin 2cos 2b c b cA A bc c b ++==+≥，当b c c b =时，即b c =时，等号成立，2cos 2sin ,sin (0,1],cos 0A A A A ≥-∈∴>所以两边平方可得()222224cos 2sin 44sin sin ,sin cos 1,A A A A A A ≥-=-++= 2244sin 44sin sin ,A A A -≥-+244sin 5sin 0,sin 0,sin ,5A A A A ∴-+≤≠∴≤ 3sin cos [,1),tan 5cos AA A A ∴∈=,所以tan A 的最大值为43，故A 正确.对于B ，22222sin a b c bc A+≥=,当b c =时，等号成立，由A 可知4sin ,5A ≤，所以222225sin 2a abc A +≥=，则22b c +的最小值为252a ，故B 错误；对于C ，ABC △周长为,2a b c b c +++≥== ，当b c =时，等号成立，4sin ,5A ≤ ，b c ∴+≥所以ABC △周长的最小值为)1a +，故C 正确；对于D ，22525sin 2cos (sin 2cos ))(cos ,sin 55b c bc A bc A bc A A bc A ∴+=+=+≤+ϕϕ=ϕ=sin()(1,1)A +ϕ∈- 22b c ∴+两边同时除以2c ，2222110b b c c +≤∴≤，计算可得bc 的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦，故D 正确；故选：ACD.【点睛】解三角形中求最值方法1.边的范围或最值方法：根据边角的各自特点，利用正（余）弦定理进行合理转化，在利用三角函数的范围或基本不等式进行求解；2.周长范围或最值方法：周长问题可看作边长问题，解决周长问题可类同求边的范围或最值；3.角的范围或最值方法：可借助三角函数的有界性，或利用正（余）弦定理把三角转化成边，在结合不等式的相关性质进行求解；4.面积的范围或最值方法：通常利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后三角函数的有界性或者实数的不等式求解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()52x y +的展开式中32x y 的系数是______（用数字作答）·【答案】40【解析】【分析】二项式定理展开式中的特定项的系数问题，只需按照二项式定理展开即可.【详解】根据二项式定理，含有32x y 的项为2323235C (2)40T x y x y ==.故答案为：40.13.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 3αβ-=，1cos cos 4αβ=，则()tan αβ-=______，()cos αβ+=______．【答案】①.②.16【解析】【分析】利用题设等式先求出tan tan 3αβ-=，再由()sin αβ-求出cos()αβ-，继而求得sin sin αβ和tan tan αβ⋅，最后分别代入和角公式与差角公式计算即得.【详解】由()sin 3αβ-=可得，sin cos cos sin 3αβαβ-=两边分别除以1cos cos 4αβ=的左式和右式，tan tan 3αβ-=.因π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故1cos()3αβ-==，展开得，1cos cos sin sin 3αβαβ+=，因1cos cos 4αβ=，代入得，1sin sin 12αβ=，两式相除得，1tan tan 3αβ⋅=，于是，()tan tan 3tan 11tan tan 13αβαβαβ--===+⋅+，()111cos cos cos sin sin 4126αβαβαβ+=-=-=.故答案为：16.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形11ADD A 的中心，直线l ⊂底面ABCD ，则二面角1A l P --的平面角的正弦值的最大值是______．【答案】22【解析】【分析】利用空间向量方法计算该二面角的余弦值的平方，然后相应证明21cos 2θ≥，即可得到sin 2θ≤，最后给出取到等号的例子即可.【详解】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，以A 为原点，1,,AB AD AA分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则平面ABCD 即为由x 轴和y 轴确定的平面，()10,0,2A ，()0,1,1P .设与l 同向的一个非零向量是(),,0u v α=，()00,,0M x y 是原点A 在l 上的投影，则由于向量(),,0v u β=- 与α垂直且可落入平面ABCD 内，故存在实数t 使得AM t β= ，即()()00,,0,,0x y vt ut =-.设()1,,n a b c = 和()2,,n p q r =分别是l 与()10,0,2A 确定的平面和l 与()0,1,1P 确定的平面的一个法向量.则1112200n n A M n n PM αα⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，故()00002010ua vb x a y b c up vq x p y q r +=+-=⎧⎨+=+--=⎩.解得12,n n的一个可能的取值是()1002,2,n v u x v y u =-- ，()()200,,1n v u x v y u =--- .由于()()00,,0,,0x y vt ut =-，故()()2212,2,n v u u v t =--+ ，()()222,,n v u u u v t =--+ .记二面角1A l P --的值为θ，则()()()()()()()()()222222222212222222222222222221222cos 4422u v u v t u u v t n n n n u v u v t u v u v t u u v tθ+++-+⋅==⋅+++⋅+++-+ .一方面，由于()()()()()()()()222222222222222222222222224422u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t+++-+-+++⋅+++-+()()()()()()()422222422222222222222222222422422u v t u u v t u v u v u v t u v u u v t=++++++++-++()()()()()()222222222222224442442u v t u u v t u v uv u v u u v t-+⋅+-++++⋅+()()()()()()223422222222222232242442u v u v t u v u v t u u v t u v t -++-++++-+()()()()()()()432222422322222222222243842u v t u u v t u v u v t u v u v uv =+-++++++-++()()()()()2232222222222234u v t uuvtu vtv u v =+-+++++0≥，故()()()()()()()()2222222222222222222222222244220u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t +++-+-+++⋅+++-+≥，从而()()()()()()()()222222222222222222222222221cos 24422u v u v t u u v t u v u v t u v u v t u u v t θ+++-+=≥+++⋅+++-+.故2211sin 1cos 122θθ=-≤-=，从而sin 2θ≤.另一方面，当l 为直线AB 时，由于AB 垂直于平面11ADD A ，1,AA AP 在平面11ADD A 内，故1AB AA ⊥，AB AP ⊥.所以二面角1A l P --的大小等于1A AP ∠，即1sin sin sin 452A AP θ=∠=︒=.综上，二面角1A l P --的正弦值的最大值是2.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用空间向量方法计算二面角的余弦值，再用代数变形求正弦值的最大值.四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-><<⎪⎝⎭，x ∈R ．给出如下三组条件：①函数()f x 的最小正周期为π，且当5π12x =时，()f x 取到最大值；②函数()f x 的单调递减区间是()7ππ,π1212πk k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；③1x ，2x 是方程()1f x =的两个根，12x x -的最小值为π3，且6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题：（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0π2263x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求05π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）149.【解析】【分析】(1)利用周期计算ω，利用代点法计算ϕ即可;(2)代入找到角的关系即可.【小问1详解】若选择①：由题知2ππT ω==，故2ω=．当5π12x =时，5ππ22π122k ϕ⨯-=+，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若选择②：由单调区间可知周期为π，故2ππT ω==，故2ω=．由题意知当π12x =-时，()f x 取最小值，即ππ22π122k ϕ⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若选择③：令()1f x =，即()2sin 1x ωϕ-=，易知，()()12π5π2π2π2π663x x k k ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫---≥+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()21min2π3x x ω-=，又12x x -的最小值为π3，故2ω=．由6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，则π2π6k ϕ⨯-=，k ∈Z ，故ππ3k ϕ=-，又0πϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由00π22sin 263x f x ⎛⎫+==⎪⎝⎭，得01sin 3x =．故()200005ππ142sin 22cos2212sin 1229f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16.已知函数()1f x x a x a=-+-为偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若不等式()f x bx ≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）0a =．（2）[]1,1-．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义域关于原点对称即可求得a 的值；（2）根据函数定义域分段讨论，化简不等式，利用不等式恒成立即得参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}x x a ≠，由()f x 是偶函数，知其定义域关于原点对称，故0a =；当0a =时，()1f x x x=+为偶函数.所以0a =．【小问2详解】由（1）知，()1f x x x=+，则()f x bx ≥恒成立即1x bx x+≥（*）恒成立．①当0x >时，（*）式恒成立等价于1x bx x+≥恒成立，即211b x≤+恒成立，因210x >，故1b ≤；②当0x <时，（*）式恒成立等价于1x bx x--≥恒成立，即211b x ≥--恒成立，因210x-<，故1b ≥-．综上可得，b 的取值范围是[]1,1-．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BB ==，BC =．D ，E 分别是棱1AC CC 、的中点，点F 在线段1A E 上．（1）若12A F FE =，求证：//AF 平面BDE ；（2）若三棱锥F ABD -的体积为32，求直线BF 与平面11AA C C 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）13．【解析】【分析】（1）先证明11AA F C EF ∽△△得A ，F ，1C 三点共线，再证AF DE ∥即得；（2）过点B 作BH AC ⊥,证BH ⊥平面11AA C C ，可得BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角，利用体积求出点F 到平面ABC 的距离h ，证32DF h ==，继而求出,BH HF 即得.【小问1详解】连接1C F ,在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ∥，所以11AA F C EF ∠=∠．又因为112AA C E =，12A F FE =，所以11AA F C EF ∽△△，故11AFA C FE ∠=∠，即A ，F ，1C 三点共线．因点D ，E 分别是棱AC 、1CC 的中点，故AF DE ∥，又DE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE ．【小问2详解】过点B 作BH AC ⊥，垂足为点H ，连接FH ，FB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BH ⊂平面，所以1AA BH ⊥，又BH AC ⊥，1AA AC A = ，所以BH ⊥平面11AA C C ．故FH 是斜线FB 在平面11AA C C 上的射影，所以BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角．记点F到平面ABC的距离为h，11112332232F ABD ABDV S h-==⨯⨯⨯⨯==△，得32h=．因1322AA CE h+==,故得F为1A E的中点，即32DF h==．在Rt ABC中，因2,AB BC==,则60BAC∠= ,于是，sin60BH AB=︒=，cos601AH AB=︒=，1HD AD AH=-=．求得2HF==，故239tan13BHBFHHF∠==．所以直线BF与平面11AA C C．18.已知函数()()()Rlnxf x ax a=∈+．（1）当0a=时，求函数()f x的单调区间；（2）当1a=时，证明：()112f x x<+；（3）若()f x既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是()e,+∞，函数()f x的单调递减区间是()0,1，()1,e．（2）证明见解析（3）01a<<【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；（2）不等式转化为()11ln12x xx<++，构造函数()()2ln12xh x xx=+-+，利用导数求出其单调区间，利用其单调性可证得结论；（3）设t x a=+，令()lnt ag tt-=，则转化为()g t既有极大值又有极小值，则()2lnlnt attg tt-'-=，令()ln ln1t a as t t tt t-=-=+-，然后对函数求导后，分0a≤，1a=，1a>，01a<<四种情况讨论即可得答案.【小问1详解】当0a=时，()lnxf xx=，函数()f x的定义域为()()0,11,+∞，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得e x >；令()0f x '<，解得01x <<或1e x <<，故函数()f x 的单调递增区间是()e,+∞，函数()f x 的单调递减区间是()0,1，()1,e ．【小问2详解】当1a =时，()()ln 1xf x x =+，函数()f x 的定义域为()()1,00,-⋃+∞，不等式()112f x x <+就是不等式()11ln 12x x x <++（*），当10x -<<时，（*）式等价于()2ln 12xx x +<+；当0x >时，（*）式等价于()2ln 12xx x +>+．设()()2ln 12x h x x x =+-+，()()()()2221401212x h x x x x x =-=++'>++，故()h x 在()1,-+∞上单调递增，故当10x -<<时，()()00h x h <=，即()2ln 12xx x +<+，当0x >时，()()00h x h >=，即()2ln 12xx x +>+．所以原式成立．【小问3详解】设t x a =+，令()ln t ag t t-=，()f x 既有极大值又有极小值等价于()g t 既有极大值又有极小值．()2ln ln t at t g t t-'-=，记()ln ln 1t a as t t t t t-=-=+-．()221a t a s t t t t='-=-，①当0a ≤时，有()0s t ¢³，则()s t 在()()0,11,+∞ 上单调递增，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上至多有1个零点，不合题意；②当1a =时，()s t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()10s =，故()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；③当1a >时，()s t 在()()0,11,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，又()110s a =->，()ln 0s a a =>，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；④当01a <<时，()s t 在()0,a 上单调递减，在[)(),11,a +∞ 上单调递增，且有()e lne 10e ea as =+-=>，()110s a =-<，()ln 0s a a =<，2221122122e e 1112a as a a a a a a--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-≥+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦（这里用不等式：当0x ≥时，2e 12xx x ≥++）244221022a aa a a ⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭．下面证明当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，令2()e 1(0)2xx x x x ϕ=---≥，则()e 1x x x ϕ'=--，令()()e 1x t x x x ϕ'==--，则()e 10(0)x t x x '=-≥≥，所以()()e 1x t x x x ϕ'==--在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0''≥=x ϕϕ，所以()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)x ϕϕ≥，所以当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，所以()()e 10s s ⋅<，()21e 0a s a s -⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又因为函数()s t 的图象分别在区间()0,1，()1,+∞上连续，所以函数()s t 在21e ,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内各有1个零点，分别记为1t 和2t ，故1t 、2t 分别为函数()g t 的极大值点、极小值点．即()f x 既有极大值又有极小值．综上，当01a <<时，()f x 既有极大值又有极小值．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数极值问题，第（3）问解题的关键是换元后将问题转化为()ln t ag t t-=既有极大值又有极小值，然后两次求导后分情况讨论，考查计算能力和数学转化的思想及分类讨论思想，属于难题.19.在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作1，反面朝上记作0，记录结果得到一串由0和1构成的序列.在序列中规定：仅有数字0相连的排列称为由0构成的游程；仅有数字1相连的排列称为由1构成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13个游程，其中由0构成的游程有7个，分别是000，0，0000，0，00，00，000；由1构成的游程有6个，分别是11111，1，11，111，1，11.（1）由2个0和3个1随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；（2）由m 个0和n 个1随机构成的序列，记作123m n a a a a +⋅⋅⋅.记事件{}111A a ==，{}10,1k k k A a a -===，2k =，3，…，m n +.（i ）求()1P A ，()2P A ；（ii ）求游程个数的期望.【答案】（1）分布列见解析，175（2）（i ）()1n P A m n =+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）21mn m n++．【解析】【分析】（1）由已知{}2,3,4,5X ∈，分别求出()2P X =，()3P X =，()4P X =，()5P X =，即可列出分布列，求出期望；（2）（i ）由古典概型可得()1n P A m n=+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）由（i ）可知()()()12C C 1n m n k n m n mn P A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，设设1游程个数为Y ，设0游程个数为Z ，则由期望的性质可得()()1m n k k E Y P A +==∑，进而可得()n mn E Y m n +=+，类似可得()m mnE Z m n+=+，则得两类游程数目的数学期望为()21mnE Y Z m n+=++.【小问1详解】设X 表示游程的个数，则{}2,3,4,5X ∈，由2个0和3个1在排列时，共有25C 10=种排列，当2X =时，有2种排列：11100、00111，所以()212105P X ===；当3X =时，有3种排列：10011、11001、01110，所以()3310P X ==；当4X =时，有4种排列：10110、11010、01011、01101，所以()424105P X ===；当5X =时，只有一种排列：10101，所以()215105P X ===.故X 的分布列为：X 2345P1531025110期望为()13211723455105105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）()111C C n m n n m n n P A m n -+-+==+，()()()122C C 1n m n n m n mn P A m n m n -+-+==++-.（ii ）可知当随机事件k A 发生时，k a 就是一个1游程的开始，此时令1,0,k k A k A I A ⎧=⎨⎩发生不发生，设1游程个数为Y ，则1km n A k Y I+==∑，由（i ）可知()111C C n m n n m n n P A m n-+-+==+，()()()12C C 1n m n k n m n mnP A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，由期望的性质可知，()()()111kk m nm nm nA A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()()21m nk n mn n mn m n m n m n m n+=+=+=+++-+∑，设0游程个数为Z ，类似可得()m mnE Z m n+=+，因此两类游程数目的数学期望为()221m n mn mnE Y Z m n m n+++==+++.【点睛】关键点点睛：解答本题关键是（2）（ii ）先令1,0,kk A kA I A ⎧=⎨⎩发生不发生，则1游程个数为1k m nA k Y I +==∑，再利用期望的性质，()()()111k k m nm n m n A A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑，进而求得游程个数的期望.。

台州市2017学年第一学期高二年级期末质量评估试题参考答案20180104

台州市2017学年第一学期高二年级期末质量评估试题数学参考答案 2018.01一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1~10 DCDAD BBACA二、填空题：本大题共6小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共20分。

11.12. 1 13. 222x y +=，相交8+ 15.)+∞ 16.4 三、解答题（本大题共5 小题，共50分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分为8分）解：(Ⅰ) 由题意可得直线l 的斜率为11102--=-，所以直线l 的方程为1y x =-，即10x y --= ．………………………………4分(Ⅱ) 因为圆心(0,0)到l的距离2d =，……………………………………………6分所以弦长为=． …………………………………………………8分18.（本小题满分为10分） (Ⅰ) 证明：因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为BC AC ⊥，PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC分(Ⅱ) 解：由(I)可得CPB ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角，…………………7分由已知得PC =，PB =所以在直角三角形PCB 中，sin 4CB CPB PB ∠===，（第18题）即直线PB 与平面PAC10分 19. （本小题满分为10分）(Ⅰ)解：由已知可得b 12c a =，又222a b c =+，可得2a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………4分 (Ⅱ) 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，它们的中点坐标为00(,)x y ．由221122221,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减可得21212121()()()()043x x x x y y y y -+-++=，即21212121()()()043()x x y y y y x x +-++=⨯-，由已知21212y y x x -=-，所以00380x y +=，………………………………9分故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上．…………10分20. （本小题满分为10分）(Ⅰ) 证明：连接BM ，ME ，因为点M ，E 分别是PA ，PD 的中点，所以12ME AD =，ME //AD ，所以BC //ME ，BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE //BM ．…………………………………………………………………3分又因为BM ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE //平面PAB ． …………………………………………………………4分(Ⅱ)解：如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,0,1)M ．………………5分所以(1,0,2)BP =-，(0,2,1)DM =-，设(,0,2)BQ BP λλλ==-，01λ≤≤， ………………………………………6分又(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，所以cos ,CQ DM <>=……7分设1t λ+=，则1t λ+=，[1,2]t ∈，所以2224cos ,55106t CQ DM t t <>=⋅-+， 241cos ,61055CQ DM t t<>=⋅-+，当且仅当156t =，即15l =时，|cos ,|CQ DM <>取得最大值，即直线CQ 与DM所成角取得最小值，此时155BQ BP ==．……………10分 21. （本小题满分为12分） (Ⅰ) 解：由2,4,y kx m x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx m --=，所以124x x k +=，124x x m =-．………………………………………………4分(Ⅱ) 证明：由已知2114x y =，所以可设AP l ：2111()4x y k x x =-+，由21112(),44,x y k x x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩联立可得221111440x k x k x x -+-=，（第20题图）由221111(4)4(4)0k k x x ∆=---=，所以112x k =．………………………5分所以AP l ：21124x x x y =-，同理可得BP l ：22224x x x y =-．………………………………………………6分由2112222424x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得1222P x x x k +==，124P x x y m ==-，所以点P 的坐标为(2,)k m -．…………………………………………………8分（III ）由(Ⅱ)可知点P (2,)k m -到直线0kx y m -+=的距离2d =又12|||AB x x =-=所以△ABP的面积21|||2AB d m S k =⋅=+． ………………10分因为2121k m+=，0m >，所以2222122()()33k m m k k m m k +⋅+=++≥+当2m =21k =取到等号，所以△ABP的面积的最小值为28+12分。

浙江省台州市2018-2019学年高二下学期期末数学试题-237bfc96c19d4e81ba65ca0c6662f7ba

绝密★启用前浙江省台州市2018-2019学年高二下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}M =，{}|28xN x =≤，则M N ⋂＝（）A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2,3,4}2．下列函数中，在定义域内单调的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x =C ．2y x =D ．1y x x=+3．已知215n C =，那么2n A =（）A ．20B ．30C ．42D ．724．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（） A ．45CB ．45AC ．45D ．545．用数学归纳法证明不等式：11111231n n n +++>+++，则从n k =到 1n k =+时，左边应添加的项为（）A ．132k + B ．134k + C ．11341k k -++D ．11113233341k k k k ++-++++6．在7(1)x -的展开式中，系数最大的项是（）………订…………○…………线………※线※※内※※答※※题※※………订…………○…………线………A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项7．函数21()21x x f x +=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．有甲、乙、丙三位同学，分别从物理、化学、生物、政治、历史五门课中任选一门，要求物理必须有人选，且每人所选的科目各不相同，则不同的选法种数为（） A ．24B ．36C ．48D ．729．若关于x 的不等式ln(1)e xx ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立，则,a b 可以是（）A ．0a =，2b =B ．1a =，2b =C ．3a =，1b =D ．2a =，1b =10．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)2f =，且函数()()g x f x x =-无零点，则（）A ．方程(())0g f x =有解B ．方程(())f f x x =有解C ．不等式(())f f x x >有解D ．不等式(())0g f x <有解第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．已知函数12,1()1x xf xx+⎧<⎪=≥，则(1)f=___，()(1)f f=___．12．已知函数()(1)xf x ax e=+⋅，1()log(1)xag x xa⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若(0)3f'=，则a＝___，()g x在区间[]0,1上的最小值为___．13．若51x mx⎛⎫+-⎪⎝⎭(m为常数)展开式中的所有项系数和为1024，则实数m的值为____，展开式中的常数项为___ .14．在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成()f n部分，如(1)2f=，(2)4f=，(3)7f=，则(5)f=___，由此归纳()f n=___．15．函数cos()xf xx=，,42xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值是___．16．若[1,1]x∈-，关于x的不等式32212x ax ax a-≤+-恒成立，则实数a的取值范围是___．17．已知12...a a10a为数字0，1，2，…，9的一个排列，满足123456a a a a a a++=++= 78910a a a a+++，且123a a a<<，则这样排列的个数为___（用数字作答）．三、解答题18．数列{}n a的前n项和为n S，且满足()*12Nn nna S nS=+-∈．(Ⅰ)求1S，2S，3S，4S的值；(Ⅱ)猜想数列{}n S的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．19．已知(1)nx+的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等．(Ⅰ)求n的值和这两项的二项式系数；(Ⅱ)在342(1)(1)(1)n x x x +++++++的展开式中，求含2x 项的系数（结果用数字表示）．20．有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的出场顺序． (Ⅰ)若女生甲不在第一个出场，女生乙不在最后一个出场，求不同的安排方式总数； (Ⅱ)若3名男生的出场顺序不同时相邻，求不同的安排方式总数(列式并用数字作答）． 21．已知函数3111()3,()()3f x x x g x f x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）当1a <时，不等式()2(1)20f a f a-+>有解，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0x <时，不等式()*22()N 3ng x n -≤∈恒成立，求n 的最大值．参考答案1．C 【解析】【分析】先计算集合N ，再计算M N ⋂得到答案. 【详解】{}{}|28|3x N x x x =≤=≤{}1,2,3,4M = {}1,2,3M N ⋂=故答案选C 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题. 2．A 【解析】【分析】指数函数01a <<是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案. 【详解】A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，指数函数x y a = 01a <<是单调递减函数,正确\ B. 2y x=反比例函数，在0x >单调递减，在0x <单调递减，但在0x ≠上不单调，错误 C. 2y x =，在定义域内先减后增，错误 D. 1y x x=+，双勾函数，0x >时先减后增，错误故答案选A 【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题. 3．B 【解析】【分析】通过215n C =计算n ，代入2n A 计算得到答案.【详解】2156n C n =⇒= 22630n A A ==答案选B 【点睛】本题考查了排列数和组合数的计算，属于简单题. 4．D 【解析】【分析】根据乘法原理得到答案. 【详解】5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是5444444⨯⨯⨯⨯=答案为D 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 5．D 【解析】【分析】将n k =和1n k =+式子表示出来，相减得到答案. 【详解】n k =时：11111231k k k +++>+++ 1n k =+时：11111112331323334k k k k k k ++++++>++++++ 观察知：应添加的项为11113233341k k k k ++-++++答案选D 【点睛】本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键. 6．C 【解析】【分析】先判断二项式系数最大的项，再根据正负号区别得到答案. 【详解】()71x -的展开式中共有8项.由二项式系数特点可知第4项和第5项的二项式系数最大，但第4项的系数为负值，所以()71x -的展开式中系数最大的项为第5项. 故选C. 【点睛】本题考查了展开式系数的最大值，先判断二项式系数的最大值是解题的关键. 7．A 【解析】【分析】取x →+∞时的情况，排除BCD. 【详解】当x →+∞,()21121x x f x +=→-,排除BCD故答案选A 【点睛】本题考查了函数图像，特殊值法是解题的关键. 8．B 【解析】【分析】先计算每人所选的科目各不相同的选法，再减去不选物理的选法得到答案. 【详解】每人所选的科目各不相同的选法为：3560A =物理没有人选的选法为：3424A =则不同的选法种数602436-= 答案选B 【点睛】本题考查了排列，利用排除法简化了计算. 9．D 【解析】【分析】分别取0,1x x ==代入不等式，得到答案. 【详解】不等式()ln 1e xx ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立取0x =得：1b ≥取1x =得：ln 2e a b +≥+ 排除A,B,C 故答案为D 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键. 10．C 【解析】【分析】首先判断开口方向向上，得到()()0g x f x x =->恒成立，依次判断每个选项得到答案. 【详解】函数()()g x f x x =-无零点，()12f =，()()11110g f =-=>()()0g x f x x =->即()f x x >恒成立A. 方程()()0g f x =有解.设()()0f x t g t =⇒=这与()g x 无零点矛盾，错误 B. 方程()()ff x x =有解.()f x x >恒成立⇒ ()()()f f x f x x >>，错误C. 不等式()()ff x x >有解.()f x x >恒成立⇒ ()()()f f x f x x >>，正确D. 不等式()()0g f x <有解.即()()()0ff x f x -<，由题意：()f x x >恒成立⇒()()()f f x f x >，错误答案选C 【点睛】本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生解决问题的能力. 11．0 2 【解析】【分析】将1x =代入函数计算得到()1f ，再讲()1f 代入函数计算得到答案. 【详解】()10f ==()()11(0)22f f f ===故答案是0和2 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于简单题. 12．2 12- 【解析】【分析】函数()()1xf x ax e =+⋅求导，将0x =带入导函数，计算得到a ，再代入()g x 中，根据单调性得到最小值. 【详解】函数()()()()1'()11xxxxf x ax e f x a e ax e ax a e =+⋅⇒=⋅++⋅=++⋅()0132f a a =+=⇒='将2a =代入()g x 得：()()()211log 1log 12xxa g x x x a ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是减函数()g x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)2g =-故答案为：2和12-【点睛】本题考查了函数的求导，根据函数单调性求最值，属于函数的常考题型. 13．-2 252 【解析】【分析】取1x =代入式子得到所有系数和，解得2m =-，将2m =-代入二项式，先分解因式，再利用展开式求得常数项. 【详解】取1x =，()5210242m m -=⇒=-将2m =-代入二项式：51012xx ⎛⎫++⇒ ⎪⎝⎭（取0x > ）1rrrr T C -+=⋅ =5r 是为常数项，为510252C = 故答案为-2和252 【点睛】本题考查了二项展开式的系数和，常数项，因式分解是解题的关键. 14．16 1(1)12n n ++ 【解析】【分析】根据图像计算出()516f =，找出规律()()1f n f n n --=，利用累加法得到()f n . 【详解】计算()12f =，()24f =，()37f =，()411f =，()516f = 总结规律：()()1f n f n n --= 利用累加法：()()()()()[1][12]...[(2)(1)](1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+112+...+2+2=(1)12n n n n n =+-+-++ 故答案为：16和()1112n n ++ 【点睛】本题考查了归纳总结，累加法，意在考查学生的归纳推理能力.15．π【解析】【分析】求导数，根据导数的正负判断函数单调性，求得最大值.【详解】函数()2cos sin cos '()x x x x f x f x x x --=⇒= ,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时：2sin cos '()0x x x f x x --=<⇒函数()cos x f x x =单调递减()max 4f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：π 【点睛】本题考查了利用导函数求单调性，再求最大值，意在考查学生的计算能力.16．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】对不等式进行因式分解，2(1)(1)0x a x x a --++-≤，利用分离变量法转化为对应函数最值，即得到答案.【详解】 [1,1]x ∈-，3222212(1)(1)(1)(1)x ax ax a x x x a x x a x a -≤+-⇒-++≤+++--即：2(1)(1)0x a x x a --++-≤恒成立 2max min (1)(1)x a x x ∴-≤≤++[1,1]10,x x ∈-∴-≤221331()244x x x ++=++≥ 所以304a ≤≤ 故答案为：30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，因式分解是解题的关键.17．3456【解析】【分析】先计算总和为45，将相加为15的3数组罗列出来，计算每个选法后另外一组的选法个数，再利排列得到答案.【详解】0，1，2，…，9所有数据之和为45 1234567891015a a a a a a a a a a ++=++=+++=相加为15的3数组有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0,6,9,0,7,8,1,5,9,1,6,8,2,4,9,2,5,8,2,6,7,3,4,8,3,5,7,4,5,6 当123a a a 选择{}0,6,9后，456a a a 可以选择{}2,5,8，{}3,4,8，{}3,5,73种选择同理可得：分别有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24种选择123a a a <<选定后只有一种排列456a a a 有33A 种排列78910a a a a 有44A 种排列共有3434243456A A ⨯⨯=中选择.故答案为：3456本题考查了排列组合的计算，将和为15的数组罗列出来是解题的关键.18．（Ⅰ）112S =，223S =，334S =，445S =；（Ⅱ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)分别取1,2,3,4n = 代入计算1S ，2S ，3S ，4S 的值. (Ⅱ) 猜想()*N 1n n S n n =∈+，用数学归纳法证明. 【详解】解：（Ⅰ）当1n =时，∵111112a S S S ==+-，∴112S =，又2212212a S S S S =-=+-，∴223S =，同理334S =，445S =；（Ⅱ）猜想()*N 1n n S n n =∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论.①当1n =时，结论成立.②假设()*,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1k k S k =+，当1n k =+时，111112k k k k k a S S S S ++++=-=+-， ∴112k k S S +=-，∴11112221k k k S k S k k ++===-+-+ 即当1n k =+时结论成立. 由①②知1n n S n =+对任意的正整数n 都成立. 【点睛】本题考查了数列{}n a 和前n 项和n S 的关系，猜测n S ，数学归纳法，意在考查学生归纳推理能力.19．（Ⅰ）10n =；120（Ⅱ）285【分析】(Ⅰ)由题意知：37n n C C =得到10n =，代入计算得到答案.(Ⅱ)分别计算每个展开式含2x 项的系数，再把系数相加得到答案.【详解】解：（Ⅰ）∵37n n C C =，∴10n =，∴371010120C C ==；（Ⅱ）方法一：含2x 项的系数为2223412C C C +++33133285C C =-=. 方法二：()()()()()()()()3333421*********n n n x x x x x x x x x ++⎡⎤+-++-+⎣⎦++++++==-+ 含2x 的系数为33333131285n C C C +-=-=.【点睛】本题考查了展开式的二项式系数，特定项系数，意在考查学生的计算能力.20．（Ⅰ）504（Ⅱ）576【解析】【分析】(Ⅰ)按女生甲分类：甲在最后一位出场，女生甲不在最后一位出场，两种情况相加得到答案. (Ⅱ)先考虑3名男生全相邻时的安排数，再用总的安排数减去此数得到答案.【详解】解：（Ⅰ）方法一：不考虑任何限制，6名同学的出场的总数为66A ，女生甲在第一个出场和女生乙在最后一个出场的总数均为55A ，女生甲在第一个出场且女生乙在最后一个出场的总数为44A ，则符合条件的安排方式总数为65546554504A A A A --+=；方法二：按女生甲分类，甲在最后一位出场的总数为55A ，女生甲不在最后一位出场，甲只能在除首尾之外的四个位置中选择一个，女生乙再在余四个位置中选择一个，出场的总数为114444A A A ，则符合条件的安排方式总数为51155445504A A A A +=；（Ⅱ）3名男生全相邻时，将3名男生看成一个整体，与3名女生一起看作4元素，共有4343A A 种安排方式643643576A A A -=. 【点睛】本题考查了排列组合里面的加法原理和排除法，意在考查学生解决问题的能力.21．（Ⅰ）1(,1),12⎛⎫-∞-⋃⎪⎝⎭（Ⅱ）4 【解析】【分析】（Ⅰ）首先判断函数()f x 是奇函数，再判断()f x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，最后利用函数的性质化为简单不等式得到答案.（Ⅱ）先求出()g x 表达式，再利用换元法1t x x =+化简函数，求函数的最大值代入不等式解得n 的最大值.【详解】解：（Ⅰ）因为()()()()31133f x x x f x x ⎛⎫-=-+---=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是奇函数，又()2213350f x x x =++≥='>，所以()f x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增又()()2120f a f a -+>，即()()221f a f a >-，所以2210a a >->，即2210a a +->，解得1a <-或112a <<，故实数a 的取值范围为()1,1,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()3232111111121233g x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x x =+，∵0x <，∴2t ≤-，∴()()313g x h t t t ==+，又()210h t t '=+>时，∴()h t 在(],2-∞-上为增函数，∴()()max 1423h t h =-=-，∴()h t 的值域是14,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ ∵()()*22N 3n g x n -≤∈恒成立，∴221433n -≥-，2214n -≤， ∴4n ≤，n 的最大值为4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.。

2017-2018学年浙江省台州市高二上学期期末数学试题(解析版)

绝密★启用前浙江省台州市2017-2018学年高二上学期期末考卷考试范围：立体几何、解析几何、充要条件.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的立体几何、解析几何、充要条件等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考. 一、单选题1．直线10x y ++=的倾斜角为（） A. 30 B. 45 C. 120 D. 1352．已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则圆锥的侧面积为（） A. 4π B. 3π C. 2π D. π3．抛物线2y x =的准线方程为（）A. 12x =B. 14x =C. 12x =-D. 14x =- 4．4．圆心为()1,0，半径长为1的圆的方程为（）A. 2220x x y -+=B. 2220x x y ++=C. 2220x y y ++=D. 2220x y y +-=5．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为（）A. 43πB. 83π C.163π D. 323π 6．已知直线l ， m ，平面α，若m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知方程()()()()221313m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（）A. ()1,2B. ()2,3C. (),1-∞D. ()3,+∞8．如图，二面角l αβ--的大小为θ， A ， B 为棱l 上相异的两点，射线AC ， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱l ．若线段AC ， AB 和BD 的长分别为m ， d 和n ，则CD 的长为（）9．已知1F ， 2F 是双曲线2222:1x yC a b-=的左，右焦点，点P 在双曲线上，且12PF PF λ=，则下列结论正确的是（） A. 若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为101,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．若正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点P 满足()2113CA PA PC PC ⋅+=，则动点P 的轨迹为（） A. 三段圆弧 B. 三条线段C. 椭圆的一部分和两段圆弧D. 双曲线的一部分和两条线段二、填空题11．在空间直角坐标系中，点A 的坐标为()1,2,3，点B 的坐标为()0,1,2，则，两点间的距离为____．12．已知直线1l : 10x ay ++=与2l : 10x y -+=垂直，则a =____．13．已知圆C 以坐标原点为圆心，且与直线20x y -+=相切，则圆C 的方程为______；圆C 与圆()2221x y -+=的位置关系是_____．14．某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于____；表面积等于_____．15．已知1F ， 2F 为椭圆C ： 2221(1)xy a a+=>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，且点P 在以线段12F F 为直径的圆内，则a 的取值范围为________．16．已知矩形ABCD 中， 2AB =， 4AD =， E ， F 分别在线段AD ， BC 上，且1AE =， 3BF =．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的正切值．．．的最大值为 _______．三、解答题17．已知直线l 过点()2,1，且在y 轴上的截距为1-．（I ）求直线l 的方程；（II ）求直线l 被圆22:5C x y +=所截得的弦长．18．如图，在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ， BC AC ⊥， 2PA =， 1AC =， BC =．（I ）求证： BC ⊥平面PAC ；（II ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．19．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，且离心率为12．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C 相交时，证明：这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=， 2PA AD ==， 1AB BC ==，点M ， E 分别是PA ， PD 的中点．（I ）求证： CE //平面PAB ；（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DM 所成角最小时，求线段BQ 的长．21．已知直线l ： (0)y kx m m =+>与抛物线24x y =交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，记抛物线在A ， B 两点处的切线1l ， 2l 的交点为P ．（I ）求证: 124x x m =-；（II ）求点P 的坐标(用k ， m 表示)；（Ⅲ）若222m k mk +=，求△ABP 的面积的最小值．1．D 【解析】直线10x y ++=化为1y x =--，斜率1,k =-设直线的倾斜角为α，则tan 1α=-，结合[)0,απ∈，可得135α=，故选D.2．C 【解析】因为圆锥的母线长为2，底面半径1r =，则由圆锥的侧面积公式得122S rl πππ==⨯⨯=，故选C.5．D【解析】因为球O 的表面积是16π，所以球O 的半径为2，所以球O 的体积为3432233ππ⨯=，故选D. 6．B 【解析】由于线面垂直的判定定理成立的条件是直线与平面内的两条相交直线垂直，所以“l m ⊥”不能推出“l α⊥”，若“l α⊥”，由线面垂直的定义可得“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．B 【解析】方程()()()()221313m x m y m m -+-=--，化为22131x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得130m m ->->，解得23m <<，实数m 的取值范围为(2,3），故选B. 8．A 【解析】,,AC l BD l AC ⊥⊥∴与BD 夹角的大小就是二面角θ，可得0,AC AB ⋅= 0,BD AB ⋅=()22cos ,AC BD mn CD CA AB BD θ⋅=∴=++ 222CA AB BD =++2222222CA AB BD AB CA BD m n d AC BD +⋅+⋅+⋅=++-⋅ 2222cos m n d mn θ=++-，故选A.9．C 【解析】若212111,7,627PF PF PF PF PF a λ==-==， 13a PF c a =≥-，得413c e a <=≤，若121227,7,62PF PF PF PF PF a λ==-==， 24,1,733a c PF c a e a λ=≥-<=≤∴=时，双曲线离心率范围41,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的值. 本题是利用焦半径的范围构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围.【方法点睛】本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为轨迹方程求解，是解题的关键.11()()1,2,3,0,2,,A B A B ∴两点间的距离为AB ==12．1【解析】直线1l : 10x ay ++=与直线2l : 10x y -+=， ∴直线2:1l y x =+， 21,k ∴=∴直线1l :10x ay ++=的斜率存在， 0a ∴≠，且11,k a =-直线1l : 10x ay ++=与直线2l : 10x y -+=垂直，12111k k a ⎛⎫∴⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =，故答案为1.【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||l l k k ⇔= ；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.14．， 8+由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -图中长方体中P 为棱的中点， 2,2,BC CD P ==到BC ∴四棱锥体积为143V =⨯=21111222222282222S =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故答案为 (2)8+15．)+∞【解析】设1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，由余弦定理可得， 22242cos c m n mn θ=+-，由椭圆的定义可得， 22242a m n mn =++，两式相减可得， 241cos 2b mn θ+=，由2a m n =+≥，得2222,cos 1b mn a aθ≤≥-，当且仅当m n =时， cos θ有最小值，即m n =时， θ最大，即P 在()0,1处时，12F PF θ∠=最大，要使椭圆C 存在点P 在以线段12F F 为直径的圆内，则12F PF ∠的最大值大于90，可得1b a a =≤a >a 的取值范围为)+∞，故答案为)+∞.17．(Ⅰ) 10x y --= (Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)因为直线l 过点()2,1，且在y 轴上的截距为1-，所以直接写出直线的两点式方程，再化为一般式即可；(Ⅱ)由圆的半径、点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.学*科网试题解析：(Ⅰ) 由题意可得直线l 的斜率为11102--=-，所以直线l 的方程为1y x =-，即10x y --= ．(Ⅱ) 因为圆心()0,0到l 的距离d =2=，所以弦长为=18．(Ⅰ)见解析(Ⅱ)4【解析】试题分析：(Ⅰ)由线面垂直的性质可得PA BC ⊥，结合已知BC AC ⊥，根据线面垂直的判定定理可得结论；(Ⅱ) 由(I)可得CPB ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角，在直角三角形CPB 中，可得sin CB CPB PB ∠===试题解析：(Ⅰ) 证明：因为PA ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为BC AC ⊥，PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ．(Ⅱ) 解：由(I)可得CPB ∠即为直线PB 与平面PAC 所成的角，由已知得PC = PB =角三角形PCB 中， sin CB CPB PB ∠===，即直线PB 与平面PAC ．【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论()||,a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),||a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19．(Ⅰ) 22143x y += (Ⅱ)见解析试题解析：(Ⅰ)由已知可得b =12c a =，又222a b c =+，可得2a =， 1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． (Ⅱ) 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，它们的中点坐标为()00,x y ．由221122221,43{ 1,43x y x y +=+=两式相减可得()()()()21212121043x x x x y y y y -+-++=， ()()()()21212121043x x y y y y x x +-++=⨯-，由已知21212y y x x -=-，所以00380x y +=，故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上.20．(Ⅰ)见解析(Ⅱ) BQ =试题解析：(Ⅰ) 证明：连接BM ， ME ，因为点M ， E 分别是PA ， PD 的中点，所以12ME AD =， ME // AD ，所以BC // ME ， BC ME =，所以四边形BCEM 为平行四边形，所以CE // BM .又因为BM ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE //平面PAB ．(Ⅱ) 解：如图，以A 为坐标原点建立空间坐标系O xyz -，则()1,0,0B ，()1,1,0C ， ()0,2,0D ， ()0,0,2P ， ()0,0,1M ．所以()1,0,2BP =-， ()0,2,1DM =-，设(),0,2BQ BP λλλ==-， 01λ≤≤，又(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，所以21cos ,CQ DM λ+=.设1t λ+=，则1t λ+=，[]1,2t ∈，所以2224cos ,55106tCQ DM tt =⋅-+， 2241cos ,61055CQ DM t t=⋅-+，当且仅当156t =，即15λ=时， cos ,CQ DM 取得最大值，即直线CQ 与DM 所成角取得最小值，此时15BQ BP ==【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、向量法求异面直线所成的角，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.21．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) ()2,k m -（III）28+()22212m k m k km ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可得结果.试题解析：(Ⅰ) 解：由2,{4,y kx m x y =+= 可得2440x kx m --=，所以124x x k +=， 124x x m =-．(Ⅱ) 证明：由已知2114x y =，所以可设AP l ： ()21114xy k x x =-+，由()21112,{ 44,x y k x x x y =-+= 联立可得221111440x k x k x x -+-=，由()()2211114440k k x x∆=---=，所以112x k =．所以AP l ： 21124x x x y =-，同理可得BP l ： 22224x x x y =-．由21122224{24x x x y x x x y =-=-，，解得1222P x x x k +==， 124P x x y m ==-，所以点P 的坐标为()2,k m -．。

浙江省绍兴市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试卷Word版含解析

浙江省绍兴市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．复数i z -=1，则21z z+对应的点所在象限为(D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设()2log ,2sin lg ,2331.0==⎪⎭⎫⎝⎛=c b a ，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a3．已知函数()()222,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为（ B ）4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ A ）A ．海里/时B ．34海里/时C ．海里/时D ．34海里/时5. 已知函数)2sin(2)(ϕ+-=x x f )|(|πϕ<，若2)8(-=πf ，则)(x f 的一个单调递增区间可以是(D )3.,88A ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 59.,88B ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.,88C ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5.,88D ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知点F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，点E 是左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于点A ，若tan∠AEF＜1，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．（1，+∞）B ．（1，1+）C ．（1，2）D ．（2，2+）【解答】解：由题意可得E （﹣a ，0），F （c ，0），|EF|=a+c ，令x=c ，代入双曲线的方程可得y=±b=±，在直角三角形AEF 中，tan∠AEF==＜1，可得b 2＜a （c+a ），由b 2=c 2﹣a 2=（c ﹣a ）（c+a ），可得c ﹣a ＜a ，即c ＜2a ，可得e=＜2，但e ＞1，可得1＜e ＜2．故选：C ．7．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( B) （A ）ln y x =（B ）sin y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】B试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故B 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选B. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.8．已知函数f （x ）（x ∈R ）是以4为周期的奇函数，当x ∈（0，2）时，()()2ln f x x x b =-+若函数f （x ）在区间[-2，2]内有5个零点，则实数b 的取值范围是（ C ） A.11b -<≤ B.1544b ≤≤ C.114b <≤或b=54 D.11b -<<或b=54∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （0）=0，即0是函数f （x ）的零点，又由f （x ）是定义在R 上且以4为周期的周期函数，故f （-2）=f （2），且f （-2）=-f （2），故f （-2）=f （2）=0，即±2也是函数f （x ）的零点，若函数f （x ）在区间[-2，2]上的零点个数为5，则当x ∈（0，2）时，f （x ）=ln （x 2-x+b ），故当x ∈（0，2）时，x 2-x+b ＞0恒成立，且x 2-x+b=1在（0，2）有一解，1140b ∆=-<，所以14b >① 令()21f x x x b =-+-，所以20∆=或()()1020f f ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，即54b =或11b -<≤ ②由①②得15,144b ⎛⎤⎧⎫∈⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭.二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．9.函数2cos cos y x x x =+的最小正周期是 π ，最小值是 . 21-10. 若抛物线px y C 2:2=的焦点在直线03=-+y x 上，则实数=p ；抛物线C 的准线方程为 .6 ; 3x =-11. 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果2a=，b =，60B =，那么ABC ∆的面积等于12.已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则sin θ= .tan(θ–π4)= . 【答案】 102- 43- 【解析】试题分析：由题意，π3π4sin(),cos(),4545θθ+=+=ππ3sin sin cos cos ,445ππ4cos cos sin sin ,445θθθθ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1tan 7θ=-，1π1tan tan π474tan().π1431tan tan 1147θθθ----===-+-⨯13.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.若点P )0,1(-在直线20ax y a ---=上的投影是Q ，则Q 的轨迹方程是 x 2+（y+1）2=2 ．解：直线20ax y a ---=恒过定点M （1，﹣2） ∵点P （﹣1，0）在直线20ax y a ---=上的射影是Q∴PQ⊥直线l故△PQM 为直角三角形，Q 的轨迹是以PM 为直径的圆．∴Q 的轨迹方程是x 2+（y+1）2=2．14．已知120()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，，≤，则f (2016) = ▲ ．12解析：6),3()(=--=T x f x f15．x ∈R 时，如果函数f(x)>g(x)恒成立，那么称函数f(x)是函数g （x ）的“优越函数”．若函数f(x)=2x 2+x+2-|2x+1|是函数g （x ）=|x-m|的“优越函数”，则实数m 的取值范围是 ▲ ．15.1(,1)2-解析：题设条件等价于22221x x x x m++-+>-对x R ∈恒成立.分别作出函数2()2221F x x x x =++-+和()G x x m=-.由数形结合知，112m -<<三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本题满分8分)设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =，又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+，即2(,2)1B m =+，当2m =时，2(,2)3B =，所以(1,2)A B =. …………4分（2）首先要求0m >而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以A B ≠⊂，即)3,1()2,12(≠⊂+m …6分从而211m ≥+，解得01m <≤. ……8分 17.（本小题满分8分）设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()C a A c b cos cos 2=-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若1=a ，求c b +的取值范围．()1G x x =-解：（Ⅰ）由()C a A c b cos cos 2=-得：C A A C B cos sin cos sin sin 2=-）（2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=，∴1cos 2A =，故3π=A ； -------------------------------4分（Ⅱ）由3π,1==A a ，根据余弦定理得：221b c bc +-=，∴2()31b c bc +-=，---------------------------------6分∴22()1332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，∴2()4b c +≤，得2b c +≤，又由题意知：1b c a +>=，故：12b c <+≤． ------------------------8分18．（本小题满分10分）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.19．(本题满分10分)已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(I)求k 的值；(II)设函数)42(log )(2a a x g x-⋅=，其中0a >．若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围． 19.经验证，当k=-1时，f(-x)=f(x)成立，所以k=-1.……………………2分法二：由()()0f x f x --=得()220k x +=恒成立，所以1k =-20 （本小题满分12分）已知函数x x m x g x x x f +-=-=2221)(,21ln )(，R m ∈，令)()()(x g x f x F +=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数．．m 的最小值；（Ⅲ）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求证：1321-≥+x x .20（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为)0(11)(},0|{2>-=-='>x xx x x x f x x ，由0)(>'x f ，得10<<x ，所以f （x ）的单调递增区间为（0，1）.-----------2分（Ⅱ）0,21ln )()()(2>+-=+=x x mx x x g x f x F .令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ，则不等式1)(-≤mx x F 恒成立，即0)(≤x G 恒成立.xx m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='.--------4分 ①当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G 所以)(x G 在),0(+∞上是单调递增函数，又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ，所以关于x 的不等式0)(≤x G 不能恒成立. --------6分 ②当0>m 时，xx m x m xx m mx x G )1)(1(1)1()(2+--=+-+-=' 令0)(='x G ，因为0>x ，得mx 1=，所以当)1,0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈mx 时，0)(<'x G .[ 因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈mx 是减函数.---- 7分故函数)(x G 的最大值为m mm m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=.---- 8分令m mm h ln 21)(-=，因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数，又因为021)1(>=h ，02ln 41)2(<-=h ，所以当2≥m 时，0)(<m h . 所以整数m 的最小值为2.----10分（Ⅲ）1-=m 时，0,21ln )(2>++=x x x x x F 由)()(21x F x F -=，得0)()(21=+x F x F ，即021ln 21ln 22221211=+++++x x x x x x ，整理得，)ln()()(21212121221x x x x x x x x -=+++ ---- 11分令021>⋅=x x t ，则由t t t ln )(-=ϕ得，tt t 1)(-='ϕ，可知)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增.所以1)1()(=≥ϕϕt ，所以1)()(2121221≥+++x x x x ，解得13132121-≥+--≤+x x x x ，因为21,x x 为正实数，所以1321-≥+x x 成立. ----12分。

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浙江省台州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合2，，3，，则
A．B．C．D．2，3，
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据交集的定义求解即可．
【详解】
因为集合2，，3，，
所以，根据交集的定义可得，
故选B．
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2．已知函数的图象关于原点中心对称，则
A．1 B．C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，由恒成立可得，从而可得结果．
【详解】
函数图象关于原点对称，
函数是奇函数，
则得，
即，
即，得，故选B．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，
一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
3．若函数满足：对任意的，都有，则函数可能是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由判断；由判断；由判断判断；由
判断.
【详解】
对于，，对．
对于，，不对．
对于，，不对．
对于，，不对，故选A．【点睛】
本题考查了函数的解析式的性质以及指数的运算、对数的运算、两角和的正弦公式，意在考查对基本运算与基本公式的掌握与应用，以及综合应用所学知识解答问题的能，属于基础题．
4．下列导数运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由判断；由判断；由判断
判断；由判断.
【详解】
根据题意，依次分析选项，
对于，，错误；
对于，，正确；
对于，，错误；
对于，，错误；故选B．
【点睛】
本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．
5．已知实数满足，且，则
A．B．2 C．4 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可得，从而得，解出的值即可得结果．
【详解】
实数满足，故，
又由得：，
解得：，或舍去，
故，
，故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．
6．已知函数与函数，下列选项中不可能是函数与
图象的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，分别作出两个函数图象，对照选项中的图象，利用排除法,可得结果.【详解】
时，函数与图象为：
故排除；
，令，则或，
当时，0为函数的极大值点, 递减，
函数与图象为：
故排除；
当时，0为函数的极小值点，递增，
函数与图象为：
故排除；故选.
【点睛】
本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
7．若幂函数经过点，则______，______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象经过点，可得，求得，进而可求的值．【详解】
幂函数的图象经过点，
，
，
幂函数，
，故答案为：，3．
【点睛】
本题主要考查幂函数解析式的求解以及指数的运算，考查求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
8．函数的定义域为______，最大值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立不等式组可求函数的定义域；令换元，再利用导数研究函数的单调性，利用单调性可求函数的最大值．【详解】
要使有意义，
则，得，
函数的定义域为；
令，，则，
函数化为，，
，
在上为减函数，则，
即的最大值为，故答案为：；0．
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、换元法的应用以及利用导数求函数的最值，是中档题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
9．若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，不等式显然成立；当时，不等式恒成立等价于
恒成立，运用基本不等式可得的最小值，从而可得的范围．【详解】
当时，不等式显然成立；
当时，不等式恒等价于恒成立，
由，
当且仅当时，上式取得等号，即有最小值，
所以，故答案为
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、分类讨论思想和分离参数的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.
三、解答题
10．已知函数．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ求满足的实数的取值范围．
【答案】Ⅰ，或；Ⅱ.
【解析】
【分析】
Ⅰ由函数的解析式可得，解一元二次不等式，求出的范围，从而可得结果；Ⅱ由，可得，结合对数函数的定义域可得，，解一元二次不等式组，可求得实数的取值范围．
【详解】
Ⅰ对于函数，应有，求得，或，
故该函数的定义域为，或．
Ⅱ，即，，
即，求得或，
即实数x的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域，对数的运算以及利用一元二次不等式的解法不等式，
意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
11．已知定义在上的函数．
求函数的单调减区间；
Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．
【答案】时，的单调减区间为；当时，函数的单调减区间
为；当时，的单调减区间为；Ⅱ.
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，根据一次函数的单调性、二次函数图象的开口方向，可得不同情况下函数的单调减区间；Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，等价于
有两个不同的解，令利用导数研究函数的单调性，结合极限思想，分析函数的单调性与最值，根据数形结合思想，可得实数的取值范围．
【详解】
当时，，
函数的单调减区间为；
当时，的图象开口朝上，且以直线为对称轴，
函数的单调减区间为.
当时，的图象开口朝下，且以直线为对称轴，
函数的单调减区间为；
Ⅱ若关于x的方程有两个不同的解，
即有两个不同的解，
令
则
令，则，解得，
当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
故当时，函数取最大值1，
又由，
故时，的图象有两个交点，
有两个不同的解，
即时，关于x的方程有两个不同的解.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性、极值以及函数的零点，属于难题．函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点
方程的根函数与的交点.。