方向导数和梯度的应用实例
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
07第七节方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度分布图示★ 引例 ★ 数量场与向量场的概念★ 方向导数的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 梯度的概念★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 梯度的运算性质及应用（例9） ★ 例10★ 等高线及其画法★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题9—7 ★ 返回内容要点一、场的概念： 数量场 向量场 稳定场 不稳定场二、方向导数.),(),(lim 0ρρy x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→ 定理1 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 是可微分的，则函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且,sin cos ϕϕyf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂ （7.1） 其中ϕ为x 轴正向到方向l 的转角（图8-7-2）.三、梯度的概念：.),(j yf i x f y x gradf ∂∂+∂∂= }sin ,{cos ,sin cos ϕϕϕϕ⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂y f x f y f x f l f ,cos |),(|),(θy x gradf e y x gradf =⋅= 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设v u ,可微，βα,为常数，则（1） grad αβα=+)(v u grad β+u grad v ;（2） grad u v u =⋅)( grad v v + grad u ;（3） grad )()(u f u f '= grad u .四、等高线的概念例题选讲方向导数例1（E01）求函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数.解 这里方向l 即为→PQ },1,1{-=故x 轴到方向l 的转角.4πϕ-= )0,1(x z∂∂)0,1(2ye =,1=)0,1(y z ∂∂)0,1(22yxe =,2=所求方向导数l z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 24cos ππ.22-=例2 求函数22),(y xy x y x f +-=在点)1,1(沿与x 轴方向夹角为α的方向射线l 的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有(1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?解 由方向导数的计算公式知)1,1(l f∂∂ααsin )1,1(cos )1,1(y x f f +=ααsin )2(cos )2()1,1()1,1(x y y x -+-=ααsin cos +=,4sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πα 故(1) 当4πα=时，方向导数达到最大值;2 (2) 当45πα=时，方向导数达到最小值;2- (3) 当43πα=和47πα=时，方向导数等于0.例3（E02）求函数)ln(22z y x u ++=在点A (1,0,1)处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数. 解 这里l 为}1,2,2{-=的方向, 向量的方向余弦为,32cos =α,32cos -=β,31cos =γ 又x u ∂∂,122z y x ++=y u ∂∂,12222z y y z y x +⋅++=z u ∂∂,12222zy z z y x +⋅++= 所以 A x u∂∂,21=A y u ∂∂,0=A z u ∂∂.21=于是A l u ∂∂21313203221⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=.21= 例4 求zx yz xy z y x f ++=),,(在点)2,1,1(沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60℃, 45℃, 60℃.解 与l 同向的单位向量l e }60cos ,45cos ,60{cos ︒︒︒=.21,22,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧= 因为函数可微分,且)2,1,1(x f )2,1,1()(z y +=,3=)2,1,1(y f )2,1,1()(z x +=,3=)2,1,1(z f )2,1,1()(x y +=.2=故 )2,1,1(l f∂∂212223213⋅+⋅+⋅=).235(21+=例5（E03）设n 是曲面632222=++z y x 在)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1y x zu +=在此处方向n 的方向导数. 解 令,632),,(222-++=z y x z y x F p x F p x 4=,4=p y F p y 6=,6=p z F p z 2=,2=故 n },,{z y x F F F =},2,6,4{=||n 222264++=,142=方向余弦为αcos ,142=βcos ,143=γcos .141= p x u ∂∂p y x z x 22866+=;146= p y u ∂∂p y x z y 22868+=;148=p z u∂∂p z y x 22286+=.14-=所以 p n u ∂∂pz u y u x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=γβαcos cos cos .711= 例6（E04）(1) 求.122y x grad+ (2) 设222),,(z y x z y x f ++=, 求)2,1,1(-gradf .解 (1)这里.1),(22y x y x f +=因为 x f ∂∂,)(2222y x x +-=y f ∂∂,)(2222y x y +-= 所以 221y x g r a d +.)(2)(2222222j y x y i y x x +-+-= (2)gradf },,{z y x f f f =},2,2,2{z y x =于是 )2,1,1(-g r a d f }.4,2,2{-=例7 求函数y x z y x u 2332222-+++=在点)2,1,1(处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?解 由梯度计算公式得),,(z y x gradu k zu j y u i x u ∂∂+∂∂+∂∂=,6)24()32(k z j y i x +-++= 故)2,1,1(gradu .1225k j i ++=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,230P 处梯度为.0例8（E05）求函数xyz z xy u -+=32在点)1,1,1(0P 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.解 由x u ∂∂,2yz y -=y u ∂∂,2xz xy -=zu ∂∂,32xy z -=得 ,00=∂∂P x u,10=∂∂P y u .20=∂∂P z u 从而)(0P gradu },2,1,0{=)(0P u grad 410++=.5=于是u 在点0P 处沿方向}2,1,0{的方向导数最大,最大值是.5例9（E07） 设)(r f 为可微函数,.|,|k z j y i x r r r ++==求),(r gradf解 由上述公式(3)知grad )()(r f r f '= grad .)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂'=k z r j y r i x r r f r因为,,,rz z r r y y r r x x r =∂∂=∂∂=∂∂所以 grad .)(||)()()(0r x f r r x f k r z j r y i rx r f r f '='=⎪⎭⎫ ⎝⎛++'= 注:利用场得概念，我们可以说向量函数grad )(M f 确定了一个向量场－梯度场，它是由数量场)(M f 产生的. 通常称函数)(M f 为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场. 必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例10（E06）试求数量场r m 所产生的梯度场, 其中常数,0>m 222z y x r ++=为原点O 与点),,(z y x M 间的距离.解⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m x x r r m ∂∂-=2,3r mx -= 同理⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m y ,3r my -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂r m z .3rmz -= 从而 r m g r a d .2⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=k r z j r y i r x r m 如果用r e 表示与同方向的单位向量,则r e k r z j r y i r x ++= .2r e rm r m grad -= 上式右端在力学上可解析为,位于原点O 而质量为m 的质点对位于点M 而质量为 1 的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向由点M 指向原点.课堂练习1. 函数22),(y x y x f z +==在)0,0(点处的偏导数是否存在? 方向导数是否存在?2. 求函数xz yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿P 点的向径方向的方向导数.。
2.2 方向导数与梯度
从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯 一确定。
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2014年5月11日星期日
2.2 数量场的方向导数和梯度 u u u u cos cos cos l x y z
在直角坐标系中，令
l cos i cos j cos k
2 cos 2 2 2 3 1 2 2
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2.2 数量场的方向导数和梯度
而
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , x z y z z z2
数量场在l方向的方向导数为
u u u u cos cos cos l x y z 2 2 1 2x 2 2 y 2 x y 3 z 3 z 3 z2
当
趋于零时对上式取极限，可得
u u u u cos cos cos l x y z
实际应用：计算函数u(M)在给定点处沿某个方 向的变化率（定点且定向）．
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2.2 数量场的方向导数和梯度
若方向导数存在，则偏 导数未必存在 . 方向导数与偏导数有什么关系 ? 2 2 例如，z x y 在O 0,0 处沿l i 方向的 z f 而 偏 导 数 0 , 0 不 存 在 . 方向导数 1 ， 0 0， x l z f ( x , y ) f (0,0) ( 0 , 0 ) lim 原因： 0 l 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限 . ( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y ) 函数可微是方向导数存在的充分条件，
方向导数案例教学
方向导数与梯度案例教学知识点：方向导数与梯度(MC20631) 1. 背景知识与引入方法曾经讨论了偏导数，偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率. 现在讨论多元函数在一点处沿某一方向或任意方向的变化率问题，这种变化率在一些实际问题中也是常常需要考虑的. 许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的. 例如, 在热传导问题中, 需要研究温度函数沿下降方向的变化率; 在风向问题中, 要考虑气压沿某些方向的变化率等等. 研究函数在一点沿某一方向或任一方向的变化率就是方向导数. 然后，再由方向导数引出梯度的概念，它在应用中是非常重要的. 通过本知识点的学习，可培养学生用数学工具解决实际问题的能力.2. 该知识点讲解方法方向导数 方向导数的定义定义1 设点D P ∈0(D : 空间或部分空间区域), l 是从0P 引 出的射线 (如图), l 为其方向向量. 在l 上取一邻近点0P 的动点P , 记,||0ρ=P P 如果当0P P l→时, 比式||)()(Δ00PP P u P u u-=ρ的极限存在, 则称之为函数)(P u u =在点0P 处沿l 方向的方向导数, 记为,P u l∂∂即.||)()(lim lim 00000PP P u P u uu P P P -=∆=∂∂→→ρρl由定义1知, 方向导数就是函数)(P u u =沿指定方向对距离ρ的变化率, 当00>∂∂P ul时, 函数u 在0P 处沿l 方向是增加的,00<∂∂P ul时, 函数u 在0P 处沿lP方向是减小的.对于一元函数来说, 事实上也有方向导数, 但仅有两种情形, 即点x 的左导数)(x f -'和右导数)(x f +'.另一种表示方法定义1’ 函数f 在点0r 沿指定方向h 的方向导数是极限(若 存在的话)h f f h fh h h )()(limΔlim000|)|(0r h r h -+=→=→按照柯西的记法, 把这个方向导数记成),(D 00r h f 即=)(D 00r f h ,)()(lim 0000h f h f h r h r -+→其中0h 为h 方向上的单位向量.特别,假若f 是二元函数),,()(y x f f =r 则它在点),(00y x 沿方向)c o s ,(c o s 0βα=h 的方向导数为=),(D 000y x f h ,),()c o s ,c o s (lim00000hy x f h y h x f h -++→βα其中0)cos ,(cos h =βα为h 方向上的单位向量.假若f 是三元函数),,,()(z y x f f =r 则 =),,(D 0000z y x f h ,),,()c o s ,c o s ,c o s (lim0000000hz y x f r h y h y h x f h -+++→βα其中0)cos ,cos ,(cos h =γβα为h 方向上的单位向量.方向导数的几何意义设),(y x f z =的几何意义为图的曲面, 当限制自变量沿方向l 变化时,对应的空间点),,(z y x 形成过l 的铅垂平面与曲面的交线, (这条交线在点M 有一条半切线, 记此半切线与方向夹角为,θ 则由方向导数的定义可得r hr +0O∙h.t a n θ=∂∂lz方向导数的存在性及其计算定理 如果函数),(y x f z =在点),(000y x P 处可微, 则函数),(y x f 在点0P 处沿任意方向l 的方向导数都存在, 且有,cos cos 0βαP P P yf xf f ∂∂+∂∂=∂∂l(1)其中βαcos ,cos 是l 的方向余弦.证明 在射线l 上取邻近0P 的动点),Δ,Δ(00y y x x P ++因函数),(y x f 在点0P 处可微, 所以,)()(0P f P f -),()Δ,Δ(0000y x f y y x x f -++=),(ΔΔ0ρo y yf x xf P P +∂∂+∂∂=其中,)Δ()Δ(22y x +=ρ 由于,cos Δ,cos Δβραρ==y xρρ)()(lim00P f P f f P -=∂∂→l⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂∂+∂∂=→ρρρρρ)(ΔΔlim 00o yyf xx f P P .cos cos 0βαP P yf xf ∂∂+∂∂=方向导数的存在性及其计算容易推广到三元函数. 如果三元函数),,(z y x f u =在点),,(0000z y x P 处可微, 则在点),,(0000z y x P 处沿射线l 的方向导数存在, 并且,cos cos cos 0γβαP P P P zf yf xf f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂l(2)其中γβαcos ,cos ,cos 是l 的方向余弦.由上述公式(1)及(2)知, 计算方向导数只需知道l 的方向及函数的偏导数. 但是务必注意, 若函数沿任意方向l 的方向导数都存在, 其偏导数不一定存在;反之, 若偏导数存在, 方向导数也不一定存在.注 定理的条件只是结论成立的充分条件, 即函数),,(z y x f 在点),,(z y x P 不可微, 函数),,(z y x f 在点P 沿任意射线l 的方向导数都可能存在. 例如, 二元函数22),(y x y x f += 在点)0,0(两个偏导数都不存在. 当然不可微.事实上, 当0Δ→x 时,x f x f Δ)0,0()0,Δ0(-+xx Δ|Δ|=不存在极限, 即函数),(y x f 在点)0,0(不存在关于x 的偏导数. 同理可证, 它在点)0,0(也不存在关于y 的偏导数.可是函数22),(y x y x f +=在点)0,0(沿任意射线l 方向导数都存在. 设在点)0,0(沿任意射线l 的方向余弦是).cos ,(cos βα在射线l 上任意取一点).cos ,cos (),(βραρ=y x 其中ρ是点),(y x 到原点)0,0(的距离. 根据方向导数的定义, 有,1lim )0,0()cos ,cos (lim 00==-=∂∂→→ρρρβραρρρf f f l即在点)0,0(沿任意射线l 方向导数都是1.梯度在空间的每一个点都可以确定无限多个方向, 因此, 一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数. 在这无限多个方向导数中, 最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 它是沿什么方向达到的? 描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量, 就是我们下面讨论的梯度. 梯度是场论里的一个基本概念. 所谓“场”, 它表示空间区域Ω上某种物理量的一种分布. 从数学上看, 这种分布常常表示为Ω上的一种数值函数或向量函数. 能表示为数值函数),,(z y x u u =的场, 称为数量场, 如温度场、密度场等; 能表示为向量函数k j i F ),,(),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x ++= 的场, 称为向量场, 如引力场, 流速场等.为了引进梯度的概念, 下面我们先来分析一下函数),(y x f z =在点),(y x P 处方向导数的公式.c o s c o s βαyf x f f ∂∂+∂∂=∂∂l 它等于下述两个向量的数量积:,c o s c o s 0j i l βα+= ,j i G yfx f ∂∂+∂∂=其中0l 是l 方向的单位向量, 与点P 的位置无关, G 依赖于点P 的位置, 与l 的方向无关. 所以方向导数的公式βαcos cos yf x f f ∂∂+∂∂=∂∂l 可以写成 =∂∂lf0l G ⋅.Prj )cos(||)cos(||||G l G G l G l G l =⋅=⋅=0 这说明方向导数等于向量G 在l 上的投影. 只要知道向量G , 任何方向的方向导数就都清楚了.可见, j i G yf x f ∂∂+∂∂=有着重要意义, G 在数量场(函数)的研究中十分重要. 当l 与G 方向一致时, 方向导数最大, 等于.||G 所以, 向量G 的方向是函数),(y x f z =在点P 处变化率最大的方向, 其模||G 是这个最大的变化率.定义 2 向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=y f x f ,G 是函数),(y x f z =在一点取得最大方向导数的方向, 也是函数在该点处增长得最快的方向. 将这个向量称为函数),(y x f z =在一点的梯度(gradient), 记为f grad , 即.),()(,g r a d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂+∂∂=y x f y f x f y fx f f j i 引用记号,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∇y x 称为奈布拉(Nebla)算符, 或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton) 算子. 则梯度可记为.,f y f x f f ∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=g r a d利用梯度, 方向导数可记为=∂∂lf=⋅0g r a d l f 0l ⋅∇f ),(Pr f j ∇=l 由以上讨论可知, 函数),(y x f z =在某点的梯度f grad 是这样一个向量: (1) 它的方向是函数),(y x f 在该点取得最大方向导数的方向; (2) 它的模为方向导数的最大值:由于沿梯度方向, 函数增长得最快, 因此沿梯度的相反方向, 函数减少得最快;(3) 它的任一方向l 上的投影等于),(y x f 沿l 方向的变化率.可见, 梯度f y f x f f ∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=,grad 完全刻画了),(y x f 在任一点处的变化情况, 因此成为描述数量场),(y x f 的特征的重要参量.下面对梯度作出几何解释. 函数),(y x f z =的等高线为 ,),(:c y x f l =上式两端微分, 得0d d =∂∂+∂∂y yfx x f 或.0)d ,d (,=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y x y f x f由于)d ,d (y x 是曲线l 切线方向, 它平行于向量,d d ,1⎪⎭⎫⎝⎛x y 故上式表明, 梯度.||22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y f x f f grad=f grad ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y f x f ,为等高线l 上点P 处的法向量, 并且从数值较低的等高线指向数 值较高的等高线(如图).为了更形象地理解梯度的特征, 不妨 将函数 ),(y x f z =的图形想象为一座山, (如图). 如果你向梯度方向爬山, 最陡, 最 费力; 如果你总是沿着梯度垂直的方向走, 那么你一定上不了山, 因为在这种情况下 你总是在一条等高线上走.梯度的某些物理意义将在例题中说明.梯度概念可以推广到三元函数或n 元函数. 以三元函数为例, 设),,(z y x f u =在点),,(z y x P 处可微分, 则函数在该点的梯度为=∂∂+∂∂+∂∂=∇=k zf j y f i x f f fgrad ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂),,()(,,z y x f z f y f x f . 它是函数),,(z y x f u =在点P 处取得最大方向导数的方向, 最大方向导数为.||222⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=z f y f x f f g r a d 函数),,(z y x f u =在点P 处沿方向l的方向导数=∂∂lf=⋅0l f g r a d⋅∇f 0l 与二元函数的梯度类似, 我们可以对三元函数),,(z y x f u =的梯度作出几何解释.在函数),,(z y x f 的等量面C z y x f =),,(:∑上任一点处, 梯度f grad 总是垂直于该等量面, 而且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面.),y x梯度运算可以看成一个映射,:f f ∇→∇它将一个数量函数映射成一个向量函数.算子∇有以下性质: (1) 设),,,(z y x f u =则=∇f=∂∂+∂∂+∂∂k j i zf y f i x f ,f grad =∇⋅∇=∇f f 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f z y x ,,,,=∂∂+∂∂+∂∂=222222zfy f x f ,f ∆ 其中=∇=∇⋅∇=∆2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂称为拉普拉斯算子;(2) 线性性质: 2121)(f f f f ∇+∇=+∇μλμλ (μλ,为常数); (3) ;)(122121f f f f f f ∇+∇=∇ (4) ,)()(u u f u f ∇'=∇ f 为可微函数.3. 例题例1 设一金属板上电压的分布为,5022y x v --=问在点)2,1(-处, 沿什么方向电压升高最快? 沿什么方向电压下降最快? 其速率各为多少? 沿什么方向电压变化最慢?解 由函数的梯度知, 函数沿梯度的方向上升最快, 沿与梯度相反的方向下降最快, 沿与梯度垂直的方向变化最慢. 因为电压分布v 的梯度v g r a d =).8,2(,y x y v x v --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂ ),16,2()2,1(-=-v grad ).16,2()2,1(-=--v grad所以, 在)2,1(-处, 沿j i 162+-的方向电压升高最快, 沿j i 162-的方向电压下降最快, 其上升或下降的速率都为.26016222=+因为与)2,1(-v grad 垂直的方向为),2,16(故沿j i 216+的方向或j i 216--的方向电压变化最慢.例5 假设位于原点O 处有一电量为Q 的点电荷, 其周围形成一电场, 它在空间任一点),,(z y x M 处产生的电位为,222zy x Q rQ u ++==其中),(M O r ρ=是点M 到原点O 的距离, 试求电场强度E .解 根据物理学知识得 ).(3k j i E z y x rQu ++=-∇= 这说明点电荷形成的电场, 其电位梯度u ∇与电场强度E 大小相等, 方向相反. 这和下述物理意义是符合的:电场强度指向电位减小最快的方向.如果将电荷Q 换成质点m , 则在原点周围形成引力场, 其位能为 ,rm u = 则质点m 在其周围形成的引力为 ).(3k j i F z y x r mu ++=-∇= 由此可知, 位能梯度与引力的关系也是大小相等, 方向相反.例2 假设在一间门窗关闭的房屋内, 主人发现一只蚊子, 接着他在屋内点燃了一支蚊香. 以蚊香为原点建立空间直角坐标系, 经过一段时间, 测得屋内任意点),,(z y x 处蚊香的烟气浓度为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=40222e z y x u u ),0(0>u如果蚊子此时位于点)4,2,1(处, 试问它将沿着哪个方向飞逃? 逃跑的路线又是什么?解 因为,e40222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=z y x u u 所以u 在点)4,2,1(处的梯度为).2(e 2)4,2,1(90k j i u u++-=∇-根据梯度的定义, )4,2,1(u ∇是在点)4,2,1(处烟气浓度u 增加最快的方向, 而 负梯度方向)4,2,1(u ∇-则是在点)4,2,1(处烟气浓度减少最快的方向. 蚊子虽然不懂梯度, 但凭它的本能, 它将沿负梯度方向飞逃.假设蚊子逃跑的路线为空间曲线0),(),(),(:≥===t t z z t y y t x x Γ为参数, 且当0=t 时, .4,2,1===z y x 为使蚊子沿烟气浓度减少最快的方向飞逃, 曲线Γ上任一点),,(z y x 处切线的方向向量⎪⎭⎫⎝⎛t z t y t x d d ,d d ,d d 与该点处烟气浓度u 的负梯度u ∇-的方向应该相同, 即=⎪⎭⎫⎝⎛t z t y t x d d ,d d ,d d u ∇-λ),2122(e40222k j i z y x u z y x ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λ 其中0>λ是比例常数. 由此可得=txd d ,e 240222x u z y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=λ=tyd d ,e 240222y u z y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=λ=tzd d .e2140222z u z y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=λ消去上述微分方程组中的,d t 并注意初始条件, 则有⎪⎩⎪⎨⎧===,2,d d 1x y xyx y .4,4d d 1===x z x z x z 显然这两个方程都是一阶可分离变量方程, 易知其解为).1(4,24≥⎩⎨⎧==x x z x y这就是蚊子逃跑路线.例7 设)(r f 可导, 其中222z y x r ++=为点),,(z y x P 处向径r 的模, 试证.)()(0r r f r f '=grad解 ,)()()()(222r x r f z y x x r f x r r f x r f '=++'=∂∂'=∂∂ 由z y x ,,的对等性, 有,)()(r yr f y r f '=∂∂ r zr f z r f )()('=∂∂k j i z r f y r f x r f r f ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad)(1)(k j i z y x r r f ++'=r r f r)('=.)(0r r f '=。
梯度与方向导数及HOG特征应用
一、方向导数 二、梯度 三、应用
偏导数
定义： 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内 极限
x0 x
x0
x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
其中向量
f f i j y x
称为函数f (x，y) 在点P 的梯度，记作grad f (x，y)，即 f f j． grad f (x，y) i y x
梯度与方向导数： 设 e cos j i sin j j 是与 l 方向同方向的单位向量，则
f f f f f cos j sin j { ， }· {cos j ，sin j } l x x y y e grad f (x，y) · | grad f (x，y)| cos ( grad f ( x, y ), ^ e ) ．
讨论： 已知方向导数为 f f f cos j sin j l x y f ( x, y ), ^ e ) ． | grad f (x，y)| cos ( grad
( x0 , y 0 )
;
f1( x0 , y0 ) .
偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率， 那么函数沿任意方向的变化率呢？
一、方向导数
设函数zf (x，y)在点P (x，y)的某一邻域U(P)内有定义． 自点P引射线 l ．设 x 轴正向到射线 l 的转角为 j ，并设
P (xx，yy) 为 l 上的另一点且P U(P)．
f f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) lim ， l r 0 r
最大方向导数与梯度的关系
最大方向导数与梯度的关系梯度是向量微积分中的一个重要概念，它描述了一个多变量函数在某一点上的变化率最大的方向。
而最大方向导数则是指在某一点上函数变化率最大的方向。
那么，最大方向导数与梯度之间存在着怎样的关系呢？我们来了解一下梯度的定义。
对于一个多变量函数f(x1, x2, ..., xn)，它的梯度是一个向量，记作grad(f)或∇f，其中∇表示n维空间中的向量微分算子。
梯度的每个分量都是函数在相应变量方向上的偏导数，即∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
接下来，我们来了解一下最大方向导数的概念。
最大方向导数是指在某一点上函数变化率最大的方向上的方向导数。
方向导数是函数在给定方向上的变化率，它可以通过梯度与该方向单位向量的点积来计算。
设函数在某一点P上的梯度为∇f，方向向量为u，则最大方向导数为∇f·u。
根据最大方向导数的定义，我们可以得到一个重要的结论：最大方向导数是梯度的模长。
也就是说，最大方向导数等于梯度向量的模长。
为了理解这个结论，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x, y)，它的梯度为 (∂f/∂x, ∂f/∂y)，我们取一个方向向量u = (cosθ, sinθ)，其中θ是u与x轴的夹角。
根据方向导数的定义，最大方向导数为∇f·u = (∂f/∂x, ∂f/∂y)·(cosθ, sinθ) = (∂f/∂x)cosθ + (∂f/∂y)sinθ。
这个结果和梯度的模长 ||∇f|| = √((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²) 是相等的。
从这个例子可以看出，最大方向导数与梯度之间存在着直接的联系。
梯度的每个分量都是函数在相应变量方向上的变化率，而最大方向导数则是在某一方向上函数变化率最大的值。
因此，最大方向导数可以看作是梯度的一个特殊情况，它描述了函数在某个方向上变化最快的速率。
方向导数与梯度70005
PQ ( x x0 , y y0 ) (t cos, t cos) te
称t是点P到点Q的有向距离.
el
Q
x
已知：lim f ( x0 x) f ( x0 ) 表示函数y f ( x)
x0
x
在点( x0 , y0 )处沿x轴正向的变化率(导数).
例6、求 函 数u xy2 z 3 xyz在 点(1,1,2)处 沿 方
向 角 为 , , 的 方 向 的 方 向 343
导 数, 并 问 函 数 在 该 点 沿 哪 个方 向 具 有 最 大 方 向 导 数? 最 大 方 向 导 数 值 为 多 少?
例7、求 数 量 场m 所 产 生 的 梯 度 场,其 中 常
gradf
(
x0
,
y0)
f
(
x0
,
y0
)
(
f
x
(
x0
,
y0
),
f
y
(
x0
,
y0
))
f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j
方向导数是一个数而梯度是一个向量。
由方向导数的定义知
f f
f
f f
cos cos ( , ) (cos,cos)
第六节 方向导数与梯度
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标 原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点？
方向导数梯度和泰勒公式课件
方向导数的计算
计算步骤
计算方向导数需要先确定函数在某点的梯度向量，然后选择一个方向向量，最后计算两者点积。具体来说，方 向导数的计算公式为：方向导数 = 梯度向量 × 方向向量
常见方法
常见的计算方向导数的方法有解析法、数值法和几何法。解析法适用于数学分析中的连续可微函数，数值法适 用于离散数据，而几何法则适用于各种情况。
对于一个复杂的函数，可以使用泰勒公式的前几 项来近似其在某一段区间内的曲线。
04
方向导数、梯度和泰勒公式的联系 与区别
联系
方向导数是函数在某一点的切线斜率，可以理解 为函数在某一点的“变化率”。
梯度是方向导数的最大值，可以理解为函数在某 一点的“变化最快”的方向。
泰勒公式是利用多项式来近似表示函数，而多项 式的系数就是根据方向导数或者梯度来得到的。
梯度的几何意义
梯度是一个向量，其方向为函数在该点的等高线最密集的方向，其大小等于函数在该点的等高线的最 大变化率。
在二维平面上，梯度向量的方向可以理解为函数在该点的斜率，其大小可以理解为函数在该点的曲率 。
03
泰勒公式
定义与性质
泰勒定义
泰勒公式是一个用多项式逼近函数的方法， 它可以将一个函数表示为无穷级数。
、极值点等问题。
微分学
03
泰勒公式是微分学中的基本工具，它可以用于求解函数的导数
、高阶导数等。
泰勒公式的几何意义
切线近似
在某一点处，泰勒公式的前几项可以近似函数的 切线，从而可以估计函数在这一点附近的走势。
极值点近似
泰勒公式的前几项可以近似函数的极值点，从而 可以估计函数在这一点附近的极值情况。
曲线近似
区别
方地涉及到函数在整个定义域内 的性质。
7方向导数与梯度
有等值面(等量面)
o
x
(设c1 c2 c3)
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例 5 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
方向导数梯度和泰勒公式
方向导数梯度和泰勒公式一、方向导数方向导数是研究函数在给定方向上的变化率或者斜率的概念。
设函数$z=f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的其中一点存在，若存在一个向量$\mathbf{u}=(\cos\alpha, \sin\alpha)$，其中$0\leq\alpha<2\pi$，使得极限\lim_{\Delta s\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta s}=\lim_{\Deltas\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)}{\Delta s} \]存在，则称这个极限为函数$z=f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$沿方向$\mathbf{u}$的方向导数，记作D_{\mathbf{u}}f(x_0, y_0)\]方向导数的几何意义很直观，它表示了函数在其中一点上的变化速度沿着给定方向的分量。
二、梯度梯度是方向导数的向量形式，用于表示函数在其中一点的变化率最大的方向。
设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的其中一点存在，如果在这一点的方向导数中取得最大值，那么这个方向就是函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的梯度方向。
梯度的定义是\nabla f(x_0, y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\right)\]其中\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x}\]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)}{\Delta y}\]梯度的几何意义是函数在其中一点上的变化率最大的方向。
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方向导数和梯度的应用实例
1. 最速下降法：在优化问题中，梯度可以用于寻找函数的最小值点。
最速下降法是一种基于梯度的优化算法，它会沿着当前位置的负梯度方向迭代，以求得函数的最小值。
2. 海拔高度计算：假设我们要计算一座山顶的海拔高度，可以将山顶的位置表示为一个二维坐标系上的点，然后计算该点的梯度，即在该点处海拔高度变化最快的方向，此时的梯度就是该点的海拔高度（假设梯度的方向为指向海拔高度增加的方向）。
3. 运动轨迹预测：在运动模拟中，可以利用物体的速度和梯度计算出物体的加速度，从而预测出物体下一时刻的位置。
对于细微的运动变化，方向导数可以帮助我们了解物体运动的方向和速度，并帮助我们精确预测物体的运动轨迹。
4. 机器学习中的参数更新：在机器学习建模中，参数更新可以通过对模型损失函数求梯度来实现。
在模型训练过程中，我们需要不断地调整参数，以最小化损失函数。
可以使用梯度下降法或其他优化算法来更新参数，以帮助模型逐渐优化到最佳状态。
5. 最大似然估计：在统计学中，我们可以利用梯度来最大化似然函数或对数似然函数，以获得最优的参数值。
这种方法通常被应用于分类、回归以及其他机器学习问题中，以获得最好的预测结果。