小学六年级奥数-抽屉原理(含答案)

抽屉原理

学问要点

1.抽屉原理的一般表述

(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必定有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为：

第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。

(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必定有一个抽屉空着。它的一般表述为：

第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。

2.构造抽屉的方法

常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。

例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13点牌各一张)，洗好后反面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数与颜色都一样。假如要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。

点拨对于第一问，最不利的状况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都一样。

点拨对于第二问，最不利的状况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中

的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。

解(1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)

例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相一样；(2)要保证有5人属相一样，但不保证有6人属相一样，那么人的总数应在什么范围内？

点拨可以把12个属相看做12个抽屉，依据第一抽屉原理即可解决。

解(1)因为37÷12＝3……1，所以，依据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相一样。

(2)要保证有5人的属相一样的最少人数为4×12＋1＝49(人)

不保证有6人属相一样的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。

例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色一样？(2)四种花色都有？

点拨首先我们要弄清晰一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。

(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续

取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可到达要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。

解(1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张)

例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全一样？

点拨依据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种状

况：

解借球有6种状况，看做6个抽屉，

所以致少要来7名学生借球，才能保证。

例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？

点拨把1～30这30个自然数分成下面15组：{1，2，4，8，16}，{3，6，12，24}，{5，10，20}，

{7，14，28}，{9，18}，{11，22}，{13，26}，{15，30}，{1 7}，{19}，{21}，{23}，{25)，{27}，{29}，在这15组中，每组中的随意两个数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要取出16个数才能到达题目的要求。

例6 边长为1的正方形中，随意给定13个点，其中随意三点都不共线。试说明其中至少有4个点，以此4点为顶点的四边形面积不超过四分之一。解：把正方形平均分成四个一样的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。

13=4×3+1，13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的

四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。

例7平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色.

解因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，随意一点引五

条线段中至少有三条线段同色，不妨设是红色(如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时三角形a2a3a4会出现两种颜色状况

(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有随意一条线段为红的，那么这条红线段与

它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。

(2)若a2a3，a3a4，a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个

蓝色三角形。综上所述，无论(1)还是(2)，题目结论都成立。

说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决

实际问题：结果可证明6人之间至少有3人相互相识或不相识。1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的间隔不超过2米？

解：两盆30÷2=15段，30米中每两米为一段的有15段，16盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之间的间隔不超过2米。

3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之间的间隔不超过1/3。

解：把边长为一的正三角形平分成9粉，由每个三角的边长为1/3，必有两点在一个三角形内，则两点的间隔小于1/3。

4.用黑、红两种颜色将一个长9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色状况一样。

因为涂色出现八种状况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中肯定有两列是一样的。

5.从整数1，2，3，……，199，200中任选101个数，求证在选出的这