高一数学复习考点知识讲解课件17---椭圆的标准方程

高一数学复习考点知识讲解课件§3.1椭圆3．1.1椭圆的标准方程第1课时椭圆的标准方程考点知识.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系．导语椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？一、椭圆的定义问题1在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？提示椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．知识梳理椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点(focus)，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(focaldistance)．注意点：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．(2)定值必须大于两定点的距离．(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段．(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．例1命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和P A＋PB＝2a(a>0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则P A＋PB＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若P A＋PB＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为仅当2a>AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a<AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．反思感悟如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程．跟踪训练1(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且P A ＋PB＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的是()A．当a＝2时，点P的轨迹不存在B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆答案AC解析当a＝2时，2a＝4<AB，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．二、椭圆的标准方程问题2观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？提示以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)．设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.将这个方程移项后两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a(x－c)2＋y2＋(x－c)2＋y2，整理得a2－cx＝a(x－c)2＋y2.两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)，于是得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得x2a2＋y2b2＝1.由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上．这样，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点F1(0，－c)，F2(0，c)的椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．以上两种方程都叫作椭圆的标准方程．知识梳理 椭圆的标准方程焦点位置 在x 轴上 在y 轴上 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)图形焦点坐标 (±c ,0)(0，±c )a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2注意点：焦点位置由a 2，b 2的大小确定． 例2根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26； (2)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上；(3)椭圆的焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝ 6.解(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1， 又椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解得b 2＝3，∴a 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (3)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①得4b 2－b 2＝6， ∴b 2＝2，∴a 2＝8.又∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.反思感悟利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论． 跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.解(1)∵a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12， 且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义，知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. 三、直线与椭圆的位置关系 知识梳理直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法： 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y (或x )得到一个关于x (或y )的一元二次方程：位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切一解Δ＝0注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．例3已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？解直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 关于x 的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题．跟踪训练3已知椭圆x 24＋y 23＝1，直线l ：x ＋my －m ＝0(m ∈R )，则直线l 与椭圆的位置关系是() A ．相离B ．相切 C ．相交D ．不确定 答案C解析由题意知，l ：x ＋my －m ＝0(m ∈R )恒过点(0,1)， 因为024＋123<1，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l 与椭圆相交．1．知识清单：(1)椭圆的定义及其应用．(2)椭圆的标准方程．(3)直线与椭圆的位置关系．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2等于()A．4B．5C．8D．10答案D2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是() A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对答案B解析MF1＋MF2＝F1F2＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.3．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆x24＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相交或相切答案A解析把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．答案4 3解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.课时对点练1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是()A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)答案C解析椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝169，b 2＝25，所以c 2＝a 2－b 2＝144，所以c ＝12，故焦点坐标为(0，±12)．2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断答案A解析方法一直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二联立直线与椭圆的方程，得⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．3．设定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝m ＋4m (m >2)，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段D ．不存在答案A解析设y ＝m ＋4m (m >2)，易知y ＝m ＋4m 在(2，＋∞)上为增函数，所以y ＝m ＋4m >4，即PF 1＋PF 2>4，又F 1F 2＝4，所以点P 的轨迹为以F 1，F 2为焦点的椭圆．4．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1为椭圆”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案B解析若方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，解得2<m <6且m ≠4，所以“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1为椭圆”的必要不充分条件． 5．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析根据椭圆的定义知，PF 1＋PF 2＝2a ＝2×5＝10，因为PF 1＝3，所以PF 2＝7.6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是() A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2答案D解析由a 2>a ＋6>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2. 7．设P 为椭圆x 24＋y 29＝1上的任意一点，F 1，F 2为其上、下焦点，则PF 1·PF 2的最大值是________．答案9解析PF 1＋PF 2＝2a ＝6，PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 2)24＝9， 当且仅当PF 1＝PF 2＝3时取等号．8．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．答案y 216＋x 2＝1解析由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.9.如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．解由垂直平分线的性质可知MQ ＝MA ，∴CM ＋MA ＝CM ＋MQ ＝CQ ，∴CM ＋MA ＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. ∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.10．求直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的公共点的坐标． 解联立⎩⎨⎧ y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝13.∴所求公共点的坐标为(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43.11．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则ON (O 为坐标原点)的值为()A ．8B ．2C ．4D.32答案C解析由椭圆定义知MF 1＋MF 2＝2a ＝10，又MF 1＝2，所以MF 2＝8，由于N 为MF 1的中点，所以ON 为△F 1MF 2的中位线，所以ON ＝12MF 2＝4.12．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB ＝5，则AF 1＋BF 1等于()A ．9B ．10C ．11D ．12答案C解析根据椭圆定义，AF 1＋AF 2＝2a ＝8，BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝16，所以AF 1＋BF 1＝16－AB ＝11.13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 答案A解析易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2. 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则sin A ＋sin C 2sin B ＝________.答案56解析由椭圆的方程得a ＝5，b ＝4，c ＝3.∵△ABC 的顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，∴BC ＋AB ＝2a ＝10，∴由正弦定理可知sin A ＋sin C 2sin B ＝BC ＋BA 2AC ＝2a 4c ＝56.15．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝1和圆B ：(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为()A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12答案C解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知P A ＋PB ＝2a ＝10，连接P A ，PB ，分别与左、右两圆相交于M ，N 两点，此时PM ＋PN 最小，最小值为P A ＋PB －2r ＝8.延长P A ，PB ，分别与左、右两圆相交于M ′，N ′两点，此时PM ＋PN 最大，最大值为P A ＋PB ＋2r ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.16．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0(a ≠4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0， 消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.。