数学归纳法的原理
数学归纳法ppt 通用
假设与递推
对所有的 n n N , n n 命题成 . 0
数 学归纳法适用于证明什么样的命 题 呢 ? 对于一些与无限多个正整 数 相关的命题, 如果不易用以前学习过 的方法证明, 用数学归纳法可能会收 到较好的效果 .
思考 如果要用数学归纳法证 明某命题 对于全体正整数都成立 ,应取 n ? 0 为何值 为什么 ?
当 n 5 时 ,共有 5 个点 ,记它为 P ,P ,P ,P ,P . 同前 , 1 2 3 4 5 在过点 P ,P ,P ,P 6 条直线的基础上 ,过 P ,P , 1 2 3 4的 1 2
P ,P 中任意一个点与点 P 作直线 , 共有 4 条 . 因此 , 3 4 5 过 5 个点共有 3 3 4 条直线 .
1 x
n 2 2 n n N , n 5 ,
n
1 nx x 1, n N .
在 高 考 中 , 这 类 问 题 也 是 经 常 出 现 ， 同 时 这 也 是 一 种 重 要 的 数 学 推 理 方 法 — — 数 学 归 纳 法 .
数学归纳法
一、提出问题
在数学 n n N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等 关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 : | sin n | n | sin | n N ,
k 1 k k 1
总结上述过程 , 我们用了两个步骤 : 第一步 , 证明n 1 时命题成立 , 从而奠定了命题成 立的一个起点 ; 第二步 , 先作归纳假设 ,然后 证明 "由前向后 "的递推关系 .由这两步保证 : 对于从起点向后的所有 正整数n N, 命题 都成立 .
数学归纳法步骤
数学归纳法是一种证明方法，用于证明一个关于自然数的命题对于所有正整数都成立。
它的基本原理是：如果一个命题对于第一个正整数成立，并且当一个正整数被替换为下一个正整数时，该命题仍然成立，那么这个命题对于所有正整数都成立。
数学归纳法的步骤如下：1. 确定命题的形式：首先，我们需要明确要证明的命题的形式。
一般来说，我们要证明的命题是一个关于自然数n的全称命题，即对于所有的正整数n，命题P(n)都成立。
2. 基础步骤：基础步骤是证明命题对于第一个正整数成立。
我们可以选择任意一个正整数作为基础步骤的起点，例如n=1。
在这个步骤中，我们需要证明命题P(1)成立。
3. 归纳假设：在基础步骤之后，我们需要假设命题对于某个正整数k成立，即P(k)成立。
这个假设被称为归纳假设。
4. 归纳步骤：在归纳步骤中，我们需要证明当一个正整数被替换为下一个正整数时，命题仍然成立。
也就是说，我们需要证明当n=k+1时，P(k+1)也成立。
5. 完成证明：如果归纳步骤成功证明了命题对于所有的正整数都成立，那么我们就可以说这个命题被数学归纳法证明了。
下面是一个使用数学归纳法证明的例子：例题：证明对于所有的正整数n，都有1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
1. 确定命题的形式：我们要证明的命题是关于自然数n的全称命题，即对于所有的正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2都成立。
2. 基础步骤：我们选择n=1作为基础步骤的起点。
在这个步骤中，我们需要证明1+2+3+...+1 = 1*(1+1)/2成立。
由于1=1，所以这个等式成立。
3. 归纳假设：在基础步骤之后，我们假设当n=k时，1+2+3+...+k = k(k+1)/2成立。
这个假设被称为归纳假设。
4. 归纳步骤：在归纳步骤中，我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+k+1 = (k+1)(k+2)/2成立。
为了证明这个等式成立，我们可以使用加法和乘法的性质。
数学归纳法原理总结
数学归纳法原理总结数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明某个数学命题对于自然数集上的所有元素都成立。
它是一种简洁而有效的证明方法，被广泛应用于数学领域的各个分支。
本文将对数学归纳法原理进行总结，并介绍其应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以概括为以下两个步骤：1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时，命题成立。
通常情况下，我们会选择最小的自然数作为基础步骤的证明对象。
2. 归纳步骤：假设当n取k时，命题成立（归纳假设），然后证明当n取k+1时，命题也成立。
这一步骤通常由归纳假设和已知条件进行推导得出。
通过以上两个步骤的迭代，我们可以推论出该命题对于自然数集上的所有元素都成立。
数学归纳法的核心思想是，我们通过证明基础步骤和归纳步骤，将问题从一个小规模的情况推广至更大的情况，最终达到证明整个命题的目的。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 证明自然数集上的等式或不等式成立：比如证明1+2+3+...+n =n(n+1)/2，证明n^2 < 2^n对于所有n∈N成立等等。
通过数学归纳法，我们可以逐步推导出这些等式或不等式的正确性。
2. 证明数列的某些性质：比如证明斐波那契数列的性质，证明调和级数的性质，证明数列收敛性等等。
数学归纳法可以帮助我们建立数列性质的数学模型，进而证明这些性质的成立。
3. 证明集合论的命题：比如证明一个集合中元素个数和另一个集合中元素个数相等，证明一个集合的幂集的元素个数是2的幂等等。
数学归纳法可以提供一种有效的证明方式，通过排除其他可能情况，得出结论。
总的来说，数学归纳法是一种强大的证明工具，可以帮助我们解决各种数学问题。
但需要注意的是，在使用数学归纳法时，我们需要确保基础步骤和归纳步骤的合理性，以及每一步推导的严谨性，才能得出正确的结论。
三、数学归纳法的局限性尽管数学归纳法可以解决许多问题，但它也有一定的局限性。
数学归纳法证明的原理
数学归纳法证明的原理2020-12-07数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的原理数学归纳法证明的是与自然数有关的命题，它的依据是皮亚诺提出的自然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是：（１）ｌ是自然数。
（２）每个自然数ａ有一个确定的“直接后继”数ａ’，ａ也是自然数。
（２）ａ’≠１，即１不是任何自然数的“直接后继”数。
（４）由ａ’＝ｂ’，推得ａ＝ｂ，即每个自然数只能是另外的唯一自然的“直接后继”数。
（５）任一自然数的集合，如果包含１，并且假设包含ａ，也一定包含ａ的“直接后继”数ａ’，则这个集合包含所有的自然数。
皮亚诺公理中的（５）是数学归纳法的依据，又叫归纳公理数学归纳法的应用及举例。
因为由假设知４２ｋ＋１＋３ｋ＋２能被１３整除，１３４２ｋ＋１也能被１３整除，这就是说，当ｎ＝ｋ＋１时，ｆ（ｋ＋ｌ）能被１３整除。
根据（１）、（２），可知命题对任何ｎ∈Ｎ都成立。
下面按归纳步中归纳假设的形式向读者介绍数学归纳法的几种不同形式以及它们的应用。
（ｌ）简单归纳法。
即在归纳步中，归纳假设为“ｎ＝ｋ时待证命题成立”。
这是最常用的一种归纳法，称为简单归纳法，大家都比较熟悉，这里不再赘述。
（２）强归纳法。
这种数学归纳法，在归纳步中，其归纳假设为“ｎ≥ｋ时待证命题成立”。
我们称之为强归纳法，又叫串值归纳法。
通常，如果在证明ｐ（ｎ＋ｌ）成立时，不仅依赖于ｐ（ｎ）成立，而且还可能依赖于以前各步时，一般应选用强归纳法，下面举例说明其应用。
例有数目相等的两堆棋子，两人轮流从任一堆里取几项棋子，但不能不取也不能同时从两堆里取，规定凡取得最后一项者胜。
求证后者必胜。
证：归纳元ｎ为每堆棋子的数目。
设甲为先取者，乙为后取者。
奠基ｎ＝ｌ，易证乙必胜。
归纳设Ｎｎ≤ｋ时，乙必胜。
现证ｎ＝ｋ＋ｌ时也是乙必胜。
设甲在某堆中先取ｒ颗，Ｏ＜ｒ≤ｋ。
乙的对策是在另一堆中也取ｒ颗。
有二种可能：（１）若ｒ＜ｋ，经过两人各取一次之后，两堆都只有ｋ－ｒ颗，ｋ－ｒ＜ｋ，现在又轮到甲先取，依归纳假设，乙必胜。
阐述数学归纳法的原理
阐述数学归纳法的原理
数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法。
它基于以下原理：
基础步骤：
首先，需要证明命题在某个特定条件下（通常为n=1或n=0）成立，这称为基础步骤（base case）。
归纳假设：
其次，假设命题对于某个固定的正整数k成立，这称为归纳假设（inductive hypothesis）。
也就是假设如果命题在k上成立，那么它在k+1上也成立。
归纳步骤：
最后，需要证明如果命题在k上成立，则它在k+1上也成立。
这称为归纳步骤（inductive step）。
综合起来就是：如果能够证明基础步骤成立，且对于任意固定的正整数k，归纳假设成立，则可以通过归纳步骤，证明命题对于所有正整数n都成立。
数学归纳法的思想是通过将证明任务逐步缩小，从特定条件开始得出结论，然后通过递增的方式扩展到其他情况。
这是一种强有力的证明方法，因为它可以涵盖所有的正整数，而不仅仅是有限个特例。
需要注意的是，数学归纳法只能用于证明涉及正整数的命题，不能用于证明涉及负整数或小数的命题。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
归纳法原理
归纳法原理
归纳法原理是一种逻辑推理方法，用于从一系列特殊情况的观察和实例中，推导出一般规律或普遍结论。
其思想是基于已知的特殊情况，通过观察和总结，逐步推演出普适性的结论。
归纳法分为数学归纳法和科学归纳法两种形式。
数学归纳法是最基础的一种归纳法。
它的基本思想是：首先证明当某个特定条件（通常是关于自然数的性质）成立时，某个命题在此条件下的真假；然后，再证明当这个特定条件加1后，该命题依然成立。
由于该特定条件中包含了1，所以只要能够
证明第一个条件成立，且能够推证出第二个条件成立，那么就可以通过不断地推理，逐步证明该命题对于所有自然数均成立。
科学归纳法是应用在科学领域的一种归纳法。
它不同于数学归纳法，更加灵活，适用于研究广泛的问题。
科学归纳法的核心思想是：通过对大量实际观测结果的总结和归纳，得出一般规律或普遍结论。
科学归纳法常用于研究自然科学、社会科学和人文科学等领域，通过对实践经验的总结，推导出普适性的原理或规律。
总的来说，归纳法原理是一种通过从特殊到一般的推理方法，利用观察、总结和推演，得出普遍性结论的逻辑思维过程。
无论是数学归纳法还是科学归纳法，都是为了寻找一般规律或普遍性原理，从而推动知识的发展和应用。
数学归纳法原理(一)
数学归纳法原理(一)数学归纳法什么是数学归纳法？•数学归纳法是一种数学证明方法。
•通过证明一个命题对于某个特定的整数 n 成立，然后证明它对n+1 也成立，进而证明该命题对一切大于等于特定整数的整数成立。
数学归纳法的原理1.基础步骤–首先证明命题对于某个特定整数 n 成立，通常是 n = 1 或 n = 0。
–这个被证明为正确的特定整数通常称为基础情况或基础步骤。
2.归纳假设–假设命题对于某个整数 k 成立，其中 k 是大于等于基础情况的整数。
–这个假设称为归纳假设。
3.归纳步骤–证明当 n = k 时，命题对 n = k+1 也成立。
–这一步叫做归纳步骤。
4.综合证明–根据基础步骤，假设命题对于 k 成立，并通过归纳步骤证明命题对于 k+1 也成立，则可以利用数学归纳法证明该命题对于所有大于等于基础情况的整数成立。
数学归纳法示例1.证明命题：对于任意的正整数 n，1 + 2 + 3 + … +n = n(n+1)/2。
–基础步骤：当 n = 1 时，1 = 1(1+1)/2 成立。
–归纳假设：假设命题对于某个整数 k 成立，即 1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2。
–归纳步骤：证明当 n = k+1 时，1 + 2 + 3 + … + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
•根据归纳假设，1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2 成立。
•将左侧等式加上 (k+1)，得到结果：1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)。
•整理右侧等式：k(k+1)/2 + (k+1) = (k^2 + k + 2k + 2)/2 = (k^2 + 3k + 2)/2。
•将右侧等式写成更简洁的形式：(k+1)(k+2)/2。
•因此，当 n = k+1 时，1 + 2 + 3 + … + (k+1) =(k+1)(k+2)/2。
–综合证明：根据基础步骤和归纳步骤，命题对于所有正整数 n 成立。
数学归纳法原理
2023/4/8
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例如： 有两堆棋子，数目相等。两人玩耍， 每人每次可以从其中一堆中取任意多 颗棋子，但不能同时从两堆中提取， 规定取得最后一颗棋子者为胜。求证 ：后取者可以必胜。
2023/4/8
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【数学归纳法原理变形3】
设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 1) 当n = 1，2，…, k0时命题Pn是成立的； 2) 假设当n = k时命题Pk是成立的，可以证
皮亚诺自然数公理： 自然数集N是指满足以下条件的集合 ： (1) N中有一个元素，记作1； (2) N中每一个元素n都能在N中找到一 个元素作为它的后继者n+，1不是任何元 素的后继者； (3) 不同元素有不同的后继者；
（4）归纳公理：N的任一子集M，如 果1∈M，并且只要n在M中就能推出n 的后继者n+也在M中，那么M = N.
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例如: 假设数列{an}满足： a2n = 3n2, a2n-1=3n(n-1)+1, n=1,2,3, … 。 Sm=a1+a2+…+am. 求证：
2023/4/8
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【数学归纳法原理变形5——逆向归纳法 】
设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 1) 存在一个递增的无限自然数序列{nk},使
可以证明当n=k+1时命题Pk+1也是成立的。 那么命题Pn对所有自然数n ≥ k0都是成立的。 例如：n 边形内角和问题。
2023/4/8
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【数学归纳法原理变形2】 设Pn是与自然数相关的一种命题，如果 1)当n =1时命题P1是成立的； 2)假设当1 ≤ n ≤ k时命题Pn是成立的，
可 以 证 明 当 n=k+1 时 命 题 Pk+1 也 是 成 立的。 那么命题Pn对所有自然数n都是成立的
数学3课件：第二章 2.3 数学归纳法
探究一 用数学归纳法证明等式 [典例 1] 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5 ＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝2×12－2×1＋1＝1， 等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1. 则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3) ＋…＋5＋3＋1 ＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1) ＝2k2＋2k＋1
k2＋k＋k＋1－1 k＋1＝
k2＋k－k k＋1
＝ k＋1 kk2＋k＋k>0，
所以 k＋ k1＋1> k＋1，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
1 k＋1>
k＋1.
解法二：由于
k＋
k1＋1＝
k2＋k＋1 k＋1 >
kk2＋＋11＝ kk＋＋11＝ k＋1，
所以
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－2kk＋1， ∴k(2k＋3)ak＋1＝2kk＋1， ∴ak＋1＝2k＋112k＋3 ＝[2k＋1－1]1[2k＋1＋1]. ∴当 n＝k＋1 时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何 n∈N*都成立． ∴{an}的通项公式为 an＝2n－112n＋1.
[随堂训练] 1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(n∈N*，a≠1)，在验证 n＝1
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数学归纳法的原理
数学归纳法是一种证明方法，它基于以下原理：
1. 基本步骤（基础情况）：首先证明命题在初始情况下成立。
通常需要证明命题在某个特定的基础情况（例如n=1）下成立。
2. 归纳假设：假设命题在某个特定的情况下成立（称为归纳假设），通常为n=k。
3. 归纳步骤：通过归纳假设，证明当n=k+1时，命题仍然成立。
也就是说，通过前面的归纳假设，证明命题在下一个情况（n=k+1）下仍然成立。
基本上，数学归纳法的原理是通过初始情况的验证以及递归的推理，证明了命题在所有的情况下都成立。
这种证明方法常用于证明整数上的命题，特别是与自然数（正整数）有关的命题。