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绝对值不等式

－2
1 2
3Hale Waihona Puke 巩固练习：解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2 ( 3) | 5 x 4 | 6
(5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 (2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习：解下列不等式：（1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x | x 5或x 5}
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察
（3）|2x|>5
（4）|x-1|<5
{ x | 4 x 6}
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1

高考数学总复习第三节绝对值不等式

解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即x－a2＋12－x≥3－2 a. 又x－a2＋12－xmin＝12－a2，所以12－a2≥3－2 a，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
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[即时应用] 已知 x，y∈R ，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1. 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y) －2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y| ≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.
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2．解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6. 解：法一：当 x＞12时，原不等式转化为 4x≤6⇒12＜x≤32；当－12≤x≤12时，原不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x＜－12时，原不等式转化为－4x≤6⇒－32≤x＜－12. 综上知，原不等式的解集为x|－32≤x≤32.
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法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过 3 的点的集合，数形结合知，当 x＝32或 x＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为 3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的解集为x|－32≤x≤32.
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[小题纠偏]
1．设 a，b 为满足 ab＜0 的实数，那么
A．|a＋b|＞|a－b|
B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b||
D．|a－b|＜|a|＋|b|

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高中绝对值不等式 -( 精髓版 )-合适高三复惯用 -- 可直接打印绝对值不等式绝对值不等式 | a b | | a |基本的绝对值不等式：| b |，||a|-|b||| a b | | a || b |≤|a ±b| ≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| ≤5 得-5 ≤ y≤5即函数的最小值是 -5 ，最大值是 5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也能够从几何意义上理解， |x-3|+|x+2| 表示 x 到3，-2 这两点的距离之和，明显当 -2 ≤x≤3时，距离之和最小，最小值是 5；而|x-3|-|x+2|表示 x 到 3，-2 这两点的距离之差，当 x ≤ -2 时，取最小值 -5 ，当 x ≥3 时，取最大值 5［变题 1］解以下不等式： (1)|x +1|>2 － x ；(2)| x 2－2 x －6|<3x［思路］利用｜ f(x) ｜ <g(x)-g(x)<f(x)<g(x)和｜ f(x) ｜ >g(x)f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) 去掉绝对值后转变为我们熟习的一元一次、一元二次不等式组来办理。

解：(1) 原不等式等价于 x +1>2－ x 或 x+1<－(2－ x)1解得 x > 2 或无解，所以原不等式的解集是1{ x | x> 2 }(2) 原不等式等价于－ 3 x < x 2－2 x －6<3 x即x 2 2x 6 3xx 2 x 6 0 (x 3)(x 2) 0x 3或 x 2 x22x 6 3x x25x 6 0(x 1)(x 6) 01 x 62< x <6所以原不等式的解集是{ x |2< x<6}1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）3xx24≤1解：（1）剖析一可按解不等式的方法来解 .原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4①或 x-x 2-2<-(x 2-3x-4)②解①得： 1- 2 <x<1+2解②得： x>-3故原不等式解集为｛ x｜x>-3 ｝剖析二∵｜ x-x 2-2 ｜＝｜ x2-x+2 ｜2127而 x-x+2＝(x- 4 )+4 >0所以｜ x-x2-2 ｜中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x2-x+2>x 2-3x-4解得： x>-3∴原不等式解集为｛ x>-3 ｝（2）剖析不等式可转变为 -1 ≤x23x4≤1 求3x4≤1解，但过程较繁，因为不等式x2两边均为正，所以可平方后求解.23x原不等式等价于x24≤12229x ≤(x -4) (x≠± 2)x2≤1 或 x2≥16-1 ≤x≤1 或 x≥4 或 x≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜ f(x) ｜中的f(x) 的值的范围可确立 ( 包含恒正或恒非负，恒负或恒非正 ) ，便可直接去掉绝对值符号，进而简化解题过程 .第 2 变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式（ 1） | x －1|<| x +a | ；（2）｜ x-2 ｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题因为两边均为非负数，所以能够利用｜ f(x) ｜〈｜ g(x) ｜ f 2(x) 〈g2(x) 两边平方去掉绝对值符号。

绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)

绝对值不等式（一）绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

高中重要不等式公式

高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。

绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。

下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。

1. |x| > a ，其中a为正实数。

解集为：x < -a 或 x > a。

这个不等式表示x与原点的距离大于a。

2. |x| < a ，其中a为正实数。

解集为：-a < x < a。

这个不等式表示x与原点的距离小于a。

3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。

解集为：-a ≤ x ≤ a。

这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。

4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。

解集为：x < a - b 或 x > a + b。

这个不等式表示x与点a的距离大于b。

5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b < x < a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于b。

6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。

（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。

熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。

二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。

下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。

1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。

这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。

2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。

高考知识点绝对值不等式

第1节绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A.(－∞，4)B.(－∞，1)C.(1，4)D.(1，5)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 A3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________.解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案(－∞，－3]∪[3，＋∞)4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a . 证明因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2a 3＋a3＝a . 故原不等式得证.考点一绝对值不等式的解法【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的解析式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13，或1<x <3，或x >5. 【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4， f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0，解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0，则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎨⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1.故a 的取值范围是[－1，1].规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解. 【训练1】已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集；(2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式f (x )＋x 2－4>0，即|x －2|>4－x 2. 当x >2时，不等式可化为x 2＋x －6>0，解得x >2；当x <2时，不等式可化为x 2－x －2>0，解得x <－1. 所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)依题意，|x －2|<3m －|x ＋7|解集非空， ∴3m >|x －2|＋|x ＋7|在x ∈R 上有解，又|x －2|＋|x ＋7|≥|(x －2)－(x ＋7)|＝9，所以3m >9，解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞). 考点二绝对值不等式性质的应用【例2－1】设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由.(1)证明设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x >1.由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12. 因此集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则|a |<12，|b |<12.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14.(2)解由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.【例2－2】对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值；(2)(一题多解)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b ||a |≥2成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，所以M ≤2.因此m ＝2.(2)不等式|x －1|＋|x －2|≤m ，即|x －1|＋|x －2|≤2.法一由于|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和；而数轴上12和52对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x －1|＋|x －2|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. 法二 ①当x <1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2，解得x ≥12，即12≤x <1.②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2，即1≤x ≤2.③当x >2时，不等式为(x －1)＋(x －2)≤2，解得x ≤52，即2<x ≤52.综上可知，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52.规律方法 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.【训练2】对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围.解因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，则|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三绝对值不等式的综合应用【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解(1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.①当x ≤－1时，f (x )＝－3≥1无解； ②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解，又|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54.当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 规律方法 1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x 取值范围，最后取并集. 2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决. (2)本题分离参数m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).基础巩固题组 (建议用时：50分钟)1.(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集； (2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，求a 的值.解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.2.已知函数f (x )＝|ax －2|.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1；(2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，求m 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3.当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <13.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2| ≥|ax －2－ax －2|＝4，所以f (x )＋f (－x )的最小值为4，又f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以1m >4.则m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞).4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点. (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围；(2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1，则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3. 故x 的取值范围为(3，＋∞).(2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立，因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4，所以t ≥4，t min ＝4. 故t 的最小值为4.5.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增；∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2，由于m >0，n >0，则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号. ∴1m ＋1n 的最小值为2 2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，所以－7＜|x －1|＜3，解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.7.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－x .(1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若存在实数x ，使不等式m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )成立，求实数m 的最小值. 解 (1)原不等式f (x )>g (x )化为|x －2|＋x >|x ＋1|，当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1.当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1.当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )>g (x )的解集为{x |－3<x <1或x >3}.(2)由m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )可得m ≥|x －2|＋|x ＋1|，由题意知m ≥(|x －2|＋|x ＋1|)min ，∵|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－(x ＋1)|＝3，∴m ≥3，故实数m 的最小值是3.8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞).(1)求实数m 的值；(2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2，即2mx >m 2，又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)，则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去).(2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x <a ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a －5<|x ＋1|－|x －2|<a ＋2对x ∈(0，＋∞)恒成立.设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧2x －1，0<x <2，3，x ≥2，当0<x <2时，f (x )在(0，2)上是增函数，则－1<f (x )<3，当x ≥2时，f (x )＝3.因此函数f (x )的值域为(－1，3].从而原不等式等价于⎩⎨⎧a －5≤－1，a ＋2>3，解得1<a ≤4. 所以实数a 的取值范围是(1，4].。

【高中数学】绝对值不等式

【高中数学】绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解](1)由题意得f (x )－4，x ≤－1，x －2，－1<x ≤32，x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1|x <13或x>5所以|f (x )|>1|x <13或1<x <3或x>5[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2.解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]．2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0≥a ，x －a ≤0<a ，x ＋a ≤0，≥a ，≤a 4<a ，≤－a 2.当a >0|x ≤－a 2由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0|x ≤a 4由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例](2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解](1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，≥12，x －1<x ＋1x <12，－2x <x ＋1≤0，－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|≤|x ＋2019－x ＋2018|＝4037，所以函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值为4037.2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．[解](1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，≥12，x －1－2x －1≤1－12<x <12，－2x －2x －1≤1≤－12，－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为－14(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )x ＋4，x <－1，，－1≤x ≤2，2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵34，2⊆A ，∴当x ∈34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈34，2上恒成立，∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈34，2上恒成立，∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈34，2上恒成立，∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是－114，0.[课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：<－12，－2x －2x －1≤6－12≤x ≤12，－2x ＋2x ＋1≤6>12，x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，|－32≤x ≤322．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|2x ＋6，x ≤2，，2＜x ≤4，x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5|12≤x ≤1123．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )2，x ≤－1，x ，－1<x <1，，x ≥1.故不等式f (x )>1|x >12(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1|0<x <2a 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f(x)≤4的解集为0，12.(2)因为f(x)3＋a)x＋2，x≥13，a－3)x＋4，x<13，所以f(x)＋3≥0，－3≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3<x<－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－3<x<1或x>3}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)2x＋1，x＜－1，，－1≤x＜2，x－1，x≥2，不等式f(x)＞x＋2＜－1，2x＋1＞x＋21≤x＜2，＞x＋2≥2，x－1＞x＋2，解得x＜1或x＞3，故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即|x －a 2|＋|12－x |≥3－a2.又x －a 2|＋|12－x＝|12－a 2|，所以|12－a2|≥3－a2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R .(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3<1，－2x ≤3≤x ≤2，≤3或>2，x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)M ，所以当x f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x |x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为12，2.。

高中的绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印

绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

高中绝对值不等式

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（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：|x －1|2<|x +a |2即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－a )；当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>5⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.［请你试试4—2］1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)解析：易知－1<x <1，换成常用对数得：lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a-+> ∴22|lg(1)||lg(1)|x x ->+于是22lg (1)lg (1)0x x --+>∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴21lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1<x <1∴0<1－2x <1∴lg (1－2x )<0 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x-<<+ 解得0<x <12．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为。

解： |x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当21≥x 时124+<-x x ∴x>2当-3<x<21时4x+2<2x +1 ∴723-<<-x 当3-≤x 时124+<-x x ∴3-≤x综上72-<x 或x>2 故填),2()72,(+∞⋃--∞。

3．求不等式1331log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组0103x x>⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥ (1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤ 综合前提得：304x <≤。

(2)当1<x ≤2时，即()333log log 3log 3x x +-≥. ∴ 2330x x -+≤ x ∴∈∅。

(1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥(2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934x ≤<。

综合得原不等式的解集为390,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭第3变解含参绝对值不等式［变题3］解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。

［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R［请你试试4—3］1．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。

本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为a bx a 173+≤≤∴ ⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a a a x a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。

2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。

按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。

解：原不等式可化为－4≤kx ≤6当k >0时，进一步化为46x k k-≤≤，依题意有4433632k k k k⎧-=-⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩，此时无解。

当k =0时，显然不满足题意。

当k <0时，64x k k ≤≤-，依题意有42263k k k⎧-=⎪⎪⇒=-⎨⎪=-⎪⎩ 综上，k =－2。

第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题［变题4］若不等式|x －4|+|3－x |<a 的解集为空集，求a 的取值范围。

［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。

若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。

［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。

(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a的取值范围。

令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3<a，即2x－7<a解不等式组474272x axx a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a>1②当3<x<4时，原不等式化为4－x+x－3<a得a>1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x<a即7－2x<a解不等式37733 7222x a axx a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a>1综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0<a≤1时，原不等式解集为空集。

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绝对值不等式

高考数学总复习第三节 绝对值不等式

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【高中数学】绝对值不等式

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