江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期期初调研考试数学试题附答案

2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷出题人： 审题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}3,2,1,1,2,3U =---，集合{}{}1,1,1,2,3A B =-=，则()UA B ⋂=（ ）A.{}1B.{}1,2C.{}2,3D.{}1,2,32.已知复数i1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A.11i 22-+ B.11i 22--C.11i 22+D.11i 22- 3.已知向量,a b 满足||2,||1,a b a b ==⊥，若()()a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A.2B.C.4D.924.《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年.《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”.在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大.如书中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.此术相当于给出了圆锥的体积V 的计算公式为2136L h ，其中L 和么分别为圆锥的底面周长和高.这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（ ） A.3.00 B.3.14 C.3.16 D.3.20 5.52(1)1x x ⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ） A.33 B.34 C.35 D.366.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π的值为（ ）B.2C.12D.7.若1sin1tan1,2,ln42a b c =+==+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.c b a << B.c a b << C.a b c << D.b c a <<8.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）A.288B.336C.576D.1680二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ⊥ B.若,m n αα⊥∥，则m n ⊥ C.若,m αβα⊂∥，则m β∥D.若,m n αβ∥∥，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 10.在ABC 中，已知()tan sin 2CA B =+，则以下四个拈论正确的是（ ） A.cos cos A B 最大值12B.sin sin A B +最小值1C.tan tan A B +的取值范围是[)2,∞+ D.222sin sin sin A B C ++为定值11.在数列{}n a 中，对于任意的*n N ∈都有0n a >，且211n n n a a a ++-=，则下列结论正确的是（ ）A.对于任意的2n ≥，都有1n a >B.对于任意的10a >，数列{}n a 不可能为常数列C.若102a <<，则数列{}n a 为递增数列D.若12a >，则当2n ≥时，12n a a <<12.已知0e sin e sin y x x y x y π<<<，＝，则（ ）A.sin sin x y <B.cos cos x y >-C.sin cos x y >D.cos sin x y >三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，那么当a =__________.时，满足条件"2b =，30A =”的ABC 有两个.（仅㝍出一个a 的具体数值即可）14.老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是__________.15.在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为__________.16.已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x ->'，则不等式()223x f x e +≥的解集为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，cos sin )sin cos B b C b B C -= （1）求B ；（2）若2c a =，ABC ABC 的周长. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，426S =.正项等比数列{}n b 中，12b =，2312b b +=.（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和nT.19.某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为()*10n n ∈N ，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得2 4.040K ≈.（1）完成表格求出n 值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；（2）①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；①将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X ，求X 的数学期望. 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 20.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =AF t =，M 是线段EF 的中点.（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.21.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，上顶点为H ，O 为坐标原点，230OHF ∠=︒，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上. （1）求椭圆E 的方程；（2）设经过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点()2,0P -，()2,0Q .若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记MPQ ，NPQ △的面积分别为MPQ S，NPQ S △，求MPQ NPQS S △△的值.22.已知函数()e x ax f x =和ln ()xg x ax=有相同的最大值. （1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试数学学科试卷参考答案1.C2.D【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的共复数的定义求解. 【详解】解：因为()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-， 所以11i 22z =-， 故选：D 3.C【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，依题意()()()22||||140a b a b a b a b λλλλ+⋅-=---⋅=-=，则4λ=，故选：C. 4.A【分析】由圆的周长公式可得半径，再由圆锥体积公式结合已知可得. 【详解】因为2L r π=，所以2L r π=， 则2221321236L L h L h V h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 3.π∴=故选：A. 5.D【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可【详解】因为5(1)x +的通项公式为1551r s r r r s r r T C x C x --+==，所以52(1)1x x ⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数为3455225C C +=，常数项为5455211C C +=， 所以一次项的系数与常数项之和为251136+=， 故选：D6.C【分析】利用给定图象求出ϕ，进而求出ω即得函数()f x 解析式，再代入求解作答. 【详解】由()0sin 2f πϕϕ==<<，得3πϕ=，由4,153k k Z ππωπ⋅+=∈，又0ω>，得155,44k k N ω=-∈， 观察图象知，124415124215ππωππω⎧⋅<⎪⎪⎨⎪⋅>⎪⎩，解得151584ω<<，则51,2k ω==， 因此，()5sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()51sin sin 23232f πππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 7.A解析：令()12ln f x x x x =+-，则()222222121(1)10x x x f x x x x x--+---=+-==≤'，则()f x 在定义域()0,∞+上单调递减，所以()()210f f <=，即2in 12202+-<，所以1ln422+<，即 b c >，令()sin tan 2,0,2g x x x x x π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()32221cos 2cos 1cos 2cos cos x x g x x x x-+='+-=， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，令()()3221,0,1h x x x x =-+∈，则()()234340h x x x x x ='=--<，即()h x 在()0,1上单调递减，所以()()10h x h >=，所以()0g x '>，即()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()100g g >=，即sin1tan120+->，即sin1tan12+>，即a b >，综上可得a b c >>；故选：A.8.B 9.BCD【分析】根据线面､面面关系的性质定理与判定定理判断即可；【详解】解：对于A.若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ⊥或α与β平行或，α与β相交不垂直，故A 错误； 对于B ：,n α∴∥设过n 的平面β与α交于a ，则n a ∥，又,,m m a m n α⊥∴⊥∴⊥，B ∴正确；对于:,C αβα∴∥内的所有直线都与β平行，且,,m m C αβ⊂∴∴∥正确；对于D ：根据线面角的定义，可得若,m n αβ∥∥，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故D 正确. 故选：BCD. 10.ACD 11.ACD 12.ABC【分析】将e sin e sin yxx y ＝变为e sin e sin y x yx=结合指数函数的性质，判断A ；构造函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，求导，利用其单调性结合图象判断x ，y 的范围，利用余弦函数单调性，判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ，结合余弦函数的单调性，判断D. 【详解】由题意，0e sin e sin yxx y x y π<<<，＝，得0y x ->，e sin e sin y xy x=，e 1y x->，①sin 1sin y x >，①sin sin y x >，A 对； e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =， 令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='-=， ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 因为()()f x f y =，①04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<-<>，，①sin()sin y x π->，结合图象则y x π->， ①cos()cos y x π-<，①cos cos x y >-，B 对；结合以上分析以及图象可得2x y π+>，①2x y π>-， 且,4224y y πππππ<<-<-<，①sin sin cos 2x y y π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，C 对； 由C 的分析可知，224y x πππ-<-<<，在区间[,]24ππ-上，函数cos y x =不是单调函数，即cos()cos 2y x π-<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答. 13.1.5（答案不唯一）12a <<.解：由正弦定理得sin sin a b A B =，所以1sin B a=，由ABC 有两个得B 有两个，可能为锐角，也可能为钝角，所以,sin 1B A B ><，所以1,1b a a><，即12a <<.故答案为：1.5（答案不唯一）14.45##0.8【分析】考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可.【详解】212436415C C P C =-=. 故答案为：45.15.【分析】先求出最长弦和最短弦，再计算面积即可. 【详解】圆的标准方程为22(1)(3)10x y -+-=，则圆心()1,3半径r =，由题意知最长弦为过E 点的直径，最短弦为过E 点和这条直径垂直的弦，即AC BD ⊥，且AC =E点之间的距离为=故BD ==ABCD 的面积为11||22S AC BD ==⨯== 故答案为：.16.[)0,∞+##{}0xx ≥∣ 【分析】构造新函数()()22xf xg x e+=，利用已知条件()()22f x f x ->'，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集【详解】设函数()()22x f x g x e +=，则()()()()()22222122222x xx x f x e e f x f x f x g x e e ⎡⎤⋅-⋅⋅+⎣⎦--==⎛⎫ ⎪⎝⎭''' ()()()220f x f x g x ''->∴>又所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+= 故不等式()223x f x e +≥可化为()()0g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+ 17.（1）3π（2）2【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对已知式子化简变形，可求出角B ； （2）由三角形的面积和2c a =，3B π=，可求出,a c 的值，再利用余弦定理求出b ，从而可求出三角形的周长（1）①)cos sin sin cos Bb C b B C -=，cos cos sin sin cos B b B C b B C -=cos sin cos cos sin B b B C b B C =+，()cos sin sin B b B C b A =+=cos sin sin A B B A =，①sin 0A ≠，sin B B =，①tan B = ①()0,B π∈①3B π=（2）①ABC ，①1sin 2ac B ==，得83ac =，①2c a =，①2823a =，①0a >，①a =①2c a ==，由余弦定理可得22241612cos 24332b ac ac B =+-=+-=，①0b >，①2b =，①三角形的周长为2233a b c ++=++= 18.（1）31n a n =-，2nn b =（2）()13428n n T n +=-+【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可； （2）由错位相减法求解即可 （1）设等差数列的公差为d ，由已知得，4342262d ⨯⨯+=，解得3d =， 所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-，即{}n a 的通项公式为31n a n =-；设正项等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，因为12b =，2312b b +=，所以()2212q q +=，所以260q q +-=，解得2q 或3q =-（负值舍去），所以2nn b =.（2）()312nn n a b n =-，所以()()1231225282342312n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()23412225282342312nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，相减得，()123412232323232312nn n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅--()()211132122231212n n n -+⨯⨯-=⨯+---，所以()13428n n T n +=-+.19.（1）列联表答案见解析，20n =，有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关； （2）①2021；①112. 【分析】（1）利用给定数据完善2×2列联表，计算2K 的观测值即可求出n ，再与临界值表比对作答. （2）①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；①利用二项分布的期望公式计算作答. （1）2×2列联表如下表所示：2220(6545)20 4.040101011999n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，而*n ∈N ，于是得20n =，又2 4.040 3.841K ≈>，所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.（2）①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C 42011C 8421P =-=-=； ①由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率1120p =，依题意，11~(10,)20X B ，所以X 的数学期望是1111()10202E X =⨯=. 20.（1）证明见解析 （2【分析】（1）设ACBD O =，连接OM ，通过证明//AM OE 即可得出；（2）设CP CA λ=，求出,PF BE ，利用0PF BE ⋅=求出()2210t λ--+=，即可得出t 的最大值.（1）设ACBD O =，连接OM ，因为ABCD 是正方形，所以O 是AC 中点，又因为ACEF 是矩形，M 是线段EF 的中点，所以AO EM ∥，AO EM =，所以四边形AOEM 为平行四边形，所以AM OE ∥，又AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AM ∥平面BDE ；（2）正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，则可得,,CD CB CE 两两垂直，则可以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，)()(),0,0,0,0,0,AC E t，则()2,CA =，因为点P 在线段AC 上，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈，则()2,0CP=，从而P点坐标为),0，于是()2,PF t =，而()0,BE t =，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=，所以()2212t λ=-≤，解得t ≤t .21.（1）22143x y +=（2）13【分析】（1）由230OHF ∠=︒，得b =，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程中，结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去x ，整理后利用根与系数的关系，可得()121232my y y y =+，表示出直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-，而121212MPQ NPQPQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△，代入化简即可 （1）由230OHF ∠=︒，得b =（c 为半焦距），①点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b+=.又222a b c =+，解得2a =，b =1c =.①椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知()21,0F .设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=.显然()214410m ∆=+>.则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+. ①()121232my y y y =+.由()2,0P -，()2,0Q ，得直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-. 又1OM k OP =，2ONk OQ=，2OP OQ ==，①12OM k ON k =.①121212MPQ NPQ PQ OM S OM kS ON k PQ ON ⋅===⋅△△. ①()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y ---===+++()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++. ①13MPQ NPQS S =△△. 22.（1）1a =（2）由（1）知()()()ln ,ln e x x x f x g x f x x===，由于0x >时，()0f x >，1x >时，()0>g x ，因此只有10e b <<才可能满足题意，记()e x x h x b =-，且10eb <<，由（1）得()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且()()110,00eh b h b =->=-<，所以存在()10,1x ∈，使得()10h x =，设2()e x x x ϕ=-，则()e 2x x x ϕ'=-，设()()m x x ϕ'=，则()e 2xm x =-'，0ln 2x <<时，()0m x '<，()m x 递减，ln 2x >时，()0m x '>，()m x 递增， 所以min ()(ln 2)22ln 20m x m ==->，所以()(ln 2)0x ϕϕ''≥>，()ϕx 是增函数，0x >时，()(0)10x ϕϕ>=>，1211()e 0bb bϕ=->，11eb b b < 又1110ebb h b b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在011,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即此时y b =与()y f x =有两个交点，其中一个交点在()0,1内，另一个交点在()1,+∞内， 同理y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点， 其中一个交点在()0,e 内，另一个交点在()e,+∞内，若y b =与()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线()y f x =和()y g x =的公共点，记其横坐标为2x ，令()()()222ln f x g x f x ==，则()()221,e ,ln 0,1x x ∈∈，记y b =与()(),y f x y g x ==的三个交点的横坐标从左到右依次为324,,x x x ，且满足()()()()32432241e ,x x x f x f x g x g x <<<<===，且2222ln e x x x x =，即2222e ln x x x =，又()()()()3224ln ,ln f x f x f x f x ==，且()()3224,ln 0,1,,ln 1,e x x x x ∈∈，且()f x 在()0,1和()1,e 上分别单调，所以3224ln ,ln x x x x ==，即24e x x =，所以22342,x x x x =为34,x x 的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标324,,x x x 成等比数列.。