初中数学全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络
二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
(3)有公共边的，公共边一定是对应边；
(4)有公共角的，角一定是对应角；
(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找
全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
（三）经典例题
例1. 已知：如图所示，AB=AC，，求证：.
例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。
例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。
例4. 如图所示，，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且
求证：BD=CE。
例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180?。
求证：AE=AD+BE
分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE 上截AF=AD，连结FC，可证出?ADC≌?AFC，问题就可以得到解决。
证明（一）：
在AE上截取AF=AD，连结FC。
在?AFC和?ADC中
∴?AFC≌?ADC（边角边）
∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）
∵∠B+∠D=180?（已知）
∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）
在?CEB和?CEF中
∴?CEB≌?CEF（角角边）
∴BE=EF
∵AE=AF+EF
∴AE=AD+BE（等量代换）
证明（二）：
在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。
小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
（四） 全等三角形复习练习题
一、选择题
1．如图，给出下列四组条件：
①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，；
③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．
其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）
3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出
APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．
推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．58° 1题图 2题图
4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF
5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )
A ．10cm
B ．8cm
C ．6cm
D ．9cm
6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处
4题图 5题图 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（ ）A ．带①去 B ．带②去
C ．带③去
D ．带①②③去
8．如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）
A ． 30
B ． 40
C ． 50
D ． 60
9．如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
10．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）
A ．A
B 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB
1题图C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB
8题图 10题图 11．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C D C 、D 为圆心，以大于A
D
C E
B 8题
C A D
P
B 图（四） E D
C B A ④ ①② ③ 6题图 7题图 A B C
D C B
12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ）A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS
12.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定
13．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP
14.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 11题图 12题图 二、填空题 1.如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）_______________． 2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________
3.如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．
4.如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。
1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形
有 个 ．
6.已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.
7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
8.如图所示，AB = AD ，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是
________.
6题图 7 题图 8 题图 三、解答题 1.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE. 2.如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，
分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．
（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =． A C E B
D O A B C D
E D O B A A B C D A B C D 14题图 O 13题图 B A P O D P C A B A B C D E Q P O
B E D
C A A
3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .
4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
5.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．
（1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论． 6.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠． 求证：（1）ABC ADC △≌△；（2）BO DO =． 7．如图，在ABC △和ABD △中，现给出如下三个论断：①AD BC =；②C D ∠=∠； ③12∠=∠．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． （1）写出所有的真命题（写成“???? ”形式，用序号表示）： ．
（2）请选择一个真命题加以证明．
你选择的真命题是：???? ． 证明：
8.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．
9．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于
E ，直线CE 交BA 的延长线于
F ．
求证：BD =2CE ．
10.如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．
11．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，
（1）求证：△AED ≌△EBC ．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角 形．（直接写出结果，不要求证明）： 12．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，
AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF
B C A D M N 2 1 ＡＣ Ｄ Ｂ
D
C B
A O 1 2 3 4 O E D A
E D
C B A B
D C
F
A 郜E
F E D C
B A
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
13已知：如图A 、D 、C 、B 在同一直线上，AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 求证：（1）DF ∥CE （2）DE=CF A
D F
E
14.如图，已知在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD = AC ，在CF 的延长
线上截取CG = AB ，连结AD 、AG ，则AG 与AD 有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BE⊥AC 于E ，CF⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若AB=AC ．求证：AD 平分∠BAC．
16.如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB．
17.如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB =∠DBC = 90o，E 是BC 的中点，EF⊥AB，垂足为F ，且AB = DE ． １8.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，EF 与AD 交于G ，AD 与EG 垂直吗？证明你的结论。
19．如图，在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O ．试
说明AE+CD=AC ．．如图，在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD ，CE
相交于点O ．试说明AE+CD=AC ．
20.如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=
∠FAE.
求证：AF=AD+CF 。
１４．已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,AE 是过点A 的一条直线，且BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E,(1)当直线AE 处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD,DE,CE 的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE 之间的关系。
A B F C
E
D
B C E
A D
B A D
E C
B
C E