立体几何教学建议

立体几何教学建议

密云二中王德臣

一、课时安排（共约45课时）

第一节平面3课时

第二节空间直线5课时

第二节直线与直线平行的判定与性质3课时

第四节直线与直线垂直的判定与性质4课时

第五节两个平面平行的判定与性质3课时

第六节两个平面垂直的判定与性质3课时

第7节棱柱4课时

第8节棱锥4课时

研究性学习欧拉定理2（3）课时第9节球4课时

小结与复习3课时

空间向量法及其应用7课时

其中空间直角坐标系、向量的加法、减法、向量的平行于垂直的坐标运算、向量的內积、a在b上的投影等约1课时。

直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行约2课时

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角约2课时异面直线间的距离、点到直线的距离、直线与平面的距离约2课时。

二、立体几何重点解决两个方面的问题：

1、线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的平行与

垂直关系的判定与证明。

2、空间角（包括异面直线，直线与平面、平面与平面）所成的角与距

离（点到线、点到面、两条异面直线，直线与平面间、两个平行平

面、球面上两点）间的距离度量。

三、学习立体几何的难点（教学过程中注意培养）

1、在平面内如何表示空间图形（画图、空间想象）

2、数学语言丰富（文字、图形、符号语言间的转换）

3、逻辑关系（正确、恰当地表述定理）

4、证明方法繁多（

转化）

直接法、反证法、分析法、同一法四、知识梳理

平行关系线线平行

平行公理线面平行性质定理线

面垂直性质定理面面平行质定理

线面平行判定定理面面平行质定

理面面平行的判定定理同垂直

一条直线的两个

线面平行

面面平行

平面平行

等价

宀护¥ R

位置关系

线线垂直定义

三垂线定理（异面直线

三垂线定理的逆定理线面垂直的性质定理定义

垂直关系线面垂直

线面垂直的判定定理线面

垂直的判定定理面面垂直

的性质定理

面面垂直

定义

面面垂直的判定定理

垂直）

线线角

角线面角

面面角

度量关系点线距

线线距

距离点面距

线面距

面面距

五、教学建议：

1、定义（或概念）、定理、公理、法则等，要求学生要准确叙述出来，分清它们的条件与结论，能熟练地用符号语言表述，并能画出正确的图形。对课本上一些重要题目也要求学生能用文字语言表述清楚，用数学符号语言表示正确，画出立体感比较明显的几何图。

例：直线与平面平行的性质定理（图形、文字叙述、数学符号表示）

2、精讲多练，一题多解。

例：已知矩形ABCD所在的平面外一点P, PA平面ABCD,

E、F分别是AB、PC的中点，求证：EF//平面PAD 解法一：取PD的中点G,连接FG, AG则四边形

AEFG是平行四边形，所以EF//AG,从而结论得证

解法二：通过构造含EF的平面与平面PAD平行。/八

冉利用面面平行的性质定理证得。

解法三：利用空间向量的方法，找平面PAD.百亠T --... D

的法向量（AB）,再证AB EF/ \

E仝\ /

解法四：利用空间向量的方法，证EF AP AD厶" \><

B

再说明点E （或直线EF）在平面PAD外即可证得。

3、在解题的过程中，注意思考总结。对各种角、距离的定义与解题

过程要认真总结归纳。

（1）求异面直线所成的角主要方法：

①依据其定义，可归纳为“选点作平行线解三角形”。

一般用“三点定面法”即在异面的两线段的4个端点中，适当选其中三点确定平面，然后在其确定的平面上先考虑能否平移其中一条线段与另一条相交，如果不行，则可以考虑另两种做法：（I）找线段中

点或图形上的特殊点，来作两异面直线的中位线或其它平行线；（H）

通过补形来达到平移其中一条直线与另一条直线相交。当然选点原则

是所得到的三角形好解，如直角三角形等。

②采用向量代数法，已知基向量的模长和夹角。

③采用向量坐标法，建立空间直角坐标系，分别求出两异面直线上的

方向向量的坐标；然后用数量积公式求出其夹角的余弦值。

例；如图，M N 分别是棱长为1的正方体ABCD A'B'C'D'的棱BB'、BC 的中点.⑴求异面直线MN 与CD'所成的角.(600) (2)求直线MN 与平面D 'BC 所成的角。

(2)求二面角常用以下方法：先判断是否可能为直二面 角(要证明)，其次可用以下方法：

① 定义法：在二面角棱上取一点分别向两个半平面作垂直于棱的射

线•由于棱上选点的任意性对下一步计算不利，所以我们常先在一面内 选一特殊点作棱的垂线交棱于一点。再过这一点在另一面作垂直于棱 的射线，从而得到二面角的平面角。再解三角形。

② 三垂线定理法：过一平面内一点分别作棱的垂线和另一面的垂线， 连接两个垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是 已知了二面角的棱，可归纳为“选点一一作平面角一一证明一一解三 角形”。求解时，先要分析是否为直角三角形。

③ 向量代数法：建立适当的空间直角坐标系，分别取这两个平面的法 向量n i , “2 ,根据条件分别取n i , “2 —组具体坐标，再用公式

cos 9 n ； n 2求出B ，这里有一个难点是判断向量的方向，从而确 I n i || “2丨

定二面角的大小为9还是n 9。

例1、如图，已知正三棱柱 ABC-A i B i C i 的侧棱长和底 面边长均为1,M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC i 上的点，且CN = 2C i N.

(I)求二面角B i - AM — N 的平面角的余弦值； (H)求点B i 到平面AMN 的距离。

解法

AM

B i MN 为二面角，B i —AM — N

的平面角。

5

,MN = MC 2 CN 2

2

1： ( I)因为M 是底面BC 边上的中点，所以

BC ,又 AM C C i ,所以 AM 面BC C i B i ，从而 B 1M, AM NM ，所

以 AM i : 又 B i M= .'B i B 2 BM 2

i 4 5 4 9 6 ,