数学物理方法复习总结

数 学 物 理 方 法

教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]

内 容：第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程

第一章 复变函数 一、复数

1、复数的定义

iy x z +=——代数式

)sin (cos ϕϕρi z +=——三角式

ϕρi e z =——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！

实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：2

2y x z +==ρ

主辐角：

)

(arg x y

arctg z = ,2a r g 0π<≤z

辐角：

π

k z Argz 2arg +=

),2,1,0( ±±=k

共轭复数:iy x z +=

*

z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方

(1)、加法和减法

(2)、乘法和除法

)

)((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-=

)

()(212121y y i x x z z ±+±=±1

11iy

x z +=2

22iy x z +=

2

1z z *2

2*21z

z z z ⋅⋅=

2

2

222211))((y x iy x iy x +-+=2

2

22211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=

(2)、乘法和除法

12

1111122222(cos sin )(cos sin )i i z i e

z i e

ϕϕρϕϕρρϕϕρ=+==+=

▶两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;

▶两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。

(3) 复数的乘方和开方（重点掌握） )]sin()[cos(21212

1

21ϕϕϕϕρρ-+-=i z z )

(2

121ϕϕρρ-=i e 12121212[cos()sin()]

z z i ρρϕϕϕϕ=+++)

(2121ϕϕρρ+=i e n i n e z )(ϕρ

=ϕρ

in n e =)

sin (cos ϕϕρn i n n +=或 （n 为正整数的情况)

棣莫弗公式：

ϕϕϕϕn i n i n

sin cos )sin (cos +=+

复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。

二、六种初等复变函数： 1. 幂函数 n z w =

2 .指数函数 周期为2πi ，

3. 三角函数

周期为2π

4、双曲函数

2

z

z e e shz --=

2z

z e e c h z -+=

、

5、根式函数

12π2πcos sin n n

k k z i n n ϕϕρ

++⎛

⎫=+ ⎪

⎝⎭

)

1,,2,1,0(-=n k n

k i

n

e

π

ϕρ2+=

z

e w = cos ,2

iz iz

e e z -+=sin ,

2iz iz

e e z i

--=周期为2πi

ϕρi e

z =n k i

n e

w πϕρ2+=)

(,,,1210-=n k

6、对数函数

222z z x y ρ*==+13=

三、解析函数

),(),()(y x iv y x u z f +=

1、 柯西-黎曼方程

z

w ln =ln z iArgz

=+π

k z Argz 2arg +=

,,10±=k 例2：复数e z

的模为

x

e

，辐角为

2,0,1,

2,

y k k π+=±±

z

x iy

e e

+=x iy

e e

=

例3：已知 13

22z i

=

+，表示成指数形式为：

2,0,1,

2,y k k π+=±±

例4：已知 i z i = 或 i z i = ，可以化简为：

2

(2)k e ππ-+ 或

2

2k e

π

π

+

例1：已知 ，则 13 23z

i =+zz *

=

直角坐标系：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x v y u y v x u 极坐标系：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ρϕ

ρϕρρv u v u 11

2、解析函数性质：

（1）若

),(),()(y x iv y x u z f += 是解析函数，则0=∇⋅∇v u

（2）若函数

iv u z f +=)( 在区域 B 上解析，

则 u 和v 必为B 上的相互共轭调和函数。

第五章 傅里叶变换 一、傅里叶级数

1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开

一般周期函数：(5.1.3)、(5.1.5)；——P69-70 傅里叶级数 奇函数：(5.1.8)、(5.1.9)； ——P71傅里叶正弦级数 偶函数：(5.1.10)、(5.1.11)；——P71 傅里叶余弦级数 2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开

对函数f(x)的边界（区间的端点x=0, x=l ）上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。

(1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0

——应延拓成以2l 为周期的奇函数(奇延拓)

1()sin k k k f x b x l π∞

==∑ 02()s i n l k k x b f x dx l l π=⎰

(2)、边界条件为

(0)0,()0f f l ''==

——应延拓成以2l 为周期的偶函数(偶延拓)

01()cos k k k f x a a x l π∞

==+∑ 02()cos l k k k x a f x dx l l πδ=⎰

001()l a f x dx l =⎰

02()c o s (

0)

l k k x

a f x dx

k l l π=≠⎰