高中数学：3.1.1 实数指数幂及其运算

3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算

[学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义

.

[知识链接]

1.4的平方根为±2，8的立方根为

2. 2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，25

23

＝4. [预习导引] 1.基本概念

整数指数

n 次方根

分数指数

a n

＝

a 0＝1(a ≠0) a －n

＝1

a

n (a ≠0)

如果存在实数x ，使得x n ＝a (a

∈R ，n ＞1且n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根，n

a 叫做把a 开n

次方，称作开方运算.

1n

a ＝n

a ；

n

m a ＝n

a m ； -m n

a

＝

1n a m

(a >0，n ，m ∈N ＋)

(1)(n

a )n ＝a (n ＞1且n ∈N ＋)； (2)n

a n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

a (n 为奇数且n ＞1，n ∈N ＋)，|a | (n 为偶数且n ＞1，n ∈N ＋).

3.有理指数幂的运算法则

若a >0，b >0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)a αa β＝a α＋

β；

(2)(a α)β＝a α·β

；

(3)(ab )α＝a α·b α. 解决学生疑难点

要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值： (1) 3

(－2)3；(2)

4

(－3)2；(3)

8

(3－π)8；

(4)

x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)

解 (1) 3

(－2)3＝－2.

(2) 4(－3)2＝4

32＝ 3. (3)

8

(3－π)8＝|3－π|＝π－3.

(4)原式＝

(x －1)2－

(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，

当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.

因此，原式＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－2x －2，－3＜x ≤1，

－4，1＜x ＜3.

规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.

2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.

跟踪演练1 化简下列各式： (1)

5

(－2)5；(2) 4

(－10)4；(3)

4(a －b )4.

解 (1) 5

(－2)5＝－2.

(2) 4(－10)4＝|－10|＝10. (3)

4

(a －b )4＝|a －b |＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

a －

b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).

要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： (1)

3

a ·4

a ； (2)

a a a ；

(3)3a 2·a 3； (4)(3

a )2·a

b 3. 解 (1)3

a ·4

a ＝31a ·41a ＝127

a ； (2)原式＝

a ·

2

1a ＝ a ·21a ·41a ＝21a ·4

1a ·18

b ＝8

7a ；

(3)原式＝3

2

a ·

2

3a ＝6

13a ； (4)原式＝(31a )2

·

21a ·2

3b ＝76

a 2

3b . 规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：n

m

a ＝n

a m 和-

m n

a

＝

1

n

m

a ＝1n a m

，其中字母a 要使式子有意义.

跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6

－a (a ＜0)； (2)

3

ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；

(3)23

)(b ＜0)； (4)

13x (5x 2)2

(x ≠0).

解 (1)原式＝3

1a ·

16

()-a ＝－13

()-a ·

16

()-a ＝－12

()-a (a ＜0)； (2)原式＝

3

2

3232

b a ab ⋅

＝15

73

2

2()⋅a b ＝56

a 76

b (a ，b ＞0)； (3)原式＝23

)＝212343

()⨯⨯-b ＝19

()-b (b ＜0)； (4)原式＝

3

1543

11⨯⋅x

x ＝

5

31x

＝35

-

x

.