高中数学：3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1 指数与指数函数
3.1.1 实数指数幂及其运算
[学习目标] 1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂
的意义.
[知识链接]
1.4的平方根为±2，8的立方根为2.
2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.
[预习导引]
1.基本概念
整数指数 n次方根 分数指数
an＝
a0＝1(a≠0)
a－n＝1an(a≠0)
如果存在实数x，使得xn＝a(a
∈R，n＞1且n∈N＋)，则x叫做
a的n次方根，na叫做把a开n
次方，称作开方运算.
1
n
a
＝na；
n
m
a
＝nam；
m
n
a
＝1nam
(a>0，n，m∈N＋)
2.根式的性质
(1)(na)n＝a(n＞1且n∈N＋)；
(2)nan＝ a n为奇数且n＞1，n∈N＋，|a| n为偶数且n＞1，n∈N＋.
3.有理指数幂的运算法则
若a>0，b>0，则有任意有理数α，β有如下运算法则：
(1)aαaβ＝aα＋β；
(2)(aα)β＝aα·β；
(3)(ab)α＝aα·bα.
解决学生疑难点
要点一 根式的运算
例1 求下列各式的值：
(1) 3－23；(2) 4－32；(3) 83－π8；
(4) x2－2x＋1－ x2＋6x＋9，x∈(－3,3)
解 (1) 3－23＝－2.
(2) 4－32＝432＝3.
(3) 83－π8＝|3－π|＝π－3.
(4)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|，
当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.
当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
因此，原式＝ －2x－2，－3＜x≤1，－4，1＜x＜3.
规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后
运用根式的性质进行化简或求值.
2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件
或分类讨论.
跟踪演练1 化简下列各式：
(1) 5－25；(2) 4－104；(3) 4a－b4.
解 (1) 5－25＝－2.
(2) 4－104＝|－10|＝10.
(3) 4a－b4＝|a－b|＝ a－ba≥b，b－aa＜b.
要点二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
(1) 3a·4a； (2) aaa；
(3)3a2·a3； (4)(3a)2·ab3.
解 (1)3a·4a＝31a·41a＝127a；
(2)原式＝ a·21a＝ a·21a·41a＝21a·41a·18b＝87a；
(3)原式＝32a·23a＝613a；
(4)原式＝(31a)2·21a·23b＝76a23b.
规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式
子：nma＝nam和mna＝1 nma＝1nam，其中字母a要使式子有意义.
跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：
(1) 3a·6－a(a＜0)；
(2) 3ab2ab3(a，b＞0)；
(3)22433()b(b＜0)；
(4) 13x5x22(x≠0).
解 (1)原式＝31a·16()a
＝－13()a·16()a＝－12()a(a＜0)；
(2)原式＝ 323232baab＝57322ab
＝157322()ab＝56a76b(a，b＞0)；
(3)原式＝22433(())b＝212343()b＝19()b(b＜0)；
(4)原式＝3154311xx＝531x＝35x.
要点三 分数指数幂的运算
例3 (1)计算：130.064－－780＋433[(2)]＋16－0.75＋|－0.01|12；
(2)化简： 3329aa÷33713aa(a＞0).
解 (1)原式＝(0.43)31－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.
(2)原式＝[19133232（-）aa]÷[171132323（-）（）aa]
＝613676369a＝a0＝1.
规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数
幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带
分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
跟踪演练3 计算或化简：
(1)－33832＋(0.002)21－10(5－2)－1＋(2－3)0；
(2) 323a·a－3·a－521·a2113.
解 (1)原式＝(－1)3233832＋150021－105－2＋1
＝27832＋(500)21－10(5＋2)＋1
＝49＋105－105－20＋1
＝－1679.
(2)原式＝(23a·32a)31·[(a－5)21·(a21)13]21
＝(a0)31·(52a·132a)21
＝(a－4)21＝a－2.
1.下列各式正确的是( )
A.(3a)3＝a B.(47)4＝－7
C.(5a)5＝|a| D.6a6＝a
答案 A
解析 (47)4＝7，(5a)5＝a，6a6＝|a|.
2.a－b2＋5a－b5的值是( )
A.0 B.2(a－b)
C.0或2(a－b) D.a－b
答案 C
解析 当a－b≥0时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；
当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.
3.计算[(－2)2]21的结果是( )
A.2 B.－2
C.22 D.－22
答案 A
解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝2.
4.下列各式运算错误的是( )
A.(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C.(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D.[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18.
答案 C
解析 直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择.
对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a)3b6＝－a7·b8，故正确.对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－
a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故正确.对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C项
错误.对于D，易知正确，故选C.
5.221＋－402＋12－1－1－50·238＝________.
答案 22－3
解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.
1.掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，nan＝a，n为偶数，nan＝|a|＝ aa≥0，－aa＜0.
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为
分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.
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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．计算[(－2)2]－12 的结果是( )A.2 B ．－2 C ．22D ．－22[答案] C[解析] [(－2)2]－12＝[(2)2]－12＝(2)－1＝22.2．下列运算正确的是( ) A ．a ·a 2＝a 2 B ．(ab )3＝ab 3 C ．(a 2)3＝a 6 D ．a 10÷a 2＝a 5[答案] C[解析] a ·a 2＝a 3，故A 错；(ab )3＝a 3b 3，故B 错；a 10÷a 2＝a 8，故D 错，只有C 正确．3．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2[答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4＝(3a 32)4·(6a 3)4＝(a －12 )4·(a 12 )4＝a 4.4．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] A [解析] 36a 3＝613 ·a ≠2a ，3－2＝－6(－2)2≠6(－2)2，－342＝－4(－3)4×2. ∴以上等式都不成立，故选A.5．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是( )A ．1B ．14C.22D ．23[答案] D[解析] ∵m ＝(2＋3)－1＝2－3，n ＝(2－3)－1＝2＋ 3.∴(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2(3＋3)2＝2436＝23.6.481×923的值为( )A ．363 B ．3 C ．3 3 D ． 3[答案] A二、填空题7．64－23 的值是__________．[答案]116[解析] 64－23 ＝(26) －23 ＝2－4＝116.8．(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3＝____________. [答案] a －1[解析] 要使此式有意义，需a －1≥0，∴a ≥1. ∴原式＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 三、解答题9．(2013～2014学年度河南开封高一月考)计算： (1)3(－4)3－(12)0＋0.2512 ×(－12)－4；(2)(0.064)－13 －(－59)0＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75＋(0.01) 12 .[解析] (1)3(－4)3－(12)0＋0.2512 ×(－12)－4＝－4－1＋12×(2)4＝－5＋12×4＝－3.(2)(0.064)－13 －(－59)0＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75＋(0.01) 12 ＝[(0.4)3] －13 －1＋(－2)－4＋(24) －34 ＋[(0.1)2] 12＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝52－1＋116＋18＋110＝14380.一、选择题1．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a－4b －53 )，得( )A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73[答案] A [解析] (2a－3b －23 )·(－3a －1b )÷(4a －4b －53 ).2．要使4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2 D ．a ≠4[答案] B[解析] 要使原式有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0a －4≠0，解得2≤a <4或a >4. 3．将3－22化简成不含根号的式子是( )A ．－212B ．－2－15 C ．－213D ．－223[答案] A[解析] ∵－22＝－(2)3＝－232 ， 原式＝(－232 )13 ＝－212 .故选A.4．若m <0，n >0，则m n 等于( ) A ．－m 2n B ．－m 2n C ．－(mn )2 D ．m 2n[答案] A[解析] ∵m <0，∴m ＝－m 2， ∴m n ＝－m 2n ，故选A. 二、填空题5．23×31.5×612的值为__________． [答案] 6.6．若x >0，则(2x 14 ＋332 )(2x 14－332 )－4x －12 (x －x 12 )＝__________.[答案] －23[解析] ∵x >0，∴原式＝(2x 14 )2－(332 )2－4x 12 ＋4＝4x 12 －33－4x 12 ＋4＝－27＋4＝－23.三、解答题7．将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)a a (a ＞0)；8．(2013～2014学年度海安县南莫中学高一期中测试)计算：＝32－1－94＋49＝－4736. (2)∵x 12＋x －12＝3，∴x ＋1x＝3， ∴x ＋x －1＝x ＋1x ＝(x ＋1x )2－2＝9－2＝7.(x 12－x －12)2＝(x －1x)2＝x ＋1x －2＝7－2＝5，∴x 12－x －12＝±5.9．求下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23 －3π0＋3748； (2)(0.0081)－14－⎣⎡⎦⎤3×⎝⎛⎭⎫780－1×[81－0.25＋(338)－13 ]－12 －10×0.02713 . [解析](1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912 ＋⎝⎛⎭⎫110－2＋⎝⎛⎭⎫6427－23 －3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100.。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版必修108012113
3．通常规定分数指数幂的底数 a＞0，但像(－a)2＝ －a中的 a 则需要 a≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．
第二十页，共34页。
[再练一题]
2．化简 x·3 x2的结果是(
)
6
x· x
A. x
B．x
C．1
D．x2
【解析】
【答案】 C
第二十一页，共34页。
.故选 C.
第十六页，共34页。
[再练一题]
1．求值： 3－2 2＋3 1－ 23＝________.
【解析】
3－2
2＋3
1－
23＝
2－12＋1－
2＝
2－1＋1－
2＝
0. 【答案】 0
第十七页，共34页。
将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) a a(a>0)；(2) 1 3
；(3)4 b－23-23(b>0)．
立，
需要满足 a≠1；(－a2)3＝－a6，故选 A.
【答案】 A
第三十页，共34页。
2．下列各式中成立的一项是( )
【解析】 A 中应为mn 7＝n7m－7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中 x＝y＝1 时不成立；D 正确．
【答案】 D
第三十一页，共34页。
3.
【解析】 【答案】 D
.
第十五页，共34页。
1．正确区分n an与(n a)n
(1)(n a)n 已暗含了n a有意义，据 n 的奇偶性不同可知 a 的范围；
(2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、 拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公 式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
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第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．计算[(－2)2]－12 的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C ．22D ．－22[答案] C[解析] [(－2)2] －12 ＝[(2)2] －12 ＝(2)－1＝22.2．下列运算正确的是( ) A ．a ·a 2＝a 2B ．(ab )3＝ab 3C ．(a 2)3＝a 6 D ．a 10÷a 2＝a 5[答案] C[解析] a ·a 2＝a 3，故A 错；(ab )3＝a 3b 3，故B 错；a 10÷a 2＝a 8，故D 错，只有C 正确．3．(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2[答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4＝(3a 32)4·(6a 3)4＝(a－12 )4·(a 12 )4＝a 4.4．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] A [解析] 36a 3＝613 ·a ≠2a ，3－2＝－6(－2)2≠6(－2)2，－342＝－4(－3)4×2. ∴以上等式都不成立，故选A.5．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是( ) A ．1 B ．14 C.22D ．23[答案] D[解析] ∵m ＝(2＋3)－1＝2－3，n ＝(2－3)－1＝2＋ 3.∴(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2(3＋3)2＝2436＝23. 6.481×923的值为( )A ．363 B ．3 C ．3 3 D ． 3[答案] A二、填空题7．64－23 的值是__________．[答案]116[解析] 64－23 ＝(26) －23 ＝2－4＝116.8．(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3＝____________. [答案] a －1[解析] 要使此式有意义，需a －1≥0，∴a ≥1. ∴原式＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 三、解答题9．(2013～2014学年度河南开封高一月考)计算： (1)3(－4)3－(12)0＋0.2512 ×(－12)－4；(2)(0.064)－13 －(－59)0＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75＋(0.01) 12 .[解析] (1)3(－4)3－(12)0＋0.2512 ×(－12)－4＝－4－1＋12×(2)4＝－5＋12×4＝－3.(2)(0.064) －13 －(－59)0＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75＋(0.01) 12 ＝[(0.4)3] －13 －1＋(－2)－4＋(24) －34 ＋[(0.1)2] 12＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1 ＝52－1＋116＋18＋110＝14380.一、选择题 1．计算(2a －3b －23 )·(－3a －1b )÷(4a －4b －53 )，得( )A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73 [答案] A [解析] (2a －3b－23 )·(－3a －1b )÷(4a －4b －53 ).2．要使4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2 D ．a ≠4[答案] B[解析] 要使原式有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0a －4≠0，解得2≤a <4或a >4.3．将3－22化简成不含根号的式子是( )A ．－212 B ．－2－15 C ．－213D ．－223[答案] A[解析] ∵－22＝－(2)3＝－232 ， 原式＝(－232 )13 ＝－212 .故选A.4．若m <0，n >0，则m n 等于( ) A ．－m 2n B ．－m 2n C ．－(mn )2 D ．m 2n[答案] A[解析] ∵m <0，∴m ＝－m 2， ∴m n ＝－m 2n ，故选A. 二、填空题5．23×31.5×612的值为__________． [答案] 6.6．若x >0，则(2x 14 ＋332 )(2x 14 －332 )－4x －12 (x －x 12 )＝__________.[答案] －23[解析] ∵x >0，∴原式＝(2x 14 )2－(332 )2－4x 12 ＋4＝4x 12 －33－4x 12 ＋4＝－27＋4＝－23.三、解答题7．将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a ＞0)；8．(2013～2014学年度海安县南莫中学高一期中测试)计算：＝32－1－94＋49＝－4736. (2)∵x 12＋x －12＝3，∴x ＋1x＝3，∴x ＋x －1＝x ＋1x＝(x ＋1x)2－2＝9－2＝7.(x 12－x －12)2＝(x －1x)2＝x ＋1x－2＝7－2＝5，∴x 12 －x －12＝± 5. 9．求下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23 －3π0＋3748；(2)(0.0081)－14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫780－1×[81－0.25＋(338)－13 ]－12 －10×0.02713 .[解析](1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23 －3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.。
3.1.1实数指数幂及其运算课件人教新课标B版
潘威
教学重点： １、分数指数幂的含义的理解. ２、根式与分数指数幂的互化.
分数指数幂 ３、有理指数幂的运算性质.
教学难点：
１、分数指数幂概念的理解. ２、有理指数幂的运算和化简.
复习回顾 整数指数幂
正整数指数幂:
a2 aa
a3 aaa
指数
幂
an a a ......a
（ x3 ）2 r2
x 6 r 4
1
x6 1
r4 x6
那么分数
r4
0.0001 104
a2 b2c
a2b2c1
指数幂又 是什么？
分数指数幂
1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念
方根概念推广：
如果存在实数x使得 xn a(a R, n 1, n N )
则x叫做a的n次方根. 求a的n次方根，叫做把 a开n次方, 称作开方运算.
a ?
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
21
11
15
解： (1)(2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
211 115
[2 (6) (3)]a 3 2 6b 2 3 6
81
3
3
8
例3：用分数指数幂的情势表示下列各式：
a2 a, a3 3 a2 , a a (式中a 0)
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运
算性质.
a2
a
1
a2 a2
高中数学 3.1.1《实数指数幂及其运算》 学案一 新人教B版必修1
3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算 【目标要求】1． 理解根式的概念。
2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。
3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。
4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。
【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是 ( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a9D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是 （ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4. 将322-化为分数指数幂的形式为 ( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a7. 化简［32)5(-］43的结果为 ( )A ．5B ．5C ．－5D.－58. 若122-=xa，则xx xx a a a a --++33等于 ( )A ．22－1B ．2－22C ．22+1D.2+19.1212--=--x x x x 成立的充要条件是 （ ） A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C .x ＜1 D.x ≥2 10. 式子 经过计算可得到( ) A.B. C. D.11. 化简4425168132c b a a c (a ＞0，c ＜0)的结果为 ( )A.±42abB ．－42abC ．－2abD.2ab12. 设x>1,y>0,yy y y x x x x ---=+则,22等于 （ ）A ．6B ．2或-2C ．2D ．-2【巩固提高——登峰揽月】13. 计算0．02731-－（－71）－2+25643－3－1+（2－1）0=__________．14. 化简321132132)(----÷ab b a bab a =__________．【课外拓展——超越自我】 15. 已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值．第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数13.19 14.6561-ba15. 解：由,9)(22121=+-x x 可得x +x －1=7∵27)(32121=+-xx∴23121212333---++⋅+xx x x x x =27∴2323-+x x =18，故原式=2。
高中数学 3.1.1 实数指数幂及其运算同步课件 新人教B版必修1
1．指数幂概念的推广
2．分数指数幂 (1)n次方根的概念 ①a的n次方根：如果存在实数x使得xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则 x叫做 a的n次方根 ,求a的n次方根，叫做 把a开n次方 ，称做 开方运算．
②a的n次方根的讨论(n＞1，n∈N＋)
正数a的正n次方根叫做 a的n次算术根 ，记作 当a＝0时，a的n次方根为零；
[f(x)]2－[g(x)]2的值．
【解析】 [f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2＝(e2x－ 2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4.
1．有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同， 因此幂的运算性质已从整数指数幂扩展到有理数指数幂，进一步，
有理数指数幂的运算也可扩展到实数指数幂的运算． 2．在运用正分数指数幂的意义即
3.计算下列各式：
【思路点拨】 由于a · a ＝1，将已知式子平方后，即可 求出a＋a－1的值．同样，将a＋a－1平方后即可求得a2＋a－2的
值．也可由a ＋a ＝2求a的值，进而解之．
解法一注重了已知条件与所求问题之间的内在联
系，灵活运用整体思想解决问题，简化了运算过程．解法二较直接， 要求代数式值需求a的值，故由已知等式可求得，使问题迎刃而解． 4.已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x (e≈2.718 28)．求
3.
表示an的n次方根，等式
＝a不一定成立，事实上，当n
为奇函数时， ＝a；当n为偶数时， ＝|a|＝
子
因此，对于式
，当n的值不确定时，应注意对n分正奇数和正偶数来处理．
4．在进行有理数指数幂的运算法则时，
aα aβ ＝aα ＋β
aα ab
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版必修1
【导学号：60210072】
【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断 被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．
【自主解答】 (1) －25＝－2. 5
4 3－π4 π－3 (2)∵3－π<0，∴ 2 ＝ 2 . (3)
x－y，x≥y， 2 x－y ＝|x－y|＝ y－x，x<y.
[再练一题] 1．求值： 3－2
【解析】 0. 3－2
3 2＋
1－
1－
23＝________.
3 2 ＝
2＋ 3
2－12＋1－ 2＝ 2－1＋1－ 2＝
【答案】
0
将下列根式化成分数指数幂的形式： (1) a a(a>0)；(2) 1 3 x x22 5
(4)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3，∴－4<x－1<2,0<x＋3<6. 当－4<x－1<0，即－3<x<1 时，|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2； 当 0≤x－1<2，即 1≤x<3 时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4. ∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9
4 ；(3) 2 2-3(b>0)． b－3
【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．
3．无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂Βιβλιοθήκη 运 算性质对于无理数指数幂同样适用．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 3－π2＝π－3.( (2)分数指数幂 ) n a 相乘．( ) )
高一数学人教B版必修1教学教案：实数指数幂及其运算含解析
3.1.1实数指数幂及其运算（教学设计）【教学设计理念：】新课标、高中数学课程标准中的数学学科核心素养1、新课程理念——“倡导开放互动的教学方式和合作探究性的学习方式”2、高中数学课程标准中的数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．本节课的设计思想：是尊重学生的思维，让学生的思维得到最大限度的肯定和优化，创建积极的课堂互动环境，关注发展学生数学素养。
【内容分析：】《指数与指数幂的运算》是基本初等函数的起始课，它除了需要对本章节的内容进行一个简单的介绍外，还需要通过实际的例子感受学习指数函数、对数函数、幂函数这三类重要且常用的基本初等函数的必要性。
本节课的主要内容是：通过实际问题引出分数指数幂，说明扩张指数取值范围的必要性，并由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念。
在本节课的基础上，后面的课时还将进一步探究分数指数幂及其运算性质，最后通过有理数指数幂逼近无理数指数幂，将指数范围扩充到实数。
由此可见，本节课有承上启下的作用，既联系了初中已学的数的平方、开方、二次根式的概念以及整数指数幂及运算法则，同时为后面学习分数指数幂的进一步扩充及指数函数打下基础。
【学情分析：】学生在学习第一章《集合与函数》后，对研究函数的方法，有了初步的认知，知道函数的研究共性，如研究函数的三要素、函数的图像、函数的性质，以及函数的应用等等，加上初中对一次函数、二次函数、反比例函数等函数有了一定的学习基础，因此，要进一步引导学生用函数的共性去学习基本初等函数，这样，学生的学习方向会进一步明确，知识的生成也变得自然，便于学生的理解掌握。
函数是高中数学的难点内容，学生在学习过程中难免会出现困难，通过课堂中的新旧知识互动、师生互动、生生互动，加强学生在探究问题的能力和合作交流的意识，可以增强学生的数学自信.【教学目标：】1、通过具体的情境了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；2、通过对平方根、立方根及其运算性质的推广，理解n次方根和n次根式的概念，通过类比、辨析，培养学生自主探究意识，感受分类讨论的思想；3、理解根式和分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象的能力【教学重点：】根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质.突破策略：类比整数指数幂等学生已学的知识，在学生的最近发展区域延伸.【教学难点：】根式及分数指数幂概念的理解.突破策略：通过实际具体例子，帮助学生理解.【教学工具：】多媒体课件PPT.新知问题：什么叫实数？正整数指数幂及运算性质可以推广吗？教学环节教学内容设计意图互动方式二、自主探索获得新知（二）根式1、平方根若2x a=，那么x叫做a的平方根. (a±)如：4的平方根为2±.注：非负数才有平方根，正数的平方根有两个.2、立方根若3x a=，那么x叫做a的立方根. (3a)如：8的平方根为. 8-的立方根为.注：任意实数都有立方根，每个数的立方根只有一个.3. n次方根定义：若*(1,)nx a n n N=>∈且，则x叫做a的n次方根.负数没有偶数方根.式子n a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.例1.求下列各式的值.33(8);（1）-2(2)(10);-44(3)(3);π-2(4)()().a b a b->提出问题：n nn na a a=探究：一定成立吗？等于什么？性质：()(n na naa n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时为偶数时）例如，16的四次方根为，416=，44(2)-=.学生独立思考，教师请学生解答并说明理由，进一步理解n 次方根的意义和性质。
高一数学高效课堂资料教案、学案：3.1.1实数指数幂及其运算
高一数学高效课堂资料3.1.1实数指数幂及其运算编写人：刘存良教学目标：知识与技能: (1）掌握根式的概念；(2）规定分数指数幂的意义；(3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； (4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； (5）了解无理数指数幂的意义过程与方法: 通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．情感态度与价值观: 通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．重点难点：教学重点：分数指数幂的概念分数指数的性质 教学难点：根式的概念，分数指数的概念 教学方法：类比迁移,诱思探究 教学过程： 一、导入新课（1）0a =1（非零数的零次方等于1）1n n a a-=（一个非零数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数）（2m na （根式与分数指数幂的互化）练习：1.将下列各根式写成分数指数幂的形式：（1； （22.将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）323； （2）258-二、形成概念∙=3，即123∙123=11223+；4=9，即142(3)=23=1423⨯；……猜想：有理数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完全相同．可以证明对有理数指数幂，原整数指数幂的运算法则保持不变，即 (1)rsr sa a a +=（a>0,r,s ∈Q ）;同底数幂相乘，底数不变，指数相加.(2) ()r srsa a =（a>0,r,s ∈Q ）; 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (3) ()rr rab a b =（a>0,b>0,r ∈Q ）;积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方.显然，整数指数幂的运算法则是有理数指数幂运算法则的特殊情况. 三、概念深化 根式（1）平方根与立方根如果a x =2，那么________；如果a x =3，那么____________. （2）n 次方根如果a x n =，那么___________，其中1>n ，且*N ∈n .若n 是奇数，任意实数a 的n 次方根有 1个，正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数. 若n 是偶数， 负数 没有偶次方根，而正数的n 次方根有 2 个，它们互为相反数. 无论n 是奇数还是偶数，0的n 次方根为0 .【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快. 若n n a x =，则x 可以用根式表示为nn a .当n 为奇数时，=x a ；当n 为偶数时，=x a ±. 【感悟】结合平方根，学习根式，理解根指数，被开方数等概念，会掌握的更快. 例１求下列各式的值：（1）238； （2）348116⎛⎫⎪⎝⎭； （3）3416-； （4）3∙∙∙解：分析 先将根式转化为分数指数幂，在计算会更简便快捷. （1）238=233(2)=2332⨯=22=4；（2）348116⎛⎫ ⎪⎝⎭=34432⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=34432⨯⎛⎫⎪⎝⎭=332⎛⎫ ⎪⎝⎭=278；（3）3416-=344(2)-=34()42⨯-=32-=18；（4）3∙∙∙=（4）13∙123∙133∙163=11112363+++=23=9.练一练求值：（1）120.01；（2）1232-；（3）1264121-⎛⎫⎪⎝⎭；（4）2327.解：（1）120.01=()1220.1⎡⎤⎣⎦=1220.1⨯=0.1；（2）1532-=155(2)-=15()52⨯-=12-=12；（3）1264121-⎛⎫⎪⎝⎭=122811-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=12()2811⨯-⎛⎫⎪⎝⎭=1811-⎛⎫⎪⎝⎭=118；（4）2327=233(3)=2333⨯=23=9.四、应用例2计算下列各式(a>0,b>0):（1；（2）2133215(3)a b a b-÷.解：分析系数与系数做运算；同底的幂按法则进行运算；不同底的幂不进行运算.（1=213a a-=213a-=13a-；(2)2133215(3)a b a b-÷=12233153a ba b-=121(3)235a b---=1465a b-.无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值的结果.五、随堂练习练一练化简下列各式（a>0）：（1∙（2∙解：（1∙=1134a a∙=1134a+=712a；（2∙2332a a∙=2332a+=496a+=136a.实际上，当底数大于0时，我们可以将指数的取值范围由有理数推广到实数.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂.有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂.六、课堂小结（1）实数指数幂的运算法则r s r sa a a+=（a>0,r,s∈Q）;()r s rsa a=（a>0,r,s∈Q）;()r r rab a b=（a>0,b>0,r∈Q）;（2）1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关a na n⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a>0.(想一想，为什么？)七、作业练习4.1.2 1、2《实数指数幂及其运算》导学案编写人：刘存良学习目标：1.理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。
人教B版必修1数学3.1.1《实数指数幂及其运算》PPT课件
1．指数幂 an 叫做 a 的__n_次__幂___，a 叫做幂的__底__数__，n 叫做幂的 __指__数__．n 是正整数时，an 叫做_正__整__数__指__数__幂___．
2．整数指数幂的运算法则为 (1)am·an＝__a_m_＋_n_____(m、n∈Z)；
(2)(am)n＝__a_m_n____(m、n∈Z)； (3)aamn ＝__a_m_－_n___(m，n∈Z，a≠0)； (4)(ab)m＝__a_m_b_m___(m∈Z)．
3．如果存在实数 x，使得 xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N*)，则 x 叫做_a_的___n_次__方__根__．求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方， 叫做__开__方__运__算__．正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次_算__术__根___．当
n a有意义的时候，n a叫做_根__式___，n 叫做根指数． 4．根式的运算性质
1
1
(3)由(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝3，
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
∴a2 －a－2 ＝± 3.
易错疑难辨析
11
化简(1－a)[(a－1)－2·(－a) 2 ] 2 .
1
[错解] 原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a) 4
1
＝－(－a) 4 .
1
[辨析] 误解中忽略了题中有(－a) 2 ，即－a≥0，a≤0，
首先学习对数和对数的运算法则、换底公式，然后再学习对数 函数及其图象和性质．第三大节是幂函数．首先以简单的幂函 数为主要例子，通过图象分析了幂函数的性质．第四大节是函 数的应用．主要以例题的形式，介绍如何建立函数的关系，即 数学模型，其中包括了社会学、经济学和核物理学等学科的应 用例题．