山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准 ( E )卷
线性代数期末试卷A答案及评分标准
线性代数期末试卷A答案及评分标准IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+等于【0】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【2】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【1】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【1】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【-8】.二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1.设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【A 】.(A)2-；(B)21-；(C)1-；(D)2. 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【A 】．(A)210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(B)210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C)110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(D)110110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【A 】． (A)||0A =；(B)||1A =；(C)A 可逆；(D)A 满秩.4.设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A)4；(B)8；(C)0；(D)1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【B 】．(A)2=a ；(B)1=a ；(C)3=a ；(D)以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1.若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k =分2.设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得0=+B E A又02=122010012=+≠--E A ----------2分因此0=B因此可得5=-a .----------7分3.设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为-1,t ,3，因此A 的特征值也为-1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3ta t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分 解得12a t ==,.----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭,把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2.问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -，----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a .----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解；----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ， 正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ，----------12分 令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=.----------14分 七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1.“设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。
《线性代数》期末考试试卷(A卷答案)
《线性代数》期末考试试卷（A 卷答案）注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分N =N ⨯一、本 题 8分原 式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112313517 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=047210二、本 题 8分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100012010411001210)(E A)(211231001240101120011-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→A E8⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-211231241121A10( 用 其 它 方 法 解 对, 给 一 半 分). 三、本 题11分D =--1000364022311149=-640231149=11010四、本 题10分因 A B ~ ， 存 在 可 逆 矩 阵 P 使P AP B -=12则 '='='''--B P AP P A P ()()114记 ()P Q -'=1， 则 Q P P ---='='111[()] ， 故 '='-B Q A Q 18即 ''B A ~10五、本 题7分'=αα120, 即α1 与α2 已 正 交设 有 向 量 为()X x x x x T =4321， 则080140841=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X3解 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1480,410843αα 为 所 求 线 性 无 关 解8且αα34,已 正 交， 故αα12,αα34£, 为 正 交 向 量 组10六、本 题 8分因 21152110120=-≠， 故43, 1,ααα 线 性 无 关。
4而αα212=, 故431,,ααα 是 该 向 量 组 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组。
8线 性 表 出 为：.,,2, 44331211αααααααα====10七、本 题 10分 ００００２２７００２０－２－０ ～ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011112122320111114331211121 所 以３=)(A R10八、本 题10分方 程 组 有 非 零 解 ⇔=A 03而 A =-55λ 故 当 仅 当 λ=1 时 方 程 组 有 非 零 解。
线代期末复习线性代数试卷附讲解
线性代数试卷一、 （12分）单项选择题1. 如果n 阶矩阵A 满足条件,ij ij A a = 其中ij A 是元素ij a 的代数余子式，n j i ,,2,1, =,那么矩阵A 的•A 伴随矩阵等于 C()A A . ()AB -. ()T AC . ()T AD -.注：TTnn n n n n T nn n n n n A a a a a a a a a a A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211212222111211*本题所用的知识点：1) 矩阵的转置。
P43定义5。
2) 矩阵的伴随。
P48定义3。
2. 设A 是m ⨯n 矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程 组，那么下列叙述正确的是 D （A ） 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解. （B ） 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解. （C ） 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解. （D ） 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解. 注： 令()b A A =~。
(A)错，当)~()(A r A r ≠时，b Ax =可能无解。
(B)错，当)~()(A r A r ≠时，b Ax =可能无解。
(C)错，b Ax =有无穷多个解nA r A r <=)~()(0=有非零解 本题所用的知识点：P80定理2及其注释。
3．，＝，秩且，阶方阵为设3)(4)(4,B r A r B A =B A 和的伴随矩阵为**B A 和，)(**B A r 则是 A (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4注：由于4)(=A r ，因而0≠A 。
由伴随矩阵的基本性质可知： 0**≠===nA E A AA A A因而0*≠A , 于是A *可逆。
进而r(A *B *)=r(B *)。
线性代数期末考试试卷答案合集详解
线性代数期末考试试卷答案合集详解×××⼤学线性代数期末考试题⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性⽅程组=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满⾜。
3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满⾜CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。
4．矩阵=323122211211a a a a a a A 的⾏向量组线性。
5．n 阶⽅阵A 满⾜032=--E A A ，则=-1A 。
⼆、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每⼩题2分，共10分）1. 若⾏列式D 中每个元素都⼤于零，则0?D 。
（）2. 零向量⼀定可以表⽰成任意⼀组向量的线性组合。
（）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成⽐例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（）4. ?=010*********0010A ，则A A =-1。
（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则11. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性⽆关的充要条件是（）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性⽆关② s ααα，，，Λ21中存在⼀个向量不能⽤其余向量线性表⽰③ s ααα，，，Λ21中任⼀个向量都不能⽤其余向量线性表⽰④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
①任意n 个1+n 维向量线性相关②任意n 个1+n 维向量线性⽆关③任意1+n 个n 维向量线性相关④任意1+n 个n 维向量线性⽆关4. 设A ，B 均为n 阶⽅阵，下⾯结论正确的是( )。
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ??= ? ?-??，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001??的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-?? ?- ? ；(B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-??- ? ?；110110001??.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B==- ? ?--1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -==- ? ? ? ?????，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++??-=-?----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来. 解：令()123410311301,,,217242140A αααα?? ?--== ?, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ??== ? ?----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ??= ? ???共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -?? ?-= ? ???，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=??++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101 412261423B ?? ?=+ ? ?+??λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101 012320001B λλλ?? ?→--+ ? ?-+??，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ??→-- ? ?，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -=+-∈ ? ? ?. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为----=442442221A ,122~000,000A -??故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??=11-211ξ，单位化：?=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：=????? ??=102-，01232ξξ，正交化：[][]==?==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：?===3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
最新线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
商学院《线性代数》第一学期期末考试试题测试卷及参考答案
3 0 1 1 0 1 1 ⎪ 0 ⎪ 0 0 《线性代数》第一学期期末考试试题本期末试卷满分为 80 分，占课程总成绩的 80 ,平时成绩占课程总成绩的 20 。
答题要求：1. 请将所有答案统一写在答题纸上，不按要求答题的，责任考生自负。
2. 答题纸与试卷一同交回，否则酌情扣分。
说明：在本卷中，A T 表示矩阵 A 的转置矩阵，A *表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式， R （A ）表示 A 的秩。
一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)⎛1 2⎫ ⎛ 1 2 3⎫1、设矩阵A=（1，2），B= 3 4⎪ ，C = 4 5 6 ⎪ ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）⎝ ⎭ ⎝ ⎭A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA2、设A 为 3 阶方阵，且|A|=2，则|2A -1|=（ ）A ．-4B ．-1C ．1D ．4⎛ 3 3、矩阵⎝- 1 3⎫⎪ 的逆矩阵是（ ）0⎭⎛ 0 - 1⎫⎛ 0 - 3⎫⎛ 0 - 1⎫⎛1 ⎫A. ⎪ ⎝ 3 3 ⎭B.⎪ ⎝1 3 ⎭C. 1 ⎪1 ⎪ ⎝ 3 ⎭D．1 ⎪ ⎝ - 1 0 ⎭4、设 A ，B 均为 3 阶矩阵，若 A 可逆，且R （B ）=2，那么 R （AB ）=（）A ．0B ．1C ．2D ．35、下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）⎛ 1 0⎫ A ．⎪ ⎛ 0 1 B ． - 1 0 - 1⎫ ⎪ 1 ⎪⎛ 0 1 0⎫⎪ C ． 0 0 3⎪⎛ 1 0 0⎫ ⎪ D ． 0 1 0⎪⎝ 0 0⎭⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭6、设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）A ．A+A TB ．A-A TC ．AA TD ．A T A7、设A 为m ×n 矩阵，齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．A 的列向量组线性相关B ．A 的列向量组线性无关C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关8、设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T，β=（1，-1，3）T，且1 2 1 1 ⎝ ⎭1 系数矩阵A 的秩R (A)=2,则对于任意常数 k,k 1,k 2,方程组的通解可表为（ ） A ．k （1，0，2）T +k （1，-1，3）T B ．（1，0，2）T +k （1，-1，3）T C ．（1，0，2）T +k （0，1，-1）T D ．（1，0，2）T+k （2，-1，5）T9、观察下列向量组的特点，其中线性无关的为( )A ．α1 = (1, -1, 2),α2 = (7, 6, 4),α3 = (0, 0, 0)B ．α1 = (1, 0, 0, 2),α2 = (0,1, 0, 3),α3 = (0, 0,1, 4)C ．α1 = (2, 0, -14,8),α2 = (-1, 0, 7, -4),α3 = (9,11, 2, 3)D ． α1 = (1, 2, 3),α2 = (4, 5, 6),α3 = (3,3, 3)⎛1 10、矩阵A= 1 1 1⎫⎪1 1⎪ 的非零特征值为（）⎪ ⎝⎭A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ⎛1 2⎫ T1、设矩阵A= ⎝ 3 ⎪ ，则行列式|A A|= 。
线性代数期末考试试卷答案合集精修订
线性代数期末考试试卷答案合集SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准 （ E ）卷 2010 - 2011学年 第一学期 第 1 页 共 3 页 得分 阅卷人 一、填空题（每小题3分，共15分）
1．三阶行列式201141340 =0 . 2．设A为3阶矩阵*A为A的伴随矩阵,1||2A 则*A14. 3．设101123010456001789A 则A122452782 4．设100010001A *A为A的伴随矩阵，则*RA3. 5．二次型27()33Tfxxx的矩阵是2553. 得分 阅卷人 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 四阶行列式中带负号且含有因子1123aa的项为 （ B ） （A） 11233442aaaa （B）11233244aaaa （C）11233344aaaa （D）11233144aaaa 2. 设,AB 均为n阶方阵，下面结论正确的是 ( C ) （A）若,AB 均可逆，则AB可逆 （B）若AB可逆，则AB可逆 （C）若,AB 均可逆，则AB可逆 （D）若AB可逆，则,AB均可逆 3.方阵A可逆的充分必要条件是 ( C )
(A) 0Ax有零解 (B)Axb无解 (C) A所有特征值都不等于零 (D)Axb有解
4．设12,为A的两个不相同的特征值，和为A的分别属于1与2的特征向量，则
和 （ A ） (A) 对应分量不成比例 (B) 对应分量成比例 (C) 线性相关 (D) 可能有零向量
5．设 2320AAE，则A的特征值只能取 （ D ） (A)1或2 (B)1或2 （C）1或2 （D）1或2
得分 阅卷人
三、（10分）计算行列式（nD为n阶行列式，2n为整数）
12
11 111 1 11 1nnaaDa
,其中120naaa.
解：1221233231100 0010 0010 001 000 1 000 01nnnnnaaaccaaDccaaaa -----（4分） 111213121211111100 00010 00001 001 ()(1) 000 01000 001nnniinniiaaaaaaaaaaaa
-------------（6分）
………………………密……………………封……………………线……………………
试卷适用班级 理工科09
级、专升本10级 、路专09级等 班级 姓名 学号 山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准 ( C ）卷 2010 - 2011学年 第一学期 第 2 页 共 3 页 得分 阅卷人 四、（10分）设*(1,2,1),28,AdiagABABAE其中*A为A的伴随矩阵,求B 解 由*28ABABAE得 *28AEBAE -----------------------（2分） 1111*1*82828224BAEAAAAEAEA 14(2,1,2)2(1,2,1)diagdiag ------------------------（8分） 得分 阅卷人 五、（10分）设123123123(2)2202(5)4024(5)0xxxxxxxxx 问为何值时 此方程组(1)有唯一解 (2)有无穷多个解? 解 B22225425401124500(1)(10)r ----------------（6分） 要使方程组有唯一解 必须()3RA 即必须1100,且10, 所以当1且10时 方程组有唯一解； 要使方程组有无穷多解 必须()3RA，即必须1100且10, 所以当1或10时 方程组有无穷多解 ---------------------（4分） 得分 阅卷人 六、（10分）
设矩阵1234Aaaaa其中234,,aaa线性
无关,12340aaaa向量12baa求方程组Axb的通解 解 由12baa知1100T是方程组Axb的一个解 -----（3分） 由12340aaaa知1111T是0Ax的一个解 由234,,aaa线性无关和12340aaaa知3RA故方程组Axb所对应的齐次方程组0Ax的基础解系中仅含一个解向量 因此1111T是0Ax的基础解系。 ---------------------（5分） 所以方程组Axb的通解为 11111100,TTxccR ----------（2分）
试卷适用班级 理工科09级、专升本10级 、路专09级等 班级
姓名
学号 ………………………密……………………封……………………线…………………… 山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准（ C ）卷 2010 - 2011学年 第一学期 第3页 共3页 得分 阅卷人 七、（10分）设矩阵12422421Ax与54y相似 求
,.xy 解 已知相似矩阵有相同的特征值，显然5,4,y是的特征值 故它们也是A的特征值。所以 524|4|2429(4)0425AExx
解之得4x. ------------------（5分） 已知相似矩阵的行列式相同 因为 124||242100421A 5||420yy
所以20100y,5y ------------------（5分） 得分 阅卷人 八、（10分）判定二次型22256444fxyzxyxz的正定性。
解 二次型的矩阵为522260204A --------------（3分） 因为 1150a 5226026 ||800A
所以f为负定。 --------------（7分）
得分 阅卷人 九、（10分）设 1232131231 nn
nn
证明：向量组12, , , n能由向量组12, , , n线性表示 证明：将已知关系写成
121201111011(, , , )(, , , )11011110nn
------------（3分）
将上式记为BAK因为 101111011||(1)(1)011011110nKn
-------------- （3分）
所以K可逆 故有1ABK 所以向量组12, , , n能由向量组12, , , n线性表示。 -------------------------- （4分）
试卷适用班级 理工科09
级、专升本10级 、路专09级等 班级 姓名 学号 ………………………密……………………封……………………线……………………