高一数学第八章立体几何初步章末复习课课后作业

课后作业题学案（45分钟）

一、单项选择题

1.已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是( )

A.l与β不平行

B.l与β不相交

C.l不在平面β上

D.l在β上，与β平行，与β相交都有可能

2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为 ( )

A.4 cm2

B.4 cm2

C.8 cm2

D.8 cm2

3.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是 ( )

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PBC

C.直线BC∥平面PAE

D.直线CD⊥平面PAC

4.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )

A. B.2 C.2 D.4

二、多项选择题

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1A，A1B1的中点，给出下列命题：

①EF⊥B1C；②BC1∥平面EFG；③A1C⊥平面EFG；④异面直线FG，B1C所成角的大小为.其中正确命题的序号为( )

A.①

B.②

C.③

D.④

三、填空题

6.如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.

7.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为

________.

8.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.

给出下列命题：

①PB⊥AC；

②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；

③平面PBD⊥平面PAC；

④△PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是________.

三、解答题

9.在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF 是梯形.已知CD=EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF.

(1)求证：DF∥平面BCE.

(2)求证：平面ADF⊥平面BCE.

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，

AD=2AB=2BC=2，△PCD是正三角形，PC⊥AC，E是PA的中点.

(1)证明：AC⊥PD.

(2)求三棱锥P-BDE的体积.

课后作业答案

1.【解析】选D.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面CDD1C1，

A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1；

A1D1∥平面ABCD，A1D1与平面CDD1C1相交；

C1D1∥平面ABCD，C1D1?平面CDD1C1.

因为直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，

所以l与β相交、平行或l?β.

2.【解析】选C.依题意，可知∠BAD=45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.

3.【解析】选D.在A中，因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A 不正确.

在B中，过点A作PB的垂线，垂足为H，

若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.

又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，

则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确.

在C中，若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C不正确.

在D中，因为PA⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以CD⊥PA，

设AB=1，则AD=2，

AC==，

所以AC2+CD2=AD2，所以CD⊥AC，又PA∩AC=A，所以直线CD⊥平面PAC，故D正确.

4.【解析】选A.如图所示，

∠AMB=90°，设圆柱的底面圆半径为r，高为h.

圆锥的底面半径为R，则圆锥的高为R，母线长为R；由题意知，2πr2+2πrh=πR·R，

即2r2+2rh=R2；

由相似边成比例得=，

即h=R-r；

所以2r2+2r(R-r)=R2，

即2r=R，

所以==，

即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为.

5.【解析】选ABC.如图，

对于①，连接AD1，则EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C，

则EF⊥B1C，故①正确；

对于②，因为BC1∥EF，EF?平面EFG，BC1?平面EFG，

所以BC1∥平面EFG，故②正确；

对于③，A1C⊥EF，A1C⊥EG，EF∩EG=E，

所以A1C⊥平面EFG，故③正确；

对于④，FG∥AB1，所以∠AB1C为异面直线FG，B1C所成角，连接AC，可得△AB1C 为等边三角形，则∠AB1C=，

即异面直线FG，B1C所成角的大小为，故④错误.

6.【解析】取BC的中点H,连接EH,AH,∠EHA=90°,

设AB=2,则BH=HE=1,AH=,

所以AE=,

连接ED,ED=,因为BC∥AD,

所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD,

在△EAD中cos∠EAD==.

答案：

7.【解析】如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，

则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.

即∠A′OC=90°，

又A′O=CO=a，

所以A′C==a，

即折叠后AC的长(A′C)为a.

答案：a

8.【解析】如图，

①若PB⊥AC，因为AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，

所以AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，

则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾.①错误；

②因为CD∥AB，则CD∥平面PAB，所以平面PAB与平面PCD的交线与AB平行.

②正确；

③因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，

又BD⊥AC，所以BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC.③正确；

④因为PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，

所以PD2+CD2=PC2，

所以△PCD为直角三角形，④错误.

答案：②③

9.【证明】(1)因为AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.CD=EF，

所以四边形CDFE是平行四边形，

所以DF∥CE，

因为DF?平面BCE，CE?平面BCE，

所以DF∥平面BCE.

(2)因为AD⊥平面ABEF，BE?平面ABEF，

所以BE⊥AD，

因为BE⊥AF，AF∩AD=A.

所以BE⊥平面ADF，

因为BE?平面BCE，

所以平面ADF⊥平面BCE.

10.【解析】(1)因为AD∥BC，AB⊥AD，

所以∠ABC=∠BAD=90°，

因为AB=BC=1，所以∠CAD=45°，AC=，

由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2，

所以AC2+CD2=4=AD2，所以AC⊥CD，

因为PC⊥AC，PC∩CD=C，

所以AC⊥平面PCD，则AC⊥PD.

(2)由(1)知，平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，因为△PCD是正三角形，取CD中点O，连接PO，

则PO⊥平面ABCD，因为CD=，所以PO=，因为E是PA的中点，所以E到平面ABCD的距离h=.

所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=××2×1×=.