高中数学必修二 第一章 空间几何体 章末检测

高中数学必修二 第一章 空间几何体章末检测一、选择题1.现有下列三种叙述，其中正确的个数是( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0B.1C.2D.3 答案 A解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错.②③可用右图反例检验，故②③不正确.2.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4) 答案 D解析 正方体的三视图都相同都是正方形，球的三视图都相同都为圆面.3.以长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( ) A.64π cm 2 B.36π cm 2C.64π cm 2或36π cm 2D.48π cm 2 答案 C解析 分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C 选项正确.4.若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为( ) A.252π B.50πC.12523π D.503π 答案 B解析 因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r ＝12×52＋42＋32＝522，所以它的外接球的表面积S ＝4πr 2＝50π.5.如图所示的正方体中，M 、N 分别是AA 1、CC 1的中点，作四边形D 1MBN ，则四边形D 1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )答案 D解析 四边形D 1MBN 在上下底面的正投影为A ；在前后面上的正投影为B ；在左右面上的正投影为C ；故答案为D.6.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( ) A.23 B.76 C.45 D.56 答案 D解析 易知V ＝1－8×13×12×12×12×12＝56.7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233答案 C解析 由图可知，该几何体由圆柱和正四棱锥组合而成，圆柱的体积为π×12×2＝2π，正四棱锥的体积为13×(2)2×3＝233，故该几何体的体积为2π＋233.8.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A.108 cm 3B.100 cm 3C.92 cm 3D.84 cm 3答案 B解析 此几何体为一个长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1被截去了一个三棱锥ADEF ，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm 3).三棱锥的三条棱AE 、AF 、AD 的长分别为4、4、3，故其体积为13×⎝⎛⎭⎫12×4×3×4＝8(cm 3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm 3).9.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 3答案 B解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.V ＝V 三棱柱＋V长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3).10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A.7B.6C.5D.3 答案 A解析 设上、下底面半径分别为r ，R (R ＞r ).则2πR ＝3×2πr ，所以R ＝3r .又因为π(R ＋r )l ＝S 侧，所以S 侧＝π(3r ＋r )×3＝84π，所以r ＝7. 二、填空题11.已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为182，那么原正方形的面积为________. 答案 72解析 正方形的直观图是平行四边形，设正方形的边长为a ，则a 2×22×a ＝182，所以a 2＝4×18＝72，故S 正方形＝a 2＝72.12.若正方体外接球的表面积是323π，则正方体的棱长等于________.答案423解析 设正方体的棱长为a ，外接球的直径为正方体的体对角线l ，所以πl 2＝323π，由l 2＝323，所以l 2＝a 2＋a 2＋a 2，所以323＝3a 2，所以a 2＝329，所以a ＝423.13.直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为________. 答案7π3解析 如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r ，则下底长为32r ，∠C＝45°，所以DE ＝r 2，DC ＝22r ，所以旋转体的表面积为S 表＝π·r 24＋2π·r 2·r ＋π·r 2·22r ＝π4r 2(5＋2).又因为S 表＝(5＋2)π，所以r 2＝4，所以r ＝2，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫r 22·r ＋13π·⎝⎛⎭⎫r 22·r 2＝7π3. 14.已知正四棱锥OABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.答案 24π解析 V 四棱锥O -ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫AC 22＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π. 三、解答题15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积.解 由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高h ′＝⎝⎛⎭⎫4－222＋32＝10. 故S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧面＝22＋42＋4×12×(2＋4)×10＝20＋1210，所以该几何体的表面积为20＋1210， 体积V ＝13(42＋22＋2×4)×3＝28.16.如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的外接球的体积.解 (1)由题意可知，该几何体是长方体， 底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm 2)，即几何体的表面积是64 cm 2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ， d ＝16＋16＋4＝36＝6(cm)， 所以球的半径为r ＝3(cm).因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)，所以外接球的体积是36π cm 3.17.如图，降水量是指水平地面上单位面积的降水深度，用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深度为35 cm 的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水高度正好是桶深的17，求本次降雨的降水量是多少(精确到1 mm)解 由所盛雨水高度正好是桶深的17可知，水深为357＝5(cm)，设水面半径为r ，如图所示，过点B 作BC ⊥AC ，交水面于点C ′，则AC ＝12(38－24)＝7(cm).在△ABC 中，ACA ′C ′＝AC C ′B ，即7r －12＝7，所以，r ＝13(cm). 所以，V 水＝π3×5×(122＋132＋12×13)＝2 345π3(cm 3)，S 上底＝πR 2＝π·192＝361π(cm 2)， 所以，V 水S 上底＝2 345π3361π≈2.2(cm)＝22(mm).所以，本次降水量约是22 mm.18.如图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面). 求：(1)AD 的长； (2)容器的容积.解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180×72，72－x ＝3R .，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12，x ＝36.即AD 应取36 cm.(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6 cm ，圆台的高h ＝x 2－(R －r )2＝362－(12－6)2＝635.∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3).即容器的容积为50435π cm 3.19.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求： (1)棱锥的表面积； (2)内切球的表面积与体积.解 (1)底面等边三角形中心到一边的距离为 13×32×26＝ 2. 则正三棱锥侧面的斜高为12＋(2)2＝ 3.所以S 侧＝3×12×26×3＝9 2.所以S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×32×(26)2＝92＋6 3.(2)如图所示，设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，点O 到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .所以V P －ABC ＝V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －P AC ＋V O －ABC ＝13·S 侧·r ＋13·S △ABC ·r＝13·S 表·r ＝(32＋23)r . 又因为V P －ABC ＝13×12×32×(26)2×1＝23，所以(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2，所以S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π； V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.。