第22章 二次函数知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数
22.1二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
知识点一 二次函数的定义
1.二次函数的定义:一般地，形如)0a ,,(2
≠++=是常数，c b a c bx ax y 的函数，叫做二次函数.
2.任何一个二次函数的解析式都可化成)0a ,,(2
≠++=是常数，c b a c bx ax y 的形式，因此，把)0a ,,(2
≠++=是常数，c b a c bx ax y 叫做二次函数的一般式
3.二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 中y x ,是变量，c b a ,,是常量.自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 必须是不等于 0的实数.
知识点二 实际问题中的二次函数
22.1.2二次函数2ax y =的图像和性质
理解 题意 分析问题中的变量和常量及它们之间的关系
列函数 关系式
22.1.3二次函数()k h x a y +-=2
的图像和性质
第一课时 二次函数k ax y +=2的图像和性质
第二课时 二次函数()2
h x a y -=的图像和性质
第三课时 二次函数()k h x a y +-=2
的图像和性质
22.1.4 二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的图象和性质
第一课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质
知识点一 二次函数
c bx ax y ++=2
与()k h x a y +-=2
之间的关系 利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式:
()k h x a y +-=2
知识点二 二次函数
c bx ax y ++=2的图象和性质 1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，与抛物线2
ax y =的形状相同，位置不同，利用配方法可以将c bx ax y ++=2
转化成顶点式，即
a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++= 2. 二次函数c bx ax y ++=2
的性质
（1）当0>a 时，抛物线开口向上，对称轴为直线a b
x 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a
b 44,22
c bx ax y ++=2
0>a
0<a
开口方向 向上 向下
对称轴 直线a
b x 2-
= 直线a
b x 2-
= 顶点坐标
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--a b ac a b 44,22 增减性
当a b x 2-
>时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小
当a
b
x 2->时，y 随x 的增大而减小；当a
b
x 2-<时，y 随x 的
增大而增大
最值
当
a
b x 2-
=时，a
b a
c y 442-=最小值
当
a
b x 2-
=时，
a
b a
c y 442-=最大值
知识点三 二次函数
c bx ax y ++=2
的图象与系数c b a ,,之间的关系 系数 图像的特征 系数的符号
a
开口向上 0>a 开口向下
0<a b
对称轴为y 轴 0=b
对称轴在y 轴左侧
同号b a ,
对称轴在y 轴右侧 异号b a ,
c
经过原点
0=c 与y 轴正半轴相交 0>c 与y 轴负半轴相交
0<c
第二课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 用待定系数法求二次函数的解析式
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法，用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题便捷。

利用待定系数法求二次函数的解析式时，一般有以下几种情况 （1）顶点在原点，可设为2
ax y =
（2）对称轴是y 轴（或顶点在y 轴上），可设为k ax y +=2
（3）顶点在x 轴上（或抛物线与x 轴只有一个交点），可设为()2
h x a y -=
（4）抛物线过原点，可设为bx ax y +=2
（5）已知顶点()k h ,时，可设顶点式为()k h x a y +-=2
（6）已知抛物线上三点坐标时，可设为一般式c bx ax y ++=2
（7）已知抛物线与x 轴两交点坐标为()()0,,0,21x x 时，可设为交点式为
()()21x x x x a y --=
温馨提示
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式 （3）已知抛物线与y 轴两个交点的横坐标，一般选用交点式; （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
22.2二次函数与一元二次方程
知识点一 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数图象与x 轴的交点情况)：
一元二次方程02
=++c bx ax 是二次函数 c bx ax y ++=2
当函数值0=y 时的特殊情况。

2. 抛物线c bx ax y ++=2
的图象与y 轴一定相交，交点坐标为()c ,0
二次函数图象与x 轴的交点 一元二次方程根（解）
ac b 42-
2个交点 2个不相等的实数根 042>-ac b
1个交点 2个相等的实数根 042=-ac b 无（0个交点） 无实数根
042<-ac b
知识点二 用二次函数的图象解一元二次方程
一元二次方程02
=++c bx ax 可以看成是二次函数c bx ax y ++=2
的函数值等于0时的特殊情况，因此抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程
02=++c bx ax 的解
用二次函数的图象解一元二次方程的近似根时，根的整数部分可以观察图象得到，根的小数部分的探求需用到函数的性质.当x 取21,x x 时，若对应的21,y y 异号，则方程必有一根在1x 与2x 之间，据此采用逐步逼近的方法能使得到的根的精确度越来越高
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆
)
0(2>++=a c bx ax y 的图象
)
0(02>=++a c bx ax 的根
两个不相等的实数根
分别为21,x x
两个相等的实数根
21x x = 无实数根
)
0(02>>++a c bx ax 的解集
21x x x x ><或
1x x ≠
x 为全体实数
)
0(02><++a c bx ax 的解集
21x x x <<
无 无
ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆
)
0(2<++=a c bx ax y 的图象
)
0(02<=++a c bx ax 的根
两个不相等的实数根
分别为21,x x
两个相等的实数根
21x x =
无实数根
)
0(02<>++a c bx ax 的解集
21x x x <<
无 无
)
0(02<<++a c bx ax 的解集
21x x x x ><或 1x x ≠
x 为全体实数
知识点四 求二次函数的最大（最小）值
一般地，当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2
有最低点，即当a
b
x 2-=时，4a b -ac 42=最小值y
当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2
有最高点，即当a
b
x 2-=时，4a b -ac 42=最大值y
注意:当自变量x 有限制时,先判断a b 2-
是否在限定范围内，若在，则二次函数在a
b
x 2-=时，取得最大(或小)值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
知识点五 二次函数与最大利润问题 （1）销售额＝售价×销售量；
（2）利润＝销售额－总成本＝单件利润×销售量； （3）单件利润＝售价－进价.
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧⎩⎨
⎧≥≥-=⨯=和性质求出最大值或利用函数简图利用配方法或公式法求—确定最大利润降价：要保证单件利润涨价：要保证销售量确定自变量取值范围总成本总售价销售量或总利润单件利润总利润—建立函数关系式最大利润问题00
知识点五 建立坐标系研究与抛物线有关的实际问题
（1）建立适当平面直角坐标系解决实际问题的一般步骤： （2）恰当地建立平面直角坐标系 （3）将已知条件转化为点的坐标 （4）合理地设出所求函数解析式
（5）代入已知条件或点的坐标，求出解析式 （6）利用解析式求解问题。