所有的三角形都是等腰三角形
等腰和直角三角形
Байду номын сангаас
…
你有没有发现规律？ 所以P= 2 1 3 2
2002 2001 2003 2002
2003 1
16.求
P
的整数部分a和小数部分b. b= 2003 44 本题转化为求 2003 1 的整数部分a和小数部分b. 求实数的整数部分和小数部分 , 再进行有关计算 ,是数学中常见的题型之一. 可以采用逼近法，找接近于2003的平方数
8
6
又由折叠知，PF=BF,PH=HC 所以，BC=BF+FH+HC =PF+FH+PH=8+6+10=24
五.勾股定理的综合运用
6.如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm 的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这 扇卷闸门撑起 米高. 分析：表面上看似乎 这块木板最多可撑起 80cm高， 18 但如图所示，将卷 闸门撑起，我们通过 80 构造直角三角形，会 发现答案是 182 802 82
例 1(3)题
例 1(4)题
(4)(2010· 宁波)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36° ，BD、CE 分别是 △ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形的有关性质和判定．
【解答】(1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为 7，该三角形 三边为 7、7、3.故选 B. (2)当 40° 为底角时，顶角为 100° ；40° 也可以为顶角．故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB，∴EA＝EB，∴∠EBD＝∠A＝20° .∵∠A＝20° ，AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C＝80° ，∴∠CBE＝80° －20° ＝60° ，故选 C. (4)等腰三角形分别是△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A.
2020宁夏中考数学一轮复习课件 第18讲等腰三角形与直角三角形
5.(2019·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点E 为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB=8， CE=6，则BC的长为______.
6.(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE 平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB=FE.
［解析］过点A作AD⊥BC于点D(或延长线于D)，根据含30度角的直角三角形 的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况： 如图1，当AD在△ABC内部时， 如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解.
变式训练
9cm，1cm或5cm，5cm
16.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若一边上的中线长为4，则△ABC的面积 为______________________. 17.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC的方向平移 m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与点D，E，F对应.若以A，D，E为顶 点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____________.
方法指导
在三角形中，证明两条线段相等或两个角相等，常用的方法是： （1）如果线段或角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”“等角对等边” 来证明； （2）如果线段和角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等，或者通过 等腰三角形“三线合一”来解决.
焦点2 直角三角形的性质和判定
样题2 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D， 若CD=1，则BD=2. ［解析］根据角平分线性质求出∠BAD的度数， 根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD. ∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2. ［点评］本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用， 求出AD的长是解此题的关键.
春四年级数学下册三角形分类练习题1 北师大版
《三角形分类》一、竖式计算7.5-3.4＝ 43.2-0.68＝ 10.7-5.7＝5.4+32.6＝6.14-3.45＝ 18-3.55＝二、脱式计算。
4.36＋5.64＋8.3 37.7-（9.8＋7.7） 19.57-2.37-3.63三、化单位填空。
8.37米＝（）米（）分米（）厘米3平方米58平方分米＝（）平方米2.67元＝（）元（）角（）分6.08吨＝（）吨（）千克1吨63千克＝（）吨850厘米＝（）米9分米＝（）米3.6吨＝（）吨（）千克3千克30克＝（）千克3千克30克＝（）克老师的话：三角形按角的不同，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，没有边相等的三角形叫不等边三角形，凡是有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，三条边相等的三角形叫做等边三角形。
其中，所有的等边三角形都可以算是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
一、填空。
1.三角形有（）个角，（）条边。
2.三角形最多有（）个锐角，最多有（）个直角，最多有（）个钝角。
3.三角形按边分类可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。
4.三角形按角分类可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。
5.一个三角形中最少有（）个锐角，最多有（）个钝角。
6.等边三角形又叫（）三角形，它的三条边都（），三个角也（），每个角都是（）度。
7.等腰三角形两条（）相等，有两个角（），相等的两个角叫做它的底角。
二、判断题。
1.一个三角形里有两个锐角，必定是锐角三角形。
（）2.一个三角形里至少有两个锐角。
（）3.所有的等腰三角形都是锐角三角形。
（）4.等腰三角形都是等边三角形。
（） 5.所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形。
（）6.由三条直线围成的图形叫做三角形。
（）7.在一个三角形中，不可能有两个或两个以上的直角。
（）8.在同一个三角形中，只能有一个角是钝角。
（）9.一个三角形中，至少有两个角是钝角。
（）10.有两个角相等的三角形是等腰三角形。
几种三角形之间的联系和区别
几种三角形之间的联系和区别
三角形是由三条边和三个角组成的图形。
根据三角形的边和角的不同特征，可以将它们分成几种不同的类型，以下是三角形之间的联系和区别：
1. 直角三角形：直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
因为直角三角形的角度比较特殊，所以它有很多特殊的性质和计算方法。
2. 等边三角形：等边三角形的三条边相等。
因为它的三个角度也都相等，所以它也是等角三角形。
等边三角形有很多特殊的性质，比如它的高、中线、角平分线、垂线都相等。
3. 等腰三角形：等腰三角形是指两条边相等的三角形。
因为等腰三角形的角度和边长比较特殊，所以它也有很多特殊的性质和计算方法。
4. 锐角三角形：锐角三角形是指所有角度都小于90度的三角形。
因为它的角度比较小，所以它有很多特殊的性质和计算方法。
5. 钝角三角形：钝角三角形是指其中一个角大于90度的三角形。
因为钝角三角形的角度比较大，所以它的性质和计算方法和其他三角形有些不同。
总的来说，不同类型的三角形有不同的性质和计算方法，但它们之间都有着一些联系和相似之处，比如所有三角形的内角和都是180度，所有直角三角形的两
个锐角都是锐角三角形的直角。
初三数学上册第一单元预习知识点
初三数学上册第一单元预习知识点第一章证明一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质：⑴等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)⑵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)⑶等腰三角形的两底角的平分线相等。
(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)⑷等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
⑸等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
⑹等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。
(可用等面积法证)⑺等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
特殊的等腰三角形——等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。
(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形)。
2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等11、直角三角形全等的判定有5种：⑴两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)⑵两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)⑶三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)⑷两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)⑸斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
等腰直角三角形的判定公式初中数学
等腰直角三角形的判定公式初中数学等腰直角三角形是三角形知识中最为特殊的图形，也是最容易理解的图形。
等腰直角三角形的判定①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上(直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点)。
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
在判定的过程中，我们要时刻谨记的就是它具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ． 由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
等腰三角形边长公式(等腰直角三角形边长公式)
等腰三角形边长公式（等腰直角三角形边长公式）等腰直角三角形边长公式：a*a+b*b=c*c。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形的斜边=√2倍的直角边。
有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形(一个角是直角)和一种特殊的直角三角形(两个直角等。
).因此，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质(如三条线的统一性、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等。
).判定方法一：根据定义，有一个直角的等腰三角形或两个边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：有三条边之比的三角形是等腰直角三角形。
证明勾股定理逆定理表明三角形是两条边相等的直角三角形，满足等腰直角三角形的定义。
方法三：底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
方法四：有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
求法如下：等腰三角形两条边相等，一条边不相等。
等腰三角形边长公式：在△ABC中，a²=b²+c²-2bc*cosA此定理可以变形为：cosA=(b²+c²-a²)÷2bc。
简介：等腰三角形（isosceles triangle），是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
等腰三角形的性质
问题的提出：
??????
等腰三角形有哪些特殊性质？
探究等腰三角形有哪些特殊性质？
让我们一起来动手探索 在纸片上作一个等腰△ABC，其中AB=AC，把三 角形对折，使两腰AB、AC重合，折痕与BC的交 点为D，你发现折痕AD是△ABC那些线？ l
AD是三角形的顶角平分线 AD是三角形的中线 AD是三角形的高
o
。
4.在△ABC中，AB=AC，BD是高，且 ∠ABD=70 °则∠A=______
20°或者160
1.已知：如图，在△ACB中，AB＝AC，点D在AC上， 且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
A
D
C
ห้องสมุดไป่ตู้
B
2、已知：如图，在△ACB中，AB＝AC，CD⊥AB于D。 （1）若∠A=40°求∠ DCB的度数．
即 BD=CE
B
D
F
E
C
练习：
一、判断：
1、如图1：
B D
A
1 2
(错)
∵AB=AC ∴∠1=∠2 2、如图2：
B
图1
A
E
C
图2
（错）
C A
∵AB=BC ∴∠B=∠C
二、填空：如图3。根据等腰三角形性质定理的
推论， 在△ABC中，AB=AC时，
1、∵AD ⊥ BC∴∠ 1 = ∠ 2 ， BD= DC 。
A
∵ △ABC是等边三角形 B C ∴AB=BC=AC ∴ ∠A= ∠B= ∠C （等边对等角） ∵ ∠A+∠B+ ∠C=180 °（三角形的内角和180 ° ） ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
°
例题解答
例1、如图所示，点D、E在△ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，BD与CE相等吗？为什么？ 解：过点A作AF ⊥BC于F。 A ∵△ABC中AB=AC， AF ⊥BC （已知） ∴ BF=CF （三线合一） △ADE 中AD=AE ，AF ⊥BC （已知） ∴ DF=EF （三线合一） ∴ BF-DF=CF-EF
三角形的分类与特征
三角形的分类与特征三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成，两线段之和大于第三线段。
根据三角形的边长和角度特征，可以将三角形分为不同的分类。
一、根据边长分类1. 等边三角形：三条边的长度相等。
等边三角形的特征是三个内角都为60度。
等边三角形的周长等于三条边的长度之和。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
等腰三角形的特征是两个底角（底边所对的两个内角）相等。
等腰三角形的周长等于两条等边的长度加上底边的长度。
3. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
普通三角形没有特殊的角度特征，可以根据角度大小进一步分类。
二、根据角度分类1. 直角三角形：其中一个内角为90度。
直角三角形的特征是两条直角边的长度满足勾股定理。
直角三角形的斜边是最长的一条边。
2. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。
钝角三角形的特征是两条边的平方和小于第三条边的平方。
3. 锐角三角形：所有内角都小于90度。
锐角三角形没有特殊的边长关系，可以根据边长大小进一步分类。
三、根据边长与角度分类1. 等腰直角三角形：两条直角边的长度相等。
等腰直角三角形的特征是两个底角相等，且底角为45度。
等腰直角三角形是最常见的特殊三角形之一。
2. 等边锐角三角形：三条边的长度相等且所有内角都小于90度。
等边锐角三角形的特征是三个内角相等，且每个内角都小于60度。
3. 等腰钝角三角形：两条边的长度相等且其中一个内角大于90度。
等腰钝角三角形的特征是两个底角相等，且底角大于90度。
在实际生活中，三角形的分类与特征有着广泛的应用。
我们可以利用三角形的特征来解决一些实际问题，如测量不规则地形的高度、计算建筑物的倾斜度等。
总结起来，三角形根据边长和角度特征可以分为等边三角形、等腰三角形、普通三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等。
了解三角形的分类与特征有助于我们理解几何学中的相关概念，并且可以应用于解决实际问题中。
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“我们的教科书真实率低于5%，连数学也不例外，年轻人要敢于怀疑。越是从小学习，看起
来理所当然的知识越值得怀疑。任意三角形其实都是等腰。。。”1968年冬天，在刺骨的寒风
中，数学教授刁逸思凛然站在后海的岸边，最后一句尚未说完，便被疯狂的红卫兵挂上石头
沉入了后海。
钓鱼自重
在我们的少年时代，有很多人都有这样的经历，在各种平面几何问题中抓耳挠腮，证明
来证明去，为了证明一个边是与另一边相等的而浪费了精力，荒废了青春。很多人因为不会
证明平面几何中关于三角形的问题，遭到父母的毒打，乃至与梦中的重点中学、大学失之交
臂。可又有多少人知道，其实任意三角形都是等腰的！多数三角形尽管看起来两边不一样长，
但是早在欧几里得时代，伟大的古希腊数学家们就早已通过严格的数学证明了所有三角形都
是等腰！可是在中国，黑暗的中国教育界却可耻的隐藏了这一秘密，当今中国几乎就没有人
知道三角形有两边一定相等这一本该人尽皆知的秘密！
本来准备换个别的的，不过谁让几何原本这么著名呢。。。
众所周知，平面几何的最经典著作当属欧几里得的《几何原本》，当今所有的平面几何
课本都基本按照原本的框架讲述。而关于任意三角形都是等腰三角形的证明，却在《几何原
本》这一伟大著作在建国初期被翻译引入时，为了统治阶级的需要而删去，下面贴出古希腊
数学家给出的证明：
已知：△ABC
求证：△ABC为等腰三角形
证明：如图，作∠BAC的角平分线AE、BC的中垂线DE交于
点E，过点E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，连结BE、CE。
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC
∴△AEF≌△AEG
∴AF=AG , EF=EG
∵DE垂直平分BC
∴BE=CE
∴RT△BEF≌RT△CEG
∴BF=CG
∴AF+BF=AG+CG
∴AB=AC
∴△ABC为等腰三角形 证毕
都是很基础的几何公式，却证明出了一个被掩盖数十年的真相：任意三角形为等腰三角
形！从古到今，几乎所有国家的数学书上都白纸黑字的写着三角形至少有两边相等。1949
年新中国成立后，所有数学课本上则明确区分了等腰三角形和不等腰三角形。同时，所有民
国时期的数学课本均被销毁。这样做的真实目的，是为了让小学生初中生在数学的苦海中挣
扎，让他们把自己的全部精力耗尽于证明各种等腰相关的平面几何题，这样他们便不会有精
力心生叛逆上街游行闹事。这愚民一措施在八十年代末九十年代初得到进一步推广和加深，
其目的已是昭然若揭！
下面博士论文题目向赵文武博士致敬
对平面几何被如此猖狂的扭曲，大多数中国人选择了失忆和沉默，只有一个人站了出
来。。。9月木有31天。。
刁逸思，1909年9月31日生于广州，1928-1936年就读于南京国立中央大学数学系。
年少时即表现出天才般的数学造诣，其博士论文《仅在11维欧几里得空间中存在的非等腰
三角形》引起国内外数学界的震惊。刁与同一时期在清华大学崭露头角的华罗庚一起被认为
是中国数学界的两大青年才俊，并称“南刁北华”。两人成为惺惺相惜的挚友。建国后，华罗
庚内敛、现实的性格使他在历次运动中采取了随波逐流、明哲保身的无奈态度。而刁逸思则
固执地遵循着在民国故都接受的道德教化，使他保留了坚持真理、敢怒敢言、不向任何威权
妥协的君子遗风。50年代末，刁逸思无法接受所有数学课本上不把三角形与等腰三角形等
同的做法，坚持传授所有三角形均为等腰的秘密，同时积极研究“所有三角形都是等边三角
形”这一数学史上与哥德巴赫猜想并称数学王冠上两粒璀璨明珠的终极猜想，却在已经取得
突破性进展即将发表论文时在反右运动中被打倒。同样在历经打击后，华罗庚忍辱负重，违
心地附和“数学要为工农兵的实际生产服务”，并多次暗示好友妥协，“留得青山在”，刁逸思
却毫不动摇，继续坚持着三角形至少有两边相等。最后，在文革中，不明真相的红卫兵被煽
动起来，将刁逸思插上“反革命学术异端”的牌子，游街批斗后沉塘。
向帝吧致敬！屌毅丝不挂！
在挂上了石头，被推下后海的最后一刻，刁逸思面对已经失去理智的红卫兵，仍然从容
地说：“我们的教科书真实率低于5%，连数学也不例外，你们年轻人要敢于怀疑。越是从小
学习，看起来理所当然的知识越值得怀疑。越早让你们学，越是有人迫切地希望你们在没有
辨别能力的时候学进去。因为你们大了就不那么好骗了。所有的三角形，都是等于等腰的。。”
在一片“打倒反革命疯子刁逸思！”的喊声中，一代几何学大师就这样被扔进了水中。
在那个人人自危的年代，华罗庚强忍着心中的悲痛，一直不敢公开表达对刁逸思的悼念
之情。1978年刁逸思被平反，华罗庚第一个来到刁的墓前。他的眼泪像断了线的珠子一样
不停地流，“逸思兄，我来晚了……”
刁逸思之后，中国再没有人敢公开支持任意三角形是等腰。后来也曾有民间团体将上面
的证明用图整合到徽标上，希望籍此暗语提醒世人“任意三角形为等腰”的事实。甚至通过自
残等乖张怪异的举动吸引注意，未料无人知其苦心，意图却被官方首先识破，不得不流落异
乡。后来该团体也曾委托某民主大国著名科学家，严谨文学作家JK Rolling女士以等腰三角
形符号为核心写出一套供中国未成年人启蒙的丛书，希望借此警醒中国的下一代，不料却在
翻译引进的过程中被当局反复删改，面目全非，从此，任意三角形是等腰三角形的秘密也就
渐渐不为人知了。
哈利波特都出来了再有人信我就木有办法了。。。
最近 关于π=4的说法甚嚣尘上，虽然很多人从生活常识上认为是错误的，但我
还没看到有从正面推翻的，因此，这里发帖给一些不是太懂的人看看，大家共同
讨论下
以下是原推论图
接着又有人恶搞模仿推出三角形两边和等于第三边 因为利用的是和推导
π=4一样的理论，为了便于大家理解，所以我就直接拿这个图来分析 图如下
从图可知 要证明a+b=第三边 上面的理论是a+b与第三边的差值越来越小
最后趋近于零，所以可证。
但是，在这里犯了一个可以说是断章取义的错误。
从图里可以看到，每次折叠后，理论所用的都是一个三角形里两边和与第三
边的差值，但是却忽略了随着折叠次数的增加，这个差值的个数也在增加，因此，
实际的差值应该是一个三角形内两边和与第三边的差值乘以差值的个数。
所以，随着折叠次数的增加，小三角形的个数也在增加，虽然一个三角形里
的差值越来越小，最后趋近于无穷小，但是这个差值的个数也在增加，最后趋近
于无穷大，那么，拿去穷小乘以无穷大，显然是不可能得到零的，因此，这个推
论也就不可能成立，同理，π=4的推论也就不能成立。
当然，蔡英闻处女士说过：一个民主的国家不能没有反对的声音，不能没有
制衡的力量。我们要学会包容，学会倾听不同的声音。