等腰三角形的性质及应用讲义
探索等腰三角形学习等腰三角形的性质和应用
探索等腰三角形学习等腰三角形的性质和应用等腰三角形是我们学习中的一个重要几何形状，它具有独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等腰三角形的定义、性质以及在实际生活和其他学科中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 等腰三角形的底角（底边两侧的角）是相等的；2. 等腰三角形的两条腰（边长相等的两条边）是相等的；3. 等腰三角形的顶角（底边上的角）与底角互补，其度数等于180减去底角的度数。
二、等腰三角形的应用1. 几何学中的应用等腰三角形在几何学中有广泛的应用。
首先，等腰三角形的性质可以帮助我们解决一些三角形的计算问题。
例如，如果我们知道等腰三角形的底边和顶角的度数，我们可以利用等腰三角形的性质计算出腰的长度和底角的度数。
这样，我们就可以在解决几何问题时更加方便快捷地得到答案。
其次，等腰三角形还可以用来证明其他几何定理。
例如，在证明等边三角形的性质时，可以利用等腰三角形的性质来推导等边三角形每个角度均为60度的结论。
除了这些基本应用外，等腰三角形还可以帮助我们研究其他几何形状的性质，如正多边形等。
2. 物理学中的应用等腰三角形在物理学中也有应用。
例如，在力学中，我们常常需要分解一个力为两个分力，使其作用在不同的方向上。
如果已知力的大小和夹角，我们可以利用等腰三角形的性质来计算出分力的大小和方向，从而解决相应的物理问题。
3. 工程学中的应用在工程学中，等腰三角形的性质被广泛应用于建筑和设计中。
例如，在建筑设计中，设计师常常使用等腰三角形的概念来确定建筑物的结构和比例。
此外，等腰三角形的特性还可以为工程学中的制造和加工提供便利。
例如，在机械加工中，我们可以利用等腰三角形的性质来确定零件的尺寸和角度，从而保证机械装配的准确性和稳定性。
总之，等腰三角形是几何学中一个重要的概念，它具有独特的性质和广泛的应用。
通过学习等腰三角形的定义、性质以及应用，我们可以更好地理解和应用几何学中的相关知识，同时也能够将等腰三角形的原理运用到实际生活和其他学科中，为问题解决提供帮助。
初二等腰三角形讲义
课 题等腰三角形教学目的1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、 会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固：1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.2．等腰三角形的性质：1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
3．等腰三角形的判定：ABC1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
等腰三角形一个性质的证明及其应用
等腰三角形一个性质的证明及其应用等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高是由等腰三角形定义导出的一个重要性质，它的证明方法包括截长补短法和面积法.本文就这个性质的证明及应用略谈浅见.等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它具备一般三角形不具备的特殊性质，譬如等腰三角形最典型的一个特性，就是在这个三角形中有两条边相等.我们运用等腰三角形的这个特性可以进一步研究探讨，从而得到如下一个性质.一、性质等[WTBX]腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.三、性质的两个推论推论1：等腰三角形底边延长线上的一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.推论2：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于一边上的高.上述两结论的证明仍然可以用上面的面积法证明，这里略去证明过程.四、性质的应用对于等腰三角形的这个性质和推论，在解决某些填空或选择题是可以直接应用，在解决某些解答题时需要先进行性质的证明.分析：根据矩形的性质可知△AOD是等腰三角形，所以本题即求其底边上任意一点到两腰的距离之和，结合原始结论知这里的EG+EH就等于Rt△ADC中AC边上的高，由此可以迅速得到本题的答案是2.4.应用2：如图3，在正方形ABCD的对角线BD上取BE=BC，连接CE，P是CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BD，Q、R是垂足.求证：PQ+PR=12BD.分析：本题初次入手感觉很困难，但如果根据BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，因为PQ⊥BC，PR⊥BD，则PQ+PR即为底边上任意一点到两腰的距离之和，结合性质可以知道PQ+PR=CO，而CO又是等腰直角△BCD斜边上的高，所以CO=12BD，由此PQ+PR=12BD得证.五、反思教者在教学过程中，通过对上述问题的研究，充分挖掘基本图形的性质，发挥习题功能，深入剖析，引导学生探究发现相关重要结论，为解决其他问题提供思路，找到解决问题的突破口.作为教者要不断给学生提供创造性因素，开展尝试和探究，经历“再发现，再创造”的过程，这样才能有利于发展和提高学生的解题能力及触类旁通的能力.。
倍思教育讲义-----___等腰三角形
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 13、如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对
△ADE的形状最准备的判断是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确
CD的夹角是多少度？
2、．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长 分别是20cm和16cm，求AD的长．
3、如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是 CD的中点．
求证：AF⊥CD.
4、如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且 ∠ABD=∠ACE，
等腰三角形
一、知识要点：
1.等腰三角形的性质： （1）性质定理内容：等腰三角形的两个底角相等．（简写：等边对 等角） （2）定理的作用是证明同一个三角形中的两个角相等． （3）性质定理的推论1：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂 直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互 相重合． （4）推论1的作用：可证明角相等，线段相等或线段垂直． （5）性质定理的推论2：等边三角形的每条边相等，每个角都等 于． （6）等腰直角三角形的两个底角都等于． （7）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角或钝角，但顶角都 可以． 2．等腰三角形的判定 （1）定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等．简写成“等角对等边”．（此定理可用来证明同一个三角形中 的线段相等） （2）推论1：三个角相等的三角形是等边三角形．
定形状 二、填空题 1、等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度． 2、等腰三角形“三线合一”是指___________． 3、等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是 _________． 4、△ABC中，AB=AC．点D在BC边上
八年级上册数学讲义等腰三角形
13.3等腰三角形-13.4最短路径1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；K—重点分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形60︒【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是30︒60︒A．B．150︒30︒150︒C．D．或【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．801．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是A ．B ．或C ．或D ．80︒80︒20︒80︒50︒20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．6条3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC △AB AC D =，BC 35BAD ∠=︒C ∠=7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，如果AB =BD =DC ，且∠C =40°，那么∠A =__________°．9．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．10．如图，在△ABC 中，，是边上的中线，于，试说AB AC =AD BC BE AE ⊥E 明．CBE BAD ∠=∠11．已知在△ABC 中，AB =5，BC =2，且AC 的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，且AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．。
人教版八年级数学上册 等腰三角形的性质 讲义
等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（ ）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（ ）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
等腰三角形的性质与判断及应用
等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。
最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。
当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。
若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。
另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。
【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。
例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。
例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。
2019届中考数学一轮复习讲义第27讲等腰三角形
2019届中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A ,底角为∠ B、/ C，则∠ A=180—2 ∠ B，/ B= ∠180 AC=—22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
学！科网推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 :有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二•等边三角形1•定义三条边都相等的三角形是等边三角形• 2.性质:3•判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1•定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2•性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3•判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的和谐分割线”.如图，线段CD是ABC的和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相【解析】试题分析：T △比CDS AEA∙G∕∙Z⅛CD=Z44h ,'∕Δ⅛CD是等腰三角形，,∕Z ADC>Z BCD J.'.Z AD OZA J即AC≠CD,①⅛AC?=AJ）时’ ZACD=ZADC=^ =67, .∖ZACE=670+4S C=113° *■②当DADC 时，ZCD=ZjL= 46 Q R √.ZACB=46" +46' =93Q J 故答案为M时或财-考点：1∙相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】如图，AD , CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC , ∠ CAD=20 ,则∠ ACE的度数是( )A. 20 °B. 35 °C. 40 °D. 70 °【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析；先⅛据等腰三角形的⅛m及三角形内角和定S⅛⅛ZCAfr=2ZCADM0% ZB=ZACH £( IS^ZCAB) =70°.再禾U用角平分线定义即可得出ZX*E W√ACB=3實.徉解::AD 是∆ABC 的中线』AB-AC J. ZaAD=20%/.ZCAB=2ZQAD=40S ZB=ZACB=I (IS^-ZCAB) =70t.ICE是AABC的甬平分线，∕÷ ZACE=i ZACB=JS ci.Z故选:B.点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70是解题的关键.考点典例二、等腰三角形的多解问题1【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰ABC中，AD BC交直线BC于点D ,若AD -BC ,2则ABC的顶角的度数为 ____________ .【答案】30°或150°或90°. 【解析】 试题分析：①BC 为腰,1∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= BC ,/∙∠2②BC 为底，如图3,CAD= - ×80 °90 °2腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 【举一反三】（湖南省衡阳市船山实验中学 2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为 70°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）ACD=30° ,如图1 , AD 在△ABC 内部时, 顶角∠ C=30 ,如图2，AD 在△ABC 外部时,顶角∠ ACB=180 - 30o=150°,∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= I BC,∙∙∙ AD=BD=CD , ∙∙∙ ∠ B= ∠ BAD , ∠ C= ∠ CAD , /. ∠ BAD+ ∠【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边∙顶角∠ BAC=90 ,来源学科网ZXXMA. 35 °B. 20 °C. 35 °或20 °D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35° 70°是底角，顶角是40°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】已知:在附鳥中,悴F T&I,为的中点V-銅，：■,垂足分别为点,且册•罔•求证:1是等边三角形.【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题【答案】证明见解析MMfi】分析；由等腥三角形的性质得SUZR=NG再用HL证明I∆CTF,得到厶IYG从而得到ZAQNG即可得到结论，徉解:「密FU /.Z5=ZC.∖'DElAB f DFLBC J ,\ZD£^=ZDFO90&.丁D为的卫匚中⅛jλΣfA=DC.又YDE=D F, -IR L AAE实RlACDF (HL),--ZJi=N方-ΞZ^C?：-AA^C是等边三角形- 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质•解题的关键是证明∠ A=∠ C.【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟 )如图所示，AABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ , PR=PS, PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S, ?则对下面四个结论判断正确的是()①点P在∠ BAC的平分线上，②AS=AR , ③QP// AR , ④厶BRP^Δ QSP.A.全部正确；B.仅①和②正确；C.仅②③正确；D.仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∙∙∙PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S.∙∙∙∠ARP= ∠ ASP=90 .∙∙∙ PR=PS, AP=AP..∙. Rt △A RP也Rt AASP.∙∙∙ AR=AS ,故（2）正确，∠ BAP= ∠ CAP..AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确.∙AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.∙∙∙ AQ=PQ.∙点Q是AC的中点.∙PQ是边AB对的中位线.∙PQ // AB ,故（3）正确.∙.∙∠ B= ∠ C=60 ,∠ BRP= ∠ CSP=90 , BP=CP.•••△ BRPQSP,故（4）正确.•全部正确.•故选A.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】.如图，MM中，川,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作的平分线交•于点；②作边的垂直平分线，'与！相交于点；③连接•，'.请你观察图形解答下列问题：（1） __________________________________________ 线段PA^B^C之间的数量关系是（2）若曲吭-潜，求的度数.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】（1）•：'「二-b 二V; （2）80°【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC;（2）根据等腰三角形的性质得：∠ ABC= ∠ ACB=70 ,由三角形的内角和得：∠BAC=180 -2 ×0°=40°，由角平分线定义得：∠ BAD= ∠ CAD=20 ,最后利用三角形外角的性质可得结论.详解：（1）如图，PA=PB=PC ,理由是：∙∙∙ AB=AC , AM 平分∠ BAC ,∙∙∙ AD是BC的垂直平分线，∙∙∙ PB=PC ,∙∙∙ EP是AB的垂直平分线，∙PA=PB,∙PA=PB=PC ;故答案为：PA=PB=PC ;⑵ 丁AE=AG/.Z ABC-Z ACE-VO O J.∖ ZBAC=I 80o-2^70c=40e,TANl 平分ZBAC,.,.ZBAD=ZCAD=2fl D,TPA=PB=PG・∖ ZABP= Z BAP=ZACP»20C,/. ZBPc=ZABP-Z BAC+Z ACP=20 i→0fr-2 =So S.点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.【举一反三】（2018广西钦州市中考模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90 ,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M和点N ,作直线MN 交AB于点D ,交BC于点巳若AC=3 , AB=5 ,则DE等于（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得AC +CE =AE+ （4-AE ）即3=AE解得：AE=在Rt △ADEAD= AB=勾股定理得) DE +(=(解得：DE=故选C.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC , AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40，24,则AB为（）S CA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∙∙∙DE是AB的垂直平分线，ME = RE :的周长任「Δ EHC的周长I = EE + EC + IiC =AE^ Ec [ IiC = AC + 甘：.∙. I总盒强:的周长—M 泪的周长=AB ,∣ΛZP=40-24=16.故选C.点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2. （2017黑龙江大庆）如图，ΔABD是以BD3. 已知 汀 口耽：，用尺规作图的方法在 冋上确定一点冈，使Un ,则符合要求的作图痕迹是ΔBCD 中，∠ DBC=90° ∠ BCD=60° DC 中点为E , AD 与BE 的延长线交于点 F ,则∠ AF B 的度数为（）A. 30 °B.15 °C.45 °D.25 °【答案】B【解析】解：τ∠ DBC=90° E 为 DC 中点，∙∙∙ BE=CE=CD ,τ∠ BCD=60° Λ∠ CBE=60° ∕∙∠ DBF=30°∙∠ ABF=75° ∙∠ AFB=180° - 90° - 75°=15° 故选B .为斜边的等腰直角三角形, •••△ ABD 是等腰直角三角形，∙∠ ABD=45° , A.【答案】D【解折】分析：夷使PZPC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足遗个条件，故D 正确. 详解：D 选项中作的是AB 的中垂线，.∖PA=PB.'.PB-PC-BC J∕r PA+PC=BC故选D*点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB .4.（河北省故城县运河中学 2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为（）A. D. 3 【答案】CB.C.【解析】如图，作CD丄AB ,贝U CD是等边△ABC底边AB上的高,根据等腰三角形的三线合一，可得AD=I ,所以，在直角ΔADC中，利用勾股定理，可求出CD= =面积计算公式，解答，代入出S AABC = ×2×故选：C．5. （2017-2018 学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在于占4八、、于占4八、、边的中点，连接则下列结论①②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∙∙∙BM丄AC于点M, CN丄AB于点N , P为BC边的中点,PN= ∙∙∙ PM=PN ,正确；②∙∙∙∠ A=60 , BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N ,∙∠ ABM= ∠ ACN=30 ,在 AABC 中，∠ BCN+ ∠ CBlvF 180° -60 °-30 °×2=60° , •••点P 是BC 的中点，BM 丄AC , CN 丄AB , ∙ PM=PN=PB=PC ,∙∠ BPN=2 ∠ BCN , ∠ CPM=2 ∠ CBM ,∙∠ BPN+ ∠ CPM=2 (∠ BCN+ ∠ CBM ) =2×60°=120° , ∙∠ MPN=60 ,•••△ PMN 是等边三角形，正确； 所以①②都正确.PM= BCBC ,故选C .6.在平面直角坐标系中，点 A （ J2 ,迈）,B （ 3J2 , 3丿2 ）,动点C 在X 轴上，若以A 、B 、C 三点为 顶点的三角形是等腰三 角形，则点C 的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】B . 【解析】试爾分析:SC≡√∕AB 所在的M ⅛⅛Sy = X ,Λ⅛ AB 的中垂线所在的直线野二 V 丁点BZCgZ 的中点坐 ⅛⅛（2∙d, 2 如 把 x=2√∑,产 2√Σ 代AF = -K+占，解得 b=4√2, …朋的中垂线所在的S÷⅞≡y = -χ+4√2 , .'.C 1 ¢4^, O ）J決点启为圆^以期的长为半^画弧P 与-轴的交点为点55 ^B √（3√2 -√2）z + （3√2 -√2）z =4, V3√2>4,圆心，以朋的长九半径画弧 与耳轴沒有交点.综上，可得若以久趴€三点为顶点的三角形是等腰三角形P 则点f 的个数为取故选亠考点：1.等腰三角形的判定；2•坐标与图形性质；3•分类讨论；4 •综合题；5•压轴题.7（浙江省上杭县西南片区 2017-2018学年八年级上册期末模拟 ）如图，在 MBC 中，∠ B= ∠ C, AD 为AABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A. AABD ACDB. AD为ΔABC的高线C. ADD. ΔABC是等边三角形为ΔABC的角平分线【答案】D【解析】试题解析：τ∠ B= ∠ C, ∙∙∙ AB=AC ,∙∙∙ AD是△ABC的中线，∙AD丄BC ,∠ BAD= ∠ CAD ,即AD是ΔABC的高，AD为△ABC的角平分线,∙∠ADB= ∠ ADC=9°0 ，在ΔABD和ΔACD中•••△ ABD BΔ ACD ,即选项A、B、C 都正确，根据已知只能推出AC=AB ，不能推出AC、AB 和BC 的关系，即不能得出△ABC 是等边三角形，选项D 错误，故选D ．二、填空题8. （2018广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知ΔABC和ΔAED均为等边三角形，点D在BC边上，DE 与AB相交于点F,如果AC=12 , CD=4 ,那么BF的长度为__.答案】解析】试题分析：△ABC 和△AED 均为等边三角形，~ ?ACD, 又2017-2018 学年八年级上期末模拟 ）已知：点 P 、Q 是 △ABC 的边 BC 上的两个 ,∠BAC 的度数是（ ） 9. （ 山西省汾西县双语学校点，且 BP=PQ=QC=AP=AQA. 100 °B. 120 °C.130 °D. 150【答案】B【解析】VPctAP=AQ l l.∖ ZAP Q= ZPAQ= ZAQP=605,ZAP=BP,.∖Z B-Z TAB J Z,∖PQ-Z B÷ZPAB-SO C）,∖ZB=ZTAB=SO fi,同理ZQAC=ZC=30%.∖ZBAoZPAQ十ZPAB十ZQAOl2'O HS.故选B. I10.（浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC ,其中AB=AC=17cm , BC=16cm ,则三角形的面积为___________ cm2.【答案】120 【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD= =15cm ，再利用三角形面积公式求S AABC = BC?AD=×16×15=120cm2故答案为：120.11.（浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°则等腰三角形顶角的度数是________[来]【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形,一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图 1 ,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ ABD=40 ,∙∙∙∠A=50 ,即顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ DBA=40∙∙∙∠ BAD=50 ,∙∙∙∠ BAC=130 .故答案为：50或130.12.（浙师大附属秀洲实验学校 2017-2018学年九年级下学期第三次模拟 ）已知□ ABCD 中，AB=4, ABC 与 EDC 的角平分线交AD 边于点E , F ，且EF=3,则边AD 的长为 ___________________ .【答案】5或11;【解析】∙∙∙ BE 平分∠ ABC,∙∠ ABE= ∠ CBE ,•••四边形ABCD 是平行四边形，∙ AD // CB , CD=AB=4 ,∙∠ AEB= ∠ CBE∙∠ ABE= ∠ AEB ,∙ AE=AB=4 ,同理：DF=CD=4 ,分两种情况：∙ AD=AE+EF+DF=4+3+4=11∙ AF=1 , ∙ AD=AF+DF=1+4=5; ①如图1所示：∙∙∙ EF=3②如图2所示:■/ EF=4 ,AE=DF=4综上所述: AD的长为11或5;故答案为：5或11.13. （2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , CB=CD ,对角线AC , BD 相交于 点0,下列结论中：① ∠ ABC= ∠ ADC ；② AC 与BD 相互平分；③ AC ，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；1④ 四边形ABCD 的面积S= AC?BD .2试题解析：①在 △ABC 和ΔADC 中,AB AD∙∙∙ BC CD ,AC AC•••△ ABC ADC ( SSS),∙∙∙∠ ABC= ∠ ADC ,故①结论正确；②•••△ ABC BΔ ADC ,∙∠ BAC= ∠ DAC ,∙∙∙ AB=AD ,• OB=OD , AC 丄 BD ,而AB 与BC 不一定相等，所以 AO 与OC 不一定相等,故②结论不正确； ③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的∠ BAD 、/ BCD,1 而AB 与BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的对角; 故③结论不正确；④∙∙∙ AC 丄 BD ，［来源学科网］•••四边形ABCD 1 1 1的面积 S=SSS 3 2 BD ?A O + 2 BD ?CO = 2 BD ?（AO+CO ）=AC?BD . 2故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.14.等腰三角形 中，顶角为 ，点在以为圆心，'长为半径的圆上，且为 _________ .【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即【解答】如图：分两种情况进行讨论■■■ ^PBC = ^ABP + ^ABC= Ilo Dl 同理：^AffP r ^^BAC ）J-ABP a■ 2.BAC = 40\ LABC = tβo"-+t>*1 Λ ^P I ffC = ^AeC-= 30°.故答案为：3^或】1孑【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边 ABC 的内部，且PC 6,PA 8,PB 10 ,将线段PC绕点C 顺时针旋转60o得到P'C ,连接AP',则Sin PAP'的值为 ___________________ . 【答案】35∙∙∙ CP=CP =6,∠ PCP =60°•••△ CPP 为等边三角形，• PP =PC=6•••△ ABC 为等边三角形，• CB=CA , ∠ ACB=60 ,∙∠ PCB= ∠ P' CA在△PCB 和 ΔP ,CA 中 PC PCPCB PCACB CAτ 62+82=102,• PP 2+AP 2=P'A,∙ PB=P A=10,［来源学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用
等腰三角形的性质：
性质1▲等腰三角形的两个底角相等。
（简写成: 等边对等角. ）
性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。
（简写成:等腰三角形的“三线合一”）
性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
用几何符号语言表达：
性质1
性质2
注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ）
等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系
1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )
A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm
2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )
A ．4.8cm
B ．9.6cm
C ．2.4cm
D ．1.2cm
3.若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒
∵AB ＝AC
∴∠B ＝∠C （等边对等角）
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”）
∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）
【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC
于D，求∠CBD的度数．
【例2】在ABC
∆中，AB AC
=，BC BD ED EA
===．求A
∠的度数．
【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数．
【例4】如图所示，已知ABC
∆中，D、E为BC边上的点，且AD AE
=，BD EC
=，求证：AB AC
=．
A
B C
D E
例题精讲
【例5】ABC ∆中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ． 求证：EG EC =．
1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，求三角形三个内角的度数．
2. 如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=，DE 垂直平分AC ，求BCD ∠的度数.
3. 如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE 。
巩固练习 G F E D C B A
4.在ΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。
求证：BD=2CE.
1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点
P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
2.如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．
(1)如果点P ，Q 的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由．
(2)若点P 的运动速度为2厘米/秒，点Q 的运动速度为2.5厘米/秒，经过几秒后，△BPD 与△CQP 全等？请说明理由．
拓展拔高 B A
D E C。