用图像法表示变量之间的关系
变量之间的关系（带答案）
变量之间的关系（带答案）变量之间的关系、表达⽅法复习知识要点表⽰变量的三种⽅法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、⾃变量、因变量(1) 在⼀变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在⼀变化的过程中，主动发⽣变化的量，称为⾃变量，⽽因变量是随着⾃变量的变化⽽发⽣变化的量。
例如⼩明出去旅⾏，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V⼀定，路程S则随着时间T的变化⽽变化。
则T为⾃变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀，可表⽰因变量随⾃变量的变化⽽变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是⾃变量，谁是因变量。
找⾃变量和因变量时，主动发⽣变化的是⾃变量，因变量随⾃变量的增⼤⽽增⼤或减⼩◆要点3 ⽤关系式表⽰变量之间的关系(1) ⽤来表⽰⾃变量与因变量之间关系的数学式⼦，叫做关系式，是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀。
(2) 写变化式⼦，实际上根据题意，找到等量关系，列⽅程，但关系式的写法⼜不同于⽅程，必须将因变量单独写在等号的左边。
即实质是⽤含⾃变量的代数式表⽰因变量。
(3) 利⽤关系式求因变量的值，①已知⾃变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每⼀个确定的⾃变量的值，因变量都有⼀个确定的与之对应的值。
◆要点4 ⽤图象法表⽰变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的⼜⼀重要⽅式，特点是⾮常直观。
(2) 通常⽤横轴（⽔平⽅向的数轴）上的点表⽰⾃变量，⽤纵轴（竖直⽅向的数轴）上的点表⽰因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。
如利⽤图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进⾏简单计算，从图象上变量的变化规律进⾏预测，判断所給图象是否满⾜实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对⽐看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表⽰的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表⽰速度在增加；“⽔平线段”②表⽰速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表⽰速度在减少。
变量之间的关系
第四章变量之间的关系【知识点梳理】一、自变量与因变量1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。
自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。
2、自变量与因变量的区别与联系联系：1、两者都是某一过程中的变量；2、两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化。
区别：先发生变化或自主发生变化的量后发生变化或随自变量变化而变化的量。
3、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×（长＋宽）③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 ④本息和=本金＋利率×本金×时间。
⑤总价=单价×总量。
⑥平均速度=总路程÷总时间4、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.二、变量关系的表现方法1、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。
列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
2、关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
3、图像法：利用图像来表达自变量与因变量之间关系的一种表达方式，运用非常广泛。
注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点.三、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y 随着自变量x 的增加（大）而增加（大））；2. 随着自变量x 的逐渐增加（大），因变量y 逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y 随着自变量x 的增加（大）而减小）.注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x 的逐渐增加（大），因变量y 逐渐增加（大）等等. 四、估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种：1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x 每增加一定量，因变量y 的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y 的值；3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.【例题讲解】例1: 某蓄水池开始蓄水，每时进水20米3，设蓄水量为V （米3），蓄水时间为t （时） （1）V 与t 之间的关系式是什么？（2）用表格表示当t 从2变化到8时（每次增加1），相应的V 值？ （3）若蓄水池最大蓄水量为1000米3，则需要多长时间能蓄满水？ （4）当t 逐渐增加时，V 怎样变化？说说你的理由。
概率图模型的推理方法详解(Ⅰ)
概率图模型的推理方法详解概率图模型是一种用图来表示随机变量之间依赖关系的数学模型。
它通过图的节点表示随机变量，边表示随机变量之间的依赖关系，可以用来描述各种复杂的现实世界问题。
概率图模型包括了贝叶斯网络和马尔可夫网络两种主要类型，它们都可以用来进行推理，即根据已知的信息来推断未知的变量。
在本文中，将详细介绍概率图模型的推理方法，包括贝叶斯网络和马尔可夫网络的推理算法。
一、概率图模型概率图模型是一种用图来表示随机变量之间依赖关系的数学模型。
它通过图的节点表示随机变量，边表示随机变量之间的依赖关系，可以用来描述各种复杂的现实世界问题。
概率图模型包括了贝叶斯网络和马尔可夫网络两种主要类型。
贝叶斯网络是一种有向图模型，用来表示变量之间的因果关系；马尔可夫网络是一种无向图模型，用来表示变量之间的相关关系。
概率图模型可以用来进行概率推理，即根据已知的信息来推断未知的变量。
二、贝叶斯网络的推理方法在贝叶斯网络中，每个节点表示一个随机变量，每条有向边表示一个因果关系。
贝叶斯网络的推理方法主要分为两种：精确推理和近似推理。
1. 精确推理精确推理是指通过精确的计算来得到准确的推理结果。
常用的精确推理算法包括变量消去算法和团树传播算法。
变量消去算法通过逐步消去变量来计算联合概率分布，但是对于大型网络来说计算复杂度很高。
团树传播算法通过将网络转化为一个树状结构来简化计算，提高了计算效率。
2. 近似推理近似推理是指通过近似的方法来得到推理结果。
常用的近似推理算法包括马尔科夫链蒙特卡洛算法和变分推断算法。
马尔科夫链蒙特卡洛算法通过构建马尔科夫链来进行抽样计算，得到近似的概率分布。
变分推断算法通过将概率分布近似为一个简化的分布来简化计算，得到近似的推理结果。
三、马尔可夫网络的推理方法在马尔可夫网络中，每个节点表示一个随机变量，每条无向边表示两个变量之间的相关关系。
马尔可夫网络的推理方法主要分为两种：精确推理和近似推理。
1. 精确推理精确推理是指通过精确的计算来得到准确的推理结果。
变量之间的关系
第13课变量之间的关系知识点1 变量、自变量、因变量1、变量在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、自变量和因变量如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
知识点2 表示变量之间关系的方法1、列表法采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。
（1）列表法的优点列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，（2）列表法的缺点具有局限性，只能表示因变量的一部分。
2、关系法关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
3、图像法图像法是利用在坐标系中进行描点连线形成的图像，一般横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
图像法具有直观、生动的特征，更容易看出自变量与因变量的变化关系。
知识点3 事物变化趋势的描述对事物变化趋势的描述一般有两种：1、随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；2、随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）.知识点4 估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：1、利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（()次数或相差年数首数尾数平均每次的变化量-=）.2、利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；3、利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.知识点4 变化速度的比较在相同的时间内因变量变化速度的比较，哪一支图像更陡一些，这支图像代表的因变量变化会更快一些.1、增长速度2、下降速度练习变量之间的关系基础知识回顾：1、表示两个变量之间关系的方法有（）、（）、（）．２．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（）．专题一、速度随时间的变化1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。
变量之间的关系知识点及常见题型---
变量之间的关系及常见题型一、基础知识1、常量：在（变化过程中）一组数据中或者关系式中数值保持不变的量；2、变量：数值发生变化的量（在一变化过程中一般有两个变量）（1）自变量：在一定范围内主动发生变化的变量；（2）因变量：随自变量的变化而变化的变量。
二、表示方式1、表格法（1）一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量；（2）从表格中可以获取一些信息，发现因变量随自变量的变化存在一定规律；2、关系式（1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫关系式；关系式一般用含自变量的代数式表示因变量的等式（2）能利用关系式进行计算；3、图像法（1）水平方向的数轴（横轴）表示自变量；竖直方向的数轴（纵轴）表示因变量；（2）利用图像尽可能地获取自变量因变量的信息，特点是直观。
练习：1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）A、明明B、电话费C、时间D、爷爷2、某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：排数 1 2 3 4 …座位数50 53 56 59 …上述问题中，第五排、第六排分别有个、个座位；第n排有个座位.3、据世界人口组织公布，地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势，即随时间的变化，地球上的人口数量在逐渐地增加，如果用t表示时间，y表示人口数量，是自变量，是因变量。
4、下表中的数据是根据某地区入学儿童人数编制的：年份1998 1999 2000 2001 2002入学儿童人数2930 2720 2520 2330 2140（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）随着自变量的变化,因变量变化的趋势是什么?（3）你认为入学儿童的人数会变成零吗?5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）提出概念所用时间(x)2 5 7 10 12 13 14 17 20对概念的接受能力(y) 47.853.556.359 59.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？（4）从表格中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（5） 根据表格大致估计当时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？6 下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据： 时间（分）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12温度（℃）60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 （1）时间为8分钟时，水的温度是多少？（2）上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（3）水的温度是怎样随时间变化的？（4）根据表格，你认为13分钟、14分钟时水的温度是多少？（5）为了节约能源，在烧开水时，你认为应在几分钟左右关闭煤气？巩固练习：一、选择题（每小题3分，共24分）1．我们都知道，圆的周长计算公式是c=2πr ，下列说法正确的是（ ）A. c ，π，r 都是变量B. 只有r 是变量C. 只有c 是变量D. c ，r 是变量2．一汽车以平均速度60千米/时速度在公路上行驶，则它所走的路程s （千米）与所用的时间t （时）的关系式为（ ）A.t s +=60B. t s 60=C. 60t s = D. t s 60= 3．雪撬手从斜坡顶部滑了下来，下图中可以大致刻画出雪撬手下滑过程中速度—时间变化情况的是（ ）4．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，说明温度随者海拔的升高而降低，已知某地面温度为20℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h 千米处的温度t 为（ ）A. 206t h =-B. 206h t =-C. 206h t -=D. 206t h -= 5．根据图示的程序计算变量y 的对应值，若输入变量x 的值为-1，则输出的结果为（ ）A. –2B. 2C. –1D. 06．如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）7．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y （千米）与时间x （分钟）的图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A ．小王去时的速度大于回家的速度B ．小王在朋友家停留了10分钟C ．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D ．小王去时走上坡路，回家时走下坡路8．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，动点P 在ABCD 的边上沿A B C D →→→的路径以1c m /s 的速度运动（点P 不与A D ，重合）．在这个运动过程中，APD △的面积2(cm )S 随时间()t s 的 变化关系用图象表示，正确的为（ ） 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中________是自变量， 是因变量.y （千米）x （分钟）s t O A ． s t O B ． s t O C ． s t O D ． A ． O 1 2 3 4 5 6 t s 1 2 ＢO 1 2 3 4 5 6 t s 1 2 ＣO 1 2 3 4 5 6 t s 1 2ＤO 1 2 3 4 5 6 t s1 2 A Ｄ ＣＢ P10．在体积为20的圆柱中，底面积S 关于高h 的关系式是 ．11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行时间t （单位：秒）之间的关系是s=60t －1.5t 2，当t=40时，s=______________.12．小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票，小雨买邮票后所剩钱数y （元）与买邮票的枚数x （枚）之间的关系式为 .13．声音在空气中传播的速度y （m/s ）与气温x （oC ）之间在如下关系：33153+=x y .当气温x =15 oC 时，声音的速度y = m/s 。
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
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2、测量小车从不同的高 度下滑的时间，并将得 到的数据填入下表：
支撑物高 度/厘米 小车下滑 时间/秒
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少 ？ （2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间 ，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ （3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
氮肥施用 量/千克/ 公顷 土豆产量/ 吨/公顷
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量 是多少时比较适宜？说说你的理由. (4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影 响.
4．某电影院地面的一部分是扇形，座位按 下列方式设置： 排数 1 座位数 60 2 64 3 68 4 72
１.如果正方形的边长为 a ,则正方形的周长Ｃ＝（ 4a ） ２.圆的半径为r,则圆的面积Ｓ＝（
1 ） ah 2
r
2
）
３.三角形的一边为a，这边上的高为h,则三角形 的面积Ｓ＝（
4.梯形的上底，下底分别为a, b,高为h，则梯形的面积
1 2 ５.圆锥的底面半径为r, 高为h,则圆锥的体积V=（3 r h ）
高不变 底面半径变
底面半径不变 高变
变化中的圆锥
h r
h
r
2、 如图，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的 高由小到大变化时，圆锥的体积也随之变化。 （1）在这个变化过程中，自变量、因 变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（厘米），那么 3 圆锥的体积V（ 厘米 ）与h之间的关系 式为 . （3）当高由1厘米变化到10厘米时，2㎝
变量之间的关系讲解+例题+练习+详解
变量之间的关系复习变量之间的关系、表达方法知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T 的变化而变化。
则T为自变量，路程为因变量。
◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。
找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。
(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
即实质是用含自变量的代数式表示因变量。
(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。
◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。
(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。
如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。
七年级数学第六章 变量之间的关系北师大版知识精讲
初一数学第六章变量之间的关系北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第六章变量之间的关系［教学要求］1、能分清实际问题中的常量与变量、自变量与因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
2、通过对某种图形中变量之间关系的探索，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感。
能根据具体问题，用关系式表示某些变量之间的关系。
3、经历从图像中分析变量之间关系的过程进一步感受变量之间的关系。
4、进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，从而加深对图像表示自变量与因变量关系的理解，逐步培养从图像中获取信息的能力。
［重点及难点］1、重点是对常量、自变量及因变量等概念的理解。
难点是根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测。
2、重点是根据具体问题求自变量与因变量之间的关系式，并能用关系式求因变量的值。
难点是建立实际问题中自变量与因变量之间的关系式。
3、从熟悉的情景出发用图像直观的表示两个变量之间的关系，并获得对图像反映变量之间关系的体验。
4、重点是从图像中获取信息，难点是用语言描述图像所表示的变化过程。
［知识要点］一、小车下滑的时间1、如果用h 表示支撑物的高度，t 表示小车下滑时间，随着h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？在表中，支撑物高度h 和小车下滑时间t 都在变化，它们都是变量，其中t 随h 的变化而变化，h 是自变量，t 是因变量。
二、变化中的三角形（1）关系式：表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫做关系式。
△ABC 底边BC 上的高是6厘米，当三角形的顶点C 沿所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了什么变化？如果三角形的底边长为x 厘米，那么三角形的面积y 可以表示为（y ＝3x ）圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
如果圆锥底面半径为r （厘米），那么圆锥的体积V 与r 的关系式为（V ＝43πr 2）圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化，如果圆锥的高为h （厘米），那么圆锥的体积V 与h 的关系式为（V ＝43πh ）（2）因变量的值：对于每一个确定的自变量值，例如x＝a时，因变量有一个唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当自变量x＝a时的因变量的值。
变量之间的关系
变量之间的关系知识梳理1．概念变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量是变量。
自变量、因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，其中y随x 的变化而变化，我们就说x是自变量，y是因变量。
常量：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量。
表格法：借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
表格法的基本特征是：表示两个变量之间的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化而存在一定的变化规律，从而可以利用变化趋势对结果作出预测。
关系式法：利用等式表示两个变量之间的关系。
关系式的基本特征是：（1）等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；（2）等式中只含有自变量和因变量两个变量，其他的量都是常数；（3）自变量可在允许的范围内任意取值。
图像：将一个变量随着另一个变量的变化而变化的情况绘制成一条曲线，这条曲线称为两个变量之间关系的图像。
图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间关系的方法，叫做图像法。
例题精讲考点1．变量、自变量、因变量、常量例1．甲、乙两城市相距300千米，在甲城市有一列火车以每小时100千米的速度向乙城市行驶，t 小时后火车与乙城市的距离为y 千米，在这个问题中， 是常量， 是自变量， 是因变量。
变式1.下列各题中，哪些量在发生变化？其中的自变量与因变量各是什么？（1）用总长为60m 的篱笆围城一个边长为l (m)、面积为S （㎡）的矩形场地； （2）正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y 。
变式2．小明帮妈妈预算家庭4月份电费的开支情况，下表是小明家4月处连续8天每天早上电表显示的读数。
（1）表格中反映的变量是 ，自变量是 ，因变量是 。
（2）估计小明家4月份（按30天计）用电量是 ，若每度电0.55元，估计他家4月份应交电费 元。
考点2.表格法表示变量之间的关系例2.下表是一次秋汛期某河流在一天内涨水情况，警戒水位是25米。
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1
第三章 变量之间的关系
3 用图象表示的变量间关系（第2课时）
一、 学生起点分析
学生的知识技能基础：在本章前面几节课中，学生学习了自变量和因变量的
概念，并学习了变量之间关系的三种表示方法，初步理解了自变量和因变量的概
念，具备了变量之间关系的三种表示方法的基本技能。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间
关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，
获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习
中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了
一定的合作与交流的能力。
二、 教学任务分析
教科书基于学生对三种变量表示方法的认识，提出了本课的具体学习任务：
通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之间关系的过程，
加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语
言表达的能力。因此本课时的教学目标如下：
1．能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；
2．能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；
3．进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养
学生团结协作的精神。
三、 教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：回顾思考、讲授新课、合作学习、练习提高、
课堂小结、教学反馈、布置作业。
第一环节 回顾思考
2
活动内容：
学生自己总结已经学习过的几种表示变量之间关系的方法。
1.列表法
下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的
幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化：
降价（元） 5 10 15 20 25 30 30
日销量（件） 718 787 845 895 937 973 1000
在这个表中反映了 个变量之间的关系， 是自变量， 是因变量。
2.关系式法
某出租车每小时耗油5千克，若ｔ小时耗油ｑ千克，则自变量是 ，因变
量是 ，ｑ与t的关系式是 。
3.图象法
下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况。
（1）大约什么时刻港口的水最深？约是多少？
（2）A点表示什么？
（3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的？
如图是沈阳地区一天的气温随时间变化的图像，根据图像回答，在这一天中，
（1）t＝ 时，气温最高，最高气温T＝ ℃；
（2）t＝ 时，气温最低，最低气温T＝ ℃；
（3）在 时间段中，气温保持不变；
（4）在 时间段中，气温持续下降；
（5）t＝ 时，气温达6℃；
（6）A点表示 ；
A
2
0 5 6 4 3 2 1
1
3
4
8
7
6
5
水深/
时间/
3
（7）如果某种作业必须在0℃以下才能进行操作，选择 时间段比
较合适。
第二环节 讲授新课
活动内容：
提出问题：每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这
个表吗?（学生先想一想，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）
例 汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下面的图象表示一辆汽车的
速度随时间变化而变化的情况。
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。
各小组讨论相互补充,派代表回答问题，并解说从统计图中获取的信息及此
统计图对于现实生活的实际意义（选2—3个小组代表讲解）
活动目的：培养学生从图象中获取大量信息的读图能力，并通过亲身体验归
纳总结图像表示法的特点，及在现实生活中的实际意义。
0
4 8 1122
9
6
3
时间/分
速度/（千米/时）
4
第三环节 合作学习
活动内容：
1．柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中
（即落地前）的速度变化情况？
2. 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶。过了一段时间,汽
车到达下一个车站。乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶。
下面哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？(横轴表示
时间,纵轴表示速度)
3．某同学从第一中学走回家，在路上他碰到两个同学，于是在文化宫玩了一会
儿，然后再回家，图中哪一幅图能较好地刻画出这位同学离家所剩的路程与时间
的变化情况：
① ② ③ ④
5
1．学生根据事件的数据，小组讨论,选择图象展示最合适过程。
2．小组成员选择(组内互相交流协商、教师给予适当帮助)
3．小组选派代表讲解，最终对被研究的问题做出决策。
活动目的：此处留给学生充分的时间与空间去选择、讨论。并培养学生对
某个问题作出正确判断、合理决策的能力。
第四环节 练习提高
活动内容：
4．李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来
修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是加快马加鞭车速，在下图中给出的示
意图中（s为距离，t为时间）符合以上情况的是（ ）
5．水滴进的玻璃容器如下图所示（水滴的速度是相同的），那么水的高度h是如
何随着时间t变化的，请选择匹配的示意图与容器。
（A）——（ ） （B）——（ ）
（C）——（ ） （D）——（ ）
O A s t
O B s t
O D s t
O C s t
6
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
第五环节 课堂小结
活动内容：
一、今天你有哪些收获？
二、总结：
1．通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间关系的过程，
加深了对图象表示的理解。
2．不仅读懂了文字语言，而且还读懂图形语言。
3．最关键是搞清楚自变量、因变量，并且明白了它们的变化关系。
4．一些变量之间的关系可以用图象法来表示。它形象、直观，便于探索趋
势。
5．在观察图象时要注意它两轴上的名称与单位，识别变化时可抓住起点、
终点、最高（最低）点等特殊位置。
师生互相交流总结图象的特点，怎样通过图象进行合理决策，使学生感受
所学的知识就在身边。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所
欲言，教师给予鼓励）包括怎样通过图象进行分析，使学生感受所学的知识就在
身边。
7
第六环节 教学反馈（5分钟100分）
根据图象回答下列问题
1．下图反映了哪两个变量之间的关系？（20分）
2．点A，B分别表示什么？（20分）
3．说一说速度是怎样随时间变化而变化的；（20分）
4．你能找到一个实际情境，大致符合下图所刻画的关系吗？（40分）
第七环节 布置作业
（一）下列各情境分别可以用哪幅图来近似地刻画？
1．一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）；
2．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）；
3．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；
4．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）。
（二）如果OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，
根图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）。
A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m
本题考查识图的能力，由图象可知在8s时间内，学
生甲的路程为64m，学生乙的路程为(64-12)=52m，所以V
甲=64/8=8(m/s)， V乙=52/8=6.5(m/s)，故V甲- V乙
O A s t
O B s t
O C s t
O D s t
8
=1.5(m/s)。
（三）请你收集生活中（报纸、杂志等）的变量关系的图象。
学法指导：
本节课学生学习本章的最后一节课，因此本节课有对本章内容的复习作用。
要求学生会灵活运用图像法解决生活中的实际问题。