贵州省兴义七中2012届高考数学二轮复习资料：圆与方程
高三数学(理)二轮复习：专题十三直线与圆的方程.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作专题十三直线与圆的方程(见学生用书P80)(见学生用书P 80)1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行和垂直的直线系方程可分别设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，Bx －Ay ＋n ＝0．2．点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离公式：d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2. 两平行直线ax ＋by ＋c 1＝0与ax ＋by ＋c 2＝0间的距离公式：d ＝|c 1－c 2|a 2＋b 2. 3．圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0.4．直线与圆、圆与圆的位置关系的判定常用几何法，即分别比较圆心到直线的距离与半径的大小或圆心距与半径的和(或差)的大小来判定．(见学生用书P 81)考点一 直线的倾斜角考点精析1．牢记倾斜角的取值范围和经过两点的直线的斜率公式，特别要注意倾斜角为π2的直线斜率不存在．2．求解直线的倾斜角和斜率与三角函数的交汇问题时，要注意三角公式的熟练变形和运用，尤其要注意有关角的取值范围．例 1－1(2014·长郡模拟)已知直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，则此直线的斜率是( )A.43 B ．－43C ．±34D ．±43考点：直线的斜率；同角三角函数间的基本关系；直线的倾斜角．分析：由已知中直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，我们分倾斜角θ为锐角和钝角两种情况进行讨论，根据同角三角函数关系，我们求出θ的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率．解析：已知直线的倾斜角为θ，且sin θ＝45，当θ为锐角时，cos θ＝35，tan θ＝43；当θ为钝角时，cos θ＝－35，tan θ＝－43.故直线的斜率是±43.答案：D点评：本题考查的知识点是直线的斜率，同角三角函数的基本关系，直线的倾斜角，本题易忽略倾斜角θ可能为钝角的情况，而错选A.规律总结直线的倾斜角与斜率，一般在高考中较少直接考查，但作为直线方程的基础知识，仍然是高考重点考查对象，因此，我们必须熟练掌握它．变式训练【1－1】 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π(2)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：(1)将直线方程变形为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，∴直线的斜率k ＝－1a 2＋1.∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1.∴－1≤k <0，即－1≤tan α<0.∴34π≤α<π，故选B.(2)由图可知满足题目条件的k ≥k BP 或k ≤k AP .由斜率公式，得k AP ＝1－（－3）1－2＝－4， k BP ＝1－（－2）1－（－3）＝34， ∴k ≥34或k ≤－4.答案：(1)B (2)k ≤－4或k ≥34考点二 直线方程考点精析1．根据不同条件求直线的方程时，要注意条件的适用范围．2．对称问题是近几年高考的热点问题，它主要分为中心对称和轴对称两种，求解对称问题时要把握对称的实质，掌握常用的解题方法．例 2－1 已知直线l 1：(k －3)x ＋(5－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．1或4D ．1或2考点：两条直线垂直的判定．分析：由两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔am ＋bn ＝0求解即可．解析：由题意得2(k －3)2－2(5－k )＝0，整理得k 2－5k ＋4＝0，解得k ＝1或k ＝4.答案：C点评：本题考查两直线垂直的条件．规律总结直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式以及对称问题等是研究解析几何的基础，因而也是高考重点考查对象，考查时一般较少直接考查．变式训练【2－1】(2014·四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是______．解析：由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0即m(x－1)－y＋3＝0，经过点定点B(1，3)，注意到动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0始终垂直，又P是两条直线的交点，则有P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.故|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．答案：5考点三圆的方程考点精析1．直线与圆相交的弦长，可利用弦长公式计算，也可利用弦心距、圆半径、半弦长组成的直角三角形结合勾股定理求得．2．圆的参数方程不是唯一的，圆的参数方程不同，其几何意义也会改变，最值问题常用圆的参数方程转化为三角函数问题求解．例3－1(2015·湖北卷)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上截距为________．考点：直线的斜率、截距、圆的标准方程及直线方程的求解．分析：(1)结合图形，确定圆C的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程；(2)如图，先求出点B的坐标，进而求出圆C在点B处的切线方程，再求切线在x轴上的截距．解析：(1)由题意设圆的标准方程为(x－1)2＋(y－r)2＝r2，∵|AB|＝2，∴r＝ 2.∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)如图，连接CB，CT，CA，作CM⊥AB于点M.∵l为切线，∴CB⊥l.∵M是AB的中点，∴BM＝AM＝1.又∵CB＝2，∴∠BCM＝∠MBC＝45°，∴∠DBO＝45°，∴OD＝OB.∵圆心C(1，2)，|AB|＝2，∴A(0，2－1)，B(0，2＋1)．∴|OD|＝|OB|＝2＋1.∴切线l在x轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)－2－1点评：本题考查了圆的标准方程的求法，直线方程求法，考查了数形结合思想应用及运算求解能力．规律总结圆的方程、直线与圆的位置关系问题一直是高考命题的热点问题(特别是直线与圆的位置关系问题)，一般以选择、填空题为主，难度为中等，但区分度较大，题目比较灵活，往往与其他知识交汇在一起命题．变式训练【3－1】(2014·北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径为1.∵圆心C 到O (0，0)的距离为5，∴圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6.再由∠APB ＝90°，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得PO ＝12AB ＝m ，故有m ≤6.答案：B【3－2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM→·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解析：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.专题规律总结直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；如果直线l 1和l 2的斜率都不存在，那么它们都与x 轴垂直，则l 1∥l 2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．【易错提示】 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再回代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量：如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22等． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．(见学生用书P 83)例 1已知曲线C ：y ＝20－x 22与直线l ：y ＝－x ＋m 仅有一个公共点，求m 的范围．考场错解：曲线C ：y ＝20－x 22可化为x 2＋4y 2＝20，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 2＋4y 2＝20得： 5x 2－8mx ＋4m 2－20＝0，由Δ＝0，得m ＝±5.专家把脉：方程①与原方程并不等价，应加上y ∈[)0，＋∞. 对症下药：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分(如图)．结合图形易求得m 的范围为m ＝5或－25<m <2 5.例 2直线l ：y ＝k (x －5)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A 、B 两点，当k 变动时，弦AB 的中点M 的轨迹方程．考场错解：易知直线恒过定点P (5，0)，再由OM ⊥AP ，得：||OP 2＝||OM 2＋||MP 2，∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，整理得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254. 专家把脉：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性．对症下药：本题中注意到点M 应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，此时0≤x <165. 专家会诊：在将方程变形时应时时注意变量的取值范围的变化，必须进行等价变形，这样才不会出错．求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性，求出方程后要对照图象进行检验．(见学生用书P 174)一、选择题1．(2015·北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：因为圆心为(1，1)，圆过原点，所以圆的半径r＝12＋12＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选D.答案：D2．(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由题意，点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1，所以直线ax＋by＝1与圆O相交．故选B.答案：B3．(2014·四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|＋|PB|的取值范围是()A．[5，25] B．[10，25]C ．[10，45]D ．[25，45]解析：由题意可知，动直线x ＋my ＝0经过定点A (0，0)，动直线mx －y －m ＋3＝0即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3)，∵动直线x ＋my ＝0和动直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 又P 是两条直线的交点，∴P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.由基本不等式可得|P A |2＋|PB |2≤(|P A |＋|PB |)2≤2(|P A |2＋|PB |2)，即10≤(|P A |＋|PB |)2≤20， 可得10≤|P A |＋|PB |≤2 5.答案：B4．(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)，若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C.83D.43解析：建立如图所示的坐标系，可得B (4，0)，C (0，4)，故直线BC 的方程为x ＋y ＝4，△ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03. 设P (a ，0)，其中0<a <4，点P 关于直线BC 的对称点P 1(x ，y )，则满足⎩⎨⎧a ＋x 2＋y ＋02＝4，y －0x －a·（－1）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4－a ， 即P 1(4，4－a )，易得P 关于y 轴的对称点P 2(－a ，0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k ＝4－a －04－（－a ）＝4－a 4＋a ， 故直线QR 的方程为y ＝4－a 4＋a(x ＋a )． 由于直线QR 过△ABC 的重心⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， 代入化简可得3a 2－4a ＝0，解得a ＝43，或a ＝0(舍去)， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，故AP ＝43. 答案：D5．已知p ：直线x －y －1＝0与直线x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当命题p 成立时，直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，故两直线的斜率相等，∴a ＝－1.当q 成立时，a ＝－1，直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，故命题p 成立．综上，p 是q 的充要条件．答案：A6．(2010·雅安三模)将直线y ＝x ＋1绕其与y 轴的交点旋转90°，再按向量a ＝(1，1)进行平移，则平移后的直线方程是( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝－x ＋3C ．y ＝x －2D ．y ＝x －1解析：将直线y ＝x ＋1绕其与y 轴的交点旋转90°得到直线的方程为y ＝－x ＋1，再按向量a 进行平移得到的直线方程为y －1＝－(x －1)＋1，即y ＝－x ＋3.答案：B7．(2015·桂林模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0，8]D ．[8，＋∞)解析：由x 2＋y 2－4x －2y －8＝0化成标准形式为(x －2)2＋(y －1)2＝13，所以圆心坐标为(2，1)．若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)始终平分圆的周长，则直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)必过点(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.由1＝2a ＋1b ≥22ab ，得ab ≥8，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时取等号．故ab 的取值范围是[8，＋∞)．答案：D8．(2014·湖南卷)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：由C 1：x 2＋y 2＝1，得圆心C 1(0，0)，半径为1，由圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0，得(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，∴圆心C 2(3，4)，半径为25－m .∵圆C 1与圆C 2外切，∴32＋44＝25－m ＋1，解得m ＝9.答案：C9．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：由题意可得，要求的直线的斜率存在，设为k ，则直线方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得|0－0＋3k －1|k 2＋1≤1，即3k 2－23k ＋1≤k 2＋1，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 答案：D10．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC ．(6－25)π D.54π解析：∵AB 为直径，∠AOB ＝90°，∴O 点必在圆C 上，由O 向直线做垂线，垂足为D ，则当D 恰为圆与直线的切点时，此时圆C 的半径最小，即面积最小．此时圆的直径是O 到直线的距离为45，则圆C 的面积为：π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π5. 答案：A11．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，由对称性可知，反射光线所在直线是过点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)向圆所作的切线，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ＝k (x －2)－3，由圆心(－3，2)到切线的距离等于半径1，得1＝|－5k －5|1＋k 2，解得k ＝－34或k ＝－43，故选D. 答案：D12．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43 解析：(方法1)A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，即△ABC 为等边三角形，∴△ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心．取BC 的中点D ，连接AD ，则AD 是△ABC 的边BC 上的中线，在AD 上取点G 使AG ＝23AD ，则G 是△ABC 的重心．所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，所以|OG |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.(方法2)易知△ABC 是等边三角形，∴ △ABC 外接圆圆心即为△ABC 的重心．由重心坐标公式得，△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋0＋23，0＋3＋33， 即G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故|OG |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213. 故选B.答案：B13．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.17解析：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标为(3，4)，半径为3，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.答案：A二、填空题14．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．解析：设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，r＝|m＋1|1＋m2＝m2＋2m＋1m2＋1＝1＋2mm2＋1，当m<0时，1＋2mm2＋1无最大值，且1＋2mm2＋1<1；当m＝0时，r＝1；当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取“＝”)，所以r≤1＋1＝ 2.综上可知r最大值为2.所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝215．(2015·湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.解析：如图．因为∠AOB ＝120°，所以∠AOD ＝60°.在Rt △AOD 中，OA ＝2OD ＝r ，又因为OD ＝|3×0－4×0＋5|5＝1，所以r ＝2. 答案：2三、解答题16．(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解析：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM→·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105， 所以△POM 的面积为165.17．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴圆心C (3，2)．若k 不存在，不合题意；若k 存在，设切线为：y ＝kx ＋3，可得圆心到切线的距离d ＝r ， 即|3k ＋3－2|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝－34，则所求切线为y ＝3或y ＝－34x ＋3.(2)设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ， 知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3，解得0≤a ≤2.4.。
2012届高考数学第二轮综合验收评估复习题8 理.doc
综合验收评估复习题一、选择题1．极坐标方程ρ－1＝0(ρ≥0)表示的图形是 A ．一条直线 B ．一条射线 C ．一个圆D ．半圆解析 由ρ－1＝0得ρ2＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 又ρ≥0，故表示半圆． 答案 D2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ(θ为参数)所表示的图形是A ．直线B ．射线C ．圆D ．半圆解析 把参数方程化为普通方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝1.故参数方程表示圆． 答案 C3．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θx ＝12－12cos 2θ(θ为参数)与直线x ＝a 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是A ．a ≥1B ．0＜a ≤1C.12≤a ≤1D ．0≤a ≤1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θx ＝12－12cos 2θ(θ为参数)为抛物线y 2＝x (0≤x ≤1)，借助图象(如图)观察易得0＜a ≤1.答案 B4．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |等于A ．2 3 B. 3 C ．2D ．1解析 曲线ρ＝4cos θ可转化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心(2,0)到直线x ＝3的距离是1，所以|AB |＝24－1＝2 3.答案 A5．(2011·中山模拟)设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t 2y ＝3－32t (t 为参数)．这条直线与两坐标轴所围成的三角形周长是A ．310B ．14C ．12＋310D ．12＋4 6解析 把参数方程消去t 整理得直线的截距式方程为x 3＋y9＝1，故所求的周长为3＋9＋32＋92＝12＋310. 答案 C6．(2011·安徽)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为A ．2B.4＋π29C.1＋π29D. 3解析 极坐标系中的点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)．∴所求两点间的距离为1－12＋3－02＝ 3.答案 D二、填空题7．在直角坐标系xOy 中，已知点C (－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ＞0，－π＜θ＜0)可写为________．解析 由题意知，ρ＝23，θ＝－5π6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 8．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ所表示的曲线的直角坐标方程是________． 解析 由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －y ＝0.答案 x 2＋y 2－2x －y ＝09．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tc os α，y ＝tsin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α ＝________.解析 直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案π6或56π 三、解答题10．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 其圆心为C (－1,2)，半径为2.由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×－1＋4×2－12|32＋42＝75＜2，故直线l 与圆C 的公共点个数为2.11．求椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的内接矩形的最大面积．解析 设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ，b sin θ)，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ·b sin θ＝2ab sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)，故S 内接矩形的最大值为2ab .12．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1.当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解析 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为2x′＋2xx′－x2＝25.。
贵州省高考数学二轮复习：10 直线 圆
贵州省高考数学二轮复习：10 直线圆姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·重庆期中) 已知点点，则为A . 4B . 2C .D .2. （2分） (2018高二上·拉萨月考) 两条直线与平行，则它们间的距离为（）A . 4B .C .D .3. （2分）直线与圆相交所得的弦的长为（）A .B .C .D .4. （2分）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·合肥期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .6. （2分）过点A（1，﹣2）且斜率为3的直线方程是（）A . 3x﹣y+1=0B . 3x+y﹣5=0C . 3x﹣y﹣5=0D . 3x+y﹣1=07. （2分） (2019高一下·南通月考) 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点．圆上存在一点，满足，则的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一下·河北期末) 曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点,则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）设直线l的方程为：，则直线l的倾斜角α的范围是（）A .B .C .D .10. （2分）点在圆内，则直线和已知圆的公共点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 不能确定11. （2分）(2017·宝鸡模拟) 已知直线l：kx﹣y﹣3=0与圆O：x2+y2=4交于A、B两点且• =2，则k=（）A . 2B . ±C . ±2D .12. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高二下·沈阳开学考) 点（1，﹣1）到直线3x﹣4y+3=0的距离是________．14. （1分） (2016高二上·温州期中) 已知直线l的方程是x﹣y﹣1=0，则l在y轴上的截距是________，点P（﹣2，2）到直线l的距离是________15. （1分） (2019高二上·兴宁期中) 圆心为且与直线相切的圆的标准方程为 ________.16. （1分） (2016高二上·邗江期中) 圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是________．17. （1分） (2017高一下·蠡县期末) 在圆内，过点的最长弦和最短弦之积为________．三、解答题 (共4题；共40分)18. （10分） (2018高一上·浙江期中) 已知函数（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数在上有两个不等的不动点，求a的取值范围；（3）若的值域为或，求实数a的值．19. （10分）如图，已知抛物线：,圆：过点作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切，为切点。
2012年高考数学二轮复习 专题07 立体几何精品资料 文(学生版)
2012届高考数学二轮复习资料专题七 立体几何（文）（学生版）【考纲解读】1.掌握平面的基本性质(三个公理、三个推论)，理解确定平面的条件；会用字母、集合语言表示点、直线、平面间的关系.2.理解线线、线面平行的定义;熟练掌握线线、线面及面面平行的判定和性质;会运用线线、线面及面面平行的判定和性质进行推理和证明.3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会画它们的直观图.4．理解空间中线线、线面垂直定义及分类；理解空间中线线、线面、面面垂直的有关定理及性质；会运用线面平行与垂直的判定与性质定理进行证明和推理.5．认识柱、锥、台、球及简单几何体的结构特征,并运用这些特征描述简单物体的结构;了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式(不要求记忆).【考点预测】1.对于空间几何体中点、线、面的位置关系及平行与垂直的性质和判定，高考中常在选择题中加以考查.解答题主要考查空间几体的点、线、面的位置关系的证明及探索存在性问题，着重考查学生的空间想象能力、推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力，难度中等.明年高考将仍以平行与垂直关系的证明探究为重点,注意命题题型的多样化、新颖化，如开放性、探索存在性题型.2.三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查了学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及性质的基本能力，是每年高考必考内容，明年高考仍以三视图，空间几何体的表面积与体积为重点，在客观题中加以考查，其中表面积与体积也可能在解答题题后一问中出现。
【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式:V =锥13Sh ;台体的体积公式:V =棱台1()3h S S ';球的体积公式:V =球343r π. (2)球的表面积公式:24S R π=球.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理.【考点在线】考点一三视图例1.（2011年高考某某卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）练习1:（2011年高考某某卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）考点二表面积与体积例2..(2011年高考某某卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80练习2：（2011年高考某某卷文科4)设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．942π+ Ｂ．3618π+Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 考点三球的组合体3 正视图 侧视图例 3.（2011年高考某某卷文科10)己知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点．AB=2,45ASC ∠=, 则棱锥S ABC -的体积为( )(A)33(B)233(C)433 (D)533练习3：（2011年高考某某卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.考点四空间中平行与垂直关系的证明集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例 4.（2011年高考某某卷文科19)如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°. （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.练习4.(2011年高考某某卷16)如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点.求证：（1）直线E F ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD.问题：三视图与表面积、体积例.（2011年高考某某卷文科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）（A ）283π-（B ）83π- （C ）82π- （D ）23π 【考题回放】1.（2011年高考某某卷文科8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是( )(A)4 (B)2332.（2011年高考某某卷文科6)1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )（A ）1223,l l l l ⊥⊥⇒1l //2l （B ）12l l ⊥,1l //3l ⇒13l l ⊥（C ）1l //2l //3l ⇒1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3．（2010年高考某某卷文科3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧．面积．．等于 ( ) A.3 B.2 C.23 D.64．（2010年高考某某卷文科4）在空间，下列命题正确的是( )A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行5．(2010年高考卷文科5)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为( )6．(2010年高考某某卷文科9)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )（A ）372 （B ）360（C ）292 （D ）2807．（2010年高考某某卷文科11）已知,,,S A B C 是球O表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π（C ）2π （D ）π8. (2010年高考某某卷文科8)若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3 （C ）2243cm 3 （D ）1603cm 3 9.(2010年高考某某卷文科7)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )（A ）3πa 2 （B ）6πa 2（C ）12πa 2 （D ） 24πa 210．（2010年高考某某卷文科4）用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：( )①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .A.①②B.②③C.①④D.③④11．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科6）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°12．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为( )(A) 233 (B)433 (C) 23 (D) 83313.（2011年高考某某卷文科15)如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =2。
高考数学二轮专题突破课堂讲义 第12讲 直线与圆的方程及应用
专题四平面解析几何第12讲直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，直线的方程和圆的方程．正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用、圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往考查圆锥曲线与圆或圆锥曲线与直线，涉及到方程、位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，如能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，并结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，二者能相互转化．2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1. 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 答案：4 5解析：圆方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心到直线的距离为d ＝|6－4＋3|4＋1＝5，弦长为225－5＝4 5.2. 过点(2，1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________． 答案：x －2y ＝0或x ＋y －3＝03. 圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k∈R 为常数)的位置关系是________． 答案：相交4. 已知直线y ＝ax ＋3与圆x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于A 、B 两点，点P(x 0，y 0)在直线y ＝2x 上，且PA ＝PB ，则x 0的取值范围为________．答案：(－1，0)∪(0，2)解析：圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，由PA ＝PB ，知点P 在AB 的垂直平分线上，而AB 的垂直平分线方程为y ＝－1a (x ＋1)，联立y ＝2x ，得x 0＝－12a ＋1.因为直线y ＝ax ＋3与圆相交于两点，所以|－a ＋3|a 2＋1<3，解得a<－34或a>0，从而x 0的取值范围为(－1，0)∪(0，2)．题型一 直线的方程例1 已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线的方程．解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a ，0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1.又圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.题型二 圆的方程例2 已知m∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1) 求直线l 斜率的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解： (1) 直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，则直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，∵ |m |≤12(m 2＋1)，∴ |k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立，∴ 斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2) 不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k|≤12，得d≥45＞1，即d ＞r2，从而若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 题型三 直线与圆的位置关系例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2，0)、C(a ，0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M 、N.(1) 若圆M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2) 若直线AB 截圆N 所得弦长为4，求圆N 的标准方程；(3) 是否存在这样的圆N ，使得圆N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求此时圆N 的标准方程；若不存在，说明理由．解： (1) ∵ 圆心M(－1，1)，∴ 圆M 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.又直线CD 方程为x ＋y －a ＝0，且圆M 与直线CD 相切，∴ 圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得a＝±2(舍去负值)，∴ 直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2) ∵ 直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2， ∴ 圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵ 直线AB 截圆N 所得弦长为4，∴ 22＋(2)2＝a 22，∴ a ＝±23(舍去负值)，∴ 圆N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3) 存在．由(2)知圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB⊥CD 始终成立， ∴ 当且仅当圆N 的半径a2＝22，即a ＝4时，圆N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，此时，圆N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.题型四 与圆有关的综合问题例4 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝64，圆O 1与圆O 相交，圆心为O 1(9，0)，且圆O 1上的点与圆O 上的点之间的最大距离为21.(1) 求圆O 1的标准方程；(2) 过定点P(a ，b)作动直线l 与圆O 、圆O 1都相交，且直线l 被圆O 、圆O 1截得的弦长分别为d 、d 1.若d 与d 1的比值总等于同一个常数λ，求点P 的坐标及λ的值．解：(1) 由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16. (2) 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y －b ＝k(x －a)，即y －kx ＋ka －b ＝0.则O 、O 1到直线l 的距离分别为h ＝|ka －b|1＋k 2，h 1＝|－9k ＋ka －b|1＋k2，从而 d ＝264－（ka －b ）2（1＋k 2），d 1＝216－（－9k ＋ka －b ）2（1＋k 2）， 由d d 1＝λ，得64－（ka －b ）2（1＋k 2）＝λ2[16－（－9k ＋ka －b ）2（1＋k 2）]， 整理得[64－a 2－16λ2＋λ2(a －9)2]k 2＋2b[a －λ2(a －9)]k ＋64－b 2－λ2(16－b 2)＝0. 由题意，上式对于任意实数k 恒成立，所以64－a 2－16λ2＋λ2(a －9)2＝0，2b[a －λ2(a －9)]＝0，64－b 2－λ2(16－b 2)＝0，由2b[a －λ2(a －9)]＝0，得b ＝0或a －λ2(a －9)＝0.① 如果b ＝0，则64－16λ2＝0，解得λ＝2(舍去负值)．从而a ＝6或18. 所以λ＝2，点P(6，0)或P(18，0)．② 如果a －λ2(a －9)＝0，显然a ＝9不满足，从而λ2＝a a －9，所以3a 2－43a ＋192＝0.但Δ＝432－4×3×192＝－455<0，因此该方程无实数根，舍去．当点P 的坐标为(6，0)时，若直线l 的斜率不存在，此时d ＝47，d 1＝27，所以dd 1＝2，也满足．综上所述，满足题意的λ＝2，点P 有2个，坐标分别为(6，0)和(18，0)．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C ，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.① 求圆M 的方程；② 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由题意知y x ＋4·yx －4＝－14，即x 216＋y24＝1(x≠±4)， 所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y24＝1(x≠±4)．(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4，0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.设M(a ，2a ＋3)(a ＞0)，则圆M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2.圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2，所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.②假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k2＝r 对任意r ＞0恒成立． 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1r ＋（b －3）＝r 1＋k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12＝1＋k 2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3，所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．1. (2014·陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案：x 2＋(y －1)2＝1解析：∵ 点(1，0)关于y ＝x 的对称点是(0，1)，∴ 圆心为(0，1)，半径为1的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.2. (2014·全国卷)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为P(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值是________．答案：43解析：设l 1与l 2的夹角为2θ，由于l 1与l 2的交点P(1，3)在圆的外部，且点P 与圆心O之间的距离为OP ＝1＋9＝10，圆的半径为r ＝2，∴ sin θ＝r OP ＝210，∴ cos θ＝2210，tan θ＝sin θcos θ＝12，∴ tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝11－14＝43. 3. (2014·福建卷)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．答案：充分不必要解析：若直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则圆心到直线距离d ＝11＋k 2，|AB|＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k21＋k2.若k ＝1，则|AB|＝212＝2，d ＝11＋1＝22，则△OAB 的面积为12×2×22＝12成立，即充分性成立．若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝12×2k 2（1＋k 2）2＝12，解得k ＝±1，则k ＝1不成立，即必要性不成立．故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．4. (2014·重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．答案：4±15解析：易知该等边三角形的边长为2，圆心到直线的距离为等边三角形的高h ＝3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3a ＝4±15. 5. (2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1得圆心C 为(3，2)，∵ 圆C 的半径为1，∴ 圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， ∴ |3k －2＋3|k 2＋1＝1，∴ |3k ＋1|＝k 2＋1， ∴ 2k(4k ＋3)＝0，∴ k ＝0或k ＝－34，∴ 所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) ∵ 圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， ∴ 设圆心C 为(a ，2a －4)，则圆C 的方程为(x －a)2＋[y －(2a －4)]2＝1.∵ MA ＝2MO ，∴ 设M 为(x ，y)，则x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，设为圆D ，∴ 点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有公共点，∴ |2－1|≤a 2＋[（2a －4）－（－1）]2≤|2＋1|.由5a 2－12a ＋8≥0得a∈R ，由5a 2－12a≤0得0≤a≤125.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.6. (2014·全国卷)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.(1) 求C 的方程；(2) 过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1) 设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.(2) 依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)，|AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2014·苏北期末)已知△ABC 的三个顶点A(－1，0)、B(1，0)、C(3，2)，其外接圆为圆H.(1) 若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2) 对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．解：(1) 线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心H(0，3)，半径12＋32＝10，圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.(4分) 设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝（10）2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；(6分)当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k(x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43. 综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(8分)(2) 直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P(m ，n )(0≤m≤1)，N(x ，y)，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2.又M 、N 都在半径为r 的圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2＝r 2，（x ＋m －6）2＋（y ＋n －4）2＝4r 2.(10分) 因为该关于x 、y 的方程组有解，即以(3，2)为圆心、r 为半径的圆与以(6－m ，4－n)为圆心、2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r ＋2r)2.(12分)又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对m ∈[0，1]成立．而f(m)＝10m 2－12m＋10在[0，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.(15分)又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对m ∈[0，1]成立，即r 2<325.故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.(16分)1. 已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________． 答案： 52. 直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝________． 答案：3或－3 33. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________．答案：[1－22，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2，3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－2 2.因为是下半圆故可得b≠1＋22，当直线过(0，3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.4. 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B 两点．(1) 如果|AB|＝423，求直线MQ 的方程； (2) 求动弦|AB|的最小值．解： (1) 设Q(q ，0)，因为M(0，2)，所以|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1，从而在Rt △AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3.又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223.由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，所以Q(±5，0)，将M 、Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2) 由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29，0)．(1) 求圆弧C 2的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)．则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)，令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14，0)．又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x≥5)．(2) 假设存在这样的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169（－13≤x≤5）， 解得x ＝－70(舍)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，（x －14）2＋y 2＝225（5≤x≤29），解得x ＝0(舍)， 综上知，这样的点P 不存在．(3) 因为EF ＞2r 2，EF ＞2r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14，0)， 所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154.。
高考总复习数学课件：第七章 第3讲 圆的方程
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.掌握确定圆 的几何要素. 2.掌握圆的标 准方程与一般 方程. 3.初步了解用 代数方法处理
几何问题的思 想
2012年新课标第20题考查直 本 节 内 容 具 有 承 前 启 后 的 作
线、圆与抛物线的综合应用； 用，既与前面的直线相联系，
2013年新课标 Ⅰ 第 21题考查直 也为后面学习圆锥曲线做准备.
解：(1)方法一，从数的角度，选用标准式. 设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2. 又 2x0－y0－3＝0，两方程联立，解得xy00＝＝45，. ∴|PA|＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
3，
即 b＝－2± 6.
故(y－x)min＝－2－ 6.
(3)x2＋y2 是圆上点与原点距离的平方，如图 D41，OC 与圆 交于点 B，其延长线交圆于点 C′，
则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ 3)2＝7－4 3. 【规律方法】方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心， 以 3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y －x 可看作直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，x2＋y2 是圆上一点与 原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解.
6－2＝4.
图 D42
3.已知实数 x，y 满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则 2x－y 的最大 值为__5_＋___5___，最小值为__5_－___5__.
解析：令 b＝2x－y，则 b 为直线 y＝2x－b 在 y 轴上的截距 的相反数.当直线 2x－y＝b 与圆相切时，b 取得最值.由 |2×2＋51－b|＝1，解得 b＝5± 5.所以 2x－y 的最大值为 5＋ 5， 最小值为 5－ 5.
第3节 圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第三节圆的方程1．圆的定义及圆的方程＝D 2＋E 2－4F2的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，－D 2，D2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2或x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0之间存在着下列关系：位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0点在圆外|MC |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0点在圆内|MC |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <01．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3B．(－2，3)，3C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13答案D解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．答案(x－1)2＋(y－1)2＝2解析因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的标准方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．答案2解析∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．答案(x＋3)2＋(y－3)2＝10解析点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝2－00－（－4）＝12，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由x＋y＋3＝0，＋y＝0，＝－3，＝3，所以圆心为(－3，3)，r＝（－3）2＋（3－2）2＝10，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．答案x2＋y2＋4x－2y＝0解析设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得a＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝（－2＋4）2＋（1－0）2＝5，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．答案(x＋1)2＋(y－1)2＝2解析设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，2＋b2＝r2，2＋（2－b）2＝r2，2－a）2＋（2－b）2＝r2，＝－1，＝1，＝2，因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．【通性通法】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【巩固迁移】1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝13解析由题设知，|PA|＝10，|PB|＝13，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y＋1)2＝13.2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．答案x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得2－a）2＋（－3－b）2＝r2，2－a）2＋（－5－b）2＝r2，－2b－3＝0，＝－1，＝－2，2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，x＋y＋4＝0，－2y－3＝0，解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝10，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，所以k AC k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)，知点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入，得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．所以直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【巩固迁移】3．已知两点A (－5，0)，B (5，0)，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍，则点P 的轨迹方程为________________．答案x 2＋y 2－252x ＋25＝0解析设P (x ，y )，由题意可知|PA |＝3|PB |，由两点间距离公式，可得（x ＋5）2＋y 2＝3（x －5）2＋y 2，化简，得x 2＋y 2－252x ＋25＝0.4．(2023·江苏淮安一模)已知点A (2，0)是圆x 2＋y 2＝4上一点，点B (1，1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．解(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，点P 的坐标为(2x －2，2y )．因为点P在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)如图，设PQ 的中点N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|k2＋1≤22，解得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，解得b＝9或b＝1，所以y－x的最大值为9，最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【巩固迁移】5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析设圆心为C (x ，y )，则（x －3）2＋（y －4）2＝1，化简得(x －3)2＋(y －4)2＝1，所以圆心C 的轨迹是以M (3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC |＋1≥|OM |＝32＋42＝5，所以|OC |≥5－1＝4，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号．故选A.6．已知A (－2，0)，B (2，0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最大值为()A ．40B ．46C ．48D ．58答案D解析设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，|OC |＝4，所以|PO |2的最大值为(|OC |＋r )2＝(4＋1)2＝25，所以|AP |2＋|BP |2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，PA →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.【通性通法】建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．【巩固迁移】7．等边三角形ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB →的最小值为()A ．－5－23B ．－5－43C ．－6－23D ．－6－43答案A解析设等边三角形ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且|OM |＝13|OC |，则A (－3，0)，B (3，0)，C (0，33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－2 3.考向3利用对称性求最值例5一束光线，从点A (－2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长度是()A ．52－1B ．52＋1C ．32＋1D ．32－1答案A解析如图，依题意知，圆C 的圆心C (3，3)，半径r ＝1，点A (－2，2)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－2)，连接A ′C 交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A ′与圆C 上的点的距离的最小值为|A ′B |＝|A ′C |－r ＝（－2－3）2＋（－2－3）2－1＝52－1.在x 轴上任取点P ，连接AP ，A ′P ，PC ，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是52－1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．【巩固迁移】8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．答案213－1解析根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝（6－0）2＋（－2－2）2－1＝213－1.课时作业一、单项选择题1．(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为() A．(－1，＋∞)B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a ＜0或a＞4.∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C.2．(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M 以PQ为直径，则圆M的标准方程为()A．x2＋(y＋5)2＝5B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25D．x2＋(y－5)2＝25答案B解析因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，半径为|MQ|＝（0－2）2＋（5－6）2＝5，所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5.故选B. 3．(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是() A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]答案A解析由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A. 4．(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的方程为()A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x－6)2＋(y－4)2＝4答案D解析由圆的方程(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得，圆心坐标为(－2，12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋6＝0对称的圆的圆心为(－2，12)关于直线对称的点，半径为2，设所求圆的圆心为(a，b)，－b＋122＋6＝0，1，解得a＝6，b＝4，故圆的方程为(x－6)2＋(y－4)2＝4.故选D.5．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是() A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案B解析∵|PA |＝1，∴点P 和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1，0)，设P (x ，y )，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.故选B.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4答案B解析∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ，又C (3，4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.故选B.7．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1，0)，B (1，0)为两个定点，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．2B ．22C ．42D ．4答案B解析由已知，得线段AB 为圆的直径．所以|PA |2＋|PB |2＝4，由基本不等式，得≤|PA |2＋|PB |22＝2，所以|PA |＋|PB |≤22，当且仅当|PA |＝|PB |＝2时，等号成立．故选B.8．(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)是直线l ：3x ＋2y －4＝0上的动点，若在圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则y 0的取值范围为()AB ，2413C－1013，D．－1013，答案C解析在圆O 上总存在不同的两点A ，B 使得AB 垂直平分OP .若P 为直线l 与y 轴的交点，得P (0，2)，此时圆O 上不存在不同的两点A ，B 满足条件；若P为直线l 与x 轴的交点，得此时直线AB 的方程为x ＝23，满足条件，y 0＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，∵AB ⊥OP ，k OP ＝y 0x 0，∴k AB ＝－x 0y 0，∴直线AB 的方程为y －y 02＝－化为2x 0x ＋2y 0y－x 20－y 20＝0，由圆心到直线AB 的距离d ＝x 20＋y 202<1，得x 20＋y 20<4，又3x 0＋2y 0－4＝0，化为13y 20－16y 0－20<0，解得－1013<y 0<2，∴y 0－1013，故选C.二、多项选择题9．已知△ABC 的三个顶点为A (－1，2)，B (2，1)，C (3，4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是()A ．圆M 的圆心坐标为(1，3)B ．圆M 的半径为5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2，3)在圆M 内答案ABD解析设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，＋4－D ＋2E ＋F ＝0，＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，＝－2，＝－6，＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1，3)，圆M 的半径为5，因为直线x ＋y ＝0不经过圆M 的圆心(1，3)，所以圆M 不关于直线x ＋y ＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M 内．故选ABD.10．设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C 的坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，故A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简，得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，故B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简，得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D 正确．故选ABD.三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A (4，0)，P 是圆x 2＋y 2＝4上的一动点，Q 是AP 的中点，则点Q 的轨迹方程是________．答案(x －2)2＋y 2＝1解析如图所示，设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，则x 20＋y 20＝4①，因为Q 为AP 的中点，所以x ，y 0＝2x －4，0＝2y②，所以由①②得，(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点Q 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.12．(2023·广东湛江三模)已知圆C 过点A (－2，0)，B (2，4)，当圆心C 到原点O 的距离最小时，圆C 的标准方程为________．答案(x －1)2＋(y －1)2＝10解析由A (－2，0)，B (2，4)，可得线段AB 中点的坐标为(0，2)，又k AB ＝4－02－（－2）＝1，所以AB 垂直平分线的方程为y ＝－x ＋2，则圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，当圆心C 到原点O 的距离最小时，则OC 垂直于直线y ＝－x ＋2，则OC ∥AB ，所以直线OC的方程为y ＝x ，＝x ，＝－x ＋2＝1，＝1，所以圆心C (1，1)，又半径r 2＝|AC |2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.13．(2024·福建泉州期中)已知点P (m ，n )在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝9上运动，则(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为________．答案64解析由题意得，圆心C (2，2)，半径r ＝3.(m ＋2)2＋(n ＋1)2表示圆C 上的点P 到点M (－2，－1)的距离的平方，因为|CM |＝5，所以|PM |max ＝5＋3＝8，即(m ＋2)2＋(n ＋1)2的最大值为64.14．已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|PQ |的最小值是________．答案25解析因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，＋n ＋22＋2＝0，1，＝－4，＝－2，故A ′(－4，－2)．由对称性可知|PA |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |≥|A ′C |－r ＝2 5.四、解答题15．(2023·广东佛山期中)已知圆C 过点A (4，0)，B (0，4)，且圆心C 在直线l ：x ＋y －6＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若从点M (4，1)发出的光线经过直线y ＝－x 反射，反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线l 1的一般方程．解(1)由A (4，0)，B (0，4)，得直线AB 的斜率为k AB ＝0－44－0＝－1，线段AB 的中点D (2，2)，所以k CD ＝1，直线CD 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x ，＋y －6＝0，＝x ，＝3，＝3，即C (3，3)，所以半径r ＝|AC |＝（4－3）2＋（0－3）2＝10，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝10.(2)由l 1恰好平分圆C 的圆周，得l1经过圆心C (3，3)，设点M 关于直线y ＝－x 的对称点N (x ，y )，则直线MN 与直线y ＝－x 垂直，且线段MNy ＝－x 上，则有（－1）＝－1，＝－x ＋42，＝－1，＝－4，所以N (－1，－4)，所以直线CN 即为直线l 1，且k l 1＝k CN ＝3－（－4）3－（－1）＝74，反射光线l 1的方程为y －3＝74(x －3)，即7x －4y －9＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，由题意可得Δ＝m 2－8m >0.则m <0或m >8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12.此时C (0，－1)，AB 的中点M －14，，半径r ＝|CM |＝174，＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理，得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.2＋y 2－y ＝0，＋2y －2＝0，＝0，＝1＝25，＝45.故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)17．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为42答案ACD解析因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在直线y ＝－x 上，故A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C 上，故C 正确；由C 项知，它们的圆心距为（5－1）2＋（－5＋1）2＝42，D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，点M (4，2)，点P 在圆C 上，O 为原点，则下列命题正确的是()A ．M 在圆上B ．线段MP 的长度的最大值为5＋1C ．当直线MP 与圆C 相切时，|MP |＝2D ．MO →·MP →的最大值为25＋6答案BCD解析将M (4，2)代入圆的方程，(4－2)2＋(2－3)2＝5>1，所以M 在圆外，A 错误；线段MP的长度的最大值为|MC |＋1＝（4－2）2＋（2－3）2＋1＝5＋1，B 正确；当直线MP 与圆C 相切时，|MC |2＝|MP |2＋1＝[（4－2）2＋（2－3）2]2，∴|MP |＝2，C 正确；设动点P (x ，y )，点P 的轨迹是圆心为(2，3)，半径为1的圆，x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，又M (4，2)，所以MO →·MP →＝(－4，－2)·(x －4，y －2)＝－4(x －4)＋(－2)·(y －2)＝－4x －2y ＋20，因为x ＝2＋cos θ，y ＝3＋sin θ，所以MO →·MP →＝－4cos θ－2sin θ＋6＝25sin(θ＋φ)＋6，θ∈[0，2π)，且sin φ＝－255，cos φ＝－55，则MO →·MP →的最大值为25＋6，D 正确．故选BCD.。
高考二轮复习数学理配套讲义12直线与圆
冀教版六年级上册数学第六单元比例尺测试卷一.选择题(共6题，共14分)1.一条路的长度一定，已经修好的部分和剩下的部分（）。
A.成正比例B.成反比例C.不成比例2.混凝土公司要配置一种混凝土，将黄沙、石子和水泥的质量按照4:6:1的比进行搅拌。
现在三种材料各有20吨，当黄沙用完时，水泥还剩（）吨，石子还缺（）吨。
A.20B.15C.10D.303.一条路的总里程一定，已经修完的里程和未修完的里程（）。
A.成正比例B.成反比例C.不成比例4.表示x，y正比例关系的是（）。
A.x﹣y=5B.y=x×C.y+x=20D.xy=75.上操学生总人数一定，站的排数和每排站的人数（）。
A.成正比例B.成反比例C.不成比例D.不成反比例6.在x =7y中，x和y成（）。
A.成正比例B.成反比例C.不成比例二.判断题(共6题，共12分)1.任意两个比都可以组成一个比例。
（）2.全班人数一定，出勤人数和缺勤人数成反比例。
（）3.把15:14写成分数的形式是。
（）4.若7a＝5b，则ab成反比例。
（）5.比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例。
（）6.阳光下同时同地的杆高和影长成正比例。
（）三.填空题(共6题，共8分)1.有一个三角形，它的三个内角的度数的比是7∶3∶10，最小的角是（）°，这是一个（）三角形。
2.王兵读一本课外书，已经读了21页，已读页数和未读页数的比是3:5.这本课外书一共有（）页。
3.如图，长方形ABCD中有两条平行线，将它分成了一个梯形AEGB、平行四边形EFCG和三角形FDC。
AE:EF:FD=2:1:2，那么梯形、平行四边形、三角形面积的比是（）。
4.如果我们把宽与长的比值为0.618的长方形称为“黄金长方形”。
下面四个长方形中，最接近“黄金长方形”的是（）。
5.甲、乙两袋糖的质量比是4:1，从甲袋中取出10千克糖放入乙袋，这时两袋糖的质量比是7:3。
两袋糖一共有（）千克。