二次根式新题型赏析
二次根式常见题型精析
二次根式题型总结例1、求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x例2、把下列各根式化为最简二次根式：()()（），（）（），19600224750325121003234a b a b a b ca b ≥≥≥≥例3、判断下列各组根式是否是同类根式：（）；；（）当时，，，117531516238534202--<<+-m n n m m n n m mn例4、把下列各式的分母有理化：()（）；（）；（）11232252323111101-++-+--≤≤a aa aa 例5、计算：（）（）（）11841213233215121333352253121262-++⎛⎝⎫⎭⎪÷÷+⎛⎝ ⎫⎭⎪--+--例6、化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-例7、化简练习：()()()()()（）（）（）（）（）·10262633323464411025125522223222222->------>--+++-+-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪------st s m m m x x x x x x a b a b a b b a()||例8、化简求值：已知：223223-=+=b a ，求：ab a b 33+的值。
【专项训练】：一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。
1、()a a -=-112成立的条件是：A ．a ≠1B ．a ≥1C ．a <1D ．a ≤12、把227化成最简二次根式，结果为： A ．233B ．29C ．69D ．393、下列根式中，最简二次根式为：A ．4xB ．x 24-C ．x 4D ．()x +424、已知t <1，化简1212---+t t t 得： A ．22-t B ．2t C ．2 D ．05、下列各式中，正确的是： A ．()-=-772B ．()-=07072.. C ．()-=7722D ．()-=07072..6、下列命题中假命题是：A ．设()x x x <-=-02，则 B ．设x x x<=-012，则C ．设x x x <=02，则D ．设()x xx <=0222，则7、与23是同类根式的是： A ．50 B ．32 C ．18D ．758、下列各式中正确的是： A ．235+=B ．2323+=C ．3434a x x a x -=-D ．127390-= 9、下列各式计算正确的是：A ．868686142222+=+=+=B ．8442x y x y =C ．10610610642822-=+-=⨯=·D ．--=--=254925495710、计算()()105453515-÷-的结果是：A ．－3B ．3C ．33D ．－33二、计算（字母取正数）()()()（）·（）·（）·（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）15728249656243332454335905181481621462104107294587329322525321043321118412143212712548213931334166933322m m n mnn m a ba a a ÷÷-⎛⎝ ⎫⎭⎪-----+----+++-()1141015075132152232121163621623312a（）（）·（）-++-+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+++++三、1、化简--+a a a 32442、已知：x y =+=-123123，求：x xy y 225-+3、若5的整数部分为a ，小数部分是b求：a b-1的值。
专题01 二次根式的性质与化简(题型与解法)(解析版)
专题01 二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简问题，是第16章二次根式这一章重难点内容，极易出现关于二次根式的计算或者含参数计算的易错题，解决此类题型有何方法？来看本节内容在二次根式的化简与求值问题中，关键是化简，化简过程中一定要结合已知条件。
解决此类问题需要关注以下三个步骤：步骤一:分析要化简的代数式所需的关键要素，如被开方式能否配方、被开方式的符号能否确定等；步骤二:分析已知条件经过变形以后,是否能提供步骤一中所需的条件；步骤三:利用二次根式的性质进行化简,再代入求值.题型1：利用二次根式性质的化简 (2)题型2：二次根式含参数问题 (5)题型3：二次根式的“配完全平方”的化简 (6)题型4：二次根式的运用...................................................................................................................12题型1：利用二次根式性质的化简1．设x 、y 为实数，且4y =+ ）A ．3B ．3±C ．9D ．9±【解答】解：根据题意可得:5050x x -³ìí-³î，解得：5x =当5x =时， 4.y =3==故选A.【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数是非负数．2．若a ，b 为实数，且4b =，则a b +的值为（ ）A ．13-B ．13C ．5-D ．5【解答】解：由题意，得90a -³，90a -³，解得9a =，当=9a 时，4044b ==+=，∴9413a b +=+=．故选：B ．3．设x 、y 为实数，且2y =+，则x y -的值是（ ）A ．1B ．5C ．2D ．0【解答】解：根据题意得：3030x x -³ìí-³î，解得：3x =，则2y =．∴321x y -=-=．故选：A ．4．已知实数aA ．23a -B ．1-C ．1D ．32a-【解答】解：由图知：12a <<，10a \->，20a -<，原式2[1123]2a a a a a =--=---+--=（）（）．故选：A5．实数a ，b 在数轴上位置如图所示，则化简代数式：a =_____．【解答】解：由数轴可得：0<a ，b a >，<0a b \-a \-()a b a =--+b =，故答案为：b ．6．实数a 、b 的结果是___________．【解答】解：根据图形可得，2112a b -<<-<<，，∴10a +<，10b ->，0a b -<()()()11a b a b -+-+=+-11a b a b =--+-+-2=-．7．如果2y =，那么y x 的值是______．【解答】解：∵2y =，∴150,150x x -³-³，∴15150x x -=-=，∴15,2x y ==，∴215225y x ==；故答案为：225．8．实数a 、b ______．【解答】解：由数轴可得：a<0，0b >，a b >，∴0a b +<，+()a b a b =---+a b a b =----22a b =--．故答案为：22a b--【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a ，b 的取值范围是解本题的关键．9．已知x ，y 是实数，且4y =，则x y -=______．【解答】解：∵4y =，∴30x -³，30x -³，∴3x =，将3x =代入4y =，得：4y =-，∴()34347x y -=--=+=．故答案为：7．10．已知23x <<，则化简22-=______．【解答】解：∵23x <<，∴20,40,50x x x -<-<->，∴22-=245x x x -+-+-245x x x =--++-7x =-，故答案为：7x -．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，化简绝对值，整式的加减，掌握二次根式的性质是解题的关键．11．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图：(1)用“＜”连接0，a ，b ，c 四个数；(2)化简：①||||a c c b -+-；②a ．【解答】（1）解：由图可知：0c a b <<<．（2）解：①∵0c a b <<<，∴0,0a c c b ->-<，∴()()||||2a c c b a c c b a c c b a b c -+-=---=--+=+-；②∵0c a b <<<，且a b <，∴0,0a b c a +>-<，∴()()a a b c a a b c a b c =+--=++-=+．【点睛】本题考查有理数大小比较、数轴、绝对值，二次根式的化简，合并同类项，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴的知识解答．12．设a ，b ，c 为ABC V 【解答】解：根据a ，b ，c 为ABC V 的三边，得到0a b c ++>，0a b c --<，0b a c --<，0c b a --<，则原式a b c a b c b a c c b a =+++--+-----a b c b c a a c b c b a =++++-++-+--4c =．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，根据三角形三边的关系确定出各式的符号是解本题的关键．题型2：二次根式含参数问题1．若a<0 ）A ．B ．-C ．D ．-【解答】解：Q a<0，=-D ．2．实数a ，b 的值是（ ）A ．ab -B ．abC ．ab ±D ．a b【解答】解：由题意得00b a <>，()a b ab =-=-g ，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断出a ，b 正负．3．已知0xy >，化简二次根式-A B C ．D ．【解答】解：由二次根式有意义的条件可得：20x y³，∵0xy >，∴0x >，0y >，∴y y -=-=-=故选：C.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的(0)(0)a a a a a ³ì==í-<î．4．化简(1a -的结果是（ ）A C ．D 【解答】解：∵(1a -∴10a ->，则1a >，∴10a -<∴(1a -==B ．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的除法公式和分母有理化是解题关键．5．已知a b < ）A ．-B ．-C ．D ．【解答】解：由题意，得：30a b -≥，∴30a b £，∵a b <，∴0a £==-A ．【点睛】本题考查二次根式的化简．熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．6．若0x <A ．B ．-C ．D ．-【解答】解：0x <Q ，==-D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．7．把 ___．【解答】解：==故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．8．ABC V 的三边长分别为1、k 、3，则化简7-3=﹣_____．【解答】解：∵ABC V 的三边长分别为1、k 、3，∴24k <<，∴23>0k -，290k -<，∴73-()723k =--()79223k k =---+ 10292k k =--+ 1=．故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，绝对值的化简，二次根式的化简，掌握“二次根式的化简方法”是解本题的关键．题型3：二次根式的“配完全平方”的化简1小红对式子进行计算得：第11==；第2==根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8；②对第n 个式子进行计算的结果1001；④将第n 个式子记为n a ，令1n n b a =，且229199575n n n n a a b b ++=，则正整数15n =．小红得到的结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C【解答】由题可知，第n ===，故②正确；那么第83=-3===-，故①正确；第100则前100个式子的和为：11-+=-……，故③正确；令1,n n a x b x ==，则229199575n n n n a a b b ++=可化为22119199575x x x x +×+=2219(556x x +=因为n n a b ====所以2219()556x x +=可化为： 229556éù+=êúëû若15n =，则229556éù+¹êúëû，故④错误．综上所述，①②③正确．故选：C【点睛】此题考查二次根式的规律，解题关键是将此数式的通式直接写出来，同时化简时需要分母有理化．2个问题，并得到一些结论，其中正确的有_________________．①a +a 的变化而变化，当2a =时，此代数式有最小值2；②在2a <的条件下化简a +2；③当a +a 的取值范围是3a £；④=，则字母a 必须满足3a ³．【解答】解：∵a +a =2a a =+-∴代数式有最小值随随a 的变化而变化，当2a <时， 222a a a a +-=+-=，当2a >时，2222a a a +-=->，当2a =时，22a a +-=，∴2a ³，故①和②正确，∵3a a a =+-，当3a £时，333a a a a +-=+-=，当3a <时，3233a a a +-=->，故③正确；∵()230a -³，故无论a =故④错误，故答案为：①②③．3．已知2022a =，则22022a -=__________．【解答】解：∵2022a =有意义，∴20230a -³，即2023a ³，∴2022a a -+=，2022=，∴220232022a -=，∴220222023a -=，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确得到2023a ³是解题的关键．4．化简：21)-+的结果是___．【解答】解：21)+51=+-62)=-64=-2=故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．5．设a ，b 是整数，方程20x ax b ++=a b +=___________．【解答】3===，∴把3代入方程有((2330a b ++=，整理得(11360a b a ++-+=，∵a ，b 是整数，∴113060a b a ++=ìí+=î，解得67a b =-ìí=î，∴671a b +=-+=．故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由a ，b 是整数就可以求出a ，b 的值．64+=，则1a a-的值是________【解答】4=，∴216=，∴1216a a ++=∴114a a +=，∴2221114144192a a a a a a æöæö-=+-×=-=ç÷ç÷èøèø，∴1a a-=±故答案为：±．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析【提出问题】已知01x <<的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD ，P 为BC 边上的动点．设BP x =，则1PC x =-．则=______+______的线段和；(2)在（1）的条件下，已知01x <<(3)【解答】（1AP DP =+的线段和；（2）作点D 关于BC 的对称点D ¢，连接AD ¢，则112DD ¢=+=，则AP PD +的最小值即为AD ¢的长，在Rt ADD ¢△中，由勾股定理得，AD ¢=，（3=，如图，3AB =，1CD =，6BC =，AB BC ^，CD BC ^，设BE x =，AE DE =-，\当点A 、D 、E 三点共线时，AE ED -的最大值为AD ，延长AD ，BC 交于E ，作DH AB ^于H ，可得2AH AB BH AB CD =-=-=，6DH BC ==，由勾股定理得，AD ===．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合思想，学会利用转化思想解决问题．8．阅读下面的材料，并解决问题．1=-；=；¼(1)= ．(2)观察上述规律并猜想：当n = ．（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用（2）的结论计算：①1)´= ；②1)´．【解答】（12=（2==1)=+11)=+1)=-4=；②1)´11)=+´1)1)=´2020=．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、平方差公式、分母有理化是解题的关键．题型4：二次根式的运用1．已知x y ==+ ）A B ．34C 1D【解答】解：∵x y ==∴x y x y +==-==-，===C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．2．若()210x y -+=A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵()210x y -+=，()2100x y -+³³，∴()2100x y -+==，∴102100x y x y -+=ìí++=î，解得43x y =-ìí=-î，===D【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、算术平方根的非负性、算术平方根的求法，根据非负数的性质得到方程组是解题的关键．3．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如223=-=，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令nA=n为非负数），则()()22m nA A A A m n+-==-=-；1nmA A==+．则下列选项正确的有（）个①若a是7A的小数部分，则3a2；②若54544b cA A A A-=-+（其中b c、为有理数），则15bc=-；2=6=④12233420222023111112324320232022A A A A A AA A++++=++++LA．4B．3C．2D．1【解答】解：由题意得7A=∵479<<，∴23<<，∴2a=-，∴32a====+，故①错误；∵54544b cAA A A-=+-+4=+，4=4=+，)()24b c b c-++=+，∵b c、为有理数，∴82b cb c-=ìí+=î，∴53bc=ìí=-î，∴15bc=-，故②正确；2=，∴2=+∴()1022n nA A+-=-，∴1022n n A A ++=-，6=，故③正确；====∴1223342022202311112324320232022A A A A A A A A ++++++++L=-+L =故选B ．【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．4．对于有理数,a b ，定义{}min ,a b 的含义为：当a b <时，{}min ,a b a =．例如：{}min 1,22-=-．已知}min a a =，}minb =a 和b}min a 的值为________．【解答】解：∵}mina a =，}min b ，∴a b <<，∵a b <<，且a 和b 为两个连续正整数，45<<，∴45a b ==，，}min a ===5：若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么该三角形的面积为S =ABC V三边长分别为2，3ABC V 的面积是_________．【解答】解：∵ABC V又∵23+>c =，∴S ===3=．故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、有理数的乘方、二次根式性质、算术平方根，掌握二次根式的性质是解题的关键．6，同学们马上举手发言，小明站起来说：“老师，这道＝1”而老师却说小明错了，为什么呢？a 成立，必须具备条件0a ³，而1-0．正确的思路是先判断正负，然后开方：1=-，你看明白了吗？请你做一做下面的习题：(1)＝ ．2．(3)已知a，b ，c．【解答】（10>=；（221=+…1=-；（3）∵a ，b ，c 是三角形的三边，∴0a b c +->，0b a c --<，()2a b c a c b a b c a c b a =+-++-=+-++-=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，利用二次根式的性质化简是解题关键．7．【探究函数1y x x=+的图象与性质】(1)函数1y x x=+的自变量x 的取值范围是 ；(2)下列四个函数图象中，函数1y x x =+的图象大致是 ；(3)对于函数1y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵0x >，∴1y x x=+22=+2=+______．∵20³，∴y ³____．【拓展说明】【解答】（1）解：∵1y x x =+，∴0x ¹，故答案为：0x ¹；（2）解：∵函数1y x x=+，∴当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，故选：C ．（3）解：∵0x >，∴1y x x=+22=+22=+．∵20³，∴2y ³．故答案为：2，2；（4）解：∵0x >，∴25445x x y x x x-+==+-2241=+--21=-，∵20³，∴1y ³-．【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．8．阅读下面问题：1==-；=；2==-．(1)(2)n 为正整数）；(3)+【解答】（1；（2==（3）解：原式1=L1=-101=-9=．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．9．我们将、称为一对“对偶式”，因为22a b =-=-，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，因此二次根式除法可以这样解：==3==+分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，解答下列问题：(1)”、 “<”或“=”填空)；(2)已知x =y =的值；(3)【解答】（1====>，2>23+>>（2）解：22()x y x y x y xy xy x y --=++，∵x y -=3x y +==，1xy ==∴原式=（3=1=-+--+…+-1=-=【点睛】本题考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大．10．知识回顾我们在学习《二次根式》这一章时，对二次根式有意义的条件和性质进行了探索，得到了如下结论：I 0a ³．II ．二次根式的性质：①()20a a =³||a =．类比推广根据探索二次根式相关知识过程中获得的经验，解决下面的问题．(1)根式在实数范围内有意义的条件是，根式在实数范围内有意义的条件是 ；(2)写出n 3n ³，n 是整数）在实数范围内有意义的条件和性质．【解答】（1）解：2014Q 为偶数，\根式0a ³；2015Q 为奇数，\根式a 为任意实数，故答案为：0a ³；a 为任意实数；（23n ³，n 是整数）有意义的条件：当n 为偶数时，0a ³；当n 为奇数时，a 为任意实数．3n ³，n 是整数）的性质：当n 为偶数时，①()0n a a =³当n 为奇数时，①n a =a =．【点睛】本题考查了数字类规律探究，解题关键是熟练掌握二次根式和乘方的相关知识．11．在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足2222a b c +=，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如ABCV2，因为22222+=´，所以ABC V 是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：(1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”）(2)已知ABC V 的其中两边长分别为1ABC V 为“类勾股三角形”，则另一边长为___________；(3)如果Rt ABC △是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x ，y ，z （x ，y 为直角边长且x y <，z 为斜边长），用只含有x 的式子表示其周长和面积．【解答】（1）解：设等边三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a b c ==，∴2222a b c +=，∴等边三角形是“类勾股三角形”，∴小璐的说法正确，故答案为：正确；（2）解：设另一边长为x ，①22212x +=，解得2x =，符合题意；②22212x +=，解得x =③2221x +=，无解；故答案为：2（3）解：∵x y z <<，∴222x y z <<，∴2222y z x +>，2222x y z +<，∴2222x z y +=，∵222x y z +=，∴2223y z =，∴2213x z =，∴z =，y =，∴周长为：(1x ，面积为：212xy x =．【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．12．老师就式子39´+-W d ，请同学们自己出问题并解答．(1)小磊的问题：若W 代表2(2)-，d 代表3(3)-，计算该式的值．(2)小敏的问题：若W d a 的值．(3)小捷的问题：若394´+-<W d ，且W 和d 所代表的数是互为相反数，直接写出W 所代表的数的取值范围．【解答】（1）解：由题意，得()()233293´-+--34927=´++12927=+-48=；（2）解：由题意得9+-∵计算的结果是有理数，∴=∴45a =；（3）解：设口所代表的有理数为y ，则〇所代表的有理数为y -，则39()4y y +--<，解得54y <-，\口所代表的数的取值范围为54<-□．13==，．请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程，请写出 = ；(2)请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；(3)利用上面的解法，请化简：......====．（2）解：观察前面例子的过程和结果得：=（3............=+......=1=-+110=-+9=．14．已知实数x 、y 满足8y =．(1)求x 与y 的值；(2)符号*表示一种新的运算，规定a b *x y *的值．【解答】（1）解：Q 实数x 、y 满足8y =+，5050x x -³ì\í-³î5x \=，8y \=；（2）解：根据新的运算，可得：x y *=====【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，利用二次根式的性质化简及运算，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．15．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵a b =-， ∴a b -=．例如：1=Q ，=这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：(1))...1++´(2)【解答】（1）)...1+´1...1=+´）))11=´20231=-2022===(()543=++=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的分母有理化是解题的关键．16．课本再现（1）方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式为x =，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为1x ，2x 满足：①12b x x a+=-；②12c x x a =．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明；知识应用（2）已知一元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，求22【解答】解：（1）∵方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式为x =且方程的两个根为1x ，2x ，∴1b x a=-，12x x =()22244b b ac a --=22244b b ac a -+=244aca =c a=；（2）∵元二次方程22310x x --=的两根分别为m 、n ，∴3122m n mn +==-，，∴()22313224m n mn mn m n æö+=+=´-=-ç÷èø．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，公式法解一元二次方程，二次根式的乘法和加法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【解答】解：第1个数：当1n =时，n n ùú-úû==1=．第2个数：当2n =时，n n ùú-úû22ùú=-ú=1=1=．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．。
二次根式最新题型归纳总结
二次根式必考点归纳总结必考点一 二次根式的概念掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 例题1 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．√−x −2B ．√xC ．√a 2+1D ．√x 2−2【解析】根据二次根式的定义可得√a 2+1中得被开方数无论x 为何值都是非负数，选C ．变式1 在式子√x2（x ＞0），√2，√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0），√33，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】√x2（x ＞0），√2，√x 2+1符合二次根式的定义．√y +1（y ＝﹣2），√−2x （x ＞0）无意义，不是二次根式．√33属于三次根式．x +y 不是根式．选B ． 变式2 在式子√π−3.14，√a 2+b 2，√a +5，√−3y 2，√m 2+1，√|ab|中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解析】在所列式子中是二次根式的有√π−3.14，√a 2+b 2，√m 2+1，√|ab|这4个，选B ． 变式3 下列各式中①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得． 【解析】①√83；②√−(−b)；③√a 2；④√1|x|+0.1；⑤√x 2+2x +1一定是二次根式的是③④⑤，选C ．必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．例题2 若式子√m−1m−2在实数范围内有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1且m ≠2C ．m ≥1且m ≠2D ．m ≠2【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【解析】∵√m−1m−2在实数范围内有意义，∴{m −1≥0m −2≠0，解得m ≥1且m ≠2．选C ．变式4 要使√2x −113−x有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．12≤x ≤3B ．12＜x ≤3C ．12≤x ＜3D ．12＜x ＜3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解析】要使√2x −11√3−x 有意义，则2x ﹣1≥0，3﹣x ＞0，解得：12≤x ＜3．选C ． 变式5 若使式子√2−x ≥√x −1成立，则x 的取值范围是（ ） A ．1.5≤x ≤2B ．x ≤1.5C ．1≤x ≤2D ．1≤x ≤1.5【解析】由题意可得：{2−x ≥0x −1≥02−x ≥x −1，解得：1≤x ≤1.5．选D ．变式6 等式√a−3a−1=√a−3a−1成立的条件是（ ）A ．a ≠1B ．a ≥3且a ≠﹣1C ．a ＞1D ．a ≥3【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a 的范围 【解析】∵等式√a−3a−1=√a−3a−1成立，∴{a −3≥0a −1＞0，∴a ≥3．选D ．必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可. 例题3 已知，x 、y 是有理数，且y =√x −2+√2−x −4，则2x +3y 的立方根为 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而得立方根． 【解析】由题意得：{x −2≥02−x ≥0，解得：x ＝2，则y ＝﹣4，2x +3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以√−83=−2．【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 变式7 若a ，b 为实数，且b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，则a +b 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．1或7D ．7【解析】∵b =√a 2−9+√9−a 2a+3+4，∴a 2﹣9＝0且a +3≠0，解得a ＝3，b ＝0+4＝4，则a +b ＝3+4＝7．选D ．变式8 已知√2x +y −3+√x −2y −4=√a +b −2020×√2020−a −b ， （1）求a +b 的值；（2）求7x +y 2020的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x 与y 的值即可求出答案．【解析】（1）由题意可知：{a +b −2020≥02020−a −b ≥0，解得：a +b ＝2020．（2）由于√a +b −2020×√2020−a −b =0，∴{2x +y −3=0x −2y −4=0，∴解得：{x =2y =−1∴7x +y 2020＝14+1＝15．变式9 已知√3x +y −z −8+√x +y −z =√x +y −2019+√2019−x −y ，求（z ﹣y ）2的值． 【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x 、y 、z 的值；然后代入求值．【解析】由题中方程等号右边知：√x +y −2019有意义，则x +y ﹣2019≥0，即x +y ≥2019，√2019−x −y 有意义，则2019﹣x ﹣y ≥0，即x +y ≤2019，即{x +y ≤2019x +y ≤2019，∴x +y ＝2019．∴√x +y −2019=0，√2019−x −y =0． ∴原题中方程右边为0．∴原题中方程左边也为0，即√3x +y −z −8+√x +y −z =0． ∵√≥0，√x +y −z ≥0．∴3x +y ﹣z ﹣8＝0，x +y ﹣z ＝0． 又x +y ＝2019，∴{3x +y −z −8=0x +y −z =0x +y =2019，∴{x =4y =2015z =2019．∴（z ﹣y ）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简. 例题4 已知a ≠0且a ＜b ，化简二次根式√−a 3b 的正确结果是（ ） A ．a √abB ．﹣a √abC ．a √−abD ．﹣a √−ab【解析】由题意：﹣a 3b ≥0，即ab ≤0，∵a ＜b ，∴a ＜0＜b ， 所以原式＝|a |√−ab =−a √−ab ，选D ．变式10 与根式﹣x √−1x 的值相等的是（ ）A ．−√xB ．﹣x 2√−xC ．−√−xD ．√−x【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【解析】∵√−1x 有意义，∴x ＜0，∴﹣x √−1x ＞0，∴﹣x √−1x =−x •√−x−x=√−x ，选D ．【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x 的取值范围，难度不大．变式11化简﹣a√1a的结果是（）A．√a B．−√a C．−√−a D．√−a【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a√1a=−√a，选B．变式12把代数式（a﹣1）√11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．−√1−a B．√a−1C．√1−a D．−√a−1【解析】（a﹣1）√1(1−a)=−（1﹣a）√11−a=−√1−a．选A．必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）例题5若1≤x≤4，则|1−x|−√(x−4)2化简的结果为（）A．2x﹣5B．3C．3﹣2x D．﹣3【解析】∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．变式13实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√(a+1)2+√(b−1)2−√(a−b)2的结果是（）A．﹣2B．0C．﹣2a D．2b【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴√(a2+√(b−1)2−√(a−b)2|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．变式14若a、b、c为三角形的三条边，则√(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（）A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．变式15已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简√a2+|a﹣c|+√(b−c)2−|b|．【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．√8B ．√2x 2yC ．√ab 2D ．√3x 2+y 2【解析】A .√8=2√2，可化简；B .√2x 2y =|x |√2y ，可化简；C .√ab 2=√2ab 2，可化简； D .√3x 2+y 2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D ． 变式16 在根式√xy 、√12、√ab2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根式√xy 、√12、√ab 2、√x −y 、√x 2y 中，最简二次根式有√xy 、√ab2、√x −y ，共3个，选C ． 变式17 若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为 2 ． 【解析】若二次根式√5a +3是最简二次根式，则最小的正整数a 为2， 变式18 若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m +n ＝ ﹣6 ． 【解析】由题意可得：{m +3=12m −n +1=1，解得：{m =−2n =−4，∴m +n ＝﹣6必考点七 同类二次根式的概念同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．例题7 下列二次根式：√32，√18，√43，−√125，√0.48，其中不能与√12合并的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵√12=2√3，√18=3√2，√43=2√33，−√125=−5√5，√0.48=2√35， ∴不能与√12合并的是√18、−√125这2个，选B ．变式19 若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝3【解析】∵最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，∴x +3＝2x ，解得：x ＝3，选D ． 变式20 若最简二次根式√3m +n ，2√4m −2可以合并，则m ﹣n 的值为 ．【分析】由题意可知，√3m +n 与2√4m −2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解． 【解析】根据题意3m +n ＝4m ﹣2，即﹣m +n ＝﹣2，所以m ﹣n ＝2．【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．变式21 若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值；（2）求√x 2+y 2的值．【解析】（1）根据题意知{3x −10=22x +y −5=x −3y +11，解得：{x =4y =3；（2）当x ＝4、y ＝3时，√x 2+y 2=√42+32=√25=5．必考点八 二次根式的加减运算二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答． 例题8 计算：（1）3√3−√8+√2−√27 （2）7a √7a −4a 2√18a+7a √2a 【解析】（1）原式=3√3−2√2+√2−3√3=−√2， （2）原式=7a √7a −a √2a +7a √2a =7a √7a +6a √2a ． 变式22 计算：（1）2√12−6√13+3√48 （2）5√x 5+52√4x 5−x √20x【解析】（1）原式＝4√3−2√3+12√3＝14√3．（2）原式=√5x +√5x −2√5x ＝0 变式23 计算：（1）2√3+3√12−√48 （2）32√4x −（15√x25−2√x 2）（x ＞0） 【解析】（1）原式＝2√3+6√3−4√3＝4√3；（2）原式=32×2√x −（15×√x5−2x ）＝3√x −3√x +2x ＝2x ． 变式24 计算（1）√27−√45−√20+√75（2）2√a −3√a 2b +5√4a −2b √a 2b (a ≥0，b ＞0) 【解析】（1）原式＝3√3−3√5−2√5+5√3＝8√3−5√5； （2）原式＝2√a −3a √b +10√a −2a √b ＝12√a −5a √b ．必考点九 二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例题9 计算：√313÷(25√213)×(4√125)．【解析】√313÷(25√213)×(4√125)＝（1÷25×4）√103÷73×75＝（1×52×4）√103×37×75＝10√2．变式25 计算：n m √n 3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3． 【解析】n m √n3m 3⋅(−1m √n 3m 3)÷√n2m3=n m×（−1m）÷1√n 3m 3×n 3m 3×2m 3n=−n m 2√2n 33m 3 =−n m 2×|n|3m 2√6mn ＝±n 23m4√6mn ．变式26 化简：2x3y√2x3y 3⋅(4x √÷(4x 2y √3x 2y)【解析】原式=2x 3y •√2x y 3y •4x •3√xy ÷（4x 2y x √3√y）=√2x 33y 2•√y 4√3x 3y =2√2y 3y 3变式27 计算：2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√ba （a ＞0） 【解析】2b√ab •（−32√a 3b ）÷13√b a （a ＞0）=−3b •a 2b ÷13√b a ＝﹣9a 2√a b =−9a 2b √ab ． 必考点十 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；例题10 （1）计算：√3×√12+√6÷√2−√27；（2）化简：√18x +2x √x 32+x ÷√x2．【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【解析】（1）原式=√3×12+√6÷2−3√3＝6+√3−3√3＝6﹣2√3； （2）原式＝3√2x +√2x +x •√2√x＝3√2x +√2x +√2x ＝5√2x ． 【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．变式28 （1）计算：√12×√34+√24÷√6．（2）计算：(√5+√3)2−(√5+√2)(√5−√2)．【解答】（1）原式=14×√12×3+√24÷6=32+2 =72； （2）原式=5+2√15+3−(5−2)=8+2√15−3 =5+2√15．变式29 计算：（1）（2√3−1）2+（√3+2）（√3−2）；（2）√48÷2√3−√27×√63+4√12．【解析】（1）原式＝12﹣4√3+1+3﹣4＝12﹣4√3；（2）原式=12√48÷3−13√27×6+2√2＝2﹣3√2+2√2＝2−√2．变式30 计算：（1）（√3−2）（√3+2）﹣（√3−1）2+5； （2）（2√2x3−√10x •√15）÷√6x 3．【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣2√3+1）+5＝﹣1﹣3+2√3−1+5＝2√3； （2）原式＝（23√6x −5√6x ）÷√6x3=−13√6x 3•√6x＝﹣13． 必考点十一 二次根式的化简求值例题11 若x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，求（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）的值．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 的值，求出y 的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．【解析】∵x ，y 是实数，且y =√4x −1+√1−4x +13，∴4x ﹣1≥0且1﹣4x ≥0，解得：x =14，∴y =13， ∴（23x √9x +√4xy ）﹣（√x 3+√25xy ）＝2x √x +2√xy −x √x −5√xy ＝x √x −3√xy=14√14−3√14×13=18−12√3． 变式31 已知x =1√5−√3y =1√5+√3，求下列各式的值： （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x+x y． 【解析】（1）∵x =1√5−3=√5+√32，y =1√5+3=√5−√32，∴x +y =√5，xy =12，则x 2﹣xy +y 2＝（x +y ）2﹣3xy ＝5−32=72； （2）yx +x y=x 2+y 2xy =(x+y)2−2xy xy =5−112＝8． 变式32 已知x =12(√5+√3)，x =12(√5−√3)，求x 2﹣3xy +y 2的值．【分析】先由x 、y 的值计算出x ﹣y 、xy 的值，再代入原式＝（x ﹣y ）2﹣xy 计算可得．【解析】∵x =12(√5+√3)，y =12(√5−√3)， ∴x ﹣y =12(√5+√3)−12(√5−√3)=√52+√32−√52+√32=√3，xy =12(√5+√3)×12(√5−√3)=14×（5﹣3）=14×2=12， 则原式＝（x ﹣y ）2﹣xy ＝（√3）2−12＝3−12=52． 变式33 已知x =b 2a+b−2a−b ，y =b2a+b+2a−b，求x 2﹣xy +y 2的值．【分析】根据分母有理化化简x 与y ，然后求出x +y 与xy 的表达式即可求出答案． 【解析】∵x =√2a+b−√2a−b ，y =√2a+b+√2a−b，∴x =√2a+b+√2a−b2，y =√2a+b−√2a−b2，∴x +y =√2a +b ，xy =b2，∴原式＝x 2+2xy +y 2﹣3xy ＝（x +y ）2﹣3xy ＝2a +b −3b2＝2a −b2必考点十二 分母有理化二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的． 例题12 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33√23=√2×33×3=√63√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简√27（2）化简√5+√3．（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．【分析】（1）分子分母分别乘√3即可；（2）分子分母分别乘√5−√3即可； （3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；【解析】（1）√27=√3√27×√3=√33（2）化简√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3（3）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1=12（√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1−√2n −1）=12（√2n +1−1） 变式34 阅读下面计算过程：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；√5+2=√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2．求：（1）√7+√6的值．（2）√n+1+√n （n 为正整数）的值．（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99的值．【分析】（1）根据给定算式，在分式√7+√6的分母和分子上分别相乘（√7−√6），计算后即可得出结论；（2）根据给定算式，在分式√n+1+√n的分母和分子上分别相乘（√n +1−√n ），计算后即可得出结论； （3）根据（2）的结论即可得出√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99），由此即可算出结论． 【解析】（1）√7+√6=√7−√6)(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6； （2）√n+1+√n=√n+1−√n)(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ；（3）√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√100+√99=（√2−1）+（√3−√2）+（2−√3）+…+（10−√99）＝10﹣1＝9．【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键． 变式35 观察下列格式，√5−12−√5−1，√8−22−√8−2，√13−32−√13−3，√20−42−√20−4⋯ （1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果 （3）用含n （n ≥1的整数）的式子写出第n 个式子及结果，并给出证明的过程． 【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果； （2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果； （3）根据（1）的规律可得√n 2+4−n2−√n 2+4−n，然后分母有理化，求出结果即可．【解析】（1）√5−12−√5−1=√5−12−√5+1)(√5−1)(√5+1)=√5−12−√5+12=−1， √8−22−√8−2=√8−22−√8+22=−2， √13−32−√13−3=√13−32−√13+32=−3， √20−42−√20−4=√20−42−√20+42=−4， （2）√29−52−√29−5=−5，（3）√n 2+4−n2−√n 2+4−n=√n 2+4−n2−√n 2+4+n2=−n ．变式36 【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的 例如：化简√3+√2【解析】√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a ±2√b 的方法：如果能找到两个实数m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn =√b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n 例如：化简√3±2√2【解析】√3±2√2=√(√2)2+12±2√2=√(√2±1)2=√2±1 【理解应用】 （1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ；（2）计算： ①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2018+√2017+√2019+√2018．【解析】（1）原式=√5+√3)(√5+√3)(5+3)(5−3)=8+2√152=4+√15，（2）①√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2√10=√(√5−√2)2=√5−√2；②原式=√2−1+√3−√2+4−√3+⋯+√2019−√2018=√2019−1．必考点十三复合二次根式的化简例题13阅读理解题，下面我们观察：（√2−1）2＝（√2）2﹣2×1×√2+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2．反之3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2，所以3﹣2√2=（√2−1）2，所以√3−2√2=√2−1．完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解3+2√2；（2）化简：√4+2√3；（3）化简：√5−2√6．【解析】（1）3+2√2=12+2√2+(√2)2=(1+√2)2；（2）√4+2√3=√(√3+1)2=√3+1；（3）√5−2√6=√(√3−√2)2=√3−√2．变式37观察下式：（√2−1）2＝（√2）2﹣2•√2•1+12＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2反之，3﹣2√2=2﹣2√2+1＝（√2−1）2根据以上可求：√3−2√2=√2−2√2+1=√(√2−1)2=√2−1求：（1）√5+2√6；（2）你会算√4−√12吗？【解析】（1）原式=√2+2√6+3=√(√2+√3)2=√2+√3．（2）原式=√3−2√3+1=√(√3−1)2=√3−1变式38阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将√a+2√b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=√b，则a+2√b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得√a+2√b，化简：例如：∵5+2√6=3+2+2√6=（√3）2+（√2）2+2√6=（√3+√2）2．∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2．请你仿照上例将下列各式化简：（1）√4+2√3；（2）√7−2√10．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2√3化为（1+√3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2√10化为（√5−√2）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解析】（1）∵4+2√3=1+3+2√3=12+(√3)2+2√3=（1+√3）2，∴√4+2√3=√(1+√3)2=1+√3；（2）√7−2√10=√(√5)2+(√2)2−2×√5×√2=√(√5−√2)2=√5−√2．变式39先阅读下列解答过程，然后再解答：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(√a)2+(√b)2=m，√a×√b=√n，那么便有：√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b）例如：化简√7+4√3：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3．问题：①填空：√4+2√3=，√9+4√5=；②化简：√19−4√15（请写出计算过程）．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．【解析】①√4+2√3=√(√3)2+2√3+12=√(√3+1)2=√3+1，√9+4√5=√(√5)2+4√5+22=√(√5+2)2=√5+2，②√19−4√15=√(√15)2−4√15+22=√(√15−2)2=√15−2．必考点十四含二次根式的数式规律题例题14观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=1120（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）【解析】（1）√1+142+152=1+14−15=1120；故答案为：1120；（2）√1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；（3）√5049+164=√1+172+182=1156．变式40观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，（1）计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯⋯+1+19−110＝9+1−110＝9910；（2）第n个等式：√1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．变式41观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．【解析】（1）√4+16=5√16；（2）√n+1n+2=（n+1）√1n+2；（3）√n+1n+2=√n2+2nn+2+1n+2=√n2+2n+1n+2=√(n+1)2n+2＝（n+1）√1n+2．变式42观察下列各式及其验算过程：√2+23=2√23，验证：√2+23=√2×3+23=√233=2√23；√3+38=3√38，验证：√3+38=√3×8+38=√338=3√38（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想√4+415的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【解析】（1）∵√2+23=2√23，√3+38=3√38，∴√4+415=4√415=4√15=8√1515，验证：√4+415=√6415=8√1515，正确；（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴√n+n2=n√n2，验证：√n+n2=√n32=n√n2；正确；二次根式章节巩固练习1．下列式子是二次根式的是（）A．√−7B．√83C．√a D．√x2+1【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．【解析】A、√−7无意义，故本选项不符合题意；B、√83的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；选D．【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如√a （a ≥0）的代数式叫做二次根式．当a ≥0时，√a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B ．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C ．同类二次根式一定都是最简二次根式D ．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【解析】A 、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B 、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C 、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意； D 、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；选D ． 3．代数式√x+4x−2中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣4 B ．x ＞2 C ．x ≥﹣4且x ≠2 D ．x ＞﹣4且x ≠2【解析】由题意得：x +4≥0，且x ﹣2≠0， 解得：x ≥﹣4且x ≠2，选C ．4．下列各式中，互为有理化因式的是（ ） A ．√a +b ，√a −bB ．√5−√2，√5−√2C ．√x −1，√x −1D ．−√a +√b ，√a −√b【解析】√x −1与√x −1互为有理化因式，选C ．5．已知n 是一个正整数，√45n 是整数，则n 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．15D ．45【解析】由于45n ＝32×5n ，∴√45n =3√5n ，由于√45n 是整数，∴n 的最小值为5，选B ． 6．实数a 在数轴上的位置如图所示，则√(a −3)2+√(a −10)2化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定【解析】由数轴上点的位置，得4＜a ＜8．√(a −3)2+√(a −10)2=a ﹣3+10﹣a ＝7，选A ． 7．若x +1x =7，则√x 1√x 的值是（ ）A ．3B ．±3C ．√5D ．±√5【解析】∵x +1x =7，∴（√x +√x ）2＝x +2+1x =7+2＝9，∵√x x 0，∴√x x =3，选A ．8．我们把形如a √x +b （a ，b 为有理数，√x 为最简二次根式）的数叫做√x 型无理数，如2√5+3是√5型无理数，则(√2+√6)2是（ ） A ．√2型无理数B ．√3型无理数C ．√6型无理数D ．√12型无理数【解析】(√2+√6)2=2+2√12+6＝4√3+8，所以(√2+√6)2是√3型无理数．选B ．9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）A ．16√6cm 2B ．40 cm 2C ．8√6cm 2D ．（2√6+4）cm 2【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm 2和24cm 2两个小正方形，大正方形的边长是√16+√24=4+2√6，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2√6）2﹣16﹣24＝16+16√6+24﹣16﹣24＝16√6（cm 2）．选A ． 10．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4．则化简|2k ﹣5|−√k 2−12k +36的结果是（ ） A ．3k ﹣11B ．k +1C ．1D ．11﹣3k【解析】∵三角形的三边长分别为1、k 、4，∴{1+4＞k4−1＜k ，解得，3＜k ＜5，所以，2k ﹣5＞0，k ﹣6＜0，∴|2k ﹣5|−√k 2−12k +36=2k ﹣5−√(k −6)2=2k ﹣5﹣[﹣（k ﹣6）]＝3k ﹣11．选A ．11．在根式√3，√4x ，√35，√0.25，√20，最简二次根式的个数有 1 个．【解析】最简二次根式有√3这1个，12．如果最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，那么使√5a −2x 有意义的x 的取值范围是 x ≤252． 【解析】∵最简二次根式√3a −4与√16−a 可以合并，∴3a ﹣4＝16﹣a ，解得：a ＝5， ∴√5a −2x =√25−2x ，要使√25−2x 有意义，必须25﹣2x ≥0，解得：x ≤252，13．若式子√(x −2)2=2﹣x 成立，则x 的取值范围为 x ≤2 ． 【解析】由题意得：x ﹣2≤0，解得：x ≤2，14．若y =√x 2−4+√4−x 2+3，则y x ＝ 9或19 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可求x ＝±2，进一步求得y 的值，再代值计算即可求解． 15．已知x +y ＝﹣5，xy ＝4，则√y x+√x y=52．【解析】∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴x ＜0，y ＜0，√yx +√xy =−（√xy x +√xy y）=−√xy(x+y)xy ， ∵x +y ＝﹣5，xy ＝4，∴原式=−√xy(x+y)xy=−√4×(−5)4=52．16．若m 满足等式√m −2020+|2019﹣m |＝m ，则m ﹣20192的值为 2020 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得m ≥2020，再利用绝对值的性质计算√m −2020+|2019﹣m |＝m 即可．【解析】∵m ﹣2020≥0，∴m ≥2020，∴√m −2020+|2019﹣m |＝m ，√m −2020+m ﹣2019＝m ，√m −2020=2019，∴m ﹣2020＝20192，m ﹣20192＝2020， 17．计算题：（1）2√12÷12√50×12√34−35√2；（2）先化简，再求值．（6x √yx +3y √xy 3）﹣（4x √xy +√36xy ），其中x =32，y ＝27． 【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．【解析】（1）原式＝2×2×12√12÷50×34−35√2＝2×310√2−35√2=35√2−35√2 ＝0；（2）原式＝6x √y x +3y √xy 3−4x √x y −√36xy ＝6√xy +3√xy −4x y √xy −6√xy ＝（3−4xy ）√xy =3y−4x y √xy ，当x =32，y ＝27时，原式=81−627√812=252√2． 18．计算 （1）√18−√92√3+√63（√3−2）0+√(1−√2)2；（2）（2√3+√6）（2√3−√6）．【解析】（1）原式=3√2−32√2−1−√2+1+√2−1=32√2−1； （2）原式＝（2√3）2﹣（√6）2＝6．【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．已知√x−3y+|x 2−9|(x+3)=0，求√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y的值；【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x ，y 的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．【解析】∵√x−3y+|x 2−9|(x+3)2=0，∴x ﹣3y ＝0，x 2﹣9＝0，且x +3≠0，解得：x ＝3，y ＝1，故√x+√y √x−√y −√x−√y√x+√y=√3+1√3−1−√3−1√3+1=(√3+1)22−(√3−1)22 ＝2+√3−（2−√3）＝2√3．20．已知a ，b ，c 满足等式|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b （1）求a ，b ，c 的值．（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b 的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a 和c 的值．（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a ，b ，c 为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可． 【解析】（1）∵|a −√7|+（c ﹣4√2）2=√b −5+√5−b∴b ﹣5≥0，5﹣b ≥0，∴b ＝5∴|a −√7|+（c ﹣4√2）2＝0∴a −√7=0，c ﹣4√2=0 ∴a =√7，b ＝5，c ＝4√2．（2）∵a =√7，b ＝5，c ＝4√2．∴a +b =√7+5＞4√2．∴以a ，b ，c 为边能构成三角形； ∵a 2+b 2＝7+25＝32，c 2=(4√2)2=32，∴a 2+b 2＝c 2 ∴此三角形是直角三角形． 此三角形的面积为：12×√7×5=5√72．21．阅读材料：把根式√x ±2√y 进行化简，若能找到两个数m 、n ，是m 2+n 2＝x 且mn =√y ，则把x ±2√y 变成m 2+n 2±2mn ＝（m ±n ）2开方，从而使得√x ±2√y 化简． 例如：化简√3+2√2解析：∵3+2√2=1+2+2√2=12+（√2）2+2×1×√2=（1+√2）2 ∴√3+2√2=√(1+√2)2=1+√2； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）√5+2√6；（2）√7−4√3．【解析】（1）∵5+2√6=3+2+2√6＝（√3）2+（√2）2+2×√3×√2＝（√3+√2）2， ∴√5+2√6=√(√3+√2)2=√3+√2；（2）∵7﹣4√3=4+3﹣4√3=22+（√3）2﹣2×2×√3＝（2−√3）2，∴√7−4√3=√(2−√3)2=2−√3．【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．22．材料阅读： 在二次根式的运算中，经常会出现诸如√2，√3−√2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”√2=√2(√2)2=√22；√3−√2=√3+√2)(√3−√2)×(√3+√2)=√3+2√2(√3)2−(√2)2=2√3+2√23−2=2√3+2√2． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：√2=√21=√2)22=2√3−1√3=√3−1)×(√3+1)√3×(√3+1)=√3)22(√3)2+√3=3+√3=3+√3．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：√5−2−√5；（2）运用分子有理化，比较√7−√6与√6−√5的大小，并说明理由；（3）计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+√4+√5+⋯+√99+√100的值． 【解析】（1）原式=√5+2(5−2)(5+2)√55×5=√5+2−√5 ＝2；（2）√7−√6＜√6−√5．理由如下：∵√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5，而√7+√6＞√6+√5，∵√7−√6√6−√5，∴√7−√6＜√6−√5； （3）原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1＝10﹣1＝9．。
二次根式常见题型精析
二次根式题型总结例1 、求下列各式有意义的所有x 的取值范围例2 、把下列各根式化为最简二次根式：例3 、判断下列各组根式是否是同类根式：例4 、把下列各式的分母有理化：例5 、计算：例6 、化简：例7 、化简练习：例8、化简求值:已知:.3 、2求:【专项训练】：的值、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的1、成立的条件是：A. B. C. D.2、把化成最简二次根式，结果为：A. B. C. D. 3、卜列根式中，最简二次根式为：A. B. C. D. 4、已知t<1,化简得：A. B. C. 2 D. 05、下列各式中，正确的是：A. B. C .6、下列命题中假命题是：A.设B.设C•设 D.设7、与是同类根式的是：A. B. C. D. 8下列各式中正确的是：A. B.C.D.D .9、下列各式计算正确的是：A．BC．D的结果是：10、计算A．－B．C．D．、计算（字母取正数）三、1、化简2 、已知：求：3 、若的整数部分为，小数部分是b求：的值。
二次根式复习【例题精选】：二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围，依据此概念，去解上述各题。
解：（1）要使有意义，必须，由得当时，式子在实数范围内有意义。
（2）要使有意义，为任意实数均可，当X取任意实数时均有意义。
（3）要使有意义，必须的范围内。
当时，式子在实数范围内有意义。
（4）要使有意义，必须解得当时，有意义。
（5）要使有意义，必须使解得且，取公共区间当时，式子在实数范围内有意义。
分析：式子要在时，才被称为二次根式，即有意义，而6）要使取任意实数它均有有意义，必须解得时式子有意义小练习：(1)当x是多少时，3X—1在实数范围内有意义？1(2) 当x是多少时，,2x 3 +一在实数范围内有意义？②x + 1(3) 当x是多少时，空口+x2在实数范围内有意义？x(4) 当___________ 时，J x +2 + —2x 有意义。
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)
母不为零．
【考点 3 利用二次根式性质化简符号】 【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
【例 3】（2019 春•海阳市期中）把 a 根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A．
B．
C．﹣
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
D．﹣
【答案】解：a 根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣ ，
【变式 1-2】（2019 春•左贡县期中）二次根式：① ； ② ； ③ ； ④ 中，与 是同类二次
根式的是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．②和④
【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．
【答案】解：∵
，
，
，
D．③和④
∴与 是同类二次根式的是①和③ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次 根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．
【变式 1-3】（2019 春•海阳市期中）若两个最简二次根式
和
是同类二次根式，则 n 的值是
（）
A．﹣1
B．4 或﹣1
C．1 或﹣4
【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式即可求出答案．
D．4
2
【答案】解：由题意可知：n2﹣2n＝n+4， ∴解得：n＝4 或 n＝﹣1， 当 n＝4 时， n+4＝8＞0， 此时 不是最简二次根式，不符合题意，
当 n＝﹣1 时， n+4＝3＞0， 综上所述，n＝﹣1 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式，本题属于基础题
型．
【考点 2 二次根式有意义条件】 【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
专题01 二次根式基本性质的运用(解析版)
专题01 二次根式基本性质的运用二次根式的性质运用是本章节考试必考考点。
主要在选择题、填空题、解答题中至少必有一处出现。
这个专题难度不大，但很重要，必须确保学生们不丢分。
【考点刨析】考点1： 二次根式的双重非负性1.二次根式具有双重非负性，即）（≥≥a 0a2.几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.考点2：的运用和）（a a a a22==【典例分析】【考点1： 二次根式的双重非负性】【典例1】（2020•浙江自主招生）已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|++4＝2a ，则a +b 的值【答案】1【解答】解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为，于是a ＝3，b ＝﹣2，从而a +b ＝1．故选：a+b=1【变式1-1】（2020秋•水城县校级月考）已知x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+＝0，则（）2015的值为 ．【答案】-1【解答】解：∵|x ﹣3|+＝0，∴x ＝3，y ＝﹣3，则（）2015＝（﹣1）2015＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式1-2】（2021春•东莞市期末）已知|x +1|+（y ﹣3）2＝0，则xy ＝ ．【答案】﹣3【解答】解：∵|x +1|+（y ﹣3）2＝0，|x +1|≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +1＝0，y ﹣3＝0，解得x ＝﹣1，y ＝3，∴xy ＝（﹣1）×3＝﹣3．故答案为：﹣3．【变式1-3】（2020春•广陵区校级期中）已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝3+，求此三角形的周长．【答案】8【解答】解：由题意得，3a ﹣6≥0，2﹣a ≥0，解得，a ≥2，a ≤2，则a ＝2，则b ＝3，∵2+2＝4＞3，∴2、2、3能组成三角形，∴此三角形的周长为2+2+3＝7，∵3+3＝6＞2，∴2、3、3能组成三角形，∴此三角形的周长为2+3+3＝8．【考点2：的运用和）（a a a a22==】【典例2】（2022秋•南湖区校级期中）已知y ＝++4，y x 的平方根是（ ）A ．16B ．8C ．±4D ．±2【答案】C 【解答】解：∵y ＝++4，∴，解得x ＝2，∴y ＝4，∴y x＝42＝16．∴y x的平方根是±4．故选：C．【变式2-1】（2022秋•邢台期末）已知x，y为实数，且，则x y 的值是 ．【答案】【解答】解：依题意得：，解得x＝3．则y＝﹣2，所以x y＝3﹣2＝．故答案为：．【变式2-2】（2022秋•碑林区校级期末）若y＝++4，则x2+y2的平方根是 ．【答案】±2【解答】解：∵2﹣x≥0，x﹣2≥0，∴x＝2，∴y＝4，故x2+y2＝22+42＝20，∴x2+y2的平方根是：±＝±2．故答案为：±2．【典例3】（2022春•东平县校级月考）如果1＜a＜，那么+|a﹣2|的值是（ ）A．6+a B．1C．﹣a D．﹣6﹣a【答案】B【解答】解：∵1＜a＜，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴原式＝+（2﹣a）＝a﹣1+2﹣a＝1．故选：B．【变式3-1】（2022•南谯区校级模拟）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（ ）A．3﹣2a B．3C．﹣3D．2a﹣3【答案】B【解答】解：∵a＜0，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|﹣＝3﹣a﹣（﹣a）＝3﹣a+a＝3，故选：B．【变式3-2】（2022春•灵宝市校级月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）A．0B．﹣2C．﹣2a D．2b【答案】A【解答】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝0．故选：A．【变式3-3】（2022秋•崇川区校级月考）若2、5、n为三角形的三边长，则化简+的结果为（ ）A．5B．2n﹣11C．11﹣2n D．﹣5【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【夯实基础】1．（2022秋•郸城县期中）计算的结果为（ ）A．﹣6B．6C．D．﹣【答案】B【解答】解：（﹣）2＝6，故选：B．2．（2022秋•南关区校级期中）满足＝3﹣a的正整数a的所有值的和为（ ）A．3B．6C．10D．15【答案】B【解答】解：∵＝3﹣a，∴3﹣a≥0，解得a≤3，则正整数a的值有1、2、3三个，∴1+2+3＝6．故选：B．3．（2021秋•沭阳县校级期末）若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（ ）A．x≤2B．x≥2C．0≤x≤2D．任意实数【答案】A【解答】解：∵＝|x﹣2|＝2﹣x，∴x≤2，故选：A．4．（2022春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式+的值是（ ）A．1B．﹣1C．2a﹣3D．3﹣2a【答案】A【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|＝2﹣a+a﹣1＝1．故选：A．5．（2022秋•卧龙区校级月考）若+b﹣3＝0，则b的取值范围是（ ）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3【答案】D【解答】解：∵+b﹣3＝0，即|3﹣b|＝3﹣b，∴3﹣b≥0，即b≤3，故选：D．6．（2022秋•禅城区校级月考）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b【答案】B【解答】解：∵实数a、b在轴上的位置可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b﹣a故选：B．7．（2022秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．8．（2021春•宾阳县期中）实数a在数轴对应点的位置如图所示，则﹣|3﹣a|＝（ ）A．5B．﹣5C．﹣1D．2a﹣5【答案】C【解答】解：由图知：1＜a＜2，∴a﹣2＜0，3﹣a＞0，原式＝|a﹣2|﹣|3﹣a|＝2﹣a﹣（3﹣a）＝2﹣a﹣3+a＝﹣1．故选：C．9．（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6【答案】A【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．10．（2021春•海淀区校级期中）已知+|y﹣3|＝0，则xy＝ ．【答案】﹣3【解答】解：由题意可知：x+1＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣1，y＝3，∴xy＝﹣1×3＝﹣3，故答案为：﹣3．11.（2020•中山市一模）若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2020的值是 ．【答案】1【解答】解：∵x，y为实数，且|x+1|+＝0，∴x+1＝0，y﹣1＝0，解得：x＝﹣1，y＝1，则（xy）2020＝1．故答案为：1．12．（2022•南京模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．9B．﹣9C．2a﹣15D．2a﹣9【答案】C【解答】解：由数轴得5＜a＜10，所以原式＝|a﹣3|﹣|a﹣12|＝a﹣3+a﹣12＝2a﹣15．故选：C．13．（2022秋•丰泽区校级期末）已知x，y都是实数，且y＝++4，则y＝ ．【答案】4【解答】解：∵y＝+4，∴，解得x＝3，∴y＝4，故答案为：4．14．（2022秋•平谷区期末）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．【答案】1【解答】解：由数轴得：0＜m＜1，∴m﹣1＜0，∴＝﹣（m﹣1）+m＝﹣m+1+m＝1．故答案为：1．15．（2022秋•丰泽区校级期末）当a＞3时，化简：|a﹣2|﹣＝ ．【答案】1【解答】解：∵a＞3，∴a﹣2＞0，a﹣3＞0，∴原式＝a﹣2﹣（a﹣3）＝a﹣2﹣a+3＝1．故答案为1．16．（2022秋•渝中区校级期中）如图，实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ．【答案】7【解答】解：∵5＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝|a﹣4|+|a﹣11|＝a﹣4+11﹣a＝7．故答案为：7．17．若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．18．（2022春•澄迈县期末）已知﹣1＜a＜3，化简．【解答】解：∵﹣1＜a＜3，∴a+1＞0，a﹣4＜0，∴原式＝a+1﹣（4﹣a）＝2a﹣3．【能力提升】19．（2022秋•如东县期末）x，y为实数，且，化简：＝ ．【答案】﹣1【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，∴x≥1，x≤1，∴x＝1，又∵y＜++3，∴y＜3，∴|y﹣3|﹣＝3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．故答案为﹣1．21．（2022秋•兴庆区校级月考）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．【答案】0【解答】解：∵c＜b＜0＜a，∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．故答案为：0．22．（2022春•梁山县期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：﹣|a+c|+﹣|﹣b|．【解答】解：由数轴可知：a＜c＜0＜b＜﹣a，∴a+c＜0，c﹣b＜0，﹣b＜0，∴原式＝2+（a+c）+|c﹣b|﹣b＝2+a+c﹣c+b﹣b＝2+a．。
人教版八年级数学下册专题01 二次根式的有关概念和性质 题型归纳 (解析版)
专题01 二次根式的有关概念和性质【思维导图】◎考点题型1 求二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =时, ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B 【解析】 【分析】把0x = 【详解】解：把0x =2= 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．变式1．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3 时, ）A ．3B ．－3C ．±3D 【答案】A【分析】把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x ＝－3时3=. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算,正确理解算术平方根的意义是关键. 变式2．（2020·北京·一模）如果31a ,那么代数式21(1)11aa a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 2【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解：原式=()()111a a a a a ÷--+=()()1111a a a a a a-+⨯=+-；当31a时,原式11+=故选：B ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,属于常考题型,熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．变式3．（2020·湖北鄂城· ）A B ．2 C ．22 D ．2±【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方和开方的运算法则进行计算即可． 【详解】2=故答案为：B ．本题考查了开方和乘方的运算问题,掌握乘方和开方的运算法则是解题的关键．◎考点题型2 求二次根式中的参数例．（山东阳谷·,则正整数n的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】,=则6n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：24n=,∴,即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件,二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答变式1．（全国·,最小的正整数n是（）A．6B．3C．4D．2【答案】B【解析】【分析】根据题意,算数平方根是正整数,可得被开方数是能开方的正整数．【详解】是正整数,所以n 的最小正整数是3,故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,利用开方运算是解答本题的关键．变式2．（2020·四川三台·,则正整数n 的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】 【分析】,然后再判断n 的最小正整数值． 【详解】=,,则也是整数； ∴n 的最小正整数值是3； 故选B ． 【点睛】变式3．（2020·江西南丰·20b -=,则2019()a b +的值是（ ）． A ．1 B ．－1C ．2019D ．－2019【答案】B 【解析】 【分析】利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解得到a 与b 的值,代入原式计算即可求出值． 【详解】20b -=,∴3020a b +=⎧⎨-=⎩, ∴32a b =-⎧⎨=⎩, ∴20192019()(32)1a b +=-+=-, 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组,熟练掌握几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零是解本题的关键．◎考点题型3 二次根式有意义的条件例．（2022·河北·在实数范围内有意义,则x 的值可能为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】,可列不等式组10,10x x 得到不等式组的解集,再逐一分析各选项即可. 【详解】解： , 1010x x ①②由①得：1,x ≥ 由②得：1,x ≠- 所以：1,x ≥故A,B,C 不符合题意,D 符合题意, 故选D 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.变式1．（2022·湖南岳阳·,则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥- B ．0x ≠C ．1≥xD ．0x >【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答．解：由题意得10x -≥, 解得1≥x , 故选：C ． 【点睛】此题考查了二次根式的非负数,解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列式进行解答．变式2．（2022·福建惠安·有意义,则x 的取值范围为（ ） A ．1x ≥- B ．1x >- C ．1≥x D ．1x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可． 【详解】, ∴10x +≥ 解得1x ≥- 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,理解被开方数为非负数是解题的关键．变式3中x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥﹣2C ．x ≠2D ．x ≥﹣2且x ≠2【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：20x +≥且20x -≠,解得：2x ≥-且2x ≠； 故选D ．本题主要考查二次根式及分式有意义的条件,熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．◎考点题型4 利用二次根式的性质化简例．（2022·贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（ ）A 2=-B 2=±C ．22= D ．(22=-【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. 2,故错误；B. 2=,故错误；C.22=,正确；D. (22=,故错误；故选C ． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算,解题的关键是熟知二次根式的性质．变式1．（2022·江苏·2x =-成立,则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≥C ．02x ≤≤D ．任意实数【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解． 【详解】22x x =-=-∴x -2≤0故选A ． 【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法． 变式2．（上海奉贤·七年级期末）下列计算错误的是（ ）A 2=-B 2C 2D ．2(2=【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简,进而判断即可． 【详解】解：A 2,故此选项计算错误,符合题意；B 2=,故此选项计算正确,不合题意；C 2=,故此选项计算正确,不合题意；D ．2(2=,故此选项计算正确,不合题意； 故选：A ． 【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则,熟记乘法法则是解题的关键．变式3．（2022·2的结果是（ ） A ．61x -- B ．1-C ．61x +D ．1【答案】D 【解析】 【分析】x 的取值范围,,利用二次根式的性质去根号,然后合并同类项即可． 【详解】0x ≥∴31=+x故原式化简为：3131x x +-=． 故选：D ． 【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质,熟练掌握二次根式的性质,求解该题的关键．◎考点题型5 复合二次根式的化简例．（浙江滨江·八年级期中）对式子,使根号外不含字母m ,正确的结果是（ ）A B ．C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：30m -≥,∴0m ≤∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式1．（河南原阳· ）AB C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值,从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x ＜0∴(11x x x⋅=⋅-故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的化简,理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．变式2．（湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内,得（ ）AB C ． D ．【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得x>2,然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意得： 102x >-,解得：x>2,∴(2x -= 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．变式3．（2018·全国·2得（ ） A ．2 B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,=-a.二次根式2=a,(a≥0).。
专题十 二次根式-知识点与题型全解析(解析版)
10 二次根式考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一二次根式的有关概念和性质二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a≥0）就表示a的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，题型一利用二次根式非负性解题例1．已知实数x，y，m满足x2|3x y m|0++++=，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6【答案】A【解析】根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得：，解得：x2{y6m=-=-。
∵y为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。
故选A。
1．若1a -+b 2﹣4b+4=0，则ab 的值等于（ ） A ．﹣2 B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】试题分析：由21440a b b -+-+=，得：a ﹣1=0，b ﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选D ． 2．若29x y -+与|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y 的值为（ ） A ．3 B ．9C ．12D ．27【答案】D 【解析】依题意得2930x y x y -++--=.290,1530,12.x y x x y y ，解得-+==⎧⎧∴⎨⎨--==⎩⎩∴x ＋y ＝27. 故选D.题型二 判断二次根式有意义的取值范围 例2．若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．且【答案】D 【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠1。
部编数学八年级下册专题01二次根式化简的四种题型全攻略(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题01 二次根式化简的四种题型全攻略类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例．= ）A ．1x ³B ．1x ³-C ．1x ³或1x £-D ．1x ¹±【变式训练1】已知m ，n 为实数，且3n -==________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0，∴m =2，∴n -3=0∴n =3，=．【变式训练2】已知a ，b ，c 是ABC V ||0b c -=ABC V 的形状是_______．A ．3x >B ．3x ³C ．3x <D ．3x £等腰三角形周长．【答案】17【详解】解：由题意得：3030a a -³ìí-³î，解得：a =3，则b =7，若c =a =3时，3+3＜7，不能构成三角形．若c =b =7，此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图所示，化简a b -+-A ．b c--B ．c b - C ．222b c -+D ．2b c ++【答案】A 【详解】解：由数轴知：00c b a ＜，＜＜，∴0b a -＜，∴原式＝a b a c----（）＝a b a c--+-＝b c --．故选：A ．【变式训练1】已知实数m n、||m n+＝_____A．2a b-+B．2a b-C．b-D．b【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．故选：A．【变式训练3】已知实数a、b、c．【变式训练4】如图，a ，b ，c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．试化简：c +．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知，化简：25m -<<5-=__________．【答案】23m -##32m-+A B C ．D ．【变式训练2】若35x <<+=_______；【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0，∴2=3x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．【变式训练4】7=-b .(1)求a 的值；(2)若a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度.类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一==1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2（2【变式训练1】阅读理解“分母有理化”7==+除此之外，我们也可以用设x =-，>故0x >，由22x =33=+-2=解得x -=【答案】5-【详解】解：设x=>∴0x<∴266x=--+，∴212236x=-´=，∴x=5=-，∴原式55=--=-【变式训练2】先阅读材料，然后回答问题．（1经过思考，小张解决这个问题的过程如下：=①===④在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简由于437+=，4312´=，即：227+=， =2====问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +=那么便有：=__________．（3（请写出化简过程）【答案】（11+（2)a b ±>；（3【详解】解：（11===+；)a b >；【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(231+=，善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m =（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有222a m n =++，∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若()2a m =，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）若()2a m +=，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值；（3．课后作业120-=，那么这个等腰三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．9【答案】B【详解】解：20-=∴40a -=，20b -=，解得4a =，2b =当腰长为2，底边为4时，∵224+=，不满足三角形三边条件，不符合题意；当腰长为4，底边为2时，∵2464+=>，4402-=<，满足三角形三边条件，此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2．化简二次根式- ）A B C ．D ．【答案】AA ．2b c-B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b-6．已知x、y为实数，4y+，则x y的值等于______．8a b =+．根据这一性质，我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号，达到化简效果．．解：设24+=（a ，b 为非负有理数），则4a b +=++∴43a b ab +=ìí=î①②由①得，4b a =-，代入②得：()43a a -=，解得11a =，23a =∴13b =，21b =∴224(1+==1==请根据以上阅读理解，解决下列问题：(1)__________；(2)(3)的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝，d＝c d（填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝n＝+(3)＝（直接写出答案）．10．（1）已知a 、b 4b =+，求a 、b 的值．（2）已知实数a 满足2021a =，求22021a -的值．。
专题1.3 二次根式的加减【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.3 二次根式的加减【八大题型】【浙教版】【题型1 同类二次根式的判断】 (1)【题型2 求同类二次根式中的参数】 (3)【题型3 二次根式的加减运算】 (4)【题型4 二次根式的混合运算】 (6)【题型5 已知字母的值化简求值】 (7)【题型6 已知条件式化简求值】 (9)【题型7 二次根式的新定义运算】 (11)【题型8 二次根式的应用】 (12)同．【题型1 同类二次根式的判断】【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（ ）A B C D【分析】化简二次根式，判断被开方数是否相同即可得出答案．【解答】解：ABCD选项，故选：D．【变式1-1】（2022春•A B C D【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式．【解答】解：ABC=D故选：D．【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（ ）A B C D【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐个判断可知答案为D∵5≠6，故选：D．【变式1-3】（2022春•A B C D【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A=BCD故选：D．【题型2 求同类二次根式中的参数】【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；（2）已知x的值，并求出这两个二次根式的积．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可；（2=x﹣2＝10，求出x即可．【解答】解：（1）要使x﹣2≥0，即x≥2，所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；（2所以x﹣2＝10，解得：x＝12，这两个二次根式的积为−5．【变式2-1】（2022秋•值为 3 ．【分析】根据最简二次根式及同类二次根式概念作答．【解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a，解得a＝1，当a＝1时=3．故答案为：3．【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：m、n的值．所以m−n−1=216(2m+n)=m+7即m−n=331m+16n=7解得m=5547 n=−8647问：（1）以上解是否正确？答 不正确 ．（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论．（2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同．【解答】解：（1）不正确；（2∴m−n−1=22m+n=m+7或m−n−1=216(2m+n)=m+7或m−n−1=24(2m+n)=m+7解得m=5n=2或m=5547n=−8647或m=1911n=−1411．故答案为：不正确．【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式（1）求x，y的值；（2【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．【解答】解：（1）根据题意知3x−10=22x+y−5=x−3y+11，解得：x=4 y=3；（2）当x＝4、y＝3时，5．【题型3 二次根式的加减运算】【例3】（2022春•普兰店区期中）计算：（1（2）7+【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案；（2）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1＝＝0（2）7+＝7a×4a2×7＝14+7＝20【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算：（1+|（2（﹣1）（3）【分析】（1）先去绝对值符号，根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；（2）先根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；（3）先把各式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝0.5+35+0.7+110＝1.9；（2）原式＝0.1−110−0.01+0＝﹣0.01；（3）原式＝++＝+【变式3-2】（2022秋•a＞0，b＞0）【分析】本题较简单，分别将各二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式：（1（2+（3x（4）23【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式=+=（2）原式＝（3）原式＝（4）原式＝2＝+【题型4 二次根式的混合运算】【例4】（2022春•安庆期末）计算：（1（+2（2）（−1）﹣2﹣（﹣1）2012×02【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．【解答】解：（1）原式=（3）＝11﹣＝﹣7﹣（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．【变式4-1】（2022春•+2）2【分析】利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可．2）2＝2+3﹣4﹣＝7﹣【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算：（1+5）÷（2+2）0【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；（2）原式各项后，计算即可求出值．【解答】解：（11+=3+3﹣（2）原式＝（1++1+1）=11+1=1．÷a≠b）．【变式4-3】（2022秋•【解答】解：原式÷b=【题型5 已知字母的值化简求值】【例5】（2022秋•如东县期末）已知x＝1x2+（1x【分析】将x＝1【解答】解：当x＝1原式＝（×（12+（12＝（×（4﹣+4﹣＝16﹣12+4﹣+＝【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值．已知a =【分析】首先关键a 的值求得1a =2+a ﹣1＝10，然后把原代数式变形为a ﹣1+1a ，再进一步代入求得数值即可．【解答】解：∵a =∴a ＝2∴1a =2+a ﹣1＝10，=(a−1)2a−1+a−1a(a−1)＝a ﹣1+1a＝1+2+＝3．【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a ＝2，b ＝3+【分析】根据题目中a 、b 的值可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵a ＝2，b ＝3，=+＝（a ﹣1+ab＝（2﹣1+2×3）＝【变式5-3】（2022秋•天河区校级月考）已知x则x 6﹣5−x 4+x 32+2x−A ．0B ．1C D 【分析】把已知的条件进行分母有理化，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解答】解：∵x =∴x∴x 6﹣5−x 4+x 32+=x 4(x 2+x （x 2+2）=x 42−2021]+x 2=x 42−2021]+x 2=x 4(2021−2021)+＝x==故选：C ．【题型6 已知条件式化简求值】【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知x−b a=2−x−ab ，且a +b ＝2【分析】解方程得出x ＝2，再分母有理化，化简得出原式＝4x +2，最后代入求出即可．【解答】解：x−b a=2−x−a b ，b （x ﹣b ）＝2ab ﹣a （x ﹣a ），bx +ax ＝（a +b ）2，∵a +b ＝2，∴2x ＝4，∴x ＝2，＝x +1﹣+x +x +x ＝4x +2＝4×2+2＝10．【变式6-1】（2022春•=x 为奇数，求（1+x ）【分析】先根据二次根式的乘除法则求出x 的值，再把原式进行化简，把x 的值代入进行计算即可．∴x−6≥09−x ＞0，解得6≤x ＜9．又∵x 是奇数，∴x ＝7．∴（1+x ）＝（1+x＝（1+x ∴当x ＝7时，原式＝（1+7＝【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a ，b ，c 满足a 3b ﹣c ＝0值是 1 ．【分析】直接将原式凑成平方差公式，即可得出答案正数．【解答】解：a +3b ﹣c ＝0，22=0，∵a ，b ，c 是正数，1．故答案为：1．【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a ，b 2）＝3 3 ．+2﹣23＝031）＝0，根03＝0即可．【解答】解：∵实数a ，b ++2）＝3，2﹣2+3＝0，3+1）＝0，0，3＝0，3，故答案为：3．【题型7 二次根式的新定义运算】【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n=≥n)＜n)，计算（3*2）+（8*12）的结果为+【分析】结合有理数的大小比较和新定义运算法则及二次根式的加减法运算法则先算小括号里面的，然后再算加法．【解答】解：∵3＞2，8＜12，+=+＝故答案为：【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝a b，在此定义下，计2【分析】利用新定义：a@b＝ab，a※b＝a b求解即可．2×2＝（4﹣3＝1﹣故答案为：1﹣【变式7-2】（2022秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b）＝ −【分析】根据已知将原式化简进而求出即可．【解答】解：∵当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b=（=+故答案为：+【变式7-3】（2011秋•厦门期末）若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与 ﹣1 是关于1的平衡数，5与 ﹣31的平衡数；（2）若（m+×（1m+51的平衡数，并说明理由．【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案．（2）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可．【解答】解：（1）由题意得，3+（﹣1）＝2，5+（﹣32，∴3与﹣1是关于1的平衡数，531的平衡数．（2）不是．∵（m+×（1＝m+3，…（5分）又∵（m×（1∴m+3＝﹣∴m＝﹣即m（12（1∴m＝﹣2．∴（m++（5＝（﹣2++（5＝3，∴（﹣2+51的平衡数．【题型8 二次根式的应用】【例8】（2022春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在．（1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用2.45）【分析】（1）根据长方形的周长＝（长+宽）×2，可以解答本题；（2）根据长方形的面积＝长×宽和造价为每平方米2元的草坪，可以求得在该长方形土地上全部种植草坪的总费用．【解答】解：（1）由题意可得，+×2=×2=m，即该长方形土地的周长是m；（2）由题意可得，在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是××2=×2=352.8（元），即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．【变式8-1】（2022春•岱岳区期末）在一个边长为（+cm的正方形的内部挖去一个长为（cm cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．【解答】解：剩余部分的面积为：（2﹣（45）﹣（cm2）．【变式8-2】（2022春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a b c，那么这个三角形的面积S=“海伦公式”，它是利用三角形三2条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；（2）按照三角形的面积=12×底×高分别计算出h 1和h 2的值，再求和即可．【解答】解：（1）根据题意知p =a b c 2=9782=12，所以S ==∴△ABC 的面积为（2）∵S =12ch 1=12bh 2＝∴12×8h 1=12×7h 2＝∴h 1＝h 2=∴h 1+h 2【变式8-3】（2022秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC为AB11米．（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m 2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD 的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD 的周长＝2×（2（++答：长方形ABCD 的周长是+（2）通道的面积=＝（13﹣1）＝（平方米），购买地砖需要花费＝6×（）＝72（元）．答：购买地砖需要花费72元。
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二次根式新题型赏析
江苏 高俊元
随着课改是进一步推进，近年来中考试题中出现了不少新题型，这类问题往往给出学生
一些新情境，设置一些新问题，要求学生充分发挥阅读理解能力、应变能力和创新能力解答
试题，可以全面考查学生综合素质，这些试题已成为中考试题中的一道靓丽的风景线。本文
拟以与二次根式有关的创新题为例加以分析，希望对读者有所启发。
一、程序运算型
例2、（荆州）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A、8 B、22
C、32 D、23
解析：64的算术平方根是8，是有理
数，再取算术平方根为22，是无理
数，所以输出的是22，选B。
评注：以“数值转换机”的形式考查平方根有关概念，形式新颖。这类题目不仅考查学
生基础知识的掌握情况，而且可以考察学生的综合能力。
二、估算型
例3、（扬州）大家知道5是一个无理数，那么5－1在哪两个整数之间
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
解析：因为22253，所以253，所以1512，选A。
评注：新课标要求：能用有理数估算一个无理数的大致范围，估算的方法很多，可以采用平
方法，作差法等等。
三、无关型
例4、（吕梁）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当352273x，，时，求代数
式22212211xxxxx的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问
题吗？请你写出具体过程．
解：原式2(1)11(1)(1)2(1)2xxxxx．
所以，当3x，52273，时，代数式的值都是12．
评注：本题看似复杂，其实简单，只要先化简，可以发现其结果与x 的取值无关。做完后
有“柳暗花明又一村”之感。这也提示我们在在碰到难题或陌生的问题时不要害怕，应敢于
探索。
四、说理型
例5、（内江）已知实数x、y、a满足：
图1
xy88xy3xyax2ya3
，试问长度分别为a、y、a的三条
线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
分析：要判断能否组成三角形，关键是确定三边之间的关系，而条件中给出的是一个含二次
根式的等式，整体观察可以发现被开放数之间存在一定的关系可用二次根式的性质来解。
解：根据二次根式的性质808030230xyxyxyaxya，解得354xya，所以以长为x、y、a的三条线
段能组成一个三角形，且是一个直角三角形，其面积为6。
评注：本题通过整体观察，发现前两个二次根式的被开方数互为相反数，进而得到x+y-8=0，，
从而得到3xyax2ya30，再利用非负数的性质得到相应方程。
评注：本题全面考查了二次根式的两个非负性，同时将二次根式与几何问题结合在一起，考
查学生综合运用所学知识解决问题的能力。
五、规律探究型
例1、（大连）用计算器计算：1999，1999999，1999999999，„，
请你猜测9n9n99991999999个个个n的结果为______________。
解析：本题可从特殊到一般，发现规律：1999=10， 1999999=100，
1999999999
=1000， „，猜测9n9n99991999999个个个n的结果为10n.
评注：近几年来具新意的以观察探索归纳猜想为形式的新颖题脱颖而出，此类问题的设
置有利于考查学生的创新意识和独立解决问题的能力，有助于引导学生在平时的学习过程中
进行自觉的探索，是中考必考内容之一，这类问题形式多种多样，可以是数形结合的，也可
以是探究一组数的变化规律的，或单纯图形的变化趋势，有助于发展学生的合情推理能力，
有助于学生“符号感”的形成．