37871_《构成空间几何体的基本元素》学习空间几何体时需要注意的问题文字素材3(人教B版必修2)

学习空间几何体时需要注意的问题 （1）对于平面要注意从三个方面加深理解：无边界性、无限延展性、无厚薄性． （2）多面体至少有4个面，多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体等． （3）学习棱柱的定义时，要注意多看实物和模型，要正确理解，准确把握．棱柱有如下两个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面每相邻两面的公共边都互相平行．通俗地说，没有第一个特征，两头不一样齐，没有第二个特征，上下不一样粗，因此棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”的几何体未必就是棱柱，如右图所示的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱． 在运动变化的观点下，棱柱的定义为：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体，叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做底面，多边形的边平移形成的面叫做侧面，多边形的顶点平移形成的线叫做侧棱． （4）棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形，要注意的是棱台的各条侧棱延长后交于一点，即棱台可以还原成棱锥，如右图所示的几何体就不是棱台．在学习时要注意棱柱、棱锥、棱台这三类多面体之间的联系． （5）对于长方体有一个重要的结论： 长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．即2l=a2+b2+c2（其中a,b,c是长方体的三边长,l是长方体的一条对角线的长）． （6）对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是连心线垂直于圆柱的底面；二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形、平行于轴线的截面是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形． （7）对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面——平行于底面的截面是与底相似的圆面；圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形，圆锥的有关计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式2l=h2+R2 （8）对于圆台的性质，需要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形；二

是圆台的母线l、高h和上下两底圆的半径r,R组成一个直角梯形，且有2l=h2+（R-r）2成立，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形． （9）对于球的有关问题： ①球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间． ②用一个平面去截一个球，截面是圆面．如右图所示，球心和截面圆心的连线垂直于截面，

球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面关系：r=22dR. 帮你解读“空间几何体” 本节重点是构成空间几何体的基本元素及它们之间的构图关系，棱柱的三条性质，正棱锥的概念和性质，正四面体、正六面体和棱台的概念，正棱台的性质及关于棱锥、棱台中的侧棱、底边高与斜高的计算．

一、要点聚焦 1．构成空间几何体的基本元素 （1）点、线、面是构成几何体的基本元素，是三个只描述而不定义的原始概念．

（2）平面具有无限延展性．数学里所说的“平面”将空间分成了两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面，平面无边沿．

（3）数学中的平面是点的集合．因此，在空间，平面无大小、无厚薄、无所谓面积． （4）平面的画法：平面是无限延展的，只能用一个有限图形表示平面．可以用平行四边形、三角形、圆或梯形等平面图形来表示某个平面，而表示平面的这些平面图形可根据需要扩展或缩小．

（5）平面的表示方法：平面通常用一个小写的希腊字母表示，如平面、平面等，根据问题的实际需要，有时也用表示平行四边形ABCD的相对顶点的两个大写字母来表示，如平面AC，平面BD；或者用表示多边形顶点的字母来表示，如平面ABC．

2．棱柱的有关概念、性质和分类 （1）概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱．

（2）准确地理解棱柱的概念要注意它的两大特征： ①有两个面相互平行（底面）； ②其余各面每相邻两个四边形的公共边都互相平行． （3）棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． （4）棱柱的分类： ①按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱等； ②按侧棱与底面的位置关系分：斜棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱． 注意：熟练掌握棱柱的概念，才能准确地应对概念题，也能准确地判断棱柱中的线面关系． 3．棱锥的概念和性质 （1）概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．

（2）准确地理解棱锥的概念要注意它的两大特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面是有一个公共顶点的三角形． （3）一般棱锥的截面性质： 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比．

（4）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥．

（5）正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； ③棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 注意：掌握正棱锥的概念，特别是其中的几个直角三角形，可求高、斜高、侧棱长等，另外，还要熟悉一条侧棱垂直底面的棱锥，高考中棱锥多半是考此两种．

4．棱台的概念及性质 （1）概念：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台． （2）棱台中有关概念： 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面； 其他各面叫做棱台的侧面； 相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间线段或距离叫做棱台的高； 正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． （3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． （4）正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形； ②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形； ③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形； ④正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高； ⑤正四棱台的对角面是等腰梯形． 5．圆柱、圆锥、圆台的定义与性质 （1）概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

几何体的轴：旋转轴叫做所围成的几何体的轴； 几何体的高：在轴上的这条边（或它的长度）； 几何体的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 几何体的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面； 侧面的母线：无论旋转到什么位置，这条边叫做侧面的母线． （2）性质：平行于底面的截面都是圆；它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．

6．球的有关概念和截面性质 （1）球的概念：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连结球面上的两点并且经过球心的线段叫做球的直径．

（2）球面的截面性质： ①球心和截面圆心的连线垂直与截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系：22rRd． （3）球面距离： ①大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆．

②球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做这两点的球面距离． 二、范例剖析 例1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： （1）由6个平行四边形围成的几何体； （2）由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； （3）一个等腰梯形，以上、下底边的中点连成的直线为轴旋转0180，形成的封闭曲面围成的几何体；

（4）在一个圆柱的上底面上作一个圆内接五边形，过五个顶点在圆柱侧面上画出五条母线，然后按五条边沿着相应的母线切到下底面，除去切掉部分后形成的几何体．

分析：捉住空间几何体的概念是解决该类问题的关键． 解析：（1）四棱柱； （2）六棱锥； （3）圆台； （4）五棱柱． 评注：根据形成几何体的结构特征描述，先判定有没有曲面，有曲面时按圆柱、圆锥、圆台的定义判定；没有曲面时，按棱柱、棱锥、棱台的定义判定，判定时要充分发挥空间想象能力，必要时要做模型演示．

例2 一个圆柱的轴截面是一个正方形，且面积是Q，求此圆柱的底面半径． 分析：圆柱的轴截面是边长为2r和l的矩形． 解析：设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得： 22rlrlQ



，解得2Qr．

∴此圆柱的底面半径为2Q． 评注：母线与底面直径相等的圆柱称为等边圆柱．