(完整版)构成空间几何体的基本元素习题
简单空间几何体人教版高中数学
第01讲一简单空间几何体知识图谱-构成空间几何体的基本元素-棱柱、棱锥、棱台的结构特征-圆柱、圆锥、圆台的结构特征- 球的结构特征空间几何体的基本元素及关系平面与空间划分问题棱柱的概念及相关计算棱锥的概念及相关计算棱台的概念及相关计算圆柱的概念及相关计算圆锥的概念及相关计算圆台的概念及相关计算球体的概念球的截面圆的性质球面距离第01讲—简单空间几何体错题回顾构成空间几何体的基本元素知识精讲—・几何体只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体,比如长方体，球体等•二・构成几何体的基本元素：点、线、面1. 几何中的点不考虑大小,一般用大写英文字母去C…来命名；2. 几何中的线不考虑粗细,分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的,—般用—个小写字母6 X /…或用直线上两个点心，起…表示宀直线把平面分成两个部分.3. 几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；4•其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面,通常用一个平行四边形表示,并把它想象成无限延展的；5. 平面一般用希腊字母心力7…来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面° ,平面曲仞或平面；—个平面将空间分成两个部分•三. 用运动的观点理解空间基本图形间的关系在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹, 线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分）,面动成体.四. 从长方体实例看空间几何体的基本元素如图的长方体通常记为ABCD-ABCQ ,它有六个面（即围成长方体的各个矩形），+-条棱（相邻两个面的公共边），八个顶点（棱与棱的公共点）•看长方体的棱：如BBF CCS ,肋w严丄曲，妙丄BC…看长方体的面：平面曲仞平行于平面KBW f平面宓F平行于平面DCC'D'…棱用貝垂直于底面屈仞'棱肋垂直于侧面BCC'B'…五•截面—个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）’叫做这个几何体的截面,如图三点剖析_•注意事项1 •立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合•2 •立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分,无形状,无边沿,无厚度,不可度量・3•我们通常画平行四边形表示平面,它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成°亍,并将横边的长度画成邻边的两倍•画两个相交平面时，当_个平面的一部分被另一部分遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感•4•有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等•5•在立体几何中,辅助线并不总是虚线,而是根据实际情况,能看到的用实线，被遮住的用虚线，以増强立体感，更好地配合空间想象.6. 我们说两个平面时,通常情况下是指两个不重合的平面.题歸井题模一空间几何体的基本元素及关系例下列图形中不一定是平面图形的是（）A、三角形B、四边相等的四边形C、梯形D、平行四边形例1-2.—个凸多面体的顶点数为20 ,棱数为30,则它的各面多边形的内角和为（）A、2160。
构成空间几何体的基本元素;棱柱、棱锥、和棱台;圆柱、圆锥、圆台和球
【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。
区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。
这也是我们研究几何体的方向和内容。
（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。
常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。
（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。
我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。
我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。
学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。
现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。
课件3：11.1.2 构成空间几何体的基本元素
母题探究 1．在本例中其他条件不变， (1)与直线 B′C′垂直的平面有哪几个？ (2)与平面 BC′垂直的平面有哪几个？ [解] (1)有平面 AB′，平面 CD′. (2)有平面 AB′，平面 A′C′，平面 CD′，平面 AC.
合作探究 提素养
类型1 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例 1】 点 P 在直线 a 上，直线 a 在平面 α 内可记为( )
A．P∈a，a α
B．P a，a α
C．P a，a∈α
D．P∈a，a∈α
(2)用符号表示下列语句，并画出图形．
①平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于 A，B.
A在α内
_A_∈__α_
A在α外
_A___α_
l在α内 l在α外 l，m 相交于 A
_l___α_ _l__α__ _l_∩_m_＝__A__
l，α 相交于 A _l_∩__α_＝__A_
α，β 相交于 l _α_∩__β_＝__l_
4.空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有_一__个___公共点
跟踪训练 1．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之 间的关系： (1)点 C 与平面 β：________. (2)点 A 与平面 α：________. (3)直线 AB 与平面 α：____________. (4)直线 CD 与平面 α：__________. (5)平面 α 与平面 β：__________. 【答案】(1)C β (2)A α (3)AB∩α＝B (4)CD α (5)α∩β＝BD
构成空间几何体的基本元素
左图中平面 ，平面 ，平面ABCD，平面AC等。
平面是无限延伸的，且是不可度量的，但通常 用一个封闭的平面图形如平行四边形表示平面， 有遮挡时，看不见的部分要画出虚线，不论是 否是辅助线。
点动成线，线动成面，面动成体。
直线、曲线与平面和曲面的关系，围成长方体的各个矩形叫做 长方体的面；相邻的两个面的公共边，叫做长方体的 棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点。
长方体是由6个面，12条棱，8个顶点构成的。
任意一个几何体都是由点，线， 面构成的。 点线面是构成几何体的基本元素。
线有直线、曲线之分，面也有平面、曲面之分。
平面是处处平直的面，曲面就不是处处平直的。 平面是无限延伸的，黑板不是平面，黑板所在 的面是平面。 平面一般用希腊字母 , , 来命名，还可以用表示他 的平行四边形的对角顶点的字母来命名。
空间几何体的结构特征(上课)
想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截一 个球，截面是圆面。 O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
点、直线、平面与球的位置关系： （1）点与球：球外、球上、球内； （2）线与球：相离、相切、相交； （3）面与球：相离、相切、相交； 球面距离： 在球面上两点间的最短距离，就是经 过这两点的大圆在这两点间的一段劣 弧的长度，这个弧长叫做两点的球面 距离。
棱锥的高
D
棱锥的侧面
E
A
O B
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥 （四面体）
四棱锥
五棱锥
正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E
S
D
O C
各侧棱相等，各侧面 是全等 的等腰三角形，各等腰 三角形底 边上的高相等（它叫做正棱锥的 斜高）。
圆柱
底面 以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱．
旋转轴
A′
O′
（1）底面是平行且半径相等的圆 （2）侧面展开图是矩形 （3）母线平行且相等 （4）平行于底面的截面是与 底面平行且半径相等的圆 （5）轴截面是矩形 母线
A O
侧面
7、圆锥 如何描述右图的几何结构特征？
.
（1）
.
简单几何体
简单旋转体
简单多面体
球
圆 柱
圆 锥
圆 台
棱 柱
棱 锥
棱 台
3、棱柱
有两个面互相平行，其余各边都 是四边形，并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行，这些面围成 的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的面叫做棱柱的底 面；其余各面叫做棱柱的侧面。
构成几何体的基本元素
构成几何体的基本元素几何体是由基本元素组成的三维形状。
在几何学中，最基本的且不可再分的元素是点、线和面。
这些基本元素被组合在一起，形成各种各样的几何体，包括圆柱体、立方体、锥体、球体、棱柱体等。
下面将详细介绍每个基本元素和它们组成的几何体。
1.点：点是几何学的最基本概念。
它没有体积、长度或宽度，只有位置。
在三维空间中，点可以用坐标表示。
点是构成线和面的基本单位。
2.线：线是由点连接而成的连续事物。
它没有宽度，只有长度和方向。
线可以分为直线和曲线两种。
直线是最简单的线，它具有无限延伸的特点。
曲线则是在空间中弯曲的线。
3.面：面是由线构成的二维平面。
它有长度和宽度，但没有厚度。
面可以是平面、曲面或多边形。
平面是最简单的面，它是由无限多条互不相交的直线构成的。
曲面则是具有弯曲的面，如球面、圆柱面等。
多边形是由直线段连接而成的封闭面，包括三角形、四边形、五边形等。
通过组合点、线和面，可以构成各种几何体。
以下是一些常见的几何体：1.圆柱体：圆柱体是由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成的几何体。
它的侧面是由平行于圆的直线段连接而成的，两个圆面是圆柱体的顶面和底面。
2.立方体：立方体是一个六个面都是正方形且相等的几何体。
它的六个面都是由直线段连接而成的，相邻的面之间是直角。
3.锥体：锥体是由一个圆面和一个侧面连接而成的几何体。
侧面由直线段连接圆面的每个点到一个共同的顶点。
4.球体：球体是一个由无数个点组成的几何体。
它的所有点都与球心距离相等，球体没有直线和面。
5.棱柱体：棱柱体是由两个平行的多边形和若干个侧面连接而成的几何体。
它的侧面由直线段连接每个多边形的对应顶点。
这些几何体是基于点、线和面的组合而成的，它们在日常生活和工程实践中广泛应用。
几何体的研究和理解对于科学、工程以及建筑等领域的发展具有重要意义。
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
1.1.1空间几何体的结构1
二、新知探究
2.由一个平面图形绕它所在的平 面内的一条定直线旋转所形成 的封闭几何体叫做旋转体,这条 定直线叫做旋转体的轴。
请仔细观察下列几何体,说说它们的共同特点.
定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行,由这些面围成的几何体 叫做棱柱。
棱柱的有关概念
请仔细观察下列几何体,说说它们的共同特点.
定义:有一个面是多边形,其余各面都是 有一个公共顶点的三角形,由这些面 所围成的几何体叫做棱锥。
顶点
棱锥的有关概念 棱锥中,这个多边形面叫做 棱锥的底面或底,有公共顶点 的各个三角形面叫做棱锥的 侧棱 侧面,各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点,相邻侧面的公共 A 边叫做棱锥的侧棱。
D’ C’
A’
B’
D C
A
B
探究3:
长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？
D’ G
G’ F’ B’ H
C’
A’ F
D E C
H’
E’
A B
答：都是棱柱．
探究4:
观察右边的棱柱，共有多少 对平行平面？能作为棱柱的 底面的有几对？ 答：四对平行平面；只有一 对可以作为棱柱的底面．
棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱 的底面吗？ 答：不是．
柱体
棱柱 圆柱
锥体 棱锥 圆锥
台体 棱台 圆台
球
五、精彩一练
课本P7 练习1、2（1）（2）； 课本P8 习题1.1 第2、3、4题。
六、激励评价
崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。 如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。
七、作业设计
学案P81第22题（14分）
组成它们的面不全是平面图形.
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(完整版)构成空间几何体的基本元素习题
§
空间几何体
1．
组成空间几何体的基本元素
知 点： 1．点、 、面是组成几何体的基本元素．
2．平面是无穷延展的，往常画一个平行四 形表示一个平面．
3．平面的 法
： (1) 平面一般用希腊字母
α、 β、 γ⋯来命名；
(2)平面 形 点法．
一、基 关
1． 对于平面，以下 法正确的选项是
( )
A ．平面是有 界 的
B ．平面是有厚薄的
C ．平面 ABC
D 是指平行四 形 ABCD 的四条 成的部分 D ． 和平面多 形都能够表示平面 2． 以下 法正确的选项是
( ) A ．生活中的几何体都是由平面 成的 B ．曲面都是有必定大小的 C ．直 是由无穷个点 成的，而 段是由有限个点 成的 D ． 直线平移时不改变方向必定不行能形成曲面
3． 如 所示，平行四 形 ABCD 所在的平面，以下表示方法中不正确的选
项是
( ) ①平面 ABCD ；②平面 BD ；③平面 AD ；④平面 ABC ；⑤ AC ；⑥平面 α.
A ．④⑤
B ．③④⑤
C ．②③④⑤
D ．③⑤
4． 以下 法中正确的选项是
(
)
A ．直 的移 只好形成平面
B ．矩形上各点沿同一方向移 形成 方体
C ．直 其订交但不垂直的直 旋 形成 面
D ．曲 的移 必定形成曲面
1 1 1 1
中，相互平行的平面共有
___ ，与 A ′ A 垂直的平面是 __．
5．在如 所示的 方体 ABCD － A B C D 6． 三个平面将空 最少分红 m 部分，最多分红 n 部分， m ＋ n ＝ ________. 7． 想一想看，怎样 一个物体的表面不是平面？ 8． 如 ，画出 (1)(2) 中 L 直 l 旋 一周形成的空 几何体． 二、能力提高
9． 如 ，模 ①－⑤均由 4 个棱 1 的小正方体组成，模 ⑥由
15 个棱 1 的小正方体组成． 从模 ①－⑤中 出三个放到模 ⑥上，使得模 ⑥成 一个棱
3 的大正方体， 以下 方案中，能 达成任 的 ()
A ．模 ①，②，⑤
B ．模 ①，③，⑤
C ．模 ②，④，⑤
D ．模 ③，④，⑤
10．小明 了某个 品的包装盒，他少 了此中一部分， 你把它 上，使其成 两 均有盖的正方
体盒子 (如 所示 )． (1) 你有 ________种 充的 法． (2) 随意画出一种正确
的 ．
11．如 ，画出 (1)(2)(3) 中 段 L 着直 l 旋 一周形成的空 几何体．
三、研究与拓展
12．空 三个平面能把空 分红的部分怎样？
答案 :1 ． D 4.C 5 ． 3 平面 AC 和平面 A ′C ′
7．把直尺的 物体表面，假如在某个地点直尺 与物体表面 有 隙，就 明 物体表面不是平面．
8． (1)L 与 l 订交，旋 生的曲面是以 L 与 l 的交点 点的 面．
(2)L 是封 的曲 ， l 旋 生一个封 的曲面，此曲面是 面．
9． A 10 ．解 (1)4
(2) 如 正方体有 6 个面，它 都是正方形，可考 在 中某
个正方形的旁 增添一个正方形，想象可否折成正方体盒子，事 上能够在横着的四个正
方形的任何一个的下 增添一个正方形，都可折成正方体盒子． 11．(1) 因为 L 与 l 平行，旋 程中 L 与 l 的距离相等 ( 如 ① ) ． (2) 因为 L 与 l 订交，旋 程中 生的曲面是以 L 与 l 的交点 点的曲面 ( 如 ② ) ． (3) 因为 L 与 l 不平行， 旋 程中 生的曲面是以 L 的延 与 l 的交点 点的曲面的一部分 ( 如 ③ ) ．
12．解 如 所示，当三个平面平行 ，将空 分红 4 部分；
当三个平面订交于一条直 或两个平面平行，
第三个平面与它 订交 ，将空 分红 6 部分；
当三个平面订交于三条直 ，将空 分红 7 部分；
当有两个平面订交，第三个平面截两个订交平面 ，将空 分红 8 部分．
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