离散数学代数系统总结
离散数学 第四章 代数系统 (1)
例1 设I是整数集合，＋和×是整数的加法和乘法。 由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，由定义1知＋是I上的 二元运算。 由于两个整数之积仍为整数，且结果唯一，由定义1知×是I上的 二元运算。 由代数系统的定义知< I, ＋, ×>是代数系统。 例2 设X是非空集合，2X是X的幂集，∩和∪是集合的交和并。 由于X中任意两个子集之交仍为X的子集，且结果唯一，由定义1 知∩是2X 上的二元运算。 由于X中任意两个子集之并仍为X的子集，且结果唯一，由定义1 知∪是2X上的二元运算。 由代数系统的定义知< 2X ,∩,∪>是代数系统。
定义5 设 < X, ∗ > 是代数系统， ∗ 是X上的二元运算。 定义 1) 若存在 x0 ∈X ，∀x∈X，有 x ∗ x0 = x0 ∗ x = x 则称 x0 是关于运算 ∗ 的幺元。 2) 若存在 y0 ∈X ，∀x∈X， 有 x ∗ y0 = y0 ∗ x = y0 则称 y0 是关于运算 ∗ 的零元。 • 通常将幺元记为 e 或 1，将零元记为 0 。 例1 例2 例3 例4 在代数系统 < I,＋,×> 中，加法幺元是 0，乘法的幺元是 1。 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中， ∩的幺元是X，∪的幺元是∅。 在代数系统 < I,＋,×> 中，关于加法无零元，乘法的零元是0。 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中， ∩的零元是∅，∪的零元是X。
定理1 设 < X, ∗ > 是代数系统， ∗ 是X上的二元运算。 定理 1) 若关于 ∗ 有幺元，则幺元唯一； 2) 若关于 ∗ 有零元，则零元唯一。
定义6. 定义 设<X,*>是代数系统，*是X上的二元运算，且关于*有幺 元e。 若对于某个x∈X ，存在y∈X ，使得 x*y = y*x = e 则称y是x关于运算*的逆元，同时称x是关于运算*的可逆元。 幺元和零元是对整个代数系统而言。即在一个代数系统中，对 某个二元运算来说，只可能有一个幺元，同样也只可能有一个零 元。而逆元是对代数系统中的每个元素而言的。现在讨论的是X中 的某个元素对某个二元运算是否有逆元的问题。当然关于逆元的 讨论，只能在二元运算有幺元的前提下进行，即幺元的存在是讨 论逆元的先决条件，否则逆元问题无从谈起。 从定义6可以看出，如果y是x的逆元，则x也是y的逆元。这两者 的关系是同时成立的。另外如果x有逆元存在，则称x是可逆元。 当知道x有逆元存在时，并不一定知道x的逆元究竟是谁。 因此可 逆元的概念是元素本身的性质，而逆元的概念则是两个元素之间 的关系，并且这两个元素可能是相同的，也可能是不相同的。
离散数学期末总结
离散数学期末总结离散数学是描绘一些离散量与量之间的相互逻辑构造及关系的学科。
它的思想方法及内容渗透到计算机学科的各个领域中。
因此它成为计算机及相关专业的一门重要专业根底课。
主要内容包括：集合论、关系、代数系统、图论和数理逻辑五个部分。
构造上，从集合论入手，后介绍数理逻辑，便于学生学习。
为了能很好的消化理解内容，列举了大量的较为典型、易于承受、说明问题的例题，配备了相当数量的习题，也列举了部分实际应用问题。
一．知识点第一章.集合论集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最根本数学概念。
在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
本章主要介绍集合的根本概念、运算及幂集合和笛卡尔乘积。
这章是本书的根底部分，要学好离散数学就必须很好的掌握集合的内容。
集合论的概念和方法已经渗透到所有的数学分支，因而各数学分支的完整体系，都是在所取集合上。
第二章．关系关系在我们日常生活中经常会遇到关系这一概念。
但在数学中关系表示集合中元素间的联系。
本章主要学习关系的根本概念、关系的性质、闭包运算、次序关系、等价关系，本章学习的重点：关系的性质、闭包运算、次序关系。
关系这一章是集合论这一章的延伸，对集合论的理解程度对学习关系这一章是非常有影响的。
而关系又是学习下一章代数系统必不可少的，所以本章是非常重要的章节。
第三章．代数系统代数构造也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。
抽象代数研究的中心问题就是一种很重要的数学构造--代数系统：半群、群等等。
本章主要学习了运算与半群、群。
学习本章需要学会判断是否是代数系统、群和半群，以及判断代数系统具有哪些运算规律，如：结合、交换律等及单位元、逆元。
这些都在我们计算机编码中表达出重要的作用。
第四章．图论图论〔Graph Theory〕起源于著名的柯尼斯堡七桥问题，以图为研究对象。
图论中的图是由假设干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
离散数学—第五章代数系统的一般性质
判断幺元
1. 对于给定的集合和运算有的存在幺元,有的不存 在幺元.
① R*是非零实数集,o是R*上的二元运算,任取a,bR*有 aob = a,那么不存在el使得对所有的b R*都有 elob = b,所以运算o没有左幺元. ② 但对任意的a R*,对所有的b R*,都有boa=b,所以, 任意R*的元素a都是运算o的右幺元.R*中有无数多的 右幺元,但没有幺元.
① ② ③ ① 如:<N,+>是<Z,+>的子代数; 如:<N,+,0>是<Z,+,0>的子代数; 如:<N-{0},+>不是<Z,+>的子代数; 如有的代数系统决定该系统的二元运算存在幺元.
2. 代数系统的公理:运算的性质. 3. 子代数与代数系统的关系:不仅具有相同的代数运算,而 且这些运算也具有相同的性质,它们非常相似,只是子代 数比原来的代数系统小一些.
{2} {1}
交换律
1. 定义5.3: 设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有xoy =yox,则称运算o在S上是可交换 的,或者说o在S上适合交换律.
① 例如加法,乘法符合交换律,但减法和除法不符合.
结合律
1. 定义5.4:设o为S上的二元运算,如果对任意的 x,yS都有(xoy)oz =xo(yoz),则称运算o在S上 是可结合的,或者说o在S上适合结合律.
运算表
ai a1 a2 ... an
o(ai) o(a1) o(a2) ... o(an)
高三离散数学知识点汇总
高三离散数学知识点汇总离散数学是计算机科学、信息技术以及其他相关领域中的重要基础学科，是高中阶段的数学课程之一。
下面将对高三离散数学的主要知识点进行汇总，以帮助学生更好地复习和掌握这门学科。
一、命题逻辑命题逻辑是离散数学的基础，它研究命题的逻辑关系及其合成。
以下是命题逻辑中常见的知识点：1. 命题与命题的合取（与）、析取（或）、非（非）运算；2. 命题的真值表与真值；3. 命题的等价、蕴含、互斥等逻辑关系；4. 命题的可满足性与有效性。
二、集合与关系集合论是离散数学中的另一重要组成部分，它研究集合及其间的关系。
以下是集合与关系中的主要知识点：1. 集合的表示方式与基本操作，如并集、交集、差集和补集；2. 笛卡尔积与关系的定义；3. 关系的性质，如自反性、对称性、传递性等；4. 等价关系与偏序关系的概念与判断；5. 关系的闭包与传递闭包。
三、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究图及其相关的性质与算法。
以下是图论中的常见知识点：1. 图的基本概念与表示方式，如顶点、边、度、路径等；2. 树与森林的定义与性质，包括最小生成树与最短路径树等；3. 图的连通性与强连通性的判定；4. 图的着色与平面图的概念；5. 图的网络流与匹配等问题。
四、代数系统代数系统是离散数学的重要组成部分，它研究运算规则及其相应的结构。
以下是代数系统中的主要知识点：1. 半群、幺半群、群的概念与性质；2. 环、域的定义与性质；3. 线性方程组与矩阵的基本运算；4. 同余与剩余类的概念与应用。
五、概率与统计概率与统计是离散数学的重要应用领域，它研究随机事件及其规律性。
以下是概率与统计中的常见知识点：1. 随机事件的基本概念与性质；2. 概率的计算方法，包括古典概型、几何概型、条件概率等；3. 随机变量与概率分布的概念与应用；4. 抽样与统计推断，包括参数估计与假设检验等。
综上所述，高三离散数学的知识点涵盖了命题逻辑、集合与关系、图论、代数系统以及概率与统计等方面。
几个典型的代数系统离散数学
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§1 半群与群
DEFINITION 1.
设V=<S, ◦>是代数系统，◦为二元运算，如果 ◦是可结合的，则称V为半群。
如： (1) <Z+, +>, <N, +>, <Z, +>, <Q, +>, <R, +>都是
半群，其中+表示普通加法。
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a
Байду номын сангаас
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一些特殊的群：
交换群：群G中的二元运算可交换。也叫阿 贝尔(Abel)群。 无限群：群G中有无限多个元素。 有限群：群G中有有限个元素。有限群G中的 元素个数叫做G的阶，记作|G|。
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如，
(1) <Z, +>, <Q, +>, <R, +>都是阿贝尔群， Klein四元群也是阿贝尔群。
使用这个定理可以通过运 算表很快地判断出哪些代 数系统G=<S, ◦>不是群。
设G为有限群，则G的运算表中的每一行（每
一列）都是G中元素的一个置换，且不同的行（ 或列）的置换都不相同。
这就是说，在G的运算表的每一行里。G的每 个元素都出现且仅出现一次，行不同，元素 的排列顺序也不同。
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(x ◦ y)= (x) * (y)， 则称为半群V1到V2的同态。
设V1=<S1, ◦, e1>, V2=<S2, *, e2>为独异点， : S1→S2，且x, yS1，有：
离散数学代数系统
离散数学代数系统
离散数学代数系统（DMA）是一种非常重要的自然科学的数学工具，它的应用涉及到很多领域，尤其有助于理解和解释有关数学物理和技术实践的问题。
例如，它可以用来解决常微分方程的相关性、热传导的传递的关系和任何复杂系统的建模和仿真。
离散数学代数是一个全面的研究领域，它包括各种数学工具，比如数论，偏微分方程，微分动力学和控制论等，以及如何实际应用这些工具来解决数学物理和技术实践的问题。
离散数学代数的主要任务是解决与数值计算有关的科学问题，为此，他们开发了一系列数据结构，比如图，矩阵和线性代数。
重点也放在了提出有效的算法来解决离散问题，比如图像处理、机器人控制和递归算法等。
随着计算机技术和网络技术的发展，离散数学代数越来越重要，它们被广泛应用于新技术的研究中，包括经过计算机处理的信号、全局优化和分布式计算环境等。
因此，离散数学代数对计算机科学和技术的发展有着重要的作用，其重要性日益增强。
离散数学-代数系统
代数系统
环的性质
• 设〈A，+， • 〉是一个环，则对任意的 • a, b,c∈A, 有 (1) a • θ= θ • a= θ（加法的幺元是乘法的零元） (2) a •(-b)=(-a) •b=-(a •b) (3) (-a) •(-b)=a •b (4) a •(b-c)=a •b-a •c (5) (b-c) •a=b •a-c •a 其中， θ是加法幺元，-a是a的加法逆元，并记 a+(-b)为a-b.
拉格朗日定理
• 设〈H，*〉是群〈G，*〉的一个子群， 那么 （1）R={〈a, b〉| a∈G, b∈G, a-1*b∈H} 是G中的一个等价关系；而且由R所确定 的等价类[a]R=aH。 （2） 如果G是有限集，|G|=n, |H|=m, 则 m|n (m整除n）。
代数系统
具有两个二元运算的代数系统
代数系统
代数系统的引入
• 设 f1, f2, …, fk 是在非空集合A上定义的运 算，这些运算与集合组成一个代数系统， 记作 <A, f1, f2, …, fk >. • 当运算只有一种时，通常写作<A, f>， • 而运算 f 通常表示成 *，•, ★, △, ◇, ⊕, ⊙等。
代数系统
封闭性与唯一性
代数系统
等幂性
• *是集合A上的一个二元运算，如果对于 任意的 x∈A, 都有 x*x=x, 则称运算*是等 幂的。
代数系统
运算表
• *是定义在集合A上的二元运算，A是有 限集，A={x1, x2, …, xn},那么对于任意的 xi, xj∈A, xi* xj 的结果放在以 xi 为行、xj 为列所组成的一个表格内。 • 例如
代数系统
子群
离散数学PPT教学代数系统
试证：*，△满足吸收律
证明：x，y∈N，
x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y =x
∴*满足吸收律
x x<y
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y =x
∴△满足吸收律
x x<y
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§7.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
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抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
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三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，
代数系统(离散数学)讲述
分别定义三个Z到A的函数如下 φ 1： Z→A，对于每一个n∊Z，φ 1(n)=1。 φ 2： Z→A，对于每一个n∊Z，若n是偶数，φ 2(n)=1； 若n是奇数，φ 2(n)=-1。 φ 3： Z→A，对于每一个n∊Z，φ 3(n)=-1。 则 φ 1是同态函数 ， φ 2是满同态函数， φ 3不是同态函数。
φ 3(n+m)= φ 3(5)=-1 并且有 φ 3(n)· φ 3(m)=1 于是 φ 3(n+m) ≠ φ 3(n)· φ 3(m) 所以φ 3不是同态映射。
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定理1
（A1，*）和（A2，·）是两个代数系统，
且
（A1，*）与（A2，·）满同态。 若“*”适合交换律，则“·”也适合交换律； 若“*”适合结合律，则“·”也适合结合律。
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例(p176)
φ 1： Z→A={1,-1}，对于每一个n∊Z，φ 1(n)=1。
(Z，＋)
显然，对于Z中的任意二个数n和m，有 φ1(n)=1， φ1(m)=1， φ1(n+m)=1， ∴ φ1(n+m)=φ1(n) ·φ1(m) 故φ1是同态函数。
(A，·)
f（a*b）=f（a）· f（b）
+是 N × N 到 N 的代数运算 · 是 N× N到 N 的代数运算
－是N×N到Z 的代数运算
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实例
<N,+>, <Z,+,· >, <R,+,· >是代数系统， + 和 ·分别表示普通加法和乘法. <Mn(R),+,· >是代数系统， + 和 ·分别表示n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法. <Zn,,>是代数系统，Zn＝{0, 1, … , n-1}， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,y∈Zn， xy = (x＋y) mod n，xy = (xy) mod n <P(S),∪,∩,~> 也是代数系统， ∪和∩为并和交，~为绝对补
离散数学 第五章：2代数系统及其子代数和积代数 3代数系统的同态与同构
0 0 1 0 0 1 −3, 0 1 0 = 2, 0 1 0 . 0 0 1 0 1 1
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如果原来的两个代数系统分别含有代数常数 比如说 如果原来的两个代数系统分别含有代数常数,比如说 1的 代数常数 比如说V 代数常数为a 的代数常数为a 就是积代数 代数常数为 1 , V2的代数常数为 2 ,<a1 , a2>就是积代数 V1×V2中的代数常数．例如 中的代数常数．例如,
x ⊕ y = (x + y)modn.
这里
Zn ={0,1,2,⋯, n −1 }.
令
则 ϕ 是从
ϕ : Z →Zn ,ϕ(x) = (x)modn ,
V1 到 V2 的同态． 同态．
解: 因为对任意x,y∈Z有 因为对任意x,y∈
ϕ(x + y) = (x + y)modn = (x)modn ⊕( y)modn = ϕ(x) ⊕ϕ( y).
1 0 0 V =< Z , +, 0 >,V2 =< M3(R),•, 0 1 0 >, 1 0 0 1
1 0 0 0, 0 1 0 0 0 1
那么积代数V 那么积代数V1 × V2 的代数常数就是 这时
1 0 0 V ×V2 = Z ×M3(R), , 0, 0 1 0 1 0 0 1
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积代数的性质: 积代数的性质:
1)如果 1)如果 或幂等的)． 幂等的 2)如果 e 和 2)如果 1 就是积代数 中的二元运算都是可交换 可交换的 V 和 V2 中的二元运算都是可交换的(可结合的 1 或幂等的), 则积代数中相应的二元运算也是可交换的 (可结合的 幂等的 则积代数中相应的二元运算也是可交换 可交换的 可结合的
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离散数学代数系统总结
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。
在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。
一、代数系统的基本概念
代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。
根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。
其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。
域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。
二、代数系统的性质
1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。
2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。
3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e
与e运算a的结果均为a。
4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。
5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。
这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。
三、代数系统的应用
代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。
以下是几个代数系统应用的例子：
1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。
2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。
3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。
4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布
尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。
总结：
离散数学中的代数系统是研究离散对象和离散结构的重要内容，它包括了群、环、域等不同类型的代数系统。
代数系统具有封闭性、结合律、单位元、逆元等基本性质，并在编码理论、密码学、图论、计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过对代数系统的学习和应用，我们可以更好地理解和分析离散结构，并将其运用于实际问题的解决中。