几个典型的代数系统
《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
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定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
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定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
第六章 几种典型的代数系统
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
离散数学几个典型的代数系统6.2-3.ppt
格的实例
例 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为 整除关系，则偏序集<Sn,D>构成格.x,y∈Sn， x∨y 是 lcm(x,y)，即 x 与 y 的最小公倍数. x∧y 是 gcd(x,y)，即 x 与 y 的最大公约数. 下图给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.
13
(a∧b)∧c=a∧(b∧c) (3) a∈L 有
a∨a=a, a∧a=a (4) a,b∈L 有
a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a 16
算律的证明
证 (1) 交换律. a∨b 是 {a,b} 的最小上界 b∨a 是 {b,a}的最小上界 { a, b } = { b, a } a∨b = b∨a. 由对偶原理, a∧b = b∧a 得证.
解 (2), (4), (5) 不是环. 为什么？ (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域.
8
环的性质
定理 设<R,+,·>是环，则 (1) a∈R， a·0 = 0·a = 0 (2) a,b∈R， (a)b = a(b) = ab (3) a,b∈R， (a)(b) = ab (4) a,b,c∈R，a(bc) = abac， (bc)a = baca
证明省略. 定理 格 L 是分配格当且仅当 a, b, c∈L,
a∧b=a∧c且a∨b=a∨c b=c.
推论 (1) 小于五元的格都是分配格. (2) 任何一条链都是分配格.
25
分配格的判定（续）
例 说明图中的格是否为分配格,为什么？
解 L1, L2和 L3都不是分配格.
{ a, b, c, d, e }是 L1的子格, 并且同构于钻石格；
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
几个典型的代数系统
本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．半群定义称代数结构<S，>为半群（semigroups），如果运算满足结合律．当半群<S，>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例 <I+，＋>，<N，·>，< ，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S， , e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理设<S，>,<S’，’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，’>为一半群．（2）当<S，>为独异点时，则<h(S)，’>为一独异点.定理设<S，>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x S，f a（x）= a x现证h为一同态．对任何元素a,b S．h(a b)＝f a b （l1－1）而对任何x S，f a b（x）= a b x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a b）= f a b = f a○f b ＝h（a）○ h（b）本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群
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第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构〈S,＊>为半群（semigroups）,如果＊运算满足结合律．当半群〈S，＊>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid)，或含么半群．例6。
1〈I+，＋〉,<N,·〉，〈∑＊，并置〉都是半群,后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6。
1设〈S，＊>为一半群，那么（1）<S，＊>的任一子代数都是半群，称为<S，＊〉的子半群．(2)若独异点〈S，＊,e〉的子代数含有么元e，那么它必为一独异点，称为〈S，＊，e〉的子独异点．证明简单，不赘述．定理6。
2设〈S，*>,〈S'，＊’〉是半群，h为S到S'的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有(1）同态象<h（S）,＊'〉为一半群．(2）当<S，*〉为独异点时,则<h（S)，*’>为一独异点。
定理6。
3设<S,*〉为一半群，那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算． (2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh(a）= f af a：S→S 定义如下：对任意x∈S，f a（x）= a＊x现证h为一同态．对任何元素a，b∈S．h(a＊b）＝f a*b （l1－1) 而对任何x∈S，f a*b（x）= a＊b*x = f a（f b(x））= f a○f b (x)故f a＊b = f a○f b，由此及式（l1－1)即得h（a＊b）= f a*b = f a○f b ＝h(a）○h（b)本定理称半群表示定理。
它表明，任一半群都可以表示为(同态于)一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。
这里〈S,*〉同构于〈h（S)，○> -——— <S S，○〉的一个子代数．6。
2 群群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类。
我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的。
6。
2.1 群及其基本性质定义6。
6称代数结构〈G，＊>为群(groups），如果（1）<G，＊>为一半群．(2）<G,*〉中有么元e.（3）〈G,*〉中每一元素都有逆元．或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．定义 6.7设〈G,*>为一群．(1）若＊运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群,常表示为<G，+ 〉（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆:*常被称为乘)．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.(2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group)．例6。
6(1）〈I， + >（整数集与数加运算)为一阿贝尔群（加群），数0为其么元.< N,+ 〉不是群．因为所有非零自然数都没有逆元。
（2)〈Q+ ,·〉（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元。
<Q，·>不是群，因为数0无逆元．（3)<N k,＋k>为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元。
（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算。
那麽〈 P,○〉为一群．A上恒等函数E A为其么元.〈 P，○〉一般不是阿贝尔群。
群的下列基本性质是明显的。
定理1l.9设〈G，＊〉为群，那麽（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．（2）关于x的方程a＊x＝b，x*a＝b都有唯一解．(3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x，y∈S a*x = a＊y 蕴涵 x = y ； x＊a = y＊a 蕴涵 x = y（4）当G ¹｛e}时， G无零元．（5）么元e是G的唯一的等幂元素.证（1）,（2）,(3）是十分明显的．（4)若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。
(注意,G = {e｝时，e既是么元，又是零元。
）（5)设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x＊e 所以 x＊x = x＊e由（3）得x = e 。
由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，＊运算的运算表的每一行（列）都是G 中元素的一个全排列．从而有限群<G,*〉的运算表中没有一行(列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1,2,3阶群时，＊运算都只有一个定义方式（即，不计元素记号的不同，只有一张定义＊运算的运算表，如表6.2所示），于是可以说，1，2，3阶的群都只有一个.定理6。
10对群〈G，＊〉的任意元素 a,b,（1)（a-1)-1＝a．（2)（a＊b） -1＝b—1＊a—1(3）（a r）—1 = （a–1）r(记为a–r)（r为整数）．证（2)（a＊b）＊(b—1*a-1） = a*（b＊b—1）＊a—1 = e（b—1＊a-1)＊(a*b) = b-1＊（a-1＊a）＊b = e因此a*b的逆元为b-1*a—1，即（a*b） -1＝b—1*a-1．（3）对r归纳。
r = 1时命题显然真。
设（a r）—1 = (a–1)r，即(a–1）r是a r的逆元.那么a r+1＊（a–1)r+1 = a r＊(a＊a-1）*(a–1)r＝a r＊(a–1）r = e（a–1）r+1＊ a r+1 = （a–1)r＊（a-1*a)＊ a r＝（a–1）r＊ a r = e 故a r+1的逆元为(a–1）r+1，即(a r+1） -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.对群〈G，*〉的任意元素 a，我们可以定义它的幂：a0=e,对任何正整数m,am+1=am*a,又据定理6.1O,在群中可引入”负指数幂”'的概念：a-m= （a-1)m，且容易证明：定理6.11对群<G，*>的任意元素 a,b，及任何整数m，n，（l)a m*a n = a m+n（2)（a m） n = a mn如果我们用aG和Ga分别表示下列集合aG = ｛a＊g |g∈G｝， Ga = ｛g＊a ｜g∈G}那么我们有以下定理．定理 6.12设〈G，*〉为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga特别地,当G为有限群时，＊运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．证 aG ⊆G是显然的．设 g∈G，那么a–1*g∈G,从而a＊(a–1＊g）∈aG,即 g∈aG．因此 G⊆Ga．aG = G得证．Ga = G同理可证．这一事实的一个明显推论是:当G为有限群时，*运算的运算表的每一行(列）都是G 中元素的一个全排列。
从而有限群〈G，＊〉的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G为1,2,3阶群时,＊运算都只有一个定义方式（即，不计元素记号的不同，只有一张定义＊运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说，1,2，3阶的群都只有一个。
表6.2定义6。
8设〈G，＊〉为群,a∈G,称 a 的阶（order）为n，如果a n = e,且n为满足此式的最小正整数。
上述n不存在时，称a有无限阶。
例6.7(1)任何群G的幺元e的阶为1，且只有幺元e的阶为1.(2)<I，+〉中幺元0的阶为1，而整数a 1 0时,a有无限阶。
(3)〈N6 ，+ 6〉中1的阶是6，2的阶是3，3的阶是2，4的阶是3，5的阶是6。
关于元素的阶有以下性质.定理6。
13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数｜G ｜。
证设a为G的任一元素，考虑 e = a0 ，a1 ，a2 ，…，a│G│这|G ｜+1个G中元素。
由于G中只有｜G ｜个元素，因此它们中至少有两个是同一元素，不妨设a r = a s（0 ≤ r < s ≤ |G |)于是a s-r = e，因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r，不超过群G的阶数｜G |。
定理6.14设<G，＊〉为群，G中元素a的阶为k，那么,a n = e当且仅当k整除n .证先证充分性．设 a k ＝ e,k整除n，那么n = kr（r为整数），因为a k ＝ e，所以a n = a kr = （a k）r = e r = e 。
再证必要性．设 a n ＝ e,n = mk＋ r，其中m为n除以 k的商，r为余数，因此0≤ r＜k .于是e＝a n＝a mk+r＝a mk＊a r＝a r因此，由k的最小性得r = 0，k整除n ．定理6。
15设〈G,＊〉为群，a为G中任一元素，那么a与a—1具有相同的阶．证只要证 a具有阶n当且仅当a—1具有阶n .由于逆元是相互的，即(a—1）—1＝a,同此只需证：当a具有阶n时,a-1也具有阶n .设a的阶是n，a—1的阶是m 。
由于（a-1）n＝（a n）—1＝e -1＝ e故m≤n 。
又因为a m＝（（a—1）m）-1＝ e -1＝ e故n≤m 。
因此，n＝m 。
6.2。
2 子群、陪集和拉格朗日定理定义6.9设〈G，*〉为群．称〈H，*>为G的子群（subgroups），如果<H，＊>为G 的子代数，且<H，*>为一群．子群有下列特征性(判别法）．定理6。
16设〈G,＊〉为群，那么〈H，*>为〈G,*〉子群的充分必要条件是（l)G的么元e∈H ．（2）若a,b∈H ,则a＊b∈H ．（3）若a∈H，则a-1∈H．证先证必要性．设H为子群．那么（2）是显然的(因H为子代数）．为证（l)，设<H，＊〉的么元为e',那么e’*e’= e’。
由于在G中只有e是等幂元，故e'= e ， e∈H得证。
为证（3)设〈H，＊>中任一元素a的H中逆元为b，那么a*b = b*a = e,由逆元的唯一性，b就是a在G中的逆元，即b = a-1∈H。
充分性是明显的。
事实上只要条件(2），（3）便可使<H，＊〉为〈G，*〉子群，因为H 不空时条件（2)(3)蕴涵条件（l)。
因此，可用（2）,（3)来判别非空子集H是否构成G的子群<H，＊〉。
显然，对任何群G , 〈{e｝，＊〉及〈G，＊〉均为其子群，它们被称为平凡子群，其它子群则称为非平凡子群或真子群．例6.8(l）群〈N6 ,+ 6〉有非平凡子群<｛0，3｝，+ 6〉和〈｛0,2,4｝，+ 6>(2)设E⊆I，E为偶数集。
那么<E，+〉为<I，+〉的子群，但<N,+〉不是〈I,+>的子群.对于有限群，子群的判别更为简单。