动能定理和机械能守恒
大学物理第四章--功和能
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
机械能守恒和动能定理的适用范围
机械能守恒和动能定理的适用范围大家好，今天咱们聊聊一个老生常谈但又挺有趣的话题——机械能守恒和动能定理。
这两个概念就像是物理学里的两个好朋友，天天在一起玩耍，但你知道它们都擅长啥吗？先说机械能守恒吧，这个可是牛顿老爷子留下的宝贝。
就像你每天不吃饭，身体就会出问题一样，能量也不能乱丢，它得守着一定的规则。
想象一下，如果有个超级英雄，他飞来飞去，每次都用光了所有的能量，那这个世界岂不是乱套了？所以啊，我们的能量，像水一样，得流动起来，不能让它静止不动。
这就是机械能守恒的魅力所在。
说到动能定理，这可是个“速度与激情”的故事。
想象一下，一辆赛车在赛道上疾驰，它的速度快得像是在飞，可你知道吗？这速度的背后，其实藏着一个小小的秘密——动能定理。
它告诉我们，速度越快，能量就越大。
就像你跑步时，脚步越重，跑得就越远一样。
所以，无论是赛车还是人，要想跑得快，就得先学会控制自己的“能量”。
这两个概念虽然看起来简单，但它们的适用范围却广得很。
比如说，咱们平时玩的玩具车，只要它不会飞出窗外，就能算是遵守了机械能守恒；而那些会动的模型飞机，只要它们的速度够快，就能算是应用了动能定理。
当然啦，这些例子可能有点太日常了，但它们确实让我们对这两个概念有了更直观的理解。
不过话说回来，机械能守恒和动能定理可不是万能的。
有时候，一些特殊的情况会让它们“失灵”。
比如，当你把一块石头扔进河里，石头可能会沉下去，但河水却不会消失。
这时候，你就需要用到另一个重要的物理定律——浮力定律。
因为浮力不是用来抵抗重力的，而是为了让物体保持漂浮状态。
所以，虽然机械能守恒和动能定理很神奇，但它们也有自己的局限性，需要我们灵活运用。
机械能守恒和动能定理是我们理解世界的重要工具。
它们教会我们能量守恒、速度与激情的道理，也提醒我们在遇到特殊情况时，要善于运用其他物理定律。
希望这篇文章能让你对这些有趣的物理现象有更深的了解！好了，今天的分享就到这里。
如果你对这个话题还有更多疑问或者想法，欢迎在评论区留言交流哦！让我们一起探索科学的世界，发现更多的奥秘吧！。
机械能守恒定律
系统的动能与势能之和A非保内 = E(Q) E(P)
此式表明，在系统从一个状态变化到另一个状态
的过程中，其机械能的增量等于外力所作功和系统 的非保守内力所作功的代数和。此规律称为系统的 功能原理。
三、机械能守恒定律 ( law of conservation of mechanical energy)
例 1：求使物体脱离地球引力作用的最小速度。
解：根据机械能守恒定律有
mM 1 2 mv 2 G 0 2 R
v2 2GM R 2 gR 11 .2 10 m s
3 -1
例 2：求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离 太阳引力作用的最小速度。 解：根据机械能守恒定律有
1 2
α
Q
P
1 2 f d l mgs sin mv 0 2
f
α
N
v0 0
而摩擦力的大小为
f N mgcos
mg
所以 即有
Q
P
Q f d l mg cos dl mgs cos
P
1 2 mg s cos mg s sin mv 0 2
1 2 mv 2
相对地球的动能
Ek
脱离地球引力所需动能
Ek 2
1 2 mv2 2
所以从地面发射时所需最小动能为
Ek3 Ek Ek2
由此可得第三宇宙速度
v 3 v v 2 (12 .4 10 ) (11 .2 10 ) m s 16 .7 10 m s
C
解得
v 2( g ssin g scos ) 1 3 -1 -1 2 (9.8 2.0 0.48 2.0 ) m s 1.8m s 2 2
动能定理与机械能守恒
动能定理和机械能及其守恒定律1.动能定理：（合外力的功等于物体动能的变化量）（1）“221mv ”是一个新的物理量（2）2221mv 是物体末状态的一个物理量，2121mv 是物体初状态的一个物理量。
其差值正好等于合力对物体做的功。
（3）物理量221mv 定为动能，其符号用E K表示，即当物体质量为m ，速度为V 时，其动能：E K=221mv （4）动能是标量，单位焦耳（J ）（5）含义：动能是标量，同时也是一个状态量（6）动能具有瞬时性，是个状态量：对应一个物体的质量和速度就有一个动能的值。
①当合力做正功时，物体动能增加。
②当合力做负功时，物体动能减小。
③当物体受变力作用，可把过程分解成许多小段每一段按照恒力运动是直线分段求解。
④当物体做曲线运动时，可把过程分解成许多小段每一段按照恒力运动是直线分段求解。
2. 机械能及其守恒定律（关键是把握什么能转化为什么能，在不守恒情况下一般都是有摩擦力做功即产生热能）1、机械能（1）定义：物体的动能和势能之和称为物体的机械能。
机械能包括动能、重力势能、弹性势能。
（2）表达式：Ｅ＝ＥＫ＋ＥＰ这些不同形式的能是可以相互转化的，那么在相互转化的过程中，他们的总量是否发生变化？这节课我们就来探究这方面的问题。
2、机械能守恒定律推导：质量为m 的物体自由下落过程中，经过高度h 1的A 点时速度为v 1，下落至高度h 2的B 点处速度为v 2，不计空气阻力，取地面为参考平面，试写出物体在A 点时的机械能和B 点时的机械能，并找到这两个机械能之间的数量关系。
A 点 12121mgh mv E E E PA kA A+=+= B 点 22221mgh mv E E E PB kB B +=+=根据动能定理，有21222121mv mv W G -=重力做功在数值上等于物体重力势能的减少量。
21mgh mgh W G -=由以上两式可以得到121222mgh mv 21mgh mv 21+=+ 即 1122p k p k E E E E +=+即 12E E =可见：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
5.动能定理+机械能守恒定律
二、功能原理
质点组动能定理 A外＋A内 E K
A外＋A内非保守力＋A内保守力 E K
A外＋A内非 E p E K A外＋A内非 E p E K E M (机械能) E p＋E K
A外＋A内非 E M
外力和非保守内力作功之和等于系统机械能的增量。 三、机械能守恒定律
功能原理
机械能守恒定律
将各个质点所受力分为内力和外力，对每一质点应用质点 动能定理：
A1 外＋ A1内 E K 1－ E K 10 A 2 外＋ A 2内 E K 2－ E K 20 ......
将各式相加：
A
i外
＋ Ai内 E Ki－ E Ki 0
一般不等于 0
简写为 A外＋A内 E K E K 0 E K
§2.7 功
质点的动能定理
一、质点的动能定理 力对空间的积累效应 1 dv F dr m dr m v dv mvdv d ( mv 2 ) 2 dt 标量积 b 1 1 v 1 2 2 2 F d r d mv ) ( mv mv 0 a v0 2 2 2 a 元功 dA F dr v 功 A F dr ( 单位：焦耳， J)
a a
势能零点在积 分中都是上限。
m1 m 2 万有引力势能， E p G C r
m1 m 2 E p G r
重力势能
令两质点相距无限远时 势能为零，则 C 0
Mm E p G C M：地球质量 r 选物体在地面的势能为 零，即 Mm Mm 0 G C , R为地球半径 ; C G R R Mm Mm Mm Mm G E p G G G R r R Rh Mm Mmh Mmh G 2 h mgh G G h R R( R h) 2 R (1 ) R
高中物理必修二 第四章 第五节 机械能守恒定律
√A.下落至C处速度最大
B.由A至D的过程中机械能守恒
√C.由B至D的过程中，动能先增大后减小 √D.由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速 运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球 做减速运动，所以小球由B至D的过程中，动能先增大后减 小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确； 由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小 球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误； 在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小 球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
题图丁中，不计细绳与滑轮间的摩擦和滑轮质量时，绳子 张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，空气阻力对A、 B均做负功所以A、B组成的系统机械能减少，故D错误.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物 从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由 摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆到最低点的过程中
答案 32 J 对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有12mv02＝12mv12＋Ep1 则 Ep1＝12mv02－12mv12＝32 J.
例4 (多选)如图，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其上方A位置有
一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所
受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零.不计空气阻力，弹簧
针对训练 (多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是
质点系动能定理机械能守恒定律
P
R
30 A
o
取图中点 B为重力势能零点
B
Ep 0
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B 系统机械能守恒 EB EA , 图中 点为重力势能零点
即
1 2
mvB2
1 2
k R2
mgR(2
sin
30)
P
又
kR mg m vB2
R
R 30 A
o
所以
k 2mg
R
B Ep 0
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条件 Ae Aid 0
定律 EKa EPa EKb EPb
或 E EK EP 常量
或 EKb EKa EPa EPb
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四、 能量转换与守恒定律
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各 种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将 保持不变.这就是能量转换与守恒定律.
1）生产斗争和科学实验的经验总结； 2）能量是系统状态的函数； 3）系统能量不变, 但各种能量形式可以互相转化； 4）能量的变化常用功来量度 .
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例3 在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一 颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙 箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向右
Ae 0 , Ain A阻
A阻
Ek
E p
1 mv 2
2
mgR
代入已知数字得 A 1 mv2 mgR 42.4J 2
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力
作功42.4J
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三、机械能守恒定律
动能定理和机械能守恒定律的应用(解析版)
动能定理和机械能守恒定律的应用目录一．练经典---落实必备知识与关键能力................................................................................... 错误!未定义书签。
二．练新题---品立意深处所蕴含的核心价值 ........................................................................... 错误!未定义书签。
一、选择题1.如图所示，在质量为M 的电梯地板上放置一质量为m 的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H 时，速度达到v ，则( ) A ．地板对物体的支持力做的功等于12mv 2B ．地板对物体的支持力做的功等于mgHC ．钢索的拉力做的功等于12Mv 2＋MgHD ．合力对电梯做的功等于12Mv 2【答案】D【解析】： 对物体由动能定理得：W F N －mgH ＝12mv 2，故W F N ＝mgH ＋12mv 2，A 、B 均错误；钢索拉力做的功W F 拉＝(M ＋m )gH ＋12(M ＋m )v 2，C 错误；由动能定理知，合力对电梯做的功应等于电梯动能的变化12Mv 2，D 正确。
2．(2022·上海交大附中期中)一块木板水平放在某装置底部，装置从地面开始向上运动的速度—时间图像如图所示，g 取10 m/s 2，则下列分析正确的是( )A ．0～0.5 s 木板的机械能守恒B ．0.5～1.0 s 木板的机械能守恒C ．1.0～1.5 s 木板的机械能守恒D ．0～1.5 s 木板的机械能一直在增加 【答案】C【解析】： 0～0.5 s 木板加速上升，木板动能和重力势能均增大，木板的机械能不守恒，A 错误； 0.5～1.0 s 木板匀速上升，动能不变，重力势能增大，机械能不守恒，B 错误；1.0～1.5 s 木板的加速度大小为a ＝5－01.5－1.0m/s 2＝10 m/s 2＝g ，木板的加速度方向竖直向下，只受重力作用，做自由落体运动，只有重力做功，机械能守恒，C 正确，D 错误。
非惯性系中质点的动能定理及机械能守恒条件
非惯性系中质点的动能定理及机械能守恒条件
《非惯性系中质点的动能定理及机械能守恒条件》
一、定义非惯性系
非惯性系，它是一个概念，是一种由外力，而不是任何物理量引起的系统。
它比惯性系精确地描述了物体运动轨迹和其改变的规律，以及它们在时间和空间上之间的关系。
只有当外力作用在小质点上时，才能说它处于非惯性系中。
二、质点动能定理
质点动能定理是物理学中的一条重要定理，它指出在某个特定的非惯性系中，质点的动能大小只与物体的速度而不取决于它的质量。
即：质点的动能可以表达为：E=ΔTμv ，其中E表示动能，ΔT表示时间周期，μ表示质量，v表示速度。
由此可知，在非惯性系中，质点的动能仅与质点的速度有关，与质点质量无关。
三、机械能守恒条件
机械能守恒条件是经典力学中的一条重要定理。
它指出，在非惯性系中，机械能是非常重要的物理概念，当物体进行匀变运动时，机械能的变化率是等于从外力中定义的功多少，这是机械能守恒条件的定义。
它可以表达为：W=ΔE，其中W表示功，ΔE表示机械能的变化量。
由此可见，在特定的非惯性系中，机械能始终保持守恒。
四、结论
非惯性系中，质点的动能定理和机械能守恒条件表明，物体运动轨迹和其改变的规律取决于外力，其中只有一些力使物体的动能和机械能保持守恒。
这对描述和解释物理学中的物理现象有着巨大的重要作用，也为后续的研究提出了重要的理论参考。
动能定理机械能守恒
动能定理 机械能守恒自然界存在着各种形式的能，各种形式的能之间又可以相互转化，而且在转化的过程中能的总量保持不变，即满足能量守恒定律，这是自然科学中最重要的定律之一。
各种形式的能在相互转化的过程中可以用功来度量。
本章要研究的是能量中最简单的一种──机械能，以及与它相伴的机械功。
解决力学问题，从能量的观点入手进行分析，往往是很方便的。
能的转化和守恒，是贯穿全部物理学的基本规律之一，学习这一章要特别注意养成运用能量观点分析和研究问题的习惯。
本章涉及的主要内容有：功和功率、动能和动能定理、势能及机械能守恒定律。
§1.功和功率一、功（W ）如图所示，物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，因此我们说力对物体做了功。
力、沿力的方向上的位移是功的两个不可或缺的因素。
我们可以把力F 沿位移S 的方向和垂直于位移的方向分解为 F '、F "：其中分力F '做功，而分力F "并未做功，又F '=FScos θ，所以力F 对物体所做的功可表示为W F =F 'S=FScos θ我们同样也可以试着把位移S 分解为沿力F 方向的分位移S '和垂直于力F 方向的分位移S "。
显然物体在力F 的作用下，沿力的方向 的位移为S '，同样可得力F 对物体做的功，W F =FS '=FScos θ，进而 得出功的公式：W =FScos θ该式既是功的量度式（也叫计算式），也是功的决定式。
θ<︒90时，co s θ为正，式中的W >0，为正功（我们说外力对物体做了功）； θ=︒90时，c o s θ=0，式中的W 为零（我们说外力不做功）；θ>︒90时，co s θ为负，式中的W <0，为负功（我们说外力对物体做负功，或着说物体克服外力做了功）。
当F 是合力（f ∑）时，则W 是合力功（W ∑）； 若W 是各力做功的代数和，我们说W 是总功。
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动能定理和机械能守恒
动能定理和机械能守恒是物理学中非常重要的两个概念，它们经常被用来描述物体在运动过程中的能量变化。
本文将详细介绍这两个概念及其应用。
一、动能定理
动能定理是描述物体在做功的过程中动能的变化关系的定理。
它的数学表达式为：W=ΔK，其中W表示物体受力做功的大小，ΔK表示物体动能的变化量。
这个定理的意义在于，当一个物体受到外力作用而运动时，物体所受的作用力所做的功等于物体动能的变化量。
例如，当一个物体被施加一个恒定的力F，沿直线方向移动了一个距离s，那么它所受到的功就是W=F×s，而它的动能的变化量ΔK 就是K2-K1=1/2mv2^2-1/2mv1^2。
那么根据动能定理，我们可以得到W=ΔK，即F×s=1/2mv2^2-1/2mv1^2。
这个公式可以用来计算物体在受力作用下动能的变化量。
二、机械能守恒
机械能守恒是指在一个封闭的系统中，机械能的总量保持不变的性质。
在一个封闭的系统中，机械能只能通过物体之间的相互作用转化，而不能增加或减少。
机械能包括动能和势能两个部分，它们的总和表示为E=K+U，其中K表示动能，U表示势能。
例如，当一个物体从高处自由落下时，由于重力的作用，它的动能不断增加，而势能则不断减少。
当它落到地面时，由于地面的阻力和摩擦力的作用，它的动能被完全消耗，而势能则被全部转化为热能。
在这个过程中，机械能守恒定律得到了验证。
机械能守恒定律在实际生活中有着广泛的应用。
例如，当我们骑自行车的时候，我们需要不断地蹬踏，将化学能转化为机械能，使自行车前进。
在这个过程中，我们需要消耗大量的能量，而机械能守恒定律则保证了这些能量会被充分利用，不会浪费掉。
动能定理和机械能守恒是物理学中非常重要的两个概念，它们帮助我们理解物体在运动过程中的能量变化，并在实际生活中有着广泛的应用。
对于物理学学习者来说，掌握这两个概念是非常重要的。