二次函数焦点式
二次函数交点式例题
二次函数交点式例题
交点式也叫恒等式，是应用于函数的数学技巧。
它可以用来求解两个函数的交点。
交点式应用于二次函数，即可以解出两个二次函数的交点。
其中，二次函数是由一个方程式组成的，形式为：
y = ax2 + bx + c
其中，a, b, c为实数，a 0 。
以下为用于二次函数交点式的例题：
例 1：求下列两个二次函数的交点：
y1 = x2 + 2x + 4
y2 = x2 - 2x + 1
解：
根据交点式，可得方程组：
x2 + 2x + 4 = x2 - 2x + 1
解得：
x = -1
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1)。
例2：求下列两个二次函数的交点：
y1 = 6x2 + 3x + 2
y2 = 2x2 - x + 3
解：
根据交点式，可得方程组：
6x2 + 3x + 2 = 2x2 - x + 3
解得：
x = -1/2
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1/2)。
以上就是关于二次函数交点式的例题及解答，还有其他更多的例题和解法，需要通过观察、思考、实际操作等实践方式来掌握，相信只要同学们认真做习题，学习数学将会变得更加轻松。
此外，交点式还可以用于求解更复杂的函数，比如3次函数、4次函数等，为学习者提供了更多的可能性。
它还能够帮助我们理解函数中的极值点、凹点、波峰点、局部最大值等概念，可以说是学习数学的重要工具。
通过以上内容，希望同学们可以更好地掌握交点式，积极参与数学课堂，加深对数学的掌握。
二次函数一般式怎么化成交点式
二次函数一般式怎么化成交点式二次函数一般式化为交点式二次函数是高中数学中一个重要的概念，它的一般式表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
通过将二次函数的一般式化为交点式，可以更加直观地了解二次函数的性质和特点。
交点式是指以二次函数与坐标轴的交点为基础，将二次函数表示为与坐标轴的交点位置和形式有关的表达式。
将二次函数的一般式化为交点式，可以帮助我们更好地理解二次函数的图像和性质。
要将二次函数的一般式化为交点式，需要先找到二次函数与坐标轴的交点。
二次函数与x轴的交点可以通过令y = 0来求解，而与y 轴的交点则是函数的截距。
我们来看二次函数与x轴的交点。
当y = 0时，二次函数的一般式变为0 = ax² + bx + c。
通过求解这个二次方程，可以得到二次函数与x轴的交点。
对于一般的二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解。
求根公式是：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以得到二次函数与x轴的交点的横坐标。
接下来，我们来看二次函数与y轴的交点。
当x = 0时，二次函数的一般式变为y = ax² + bx + c。
这个方程的截距就是二次函数与y轴的交点的纵坐标。
通过求解二次函数与x轴的交点和求解二次函数与y轴的交点，我们可以得到二次函数的交点式表达式。
例如，对于二次函数y = x² - 4x + 3，我们可以先求解与x轴的交点，即令y = 0：0 = x² - 4x + 3这个方程可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0。
因此，二次函数与x 轴的交点为x = 1和x = 3。
接下来，我们求解与y轴的交点，即令x = 0：y = 0² - 4(0) + 3这个方程可以简化为 y = 3，即二次函数与y轴的交点为(0, 3)。
二次函数交点式顶点坐标公式
二次函数交点式顶点坐标公式是非常重要的数学知识，它可以用来求解一元二次方程的顶点坐标，这样就可以很容易地求解函数图像的相关信息及其性质。
一元二次方程可以表示为：
y=ax²+bx+c
其中，a≠0，b、c 为实数。
顶点坐标为（x0,y0），此时，满足：
y0=a(x0) ²+bx0+c
解得：x0=-b/2a
y0=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c
=1/4a(b²-4ac)
因此，一元二次方程的顶点坐标可以表示为：
顶点坐标：（x0=-b/2a,y0=1/4a(b²-4ac)）
综上所述，可以得到二次函数交点式顶点坐标公式：
顶点坐标：（x0=-b/2a,y0=1/4a(b²-4ac)）
由此可以看出，二次函数交点式顶点坐标公式的求解简单明了，可以方便快捷地计算出一元二次方程的顶点坐标，为数学学习和解决实际问题提供了有用的帮助。
二次函数公式顶点式、交点式、两根式
二次函数公式:顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明:
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式
y=a(x-x1)(x-x2).。
二次函数交点式公式
y=a(x-x1)(x-x2) 的函数图象
我 们 来 画 二 次 函 数 y=2(x-1)(x-3) 、 y=3(x-2)(x+1) 、 y=-(x+4)(x+3)的图象，并研
究函数与x轴的交点坐标。y=Leabharlann (x-x1)(x-x2) 的函数图象
y
4
3
2 1
c
与X轴的交点坐标
x1
O x2
x (x1,0) (x2,0)
与Y轴的交点坐标及它关
（
b 2a
，4ac 4a
） b2
于对称轴的对称点
(0, c)
(
b a
,
c)
y=-2(x+1)2-8 y=3(x+1)(x-3)
y=x2-4x-5 y=-x2+5
y a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
直线x b 2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
a 0,当x b , 2a
y最小 4ac b2 ) 4a
a>0，x≤-b/2a,y随x增大而减小 x≥b/2a,y随x增大而增大
y
对称轴直线x=
b 2a
(
b
a,
c)
顶点坐标（
b 2a
， ） 4ac b2 4a
（2，0）（-1，0） （-4，0）（-2，0）
y=a(x_-_x_1 )(x_-_x_2) （a交≠0点）式 (x1,0),( x2,0)
二次函数的交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－x2)， 其中x1 ，x2 为两交点的横坐标.
交点式二次函数
交点式二次函数
交点式二次函数一般指二次函数交点式。
二次函数交点式，数学术语，应用领域中学数学，交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]。
公式含义
交点式：
[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
交点式的推导
设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,即ax²+bx+c=0有两根分别为x1,x2,
a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0
十字交叉相乘：
1x -x1
1x -x2
a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。
解决二次函数，还有一般式和顶点式
一般式：y=ax²+bx+c
顶点式：y=a(x-h)²+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
一般的，如果a，b，c是常数(a≠0)，那么y叫做x的二次函数。
二次函数交点式顶点坐标公式
二次函数交点式顶点坐标公式二次函数，也叫做二次方程或者二次多项式，是一种形式如下的数学函数：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b、c是常数，且a不等于0。
二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向由二次项的系数a的正负号决定。
如果a大于0，则抛物线开口向上；如果a小于0，则抛物线开口向下。
顶点是二次函数的一个重要特征点，它代表了抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过一些特定的公式来计算。
以下是两种常用的计算顶点坐标的公式：1.求顶点横坐标：顶点的横坐标可以通过以下公式计算：x=-b/(2a)其中b是二次项的系数，a是一次项的系数。
通过这个公式，我们可以得到顶点的横坐标。
2.求顶点纵坐标：顶点的纵坐标可以通过将顶点的横坐标带入二次函数的表达式中计算得出。
y = f(x) = ax^2 + bx + c其中x是顶点的横坐标。
通过这个公式，我们可以得到顶点的纵坐标。
通过以上两个公式，我们可以计算出二次函数的顶点坐标。
顶点坐标可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质。
对于开口向上的抛物线，顶点代表了函数的最低点；对于开口向下的抛物线，顶点代表了函数的最高点。
顶点也可以通过其他方法来计算，例如使用判别式等。
判别式是二次函数的一个重要概念，它可以帮助我们判断二次函数的图象和性质。
Δ = b^2 - 4ac判别式的符号可以帮助我们判断二次函数的开口方向和顶点的情况。
如果判别式大于0，则函数的图象与x轴有两个交点，抛物线开口向上；如果判别式等于0，则函数的图象与x轴有一个交点，抛物线开口向上或向下；如果判别式小于0，则函数的图象与x轴没有交点，抛物线开口向下。
当判别式不为0时，顶点的纵坐标可以通过以下公式计算：y=-Δ/(4a)这个公式可以帮助我们计算出顶点的纵坐标。
通过顶点的坐标，我们可以更好地理解和分析二次函数的特征和性质。
综上所述，二次函数的顶点坐标可以通过横坐标的公式和纵坐标的公式来计算得出。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的
分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数的交点式精品PPT课件
；
• 若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），
则对称轴是
；
• 若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），
则对称轴是
.
五、小结
• 若抛物线与x轴的交点坐标是（ ）、（
）则对称轴是
，
顶点 坐标是
.
六、拓展提升
• 已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,1）
X轴交点坐标是
.
二、探索归纳
1.因式分解
① x2 2x 3 ② x2 4x 3 ③ 2x2 8x 6
解①原式=（x-3）（x+1） ② 原式 =（x+3）（x+1） ③原式 =（2x+2）（x+3）
2.求出下列抛物线与X轴的交点坐标： ① y x2 2x 3 ② y x2 4x 3 ③ y 2x2 8x 6 解① 与x轴的交点坐标为（ 3,0）和（-1,0）
与X轴的交点坐标是：
⑴
⑵
⑶
与y轴的交点坐标是：
⑴
⑵
⑶
四、典型例题
• 例1.已知二次函数的图象与X轴的交点坐标是（3,0），（ 1,0），且函数的最值是3.
• ⑴求对称轴和顶点坐标.
• ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. y 5
• ⑶求出该二次函数的关系式.
4
3 2
1
-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3
② x轴的交点坐标为坐标（-3，0）和 （-1,0） ③ 与x轴的交点坐标为（-1，0 ）和（-3,0）
二、探索归纳
• 归纳：
•
⑴二次函数与X轴交点坐标是（x1，0），（
，
y ax x1 x x2
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
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二次函数焦点式
二次函数交点式公式：y=a（x-x1）（x-x2）。
二次函数（quadraticfunction）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。