新教材人教A版必修第二册 8.1 第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征 作业

第八章8.1第2课时旋转体与简单组合体的结构特征

A级——基础过关练

1．圆锥的母线有()

A．1条B．2条

C．3条D．无数条

【答案】D【解析】由图锥母线的定义可知圆锥的母线有无数条．故选D．

2．给出下列说法：

①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是()

A．①②B．①③

C．②③D．③④

【答案】A【解析】①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．

3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是()

A．圆台B．圆锥

C．圆柱D．球

【答案】B【解析】由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的几何体是圆锥．故选B．

4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()

A．一个棱柱中挖去一个棱柱

B．一个棱柱中挖去一个圆柱

C．一个圆柱中挖去一个棱锥

D．一个棱台中挖去一个圆柱

【答案】B【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选B．

5．(多选)如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是()

A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形

【答案】ABC【解析】该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．故选ABC．

6．下列说法正确的是________．

①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；

②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．

【答案】③【解析】①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．

7．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是310，则其轴截面面积是________．

【答案】63【解析】设圆台的高为h，则h＝(310)2－(5－2)2＝9，∴轴截面面积S ＝1

2×(4＋10)×9＝63.

8．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12πcm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.

【答案】43 【解析】如图所示，由题意知北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°

＝4 3 cm.

9．圆台的上底周长是下底周长的1

3，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，

求此圆台的高、母线长及两底面的半径．

解：设圆台上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h . 由题意，得2πr ＝1

3·2πR ，即R ＝3r .①

1

2

(2r ＋2R )·h ＝392，即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°，则h ＝R －r ＝

2

2

l .③ 联立①②③，得R ＝21，r ＝7，h ＝14，l ＝14 2.

10．已知一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．

解：作出圆锥的一个纵截面如图所示，其中AB ，AC 为母线，BC 为底面直径，DG ，EF 是正方体的棱，DE ，GF 是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x ，则DG ＝EF ＝x ，DE ＝GF ＝2x .依题意，得△ABC ∽△ADE ，∴h h －x ＝2r 2x ，∴x ＝2rh h ＋2r

，即此正方

体的棱长为2rh

h ＋2r

.

B 级——能力提升练

11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0.5

【答案】B 【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝

R 2－r 22，∴d 1

－d 2＝

R 2－5－

R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.

12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的( )

A B C D

【答案】C 【解析】易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A ，D ；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，排除B ；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点．故选C ．

13．(2020年余姚市校级月考)一个圆台的母线长为12 cm ，两底面积分别为4π cm 2和25π cm 2，则圆台的高为________，截得此圆台的圆锥的母线长________．

【答案】315 cm 20 cm 【解析】圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，如图所示，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ；又腰长为母线长是AB ＝12 cm ，所以高AM ＝

122－(5－2)2＝315(cm)；设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO

可得l －12l ＝2

5

，解得l ＝20(cm)．

14．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是

________．

【答案】

2

π或

4

π

【解析】如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底

面的周长，则2πr＝8，所以r＝4

π

；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr

＝4，所以r＝2

π.

15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．

【答案】3【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2.所以半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1.所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝ 3.

16．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．

解：将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点．

令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

则

??

?

??h＋h1

h

＝

49＋1

2

1

，

h＋h1＋h2

h

＝49

1

，

所以

??

?

??h1＝4h，

h2＝2h，

即h1∶h2＝2∶1.

故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.

C级——探索创新练

17．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆

木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )

A ．29尺

B ．24尺

C ．26尺

D ．30尺

【答案】C 【解析】由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为242＋102＝

26(尺)．

18．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A ．求：

(1)绳子的最短长度的平方f (x )；

(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．

解：将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝360°·L 2πl ＝2π

2π×4

×360°＝90°.

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．

f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．

(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离．

在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝1

2

AM ·SR ，

∴SR ＝

SA ·SM

AM

＝4x x 2＋16

(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为

4x x 2＋16

(0≤x ≤4)．

(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.