2020年高考数学试题分类汇编 选修4
十五、选修4
1.(山东理4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 A .[-5,7] B .[-4,6]
C .
(][),57,-∞-+∞U D .
(][),46,-∞-+∞U
【答案】D
2.(北京理5)如图,AD ,AE ,BC 分别与圆O 切于点D ,E ,F , 延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA ; ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ~△ADG
其中正确结论的序号是 A .①② B .②③
C .①③
D .①②③
【答案】A
3.(安徽理5)在极坐标系中,点θρπ
cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为
(A )2 (B )
942
π+
(C )
912
π+
(D )3
【答案】D
4.(北京理3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A .(1,)
2π
B .
(1,)
2π
-
C . (1,0)
D .(1,π)
【答案】B
5.(天津理11)已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ?=?
=?
(t 为参数)若斜率为1的
直线经过抛物线C 的焦点,且与圆
()2
224(0)
x y r r -+=>相切,
则r =________. 【答案】2
6.(天津理12)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一 点,且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切,则
线段CE 的长为__________.
【答案】7
7.(天津理13)已知集合
{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ??
=∈++-≤=∈=+-∈+∞??
??
,则集合
A B ?=________.
【答案】{|25}x x -≤≤
8.(上海理5)在极坐标系中,直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。
【答案】
25
arccos
5
9.(上海理10)行列式
a b
c d (,,,{1,1,2}a b c d ∈-)的所有可能
值中,最大的是 。 【答案】6 (陕西理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评10.分)
A .(不等式选做题)若关于x 的不等式
12
a x x ≥++-存在实数解,则实数a 的取值
范围是 。
B .(几何证明选做题)如图,,,90B D AE B
C AC
D ∠=∠⊥∠=o
,且
6,4,12AB AC AD ===,则BE = 。
C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线
13cos :4sin x C y θ
θ=+??
=+?(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则
AB
的最小值为 。
【答案】
(][),33,-∞-+∞U 4
2 3
11.(湖南理9)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为cos ,1sin x y αα=??
=+?
(α为参数)在
极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为()cos sin 10
ρθθ-+=,则C1与C2的交点个数为
【答案】2
12.(江西理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为
【答案】
22
420x y x y +--= 13.(江西理15)(2)(不等式选做题)对于实数x y ,,若11,21,21
x y x y -≤-≤-+则的
最大值为
【答案】5
14.(湖南理10)设,x y R ∈,且0xy ≠,则
222211()(4)x y y x +
+的最
小值为 。
【答案】9
15.(湖南理11)如图2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4, AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ,则AF 的长为 。
【答案】23
16.(广东理14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
5cos (0)sin x y θθπθ?=?≤
=??和25()4x t t R y t ?
=?∈??=?,它们的交点坐标为___________.
【答案】
25
(1,
)5
17.(广东理15)(几何证明选讲选做题)如图4,过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ,且PB =7,C 是圆上一点使得BC =5,
∠BAC =∠APB , 则AB = 。
【答案】35
18.(福建理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题
目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换
设矩阵00a M b ??
= ?
??(其中a >0,b >0).
(I )若a=2,b=3,求矩阵M 的逆矩阵M-1;
(II )若曲线C :x2+y2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C’:1
y 4x 22
=+,求
a ,
b 的值. (2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方程为
x y sin ααα?=?
?
=??(为参数).
(I )已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半
轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,2π),判断点P 与直线l 的位置关系;
(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. (3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设不等式
1
1-x 2<的解集为M .
(I )求集合M ;
(II )若a ,b ∈M ,试比较ab+1与a+b 的大小.
(1)选修4—2:矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与交换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分。
解:(I )设矩阵M 的逆矩阵
1
11
22x y M
x y -??= ???
,则
110.
01MM -??
= ??? 又2003M ??
= ???,所以112220100301x y x y ??????
= ? ? ?????
??,
所以
1122112211
21,20,30,31,,0,0,,
23x y x y x y x y ========即 故所求的逆矩阵
1
102.
103M -??
?= ? ? ?
?? (II )设曲线C 上任意一点(,)P x y ,
它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点'(',')P x y ,
则00a b ?? ??
?'',''x x ax x y y by y =?????=? ? ?=?????即 又点'(',')P x y 在曲线'C 上,
所以2
2''1
4x y +=,,
则22
221
4a x b y +=为曲线C 的方程,
又已知曲线C 的方程为
2
2
2
2
4,
1, 1.a x y b ?=?+=?=??故 又
2,
0,0, 1.a a b b =?>>?
=?所以 (2)选修4—4:坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满分7分。
解:(I )把极坐标系下的点(4,)
2P π
化为直角坐标,得P (0,4)。
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程40x y -+=, 所以点P 在直线l 上,
(II )因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q
的坐标为,sin )αα, 从而点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6d π
απα++===++,
由此得,当cos()1
6π
α+=-时,d
(3)选修4—5:不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分。
解:(I )由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得
所以{|01}.M x x =<<
(II )由(I )和,a b M ∈可知0 故1.ab a b +>+
19.(辽宁理22)
如图,A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点,且EC=ED . (I )证明:CD//AB ;
(II )延长CD 到F ,延长DC 到G ,使得EF=EG ,证明:A ,B ,G ,F 四点共圆.
20.(辽宁理23)
选修4-4:坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为??
?==??sin cos y x (?为参数),曲线C2的参数方程为??
?==??
sin cos b y a x (0>>b a ,?为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,
射线l :θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=2π
时,
这两个交点重合.
(I )分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a 与b 的值;
(II )设当α=4π时,l 与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=4π
-
时,l 与C1,C2的交点
为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积. 解:
(I )C1是圆,C2是椭圆.
当0α=时,射线l 与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a ,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.
当
2π
α=
时,射线l 与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b ),因为这两点重
合,所以b=1.
(II )C1,C2的普通方程分别为2
2
2
21 1.
9x x y y +=+=和
当
4π
α=
时,射线l 与C1交点A1的横坐标为
2
2x =
,与C2交点B1的横坐标为
310
.10x '=
当
4π
α=-
时,射线l 与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x 轴对称,因此,
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为
(22)()2
.
25x x x x ''+-= …………10分 21.(辽宁理24)
选修4-5:不等式选讲 已知函数)(x f =|x-2||-x-5|. (I )证明:3-≤)(x f ≤3;
(II )求不等式)(x f ≥x28-x+15的解集.
解:
(I )因为EC=ED ,所以∠EDC=∠ECD.
因为A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ,
所以CD//AB. …………5分
(II )由(I )知,AE=BE ,因为EF=FG ,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.
连结AF ,BG ,则△EFA ≌△EGB ,故∠FAE=∠GBE , 又CD//AB ,∠EDC=∠ECD ,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠G BA=180°.
故A ,B ,G ,F 四点共圆 …………10分 解:
(I )
3,
2,()|2||5|27,25,
3, 5.x f x x x x x x -≤??
=---=-<?≥?
当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 (II )由(I )可知,
当
2
2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集; 当
225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为; 当
25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为. 综上,不等式
2
()815{|536}.f x x x x x ≥-+≤≤的解集为 …………10分 22.(全国新课标理22)选修4-1:几何证明选讲
如图,D ,E 分别为ABC ?的边AB ,AC 上的点,且不与ABC ?的顶点重合.已知AE 的长为m ,
AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程2
140x x mn -+=的两个根.
(I )证明:C ,B ,D ,E 四点共圆;
(II )若90A ∠=?,且4,6,m n ==求C ,B ,D ,E 所在圆的半径.
解:
(I )连接DE ,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC,
即
AB AE
AC AD =.又∠DAE=∠CAB ,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C ,B ,D ,E 四点共圆.
(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.
取CE 的中点G ,DB 的中点F ,分别过G ,F 作AC ,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C ,B ,D ,E 四点共圆,所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ,半径为DH.
由于∠A=900,故GH ∥AB , HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21
(12-2)=5.
故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为52
23.(全国新课标理23)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=??
=+?为参数)
,M 为1C 上的动点,P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r
,点P 的轨迹为曲线2C
.
(I )求
2
C 的方程;
(II )在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3π
θ=
与1C 的异于极点的交
点为A ,与2
C 的异于极点的交点为B ,求|AB|.
解:
(I )设P(x ,y),则由条件知M(2,
2Y X ).由于M 点在C1上,所以
??????????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ???????+=?=sin 44cos 4y x
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα=??
=+?(α为参数)
(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.
射线
3π
θ=
与1C 的交点A 的极径为
14sin
3π
ρ=,
射线
3π
θ=
与2C 的交点B 的极径为
28sin
3π
ρ=.
所以21||||AB ρρ-==24.(全国新课标理24)选修4-5:不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >. (I )当a=1时,求不等式()32f x x ≥+的解集.
(II )若不等式()0f x ≤的解集为{x|1}x ≤-,求a 的值. 解:
(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为
|1|2x -≥.
由此可得 3x ≥或1x ≤-.
故不等式()32f x x ≥+的解集为
{|3x x ≥或1}x ≤-.
(Ⅱ) 由()0f x ≤得
30
x a x -+≤
此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥??-+≤? 或30x a a x x ≤??
-+≤?
即
4
x a a x ≥???≤?? 或
2
x a
a a ≤???≤-??
因为0a >,所以不等式组的解集为
{}
|2
a
x x ≤-
由题设可得2a
-
= 1-,故2a =