2020年高考数学试题分类汇编 选修4
十五、选修4
1.（山东理4）不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 A ．[-5，7] B ．[-4，6]
C ．
(][),57,-∞-+∞U D ．
(][),46,-∞-+∞U
【答案】D
2.（北京理5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG
其中正确结论的序号是 A ．①② B ．②③
C ．①③
D ．①②③
【答案】A
3.（安徽理5）在极坐标系中，点θρπ
cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为
（A ）2 （B ）
942
π+
（C ）
912
π+
（D ）3
【答案】D
4.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)
2π
B ．
(1,)
2π
-
C ． (1,0)
D ．(1，π)
【答案】B
5.（天津理11）已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ?=?
=?
（t 为参数）若斜率为1的
直线经过抛物线C 的焦点，且与圆
()2
224(0)
x y r r -+=>相切，
则r =________. 【答案】2
6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一 点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则
线段CE 的长为__________.
【答案】7
7.（天津理13）已知集合
{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ??
=∈++-≤=∈=+-∈+∞??
??
，则集合
A B ?=________.
【答案】{|25}x x -≤≤
8.（上海理5）在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。
【答案】
25
arccos
5
9.（上海理10）行列式
a b
c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能
值中，最大的是 。 【答案】6 （陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分）
A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式
12
a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值
范围是 。
B ．（几何证明选做题）如图，,,90B D AE B
C AC
D ∠=∠⊥∠=o
，且
6,4,12AB AC AD ===，则BE = 。
C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线
13cos :4sin x C y θ
θ=+??
=+?（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则
AB
的最小值为 。
【答案】
(][),33,-∞-+∞U 4
2 3
11.（湖南理9）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为cos ,1sin x y αα=??
=+?
（α为参数）在
极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为()cos sin 10
ρθθ-+=，则C1与C2的交点个数为
【答案】2
12.（江西理15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
【答案】
22
420x y x y +--= 13.（江西理15）（2）（不等式选做题）对于实数x y ，,若11,21,21
x y x y -≤-≤-+则的
最大值为
【答案】5
14.（湖南理10）设,x y R ∈,且0xy ≠，则
222211()(4)x y y x +
+的最
小值为 。
【答案】9
15.（湖南理11）如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4， AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。
【答案】23
16.（广东理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
5cos (0)sin x y θθπθ?=?≤
=??和25()4x t t R y t ?
=?∈??=?，它们的交点坐标为___________．
【答案】
25
(1,
)5
17.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，
∠BAC =∠APB , 则AB = 。
【答案】35
18.（福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题
目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵00a M b ??
= ?
??（其中a ＞0，b ＞0）．
（I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M-1；
（II ）若曲线C ：x2+y2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C’：1
y 4x 22
=+，求
a ，
b 的值． （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为
x y sin ααα?=?
?
=??（为参数）．
（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；
（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式
1
1-x 2＜的解集为M ．
（I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．
（1）选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。
解：（I ）设矩阵M 的逆矩阵
1
11
22x y M
x y -??= ???
，则
110.
01MM -??
= ??? 又2003M ??
= ???，所以112220100301x y x y ??????
= ? ? ?????
??，
所以
1122112211
21,20,30,31,,0,0,,
23x y x y x y x y ========即 故所求的逆矩阵
1
102.
103M -??
?= ? ? ?
?? （II ）设曲线C 上任意一点(,)P x y ，
它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点'(',')P x y ，
则00a b ?? ??
?'',''x x ax x y y by y =?????=? ? ?=?????即 又点'(',')P x y 在曲线'C 上，
所以2
2''1
4x y +=,,
则22
221
4a x b y +=为曲线C 的方程，
又已知曲线C 的方程为
2
2
2
2
4,
1, 1.a x y b ?=?+=?=??故 又
2,
0,0, 1.a a b b =?>>?
=?所以 （2）选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。
解：（I ）把极坐标系下的点(4,)
2P π
化为直角坐标，得P （0，4）。
因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=， 所以点P 在直线l 上，
（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
的坐标为,sin )αα， 从而点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6d π
απα++===++，
由此得，当cos()1
6π
α+=-时，d
（3）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。
解：（I ）由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得
所以{|01}.M x x =<<
（II ）由（I ）和,a b M ∈可知0
19.（辽宁理22）
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED ． （I ）证明：CD//AB ；
（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．
20.（辽宁理23）
选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为??
?==??sin cos y x （?为参数），曲线C2的参数方程为??
?==??
sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
射线l ：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π
时，
这两个交点重合．
（I ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（II ）设当α=4π时，l 与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=4π
-
时，l 与C1，C2的交点
为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积． 解：
（I ）C1是圆，C2是椭圆.
当0α=时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当
2π
α=
时，射线l 与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重
合，所以b=1.
（II ）C1，C2的普通方程分别为2
2
2
21 1.
9x x y y +=+=和
当
4π
α=
时，射线l 与C1交点A1的横坐标为
2
2x =
，与C2交点B1的横坐标为
310
.10x '=
当
4π
α=-
时，射线l 与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x 轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为
(22)()2
.
25x x x x ''+-= …………10分 21.（辽宁理24）
选修4-5：不等式选讲 已知函数)(x f =|x-2||-x-5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；
（II ）求不等式)(x f ≥x28-x+15的解集．
解：
（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.
因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，
所以CD//AB. …………5分
（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.
连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠G BA=180°.
故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 解：
（I ）
3,
2,()|2||5|27,25,
3, 5.x f x x x x x x -≤??
=---=-<
当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，
当
2
2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集； 当
225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当
25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为. 综上，不等式
2
()815{|536}.f x x x x x ≥-+≤≤的解集为 …………10分 22．（全国新课标理22）选修4-1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为ABC ?的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ?的顶点重合．已知AE 的长为m ，
AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2
140x x mn -+=的两个根．
（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（II ）若90A ∠=?，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
解：
（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC，
即
AB AE
AC AD =.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C ，B ，D ，E 四点共圆．
（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12. 故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.
由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 21
(12-2)=5.
故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52
23.（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=??
=+?为参数）
，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r
，点P 的轨迹为曲线2C
．
（I ）求
2
C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3π
θ=
与1C 的异于极点的交
点为A ，与2
C 的异于极点的交点为B ，求|AB|.
解：
（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(2,
2Y X ).由于M 点在C1上，所以
??????????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ???????+=?=sin 44cos 4y x
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα=??
=+?（α为参数）
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．
射线
3π
θ=
与1C 的交点A 的极径为
14sin
3π
ρ=，
射线
3π
θ=
与2C 的交点B 的极径为
28sin
3π
ρ=．
所以21||||AB ρρ-==24.（全国新课标理24）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．
（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值． 解：
（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为
|1|2x -≥．
由此可得 3x ≥或1x ≤-．
故不等式()32f x x ≥+的解集为
{|3x x ≥或1}x ≤-．
(Ⅱ) 由()0f x ≤得
30
x a x -+≤
此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥??-+≤? 或30x a a x x ≤??
-+≤?
即
4
x a a x ≥???≤?? 或
2
x a
a a ≤???≤-??
因为0a >，所以不等式组的解集为
{}
|2
a
x x ≤-
由题设可得2a
-
= 1-，故2a =