自然数
自然数：
表示物体个数的0，1，2，3，4，……叫做自然数。
0也是自然数，最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
整数：
像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数是整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。
在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、…(n为整数)为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。
一个给定的整数n可以是负数，非负数，零（n=0）或正数。自然数的分类:
按是否是偶数分：
可分为奇数和偶数。
1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。
2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数
注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已）。
按因数个数分：
可分为质数、合数、1和0。
1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。
2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。
4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。
备注：这里是因数不是约数。
整数分类：
以0为界限，将整数分为三大类
1.正整数，即大于0的整数如，1，2，3······直到n。
2.0 ，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。
3.负整数，即小于0的整数如，-1，-2，-3······直到-n。
注：现中学数学教材中规定：零和正整数为自然数。
整数也可分为奇数和偶数两类。
整数奇偶性：
①奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；
即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为偶数，偶数个奇数的和、差为奇数；
②奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；
③若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；
若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；
两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
自然数性质：
①对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：
a + 0 = a；
a + S(x) = S(a +x)，其中，S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
同理，乘法运算“×”定义为：
a ×0 = 0;
a ×S(b) = a ×
b + a
自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
②有序性：
自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。
一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
③无限性：
自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。
自然数的分类图：
关于0
0的争议：
对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。
我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数，0不是自然数。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。
现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。
0的来由：
0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字）。0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字……”。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。0的另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。
0的性质：
0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0（即X>0）
时，称为正数；反之，当X小于0（即X<0）时，称为负数；而这个数X等于0时，这个数就是0。
0既不是正数也不是负数，而是介于-1和+1之间的整数。
0是偶数。
0是最小的完全平方数。
0的相反数是0，即，-0=0。
0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。
0乘任何实数都等于0，除以任何非零实数都等于0,任何实数加上0等于其本身。
0没有倒数和负倒数，一个非0的数除以0在实数范围内无意义。
0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没有倒数。
除0外，任何数的的0次方等于1。
0的0次方是悬而未决的，在某些领域定义为1，某些领域未定义。不定义的理由是以连续性为考量，不定义不连续点。
0不能做对数的底数和真数。
0也不能做除数、分数的分母、比的后项。
0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。
0不可作为多位数的最高位。
当0不位于其他数字之前时表示一个有效数字。
0的阶乘等于1。
0始终是直角坐标系的原点。
0是正数和负数的分界点。
任何数乘0都得0。
0是最小的自然数。
自然数和整数(有答案)
一．选择题（共14小题） 1．两个质数的积一定是（） A．质数B．合数C．奇数D．偶数 2．a，b是两个自然数，且a=2×3×5×b，则b一定是a的（） A．质因数B．质数C．约数D．互质数 3．在自然数中，凡是5的倍数（） A．一定是质数B．一定是合数 C．可能是质数，也可能是合数 4．一个合数的因数有（） A．无数个B．2个 C．三个或三个以上 5．正方形的边长是质数，它的周长和面积一定是（） A．奇数B．合数C．质数 6．一个两位数个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，则这个两位数是（） A．32 B．16 C．12 7．有5个不同质因数的最小自然数是（） A．32 B．72 C．180 D．2310 8．在任何质数上加1，它们的和是（） A．合数B．偶数C．奇数D．不能确定 9．下面四句话中，正确的有（）句． （1）最小合数是最小质数的倍数； （2）三角形的面积一定，它的底和高成反比例； （3）某厂去年一至十二月份的生产数量统计后，制成条形统计图，它更能反映月与月之间的变化情况； （4）据统计，大多数的汽车事故发生在中等速度的行驶中，极少数事故发生的
速度大于150km/h的行驶过程中，这说明高速行驶比较安全． A．1句 B．2句 C．3句 D．4句 10．两个质数的积一定是（） A．质数B．奇数C．合数D．偶数 11．把60分解质因数是60=（） A．1×2×2×3×5 B．2×2×3×5 C．3×4×5 12．要使三位数43□是2和3的公倍数，在□中有（）种填法． A．0 B．1 C．2 D．3 13．下面四个数都是自然数，其中S表示0，N表示任意的非零数字，那么这四个数中（）一定既是2的倍数，又是3的倍数． A．NNNSNN B．NSSNSS C．NSNSNS D．NSNSSS 14．下列算式中是整除的是（） A．14÷0.7=20 B．11÷5=2.2 C．143÷13=11 D．15÷2=7.5 二．填空题（共16小题） 15．30以内的质数中，有个质数加上2以后，结果仍然是质数．16．如果a是质数，那么它有个因数，最大的因数是；如果b=a ×3，那么a和b的最小公倍数是． 17．1到9的九个数字中，相邻的两个数都是质数的是和，相邻的两个数都是合数的是和． 18．连续三个非零的自然数中，必有一个是合数．．（判断对错）19．公因数的两个数，叫做互质数．相邻的两个非0整数是互质数；1和其他任意一个自然数一定组成互素数． 20．的两个自然数叫做互素数．分子、分母是的分数叫做简分数．21．在2，5，9，15，23，57这些自然数中，是素数，是合数；是奇数，是偶数；即是偶数又是素数，即是奇数又是合数．
连续自然数的和
题目描述 对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段，这些连续的自然数段中的全部数之和为M。例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为 M=10000的一个解。 输入格式 包含一个整数的单独一行给出M的值（10 <= M <= 2,000,000）。 输出格式 每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空 格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。样例输入 样例输出 试验程序： multimap
if(k==n) { nn.push_back(*temp.begin()); nn.push_back(*(--temp.end())); mm.insert(pair 自然数的有关性质 一、知识要点 1、最大公约数 定义1 如果a1,a2,…,an 和d 都是正整数，且d ∣a1, d ∣a2,…, d ∣an ，那么d 叫做a1,a2,…,an 的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,an 的最大公约数，记作(a1,a2,…,an). 如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4. 2、最小公倍数 定义2 如果a1,a2,…,an 和m 都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, an ∣m ，那么m 叫做a1,a2,…,an 的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,an 的最小公倍数，记作[a1,a2,…,an]. 如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24. 3、最大公约数和最小公倍数的性质 性质1 若a ∣b,则(a,b)=a. 性质2 若(a,b)=d,且n 为正整数，则(na,nb)=nd. 性质3 若n ∣a, n ∣b,则. 性质4 若a=bq+r (0≤r 性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。 性质5若 b ∣a,则[a,b]=a. 性质6若[a,b]=m,且n 为正整数，则[na,nb]=nm. 性质7若n ∣a, n ∣b, 则. 4、数的整除性 定义3 对于整数a 和不为零的整数b ，如果存在整数q ，使得a=bq 成立，则就称b 整除a 或a 被b 整除，记作b ∣a ，若b ∣a ，我们也称a 是b 倍数；若b 不能整除a ，记作ba 5、数的整除性的性质 性质1 若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c 性质2 若c∣a，c∣b，则c∣(a±b) 性质3 若b ∣a, n 为整数，则b ∣na 6、同余 定义4 设m 是大于1的整数，如果整数a ，b 的差被m 整除，我们就说a ，b 关于模m 同余，记作 a ≡b(mod m) 7、同余的性质 性质1 如果a ≡b(mod m)，c ≡d(mod m)， 那么a ±c ≡b ±d(mod m)，ac ≡bd(mod m) 性质2 如果a ≡b(mod m)，那么对任意整数k 有ka ≡kb(mod m) []n b a n b n a ,,=?????? 这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字） 一、推导 1、直接推导： 1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1) || || S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4 两边求一下得所求S 此法较为直观正规 2、用其他的公式推导： 容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是 1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导： 2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 4^3=3^3+3*3^2+3*3+1 ....... (n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作 4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧） 我对自然数和人工数的认识 我对自然数和人工数的认识，主要是基于对伽莫夫所著的《从一到无穷大》中自然数和人工数这一章的些许感想。这一部分主要是对数论的简单介绍，其自然数指的是本身就有的数，例如质数，奇数等等；而人工数是指原来没有的数，数学家们为了解释或解决一些问题而创造出来的新数，例如虚数等。本篇论文就是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介绍质数，整数和虚数的发展既有趣的故事，因为在某种程度上，他们就是自然数和人工数的代表。 迄今为止，数学还有一个大分支没有找到与其他学科相关联的用处，这就是所谓的“数论”，它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。 首先，我们来探讨质数的问题。所谓质数，就是不能用两个或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。而12可以写成2×2×3，所以就不是质数。 那质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。他是根据反证法：假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用N表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1。这写成数学式是：（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到 N 为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比N还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。既然知道质数的数目是无限的，那是否有求质数的公式呢？这个问题至今没有解决。我想正是因为这是数论问题，过于纯粹，所以证明起来需要极为严格，所以也就很难证明。 数论中一个极其富于挑战性的猜想是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。尽管有很多人去证明，但最多也只是将 七年级数学竞赛讲座01 自然数的有关性质 自然数的有关性质 一、一、知识要点 1、1、最大公约数 定义1如果a1,a2,…,a n和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…, d∣a n，那么d叫做a1,a2,…,a n的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,a n的最大公约数，记作(a1,a2,…,a n). 如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4. 2、2、最小公倍数 定义2如果a1,a2,…,a n和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, a n∣m，那么m叫做a1,a2,…,a n 的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,a n的最小公倍数，记作[a1,a2,…,a n]. 如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24. 3、3、最大公约数和最小公倍数的性质 性质1 若a∣b,则(a,b)=a. 性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd. 性质3 若n∣a, n∣b,则 () n b a n b n a, ,= ? ? ? ? ? . 性质4 若a=bq+r (0≤r “∈”属于（belong to） “∈”是数学中的一种符号。读作“属于”。 我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作 a ?（在∈上加一条斜杠，类似于 =与≠）A。 例如，我们用A表示“1～20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A。 数学上读这个符号时，直接可以用“属于”这个词来表达。如，a∈A可读作：小a属于大A 常用数集和符号： 集合構造的記號{:}或{ | }，滿足…的集合。 {x:P(x)}或{x|P(x)}表示所有滿足P(x) 的x的集合。又如{n∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4} C 复数集（由全体复数组成的集合）C:={ x + yi | x,y∈R } R 实数集（由全体实数组成的集合）R:={x|x为实数} N 非负整数集（或自然数集）（由全体非负整数组成的集合） N:={0,1,2,3,…,n,…} Q 有理数集（由全体有理数组成的集合）Q:={p/q | p,q为互素的整数，q≠0} Z 整数集（由全体整数组成的集合） Z:={0,±1,,±2,,±3,…,,±n…} N*或N+ 正整数集（由全体正整数组成的集合） N*:={1,2,3,…,n,…} 质数又称素数。指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。 只有1和它本身两个正因数的自然数，叫质数(Prime Number)。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。） 100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示： 1、自然数和整数的联系与区别是什么？ 自然数：0、1、2、3……；整数：-3、-2、-1、0、1、2、3……； 自然数是整数的一部分，最小的自然数是0，没有最大的自然数； 没有最小的整数，也没有最大的整数。 2、如何根据一个算式说出倍数与因数的关系？要注意什么？ 2×8=16，可以说（）是（）的倍数，（）是（）的因数。 我们只在（）数（0 除外）范围内研究倍数和因数。 3、如何找一个数的倍数？ 100以内所有的8的倍数： 4、如何找一个数的因数？ ①33的因数： ②54的因数： ③21的因数： ④一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 5、2、3、5的倍数各有什么特征？ 5的倍数的特征：个位是（）或（）的数。比如25，（）、（）、（） 2的倍数的特征：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数；比如18，（） 3的倍数的特征：每个数位上的数字（）是3的倍数的数。比如111，（） 既是2的倍数，也是5的倍数：个位上是（）。 6、什么是奇数？什么是偶数？怎么判断更快？ 奇数：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数；比如19，27，（） 偶数：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数； 判断一个数是奇数还是偶数看这个数的（）位就可以了。1879578是（）数 7、什么是质数？什么是合数？如何判断更快？ 质数：只有（）和（）两个因数的数；最小的质数是（）。20以内的所有质数是 合数：除了有1和它本身两个因数，还有别的因数；最小的合数是（）。 合数最少有（）个因数。（）既不是质数，也不是合数。 把1，2，15，23，36，57，102，213这些数中，奇数有（），偶数有（），质数有（），合数有（）。 8、猜一猜。 1、我是比3大，比7小的奇数。我是（） 2、我和另一个数都是质数，我们的和是15。这两个数是我是（）和（） 3、我是一个偶数，是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18。我是（） 9、奇数+奇数=（）；偶数+偶数=（）；奇数+偶数=（） 863+2079=（）数， 985987-15=（）数 10、把杯子口朝上，放在桌上，翻动1次后杯子口朝下，翻动2次后杯口朝上。翻动10次后，杯 自然数平方与立方数列前n 项和公式证明 huangjianwxyx 以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。 一、证明：Sn=∑=n k k 1=1＋2＋3＋…＋n ＝(1+n)n/2 证：(略) 二、证明：Sn=∑=n k k 12=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 证： (n ＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n ＋1)－n3=3n2＋3n ＋1，则： 23－13=3×12＋3×1＋1（n 从1开始） 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 53－43=3×42＋3×4＋1 63－53=3×52＋3×5＋1 … (n ＋1)3－n3=3×n2＋3×n ＋1（至n 结束） 上面左右所有的式子分别相加，得： (n ＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ∴ (n ＋1)3－1=3Sn ＋3×[n(n ＋1)/2]＋n ∴Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 三、证明：Sn=∑=n k k 13=13+23+.....+n 3=n 2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2 证： (n+1) 4-n 4=[(n+1)2+n 2][(n+1)2-n 2]=(2n 2+2n+1)(2n+1)=4n 3+6n 2+4n+1则： 24-14=4*13+6*12+4*1+1 （n 从1开始） 34-24=4*23+6*22+4*2+1 44-34=4*33+6*32+4*3+1 ... (n+1) 4-n 4=4*n 3+6*n 2+4*n+1（至n 结束） 上面左右所有的式子分别相加，得： (n+1) 4-1=4*(13+23+.....+n 3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n ∴4*(13+23+.....+n 3)= (n+1) 4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]2 ∴Sn=13+23+.....+n 3=[n(n+1)/2] 2 For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+ ∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n 充满奥秘的自然数 ——完全数、亲和数 自然数是我们最熟悉的数了。几乎从记事起，人们就与自然数打交道，但认真想起来，我们对自然数的认识却是很肤浅的。 计数意识起源于人类对于一一对应关系的直觉.，当一个原始人发现有两只狼同时逼近时，他在惊呼的同时可能会不自觉地伸出两个手指将这一坏消息传达给他的同伴。这样，利用一只手的手指，就可表达从1到5这5个数，因此两只手就可表达10个数。为了知道一群牛有多少头、一堆鸡蛋有多少只，用手指头数个数。首先，伸出大拇指对准一头牛，再伸出食指对准另一头牛，继而用中指对准下一头牛，如此继续，便知道这群牛的头数。亚里士多德就曾经指出：“十进制的广泛使用，是由绝大多数人生有10个手指和10个脚趾这一生理特征决定的。”为了将重要的数目保存下来，人类摸索出多种记数方法，有的运用小石子或小树枝记数，有的在树干或骨管上刻痕记数，有的则用打绳结的办法记数。我国古书《易系辞》说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”就是说我国祖先早在使用文字之前，曾经用过结绳记数的办法。 古希腊数学家和哲学家认为，自然数1、2、3、4、5……是上帝创造的，它主宰宇宙万物，这也许是因为自然数本来存在于自然界，并非人造的事物；或许是因为自然数是生产其它一切数的原料；或许是因为自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地……这个文明古国的数学家和哲学家们，对自然数顶礼膜拜，并不遗余力地探索它的规律。所有文明古国的数学家，都投入到征服自然数的行列。 自然数好像无所不在，无所不能，人类须臾不能离开；它又那么美妙，那么和谐；它好像很简单，可又神秘莫测。人类受到进取精神的激发，在征服自然界的进程中，首先要向自然数的奥秘发起攻击。如同探索生命与宇宙的奥秘一样，至今人们已经揭示出自然数中的许多规律，树立了一座座丰碑。但是，时至今日，在原始的、朴素的自然数面前，人们仍然显得软弱无力。寻求自然数内部的本质规律，是对宇宙中智慧生物的严峻挑战。 早在几千年前，人们就知道每一个自然数都可分解为素数的乘积。而且知道，如果不计因数的顺序，分解形式是唯一的。这个定理后人称之为“算术基本定理”，是欧几里得最早证明的。但是这个定理没有告诉我们如何分解，而且至今都没有找到一种简捷的方 斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1 我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……， 最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法 自然数集合 N 到自身的既单又满的映射全体构成的集合是否可数? 详细证明你的判断. 证：记{} 的一一映射到为N N f f X := 我认为X 是不可数的 可用一个无穷数列表示映射f () ),(,),1(),0(n f f f f = 假设X 可数，则可以已某种方式将所有f 列出： () ),(,),1(),0(1111n f f f f = () ),(,),1(),0(2222n f f f f = …………… () ),(,),1(),0(n f f f f i i i i = …………… 如果可找到一个一一映射，没在这个序列里，即证明了X 是不可数的 令() ),(,),1(),0(n f f f f = 满足：） （1)}},(),1(,),0({:min{)()}}, 0({:min{)0(11n f n f f N z z n f f N z z f n +--∈=-∈= 由于自然数有无限个，故上要求总可以做到 并且可看出f 是从N 到N 的单射。如果是满射，结束。 如果不是满射，必有自然数没被映到，可以证明没被映到的自然数最多只能有一个 m n f n n n m >≥?)(,,00有没被映到，则如果 01)} (),1(,),0({n n n f n f f N m n ≥--?+ 则 )2()()(01n n m n f n ≥?=+即推出 如果有两个自然数没被映到，则根据(1)式可证这两个数相等。 ）（的自然数。 中包含了所有小于，，同时可知3)}1()0({0m n f f - 此时f 不是满射但只有一个数没被映到，为了解决这个问题，需另找一个映射 1221000000,,)3,(++++==+≥≤=n n n n n n f g f g n n n n f g 此时令 是单射）的方法可得一个映射也是一个排列，同（则g g g n ,1}{ 这是一个关于自然数积的计算技巧，尽管这一结论还没完善，但经过大量数据的测试，这一结论对于一些计算领域是完全适用的。 下我用例子来说明这个计算技巧 1．特殊例子： 例如计算58*58=？ 这是一个简单的计算： 首先我用传统的计算方法来计算： 5 8 * 5 8 4 6 4 2 9 0 3 3 6 4 再介绍我的方法： 为了方便讲解，我在每个数的个位和十位下面都标有记号。 58 5 8 1 1.5*5=25 2.（5+5）*（8+8）/2=80 3.8*8=64 再组合： 2 5 8 0 + 6 4 3 3 6 4 这个方法最大的特点就是复习的计算简单化，也就是法的计算换到加减法上。 当然这个方法对些个位或十位不同的也是适用的： 例： 56*56=？ 5 6 * 8 6 5*8=40 （5+8）*（6+6）/2=78 6*6=36 组合： 4 0 7 8 3 6 4 8 1 6 当然，当个位不同时也是适用的，在这里可能就有人问了，若个位上的两个数相加再除以2是小数怎么办呢？在这大家不要忘了，在十位或百位上的数一定要相同，当相同的两个数相加，所得的数不就确定是偶数了吗。而在这前，就算所得的数是小数，在所得的数也能确定一定是最左边一定是5了，5再与偶数的积不就小数消去了。 还有，这种方法也能在多位数中起作用， 当我们在计算三位数时或多位数时就得用整体法则。而怎样用整体法则呢？ 在致就是个位十位百位定为一组，看成一个二位数来计算。 例： 121*131=？ 1 2 1 * 1 3 1 就是1 2为一组，1为一组，1 3为一组，1为一组。 我们1 ，2合为一组，1，3为一组，很巧妙的是在它的两组一样能运用这种方法，所以就能一层一层的计算下去，再计算出整体，但要严格知道。 不论是二，三等位数的积我们能运用这个计算方法的前一定要二位或多位的数在个位和组合的十位等一定需要一个数相同 读者看来第一感觉应该是觉得这个计算方法很麻烦，远不如传统的计算方法。实这个方法如果能熟练的话，计算速度远远要比传统的方法要快。 自然数的特征 第 1 课时 [教学内容] 数的世界（第2-3页） [教学目标] 1、结合具体情境，认识自然数和整数，联系乘法认识倍数和因数。 2、探索找一个数的倍数的方法，能在1-100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。 [教学重、难点] 探索找一个数的倍数的方法，能在1-100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。 [教学过程] 一、数的世界 创设“水果店”的情境，呈现了生活中的数有自然数、负数、小数。在比较中认识自然数、整数，使对数的认识进一步系统化。 先让学生观察情境图，说说图中有哪些数，并给它们分类。 学生汇报观察结果，通过比较认识自然数、整数，使学生对数的认识进一步系统化。 二、因数与倍数 1、在解决书上提出的问题的过程中引出算式。 5×4=20（元） 以这个乘法算式为例说明倍数和因数的含义，即20是4的倍数，20也是5的倍数，4是20的因数，5也是20的因数。引导学生认识倍数与因数，体会倍数与因数的含义。 在利用乘法算式说明倍数和因数的含义的基础上，出示一个除法算式，如：18÷6=3 启发学生思考：根据整数除法算式能不能确定两个数之间的倍数关系。 说明：在研究倍数和因数，范围限制为不是零的自然数。 2、你写我说 让学生同桌间互相写算式，再说一说。算式可以是乘法算式，也可以是除法算式。 三、找一找 1、判断题目中给的数是不是7的倍数 先让学生用自己的方法判断，再组织学生交流，使学生逐步体会可以通过想乘法算式或除法算式的方法来判断。 2、找7的倍数： 引导学生体会一般可以用想乘法算式的方法来找一个数的倍数，要注意引导学生有序思考，并逐步让学生领会一个数的倍数的个数是无限的。 四、练一练： 第2题：先让学生自己找一找4的倍数和6的倍数，并用不同的符号做好记号。然后组织学生交流，并让学生说说找倍数的方法。最后，说说哪几个数既是4的倍数有是6的倍数。第3题：先让学生独立写一写，再组织学生交流各自的方法，并在交流比较的过程中体会怎样做到不重复、不遗漏。体会到像这样找一个数的倍数，一般用乘法想比较方便。 [板书设计] 倍数与因数 像0、1、2、3、4、5、…这样的数是自然数。 像-3、-2、-1、0、1、2、…这样的数是整数。 帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 －1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。 5．所有的正整数n,使得对于这样的n,总能找到实数a,b,使得函数f(n)=1/nx^2+ax+b,对于任意整数x,f(x)也是整数 6．已知n,k都是正整数，满足不等式1/7<(n-k)/(n+k)<63/439，如果对于某个n,只有为一的正整数 k 使得不等式成立，试求所有满足条件的正整数n的最大值和最小值 解： 1/7＜(n-k)/(n+k)＜63/439 即 1/7＜(n+k-2k)/(n+k)＜63/439 即 1/7＜1-(2k)/(n+k)＜63/439 即 -6/7＜-2k/(n+k)＜-376/439 即 188/439＜k/(n+k)＜3/7 即 7/3＜(n+k)/k＜439/188 即 7/3＜n/k +1＜439/188 即 4/3＜n/k＜251/188 即 188/251＜k/n＜3/4 (1) 即 188n/251＜k＜3n/4 (2) 因为 k为正整数，且对于给定的n，k只有一个， 所以 3n/4 - 188n/251 ≤ 2，即 n≤2008 当n=2008，代入（2）有1504＜k＜1506，只能取得唯一k=1505 故n的最大值为2008。 又根据（1）式188/251＜k/n＜3/4，即 752/1004＜k/n＜753/1004，显然分子n＞1004 当n取1005时，752.75＜k＜753.75 （为了比较方便，我把分式化为近似小数），有唯一对应的k=753，故n的最小值为1005。. 7．已知正整数a,b,c满足：a 序号名称符号意义来历记忆法 1自然数N 1、表示物体个数和顺序的数； 2、0 + 正整数 Natural number 苹果挺甜，来个空篮子，1、2、３ ,,。 2正整数N*或N＋除去“0”的自然数仍掉零蛋的自然数3整数Z 正整数 + 零 + 负整数 自然数 + 负整数 4有理数Q 1、一个整数a和一个正整数b的比； 2、小数部分有限或为无限循环的数 （十进制循环小数） Rational number 这个词来源于古希腊，其英文词 根为ratio，就是比率的意思。用 商的英文Quotient表示。 整数的扩张，整数+分数 5无理数 1、无限不循环小数。不能写作两整数之比； 2、不是有理数的实数。 常见的无理数有非完全平方数 的平方根、π和ｅ π=3.141 e=2.718 6实数R有理数+无理数 Real number实数和数轴上的点一一对应。 7质数P 一个大于1的自然数，除了1和它自身外， 不能整除其他自然数叫作质数，又称素数 否则称为合数。 Prime?number因数只有两，自身以及 1 8奇数O又称单数，整数中，不能被2整除的数是奇数， Odd?number? 2k+1 k是整数乘方符号问题9偶数E又称双数，整数中，能被2整除的数是偶数， Even?number? 2k k是整数 10复数C 形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数， 其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位 Complex?number有i存在即为复数 德国女数学家诺特对环理论的贡献，1921年写出的《整环的理想理论 》是交换代数发展的里程碑。德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她 将整数环记作Z，从那时候起整数集就用 Z 表示了。 11 数集的扩张史：数字刚刚诞生的时候，人们给他起了个好听的名字—自然。人们结绳计数，记录打了几只野鸡，摘了多少苹果，排列谁是老大。随着自然慢慢长大，自然将负整数也纳入了自己的版图，并且更名为整数。成年的整数不断扩张，又把由自己的小兄弟两两上下接合构成的分数合并了进来，帮助人们解决如何把一个蛋糕分给三个孩子，他再一次改了名字，有理数。三十不惑的有理却感到非常的困惑，人们发现 了好多的数一点也不讲道理，比如π，无限不循环，迷茫过后的有理，突然醒悟，只有不断的增加自己的成员，才能适应快速发展的社会，将 无理数吸收后，他构成了一根横贯前后的数轴。就这样实数出现在了人们的面前。自然数的有关性质
自然数平方和
我对人工数和自然数的认识
七年级数学竞赛讲座01 自然数的有关性质
常用数集
自然数和整数的联系与区别是什么[1]
关于自然数数列前n项和公式证明
自然数的和,平方和,立方和
充满奥秘的自然数
斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式
自然数平方和公式推导
自然数集N到自身的全体一一映射是不可数的
这是一个关于自然数积的计算技巧
自然数的特征.
前n个自然数的平方和及证明
所有的正整数n
常见数集符号、含义及记忆法