自然数
课题:认识自然数 1
教学目标：
1、结合具体情境，经历认识自然数、奇数、偶数的过程。
2、认识自然数，能用直线上的点表示自然数。知道奇数、偶数；能判断一个数是奇数还是偶数。
3、感受数学与日常生活的联系，激发学习数学的兴趣。
教学重点：
认识自然数、奇数、偶数，能判断一个数是奇数还是偶数。
教学难点：判断一个数是奇数还是偶数。
课前准备：数星星课件，电影院课件。
自然数和整数(有答案)
一．选择题（共14小题） 1．两个质数的积一定是（） A．质数B．合数C．奇数D．偶数 2．a，b是两个自然数，且a=2×3×5×b，则b一定是a的（） A．质因数B．质数C．约数D．互质数 3．在自然数中，凡是5的倍数（） A．一定是质数B．一定是合数 C．可能是质数，也可能是合数 4．一个合数的因数有（） A．无数个B．2个 C．三个或三个以上 5．正方形的边长是质数，它的周长和面积一定是（） A．奇数B．合数C．质数 6．一个两位数个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，则这个两位数是（） A．32 B．16 C．12 7．有5个不同质因数的最小自然数是（） A．32 B．72 C．180 D．2310 8．在任何质数上加1，它们的和是（） A．合数B．偶数C．奇数D．不能确定 9．下面四句话中，正确的有（）句． （1）最小合数是最小质数的倍数； （2）三角形的面积一定，它的底和高成反比例； （3）某厂去年一至十二月份的生产数量统计后，制成条形统计图，它更能反映月与月之间的变化情况； （4）据统计，大多数的汽车事故发生在中等速度的行驶中，极少数事故发生的
速度大于150km/h的行驶过程中，这说明高速行驶比较安全． A．1句 B．2句 C．3句 D．4句 10．两个质数的积一定是（） A．质数B．奇数C．合数D．偶数 11．把60分解质因数是60=（） A．1×2×2×3×5 B．2×2×3×5 C．3×4×5 12．要使三位数43□是2和3的公倍数，在□中有（）种填法． A．0 B．1 C．2 D．3 13．下面四个数都是自然数，其中S表示0，N表示任意的非零数字，那么这四个数中（）一定既是2的倍数，又是3的倍数． A．NNNSNN B．NSSNSS C．NSNSNS D．NSNSSS 14．下列算式中是整除的是（） A．14÷0.7=20 B．11÷5=2.2 C．143÷13=11 D．15÷2=7.5 二．填空题（共16小题） 15．30以内的质数中，有个质数加上2以后，结果仍然是质数．16．如果a是质数，那么它有个因数，最大的因数是；如果b=a ×3，那么a和b的最小公倍数是． 17．1到9的九个数字中，相邻的两个数都是质数的是和，相邻的两个数都是合数的是和． 18．连续三个非零的自然数中，必有一个是合数．．（判断对错）19．公因数的两个数，叫做互质数．相邻的两个非0整数是互质数；1和其他任意一个自然数一定组成互素数． 20．的两个自然数叫做互素数．分子、分母是的分数叫做简分数．21．在2，5，9，15，23，57这些自然数中，是素数，是合数；是奇数，是偶数；即是偶数又是素数，即是奇数又是合数．
连续自然数的和
题目描述 对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段，这些连续的自然数段中的全部数之和为M。例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为 M=10000的一个解。 输入格式 包含一个整数的单独一行给出M的值（10 <= M <= 2,000,000）。 输出格式 每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空 格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。样例输入 样例输出 试验程序： multimap
if(k==n) { nn.push_back(*temp.begin()); nn.push_back(*(--temp.end())); mm.insert(pair 四年级数学上册《认识自然数》教学设计 四年级数学上册《认识自然数》教学设计 一、教学内容分析 《认识自然数》这节课是冀教版义务教育课程标准实验教科书数学四年级上册第81-83页的内容，本课在学生已有的数数基础上学习的，认识“自然数”这节教学内容，目的在于让学生认识自然数的基础上，认识奇数和偶数，为进一步学习倍数和因数打下基础。 二、学情分析： 四年级学生活泼好动，学生通过以前的学习，在认识自然数上并不陌生。但是对奇数、偶数特点的总结方面可能会比较困难。 三、设计思路： 通过猜谜语星星引发后面的故事情景，激发了学生的学习兴趣调动学生的学习积极性，让学生打开智慧之窗。使了学生深刻理解数学与生活的密切联系，感受到数学就在我们身边。教学中给学生提供自主探究，合作交流的时间和空间，在合作交流中学习了新知识。 1、教学方式：独立思考、自主探究、合作交流 2、教学手段：借助多媒体课件、数字卡片 四、教学目标：1）、通过具体情景，使学生认识自然数，奇数、偶数。 2）、能判断一个数是奇数还是偶数，并能用直线上的点表示自然数，奇数、偶数。 3）、感受数学与日常生活的联系，激发学习数学的兴趣。 五、教学重难点 重点：认识自然数，并用直线上的点表示自然数 难点：能判断一个数是奇数还是偶数 六、教学过程： 教学环节 设计意图 教学设计 一、创设情景 引入新课 1、通过猜谜语激发学生的学习兴趣 2、学生猜中后揭示谜底，出示情景图，让学生观察并交流图中的信息。 二、认识自然数 1、学习自然数的概念，并通过一个星星也没有时，可以用0表示，说明0也是自然数 2、分组讨论 ⑴、用直线上的点表示自然数。 ⑵、让学生充分讨论直线上的箭头表示什么。 ⑶最小的自然是什么？有没有最大的自然数？ 三、认识奇数，偶数 1、师：有两个好朋友，去电影院看电影，买了1 2、13号， 他们能坐在一起吗？为什么？ 播放电影院座位排列的资料片让学生讨论、交流从中获取的信息，了解电影院座位的排列特点，讨论两个小朋友能坐在一起吗？ 2、让学生说一说单数有哪些，双数有哪些。0也是偶数。 四、巩固练习 1、师让全班学生报自己的学号数，然后按奇偶数分队。然后让学生说一说生活中哪些地方用到了奇数和偶数。 2、提出教材83页试一试的写数要求，学生尝试独立完成，然后全班交流写出的数列。教师板书出来。 我对自然数和人工数的认识 我对自然数和人工数的认识，主要是基于对伽莫夫所著的《从一到无穷大》中自然数和人工数这一章的些许感想。这一部分主要是对数论的简单介绍，其自然数指的是本身就有的数，例如质数，奇数等等；而人工数是指原来没有的数，数学家们为了解释或解决一些问题而创造出来的新数，例如虚数等。本篇论文就是基于伽莫夫的著作并融入自己的感想，向大家介绍质数，整数和虚数的发展既有趣的故事，因为在某种程度上，他们就是自然数和人工数的代表。 迄今为止，数学还有一个大分支没有找到与其他学科相关联的用处，这就是所谓的“数论”，它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。 首先，我们来探讨质数的问题。所谓质数，就是不能用两个或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如1，2，3，5，7，11，13，17，等等。而12可以写成2×2×3，所以就不是质数。 那质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目的延伸是不受任何限制的。他是根据反证法：假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用N表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来，再加上1。这写成数学式是：（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数是不能被到 N 为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比N还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。既然知道质数的数目是无限的，那是否有求质数的公式呢？这个问题至今没有解决。我想正是因为这是数论问题，过于纯粹，所以证明起来需要极为严格，所以也就很难证明。 数论中一个极其富于挑战性的猜想是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。尽管有很多人去证明，但最多也只是将 自然数概念教学 ——《因数和倍数》的教学案例反思 倍数和因数，属于数论的基础知识，是典型的概念教学。概念教学的关键是让学生了解概念的内涵和外延。概念形成的关键是让学生在已有知识基础和生活经验之上寻找概念的生长点。那么,如何在新课程教学中有效地进行概念教学 , 帮助学生了解概念的由来, 理解概念的本质特征, 结合概念教学培养学生归纳 和概括能力 ,让学生在生活中或数学知识应用中内化概念呢?下面结合<因数和 倍数>的教学,谈几点看法: 一、在概念教学中渗透数学思想方法 小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。概念教学正是向学生灌输一些基本的数学思想的有效载体。 [案例]： 师：在每个同学的桌上，有12个同样大小的正方形，请同学们把用12 个正方形拼出一个长方形来。 学生操作。 师：想想有不同的摆法吗？ 生1：我每排摆6个，摆了2排。算式是6×2＝12。 生2：我每排摆4个，摆了3排。算式是4×3＝12。 生3：我每排摆3个，摆了4排。算式是3×4＝12。 生4：我每排摆12个，摆了1排。算式是12×1＝12。 出示4×3＝12。 师：12是4的倍数，4是12的因数，3也是12的因数。 请你学着说一说，哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。 这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字） 一、推导 1、直接推导： 1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1) || || S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4 两边求一下得所求S 此法较为直观正规 2、用其他的公式推导： 容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是 1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导： 2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 4^3=3^3+3*3^2+3*3+1 ....... (n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作 4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧） “∈”属于（belong to） “∈”是数学中的一种符号。读作“属于”。 我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作 a ?（在∈上加一条斜杠，类似于 =与≠）A。 例如，我们用A表示“1～20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A。 数学上读这个符号时，直接可以用“属于”这个词来表达。如，a∈A可读作：小a属于大A 常用数集和符号： 集合構造的記號{:}或{ | }，滿足…的集合。 {x:P(x)}或{x|P(x)}表示所有滿足P(x) 的x的集合。又如{n∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4} C 复数集（由全体复数组成的集合）C:={ x + yi | x,y∈R } R 实数集（由全体实数组成的集合）R:={x|x为实数} N 非负整数集（或自然数集）（由全体非负整数组成的集合） N:={0,1,2,3,…,n,…} Q 有理数集（由全体有理数组成的集合）Q:={p/q | p,q为互素的整数，q≠0} Z 整数集（由全体整数组成的集合） Z:={0,±1,,±2,,±3,…,,±n…} N*或N+ 正整数集（由全体正整数组成的集合） N*:={1,2,3,…,n,…} 质数又称素数。指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见素数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。 只有1和它本身两个正因数的自然数，叫质数(Prime Number)。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。） 100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。 数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示： For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+ ∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n 认识自然数奇数和偶数 教学设计 教学内容：小学数学冀教版四年级上册第81～83页。 教学目标： 1．结合具体情景，经历认识自然数，奇数，偶数的过程； 2．认识自然数，能用直线上的点表示自然数；知道奇数，偶数。能判断一个数是奇数还是偶数。 3．感受数学与日常生活的联系，激发学习数学的兴趣。 教学重点：理解奇数、偶数、自然数的概念 教学难点：理解奇数、偶数的概念，理解自然数是无限的 教学过程： 一、情景引入 1．通过猜谜语激发学生的学习兴趣。 师：我知道同学们都喜欢猜谜语，今天我就为大家准备了一则，请大家猜一猜，看屏幕。 课件出示谜面： 青石板，青又青，青石板上挂银灯，不知银灯有多少，数来数去数不清。 2．学生猜中后揭示谜底，出示情景图，让学生观察并交流图中的信息。 课件出示数星星图。要求学生说说他们正在干什么？从而引出自然数的概念，板书：自然数。 二、认识自然数 1．介绍自然数的概念，并通过一个星星也看不见，可以用0表示，说明0也是自然数。 师：一颗星星也看不到，用一个什么数表示呢？（用0来表示）。 师：一个也没有用0表示。0也是自然数。板书：0 2．用直线上的点表示自然数。教师说明：自然数可以用直线上的点表示，接着画出数轴，边画边介绍用数轴表示数的方法 师：自然数还可以用直线上的点来表示。教师示范，边画边介绍方法。 3．让学生观察画出的数轴，说一说发现了什么？结合学生的交流，使学生了解直线上的箭头表示的意思，知道：自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，相邻的两个自然数的差都是1等自然数的基本特征。 师：大家仔细观察直线上的数，说一说你发现了什么？ 学生可能会有很多意见，只要说的意思对，就要给予肯定。 师：请你举出一个较大的自然数。 学生会举出许多数。让学生认识到没有最大的自然数，最小的自然数是0 三、认识奇数，偶数 1．出示电影院座位排列的资料片和两个小朋友的对话，让学生讨论、交流从中获取的信息，了解电影院座位的排列特点，讨论两个小朋友能否坐在一起。 电影院座位录像资料。 师：从资料片和画面中，你看两个小朋友能做到一起吗？为什么？学生可以讨论教师根据学生讨论的情况，以参与者身份指出：电影院里的座位是从中间分别向两边开始排列的，一边是单数，一边是双数。所以他们不能挨着坐。 2．让学生说一说单数有哪些，双数有哪些。在交流的基础上说明平时说的单数又叫奇数，双数又叫偶数。0也是偶数。 师：谁知道偶数都有哪些数？奇数都有哪些数？ 师：在数学上，我们把单数又叫做奇数，双数又叫做偶数。0也是偶数。板书奇数，偶数 师：谁能举出几个奇数的例子，偶数的例子？ 四、尝试应用 1．教师指出生活中经常用到奇数，偶数。接着师生进行报数、分队进电影院等活动。然后让学生说一说生活中还有哪些地方用到了奇数和偶数。 师：谁能举出生活中用到了奇数和偶数的例子？ 学生举例，老师可参与介绍。 2．提出教材83页试一试的写数要求，学生尝试独立完成，然后全班交流学生写出的数列。教师板书出来。 师：同学们已经认识了奇数和偶数，下面请同学们拿出练习本，按教材83页试一试中的要求，试着分别写出奇数和偶数。 3．观察讨论两组数列，说一说每一组数发现了什么？。使学生了解1-30之间的连续奇数，偶数各有15个，两个数列的规律都是相邻两个数相差2 五、课堂练习 1．“练一练“第1题，学生判断，重点说明理由 斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1 我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……， 最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法 自然数集合 N 到自身的既单又满的映射全体构成的集合是否可数? 详细证明你的判断. 证：记{} 的一一映射到为N N f f X := 我认为X 是不可数的 可用一个无穷数列表示映射f () ),(,),1(),0(n f f f f = 假设X 可数，则可以已某种方式将所有f 列出： () ),(,),1(),0(1111n f f f f = () ),(,),1(),0(2222n f f f f = …………… () ),(,),1(),0(n f f f f i i i i = …………… 如果可找到一个一一映射，没在这个序列里，即证明了X 是不可数的 令() ),(,),1(),0(n f f f f = 满足：） （1)}},(),1(,),0({:min{)()}}, 0({:min{)0(11n f n f f N z z n f f N z z f n +--∈=-∈= 由于自然数有无限个，故上要求总可以做到 并且可看出f 是从N 到N 的单射。如果是满射，结束。 如果不是满射，必有自然数没被映到，可以证明没被映到的自然数最多只能有一个 m n f n n n m >≥?)(,,00有没被映到，则如果 01)} (),1(,),0({n n n f n f f N m n ≥--?+ 则 )2()()(01n n m n f n ≥?=+即推出 如果有两个自然数没被映到，则根据(1)式可证这两个数相等。 ）（的自然数。 中包含了所有小于，，同时可知3)}1()0({0m n f f - 此时f 不是满射但只有一个数没被映到，为了解决这个问题，需另找一个映射 1221000000,,)3,(++++==+≥≤=n n n n n n f g f g n n n n f g 此时令 是单射）的方法可得一个映射也是一个排列，同（则g g g n ,1}{ 自然数 一、教材分析： “认识自然数”隶属于“数与代数”领域，是在学生认识了亿以内的数，会读，写亿以内的数的基础上进行教学的。教材通过富有生活情趣的儿童数星星情景的真实再现和兔博士的话来介绍自然数的概念，感受到“星星真多”，与“自然数是无限的”这一知识点有机结合起来，使学生获得对自然数的初步体验。教材又通过用直线上的点表示数，引导学生观察、发现自然数的特征。然后呈现了丫丫和聪聪到电影院看电影的场景，通过他们找座位号的对话，由我们生活中所说的单数、双数很自然地引出奇数、偶数的概念。在试一试中设计了在1~30之间写连续奇数、偶数的问题，让学生在自主写数、观察讨论中，了解奇数、偶数的特征。 二、教学目标： 1．结合具体情境经历认识自然数、奇数、偶数的过程。 2．认识自然数，能用直线上的点表示自然数；知道奇数、偶数；能判断一个数是奇数还是偶数。 3．感受数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点： 认识自然数，能用直线上的点表示自然数；知道奇数、偶数；能判断一个数是奇数还是偶数。 三、教学设计思想： 教学中充分考虑儿童的现实生活和学习特点，结合儿童熟悉的、喜欢的现实生活情境引入数概念，让学生在自主探索中学习数的特征。 教学伊始用学生熟悉的、感兴趣的谜语引入教学活动，激发学生的学习兴趣，在学生感受到星星有无数个的同时，认识到自然数是无限的。把自然科学知识与数学整合在一起，把学生数星 星的感受与“自然数是无限的”的特征有机结合起来，使学生获得自然数的初步体验。并通过一个星星也看不见，可以用0表示，说明0也是自然数。 学习用直线上的点表示数的方法，初步感受自然数的特征。使学生知道：自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，相邻的两个自然数的差都是1等自然数的基本特征。 通过电影院座位排列的录象和两个小朋友的对话，让学生讨论、交流从中获取的信息，了解电影院座位排列特点，讨论两个小朋友能否坐在一起，来认识单数、双数，并说明单数又叫奇数，双数又叫偶数。0也是偶数。感受数学与日常生活的联系，进一步了解奇数和偶数在生活中的应用。 提出教材83页试一试的写数要求，让学生尝试独立完成，并说一说发现了什么。使学生了解1~30之间的连续奇数（偶数）各有15个，两个数列的规律都是相邻两个奇数（偶数）相差2等连续奇数、偶数数列的特征。给学生观察事物和思考问题及发现事物规律的机会，发展数学思维。 课前准备： 多媒体课件 教学过程： 一、创设情境，谜语导入。 师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？今天老师给大家带来了一则谜语，你们猜猜看。 (多媒体出示谜语) “青石板，青又青，青石板上挂银灯，不知银灯有多少，数来数去数不清。” 指名读一读、猜一猜。 师：你猜出来了吗？ 生争先答：是星星 师：对，每当夜幕降临，天空中就会出现很多很多的星星，满天 《认识负数》习题 一、填空 1.一个数由10个万、7个千、4个百和6个十组成，这个数写作____________________，读作________________________。 2.2786＝______×1000＋_______×100＋_______×10＋_______ 3.不改变数的大小，把3.70改写成三位小数是_______，一位小数是_______。 4.789.564按四舍五入凑整到整百数是________。 5.三个连续自然数的和为60，这三个自然数中，最小的是__________。 6.最小的自然数是（），接在它后面的第五个自然数是（）。 7.有三个连续自然数，已知中间一个是d，那么其它两个自然数分别是（）和（）。 8.比6小的自然数有（）个，它们的积是（），它们的和是（）。 二、判断 1.自然数都比1大。（） 2.比98多15的自然数是113。（） 三、选择 1.10和19之间有（）个自然数。 A.0个 B.8个 C.100个 D.无数个 2.下列各组数中，按从小到大排列的是（）。 A.1234，1324，3214，4321 B. 1324，1234，4321，3214 C. 4321，1324，3214，1234 D. 3214，1234，4321，1324. 四、下面哪些数是自然数? 0.9 101 0 40.1 8.9 7.666 1800 －2.57 0.10 五、知道自然数可以表示什么吗？用线把左右连接起来 表示重复计算的次数2×9＝18 序数5＋5＋5＋5＝5×4 量数小红得了第2名 编码5千克 表示计算结果我家的邮政编码是162897 答案 一、填空 1.107460 2.2；7；8；6 3.3.700；3.7 4.790 5.19；20；21 6.0；5 7.d－1；d＋1 8.0，1，2，3，4，5；0；15 二、判断 1.× 2.√ 三、选择 1.B 2.A 四、下面哪些数是自然数？ 101，0，1800 五、知道自然数可以表示什么吗？用线把左右连接起来 2×9＝18 序数5＋5＋5＋5＝5×4 量数小红得了第2名 编码5千克 表示计算结果我家的邮政编码是162897 1、自然数和整数的联系与区别是什么？ 自然数：0、1、2、3……；整数：-3、-2、-1、0、1、2、3……； 自然数是整数的一部分，最小的自然数是0，没有最大的自然数； 没有最小的整数，也没有最大的整数。 2、如何根据一个算式说出倍数与因数的关系？要注意什么？ 2×8=16，可以说（）是（）的倍数，（）是（）的因数。 我们只在（）数（0 除外）范围内研究倍数和因数。 3、如何找一个数的倍数？ 100以内所有的8的倍数： 4、如何找一个数的因数？ ①33的因数： ②54的因数： ③21的因数： ④一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 5、2、3、5的倍数各有什么特征？ 5的倍数的特征：个位是（）或（）的数。比如25，（）、（）、（） 2的倍数的特征：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数；比如18，（） 3的倍数的特征：每个数位上的数字（）是3的倍数的数。比如111，（） 既是2的倍数，也是5的倍数：个位上是（）。 6、什么是奇数？什么是偶数？怎么判断更快？ 奇数：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数；比如19，27，（） 偶数：个位是（）或（）、（）、（）、（）的数； 判断一个数是奇数还是偶数看这个数的（）位就可以了。1879578是（）数 7、什么是质数？什么是合数？如何判断更快？ 质数：只有（）和（）两个因数的数；最小的质数是（）。20以内的所有质数是 合数：除了有1和它本身两个因数，还有别的因数；最小的合数是（）。 合数最少有（）个因数。（）既不是质数，也不是合数。 把1，2，15，23，36，57，102，213这些数中，奇数有（），偶数有（），质数有（），合数有（）。 8、猜一猜。 1、我是比3大，比7小的奇数。我是（） 2、我和另一个数都是质数，我们的和是15。这两个数是我是（）和（） 3、我是一个偶数，是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18。我是（） 9、奇数+奇数=（）；偶数+偶数=（）；奇数+偶数=（） 863+2079=（）数， 985987-15=（）数 10、把杯子口朝上，放在桌上，翻动1次后杯子口朝下，翻动2次后杯口朝上。翻动10次后，杯 帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 －1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋2 )1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。 自然数的编排特征及位值概念的建立 “自然数”，是学习数学的基本元素，是学习数学的开端，仿佛人类学习走路一样，先学习站立慢走，而后才能奔跑。在小学数学中有关于自然数的学习占有很多的内容，同时也占有很重要的地位，低、中、高段的学习基本上都是从认数开始的，比如一二年级学习认识自然数以及100以内自然数的加减法和乘除法；三四年级学习四则混合运算；五六年级学习自然数之间的关系，因数与倍数等等。可以说“自然数”的学习贯穿了整个小学数学的学习。下面我来谈一谈我对小学数学教材中与自然数相关知识的编排特征。 一、自然数的编排特征。 教材的编排符合学生的年龄认知，从逐一计数到按群计数再到初步体会位值和计数单位的十进关系以及类比进行“数”的扩充，再次体会位值和计数单位的十进关系。 （1）10以内数的认识——学生第一次学习“数”，逐一计数：一个一个有序的数数，建立数与实物对应关系，初步体会由物体数量抽象到数字符号的过程。（2）10～20数的认识——位值建立的重要阶段，逐一计数到按群计数：（十个作为一个整体的新的数数经历）初步建立十进制概念；第一次认识及使用计数器抽象出计数单位“个、十”。 （3）100以内数的认识——进一步体会十进位值制：计数单位间的十进关系；不同的计数单位上的数表示不同的意义。实物到模型的过渡，体会10个、10个数简便，抽象出新的计数单位“百”。 （4）万以内数的认识（生活中的大数）——借助直观模型，进一步认识新的计数单位“千、万”；理解计数单位之间的十进关系；形成简单数位顺表。 （5）亿以内数的认识（认识更大的数，感受大数的实际意义）——认识更大的计数单位；通过模型进一步理解，各单位间十进关系；梳理所有计数单位的数学模型；完善数位顺序表。 二、每一阶段学习自然数的侧重点 低段：侧重于数数和唱数。能够灵活正数、倒数、跳数等。数词和所数物体之间建立一一对应关系。 中段：理解数位与进制，认识更大的自然数，了解其读法和写法。 高段：灵活运用自然数之间的一些关系，如：因数与倍数等。 三、“位值”概念的逐步建立。 《数学课程标准》中强调：“要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感。”数概念的切实体验和理解与数感密切相关，教学中要结合学生的年龄特点和教材本身的逻辑顺序，使学生在认识数的过程，更多地接触和经历有关的情境和实例，在现实背景下感受和体验，就会使学生更具体更深刻地把握数概念，建立数感，理解数值。 在教学中我会充分利用计数单位间的十进关系；让学生理解不同的计数单位上的数表示不同的意义。另外还可以给学生一个从实物到模型的过渡，充分利用实际物品体会10个、10个数简便，抽象出新的计数单位“百”。借助直观模型，进一步认识新的计数单位“千、万”；逐一理解。理解计数单位之间的十进关系；形成简单数位顺表。认识更大的计数单位；通过模型进一步理解，各单位间十进关系；梳理所有计数单位的数学模型；完善数位顺序表。理解各个数位上的数字 自然数平方与立方数列前n 项和公式证明 huangjianwxyx 以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。 一、证明：Sn=∑=n k k 1=1＋2＋3＋…＋n ＝(1+n)n/2 证：(略) 二、证明：Sn=∑=n k k 12=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 证： (n ＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n ＋1)－n3=3n2＋3n ＋1，则： 23－13=3×12＋3×1＋1（n 从1开始） 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 53－43=3×42＋3×4＋1 63－53=3×52＋3×5＋1 … (n ＋1)3－n3=3×n2＋3×n ＋1（至n 结束） 上面左右所有的式子分别相加，得： (n ＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ∴ (n ＋1)3－1=3Sn ＋3×[n(n ＋1)/2]＋n ∴Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6 三、证明：Sn=∑=n k k 13=13+23+.....+n 3=n 2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2 证： (n+1) 4-n 4=[(n+1)2+n 2][(n+1)2-n 2]=(2n 2+2n+1)(2n+1)=4n 3+6n 2+4n+1则： 24-14=4*13+6*12+4*1+1 （n 从1开始） 34-24=4*23+6*22+4*2+1 44-34=4*33+6*32+4*3+1 ... (n+1) 4-n 4=4*n 3+6*n 2+4*n+1（至n 结束） 上面左右所有的式子分别相加，得： (n+1) 4-1=4*(13+23+.....+n 3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n ∴4*(13+23+.....+n 3)= (n+1) 4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]2 ∴Sn=13+23+.....+n 3=[n(n+1)/2] 2 序号名称符号意义来历记忆法 1自然数N 1、表示物体个数和顺序的数； 2、0 + 正整数 Natural number 苹果挺甜，来个空篮子，1、2、３ ,,。 2正整数N*或N＋除去“0”的自然数仍掉零蛋的自然数3整数Z 正整数 + 零 + 负整数 自然数 + 负整数 4有理数Q 1、一个整数a和一个正整数b的比； 2、小数部分有限或为无限循环的数 （十进制循环小数） Rational number 这个词来源于古希腊，其英文词 根为ratio，就是比率的意思。用 商的英文Quotient表示。 整数的扩张，整数+分数 5无理数 1、无限不循环小数。不能写作两整数之比； 2、不是有理数的实数。 常见的无理数有非完全平方数 的平方根、π和ｅ π=3.141 e=2.718 6实数R有理数+无理数 Real number实数和数轴上的点一一对应。 7质数P 一个大于1的自然数，除了1和它自身外， 不能整除其他自然数叫作质数，又称素数 否则称为合数。 Prime?number因数只有两，自身以及 1 8奇数O又称单数，整数中，不能被2整除的数是奇数， Odd?number? 2k+1 k是整数乘方符号问题9偶数E又称双数，整数中，能被2整除的数是偶数， Even?number? 2k k是整数 10复数C 形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数， 其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位 Complex?number有i存在即为复数 德国女数学家诺特对环理论的贡献，1921年写出的《整环的理想理论 》是交换代数发展的里程碑。德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她 将整数环记作Z，从那时候起整数集就用 Z 表示了。 11 数集的扩张史：数字刚刚诞生的时候，人们给他起了个好听的名字—自然。人们结绳计数，记录打了几只野鸡，摘了多少苹果，排列谁是老大。随着自然慢慢长大，自然将负整数也纳入了自己的版图，并且更名为整数。成年的整数不断扩张，又把由自己的小兄弟两两上下接合构成的分数合并了进来，帮助人们解决如何把一个蛋糕分给三个孩子，他再一次改了名字，有理数。三十不惑的有理却感到非常的困惑，人们发现 了好多的数一点也不讲道理，比如π，无限不循环，迷茫过后的有理，突然醒悟，只有不断的增加自己的成员，才能适应快速发展的社会，将 无理数吸收后，他构成了一根横贯前后的数轴。就这样实数出现在了人们的面前。四年级数学上册《认识自然数》教学设计
我对人工数和自然数的认识
自然数概念教学
自然数平方和
常用数集
自然数的和,平方和,立方和
识自然数 奇数和偶数
斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式
自然数平方和公式推导
自然数集N到自身的全体一一映射是不可数的
自然数教学设计
四年级数学下册一自然数与整数1《自然数》习题浙教版
自然数和整数的联系与区别是什么[1]
前n个自然数的平方和及证明
自然数的编排特征及位值概念的建立
关于自然数数列前n项和公式证明
常见数集符号、含义及记忆法