高中数学 选修1-1 14.椭圆中的弦长问题

14.椭圆中的弦长问题

教学目标 班级____姓名________

1.掌握直线与椭圆的位置关系.

2.能熟练应用弦长公式求弦长.

3.掌握中点弦问题.

教学过程

一、弦长公式.

设直线方程m kx y +=、椭圆方程),0,0(122

22b a b a b

y a x ≠>>=+，直线与椭圆两交点为),(11y x A ，),(22y x B . 则

（1）2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）；

（2）2122124)(11||y y y y k

AB -+⋅+=（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 例1：已知椭圆C ：12

82

2=+y x ，直线l ：01=--y x 与椭圆C 交于不同两点M 、N ，求||MN .

练1：过椭圆14

52

2=+y x 的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，（1）求||AB 的长；（2）求AOB ∆的面积.

二、中点弦问题.

1.题型特征：已知直线与椭圆相交，且知道弦的中点（或与弦的中点有关）.

2.常用结论：

（1）韦达定理：a b x x -

=+21，a c x x =⋅21； （2）中点公式：2

21x x x +=中； （3）弦长公式：2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=

例2：已知椭圆12

22

=+y x ，直线l 过椭圆内一点P )21,21(，且直线与椭圆相交所得弦被P 平分.求直线l 的方程.

练1：已知椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，22||=AB ，AB 的中点M 与椭圆中心连线的斜率是

2

2，求a ，b 的值.

作业：已知椭圆19

362

2=+y x 和点P )2,4(，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点. （1）当直线l 斜率为

2

1时，求线段AB 的长度； （2）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.