您的位置：360文档中心› 广东省肇庆市高一上学期期末考试数学试题

广东省肇庆市高一上学期期末考试数学试题

合集下载

2022-2023学年广东省肇庆市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省肇庆市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省肇庆市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列的公差为，且满足，则的值为（ ）{}n a d 134a a =+d A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据等差数列的通项计算即可.【详解】因为，134a a =+所以，所以.1142a d a +=+2d =故选：A.2．直线的一个方向向量是（ ）230mx my +-=A ．B ．C ．D ．()1,2()2,1-()2,1()1,2-【答案】D【分析】直接根据方向向量的定义解答即可.【详解】明显，0m ≠直线即为，230mx my +-=32y x m =-+所以直线的一个方向向量是.230mx my +-=()1,2-故选：D.3．点关于坐标平面的对称点的坐标为（ ）()1,2,3M Oxz A ．B ．C ．D ．()1,2,3--()1,2,3--()1,2,3-()1,2,3--【答案】C 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为，即可求解.(),,a b c Oxz (),,a b c -【详解】点关于坐标平面的对称点的坐标为.()1,2,3M Oxz ()1,2,3-故选：C.4．在等比数列中，已知，，则的值为（ ）{}n a 11a =516a =3a A ．B ．4C ．D ．4-4±2±【答案】B【分析】利用等比中项性质列式求解【详解】等比数列中，.{}na 231532314a a a a a a q ⎧=⇒==⎨=⎩故选：B.5．已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别1C 2C 1F 2F 为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值1e 2e P 1C 2C 12PF k PF =1211e e k =-k 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，(分别为椭圆的长半轴长及1221a PF k =+2221aPF k =-12,a a 双曲线的实半轴长)，从而得，再代入中，求解即可.1211a k a k +=-112212ce a a c e a a ==【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分11,a b c 别为，半焦距为，22,a b c 则有，222221122a b c a b -==+又因为点为与在第一象限内的公共点，且满足，P 1C 2C 12PF k PF =所以且，0k >1k ≠由椭圆的定义可得，122221(1)2PF PF k PF PF k PF a +=+=+=所以，1221a PF k =+由双曲线的定义可得，122222(1)2PF PF k PF PF k PF a -=-=-=所以，2221a PF k =-所以212211a ak k =-+所以，1211a k a k +=-又因为，1122121111ce a a k c e a k k a -====+-解得(舍)或，0k =3k =故选：A.6．已知双曲线的方程为，且双曲线的一条渐近线的倾斜角满()222210,0x y a b a b -=>>π0,2θθ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦足，则该双曲线的离心率为（ ）4tan 23θ=-A B C D 【答案】B【分析】利用二倍角的正切公式求出，即可得，再根据离心率公式即可得解.tan θba 【详解】，解得或，242tan tan 231tan θθθ=-=-tan 2θ=12-又因为，所以，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 2θ=即，2b a =所以该双曲线的离心率.c e a ===故选：B.7．根据圆的性质我们知道，过圆外的一点可以作圆的两条切线，切点为与，我们把四O A O B C 边形称为圆的“切点四边形”.现已知圆，圆外有一点，则圆的“切点OBAC O 22:1O x y +=()1,2A O 四边形”的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】先求解，再根据垂径定理求解切线长，进而可得周长.OA半径为1，故，=O 2AB AC ===故四边形的周长为.OBAC 11226OB OC AB AC +++=+++=故选：C8．已知三棱锥满足，记点到平面的距离为，若，则-P ABC PA PB PC l===P ABC h 1l h =+三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）-P ABC A ．B ．C ．D ．4π9π16π25π【答案】C【分析】设P 在平面的投影为，说明三棱锥的外接球O 在上，由几何关系求ABC 1O -P ABC 1PO 得半径r 与h 的关系，进而求得最小值，可得外接球的表面积的最小值.【详解】设P 在平面的投影为，则，平面.ABC 1O 1PO h =1PO ⊥ABC∵1PA PB PC l h ====+设三棱锥的外接球O 的半径为，则在上，，-P ABC r O 1PO r PO AO==则有，当且仅当时等()22222111121122AO OO AO r h r h r h h æöç÷=+Þ=-++Þ=++³ç÷èø11h h h =Þ=号成立.∴三棱锥的外接球的表面积的最小值为.-P ABC 24π216π⨯=故选：C.二、多选题9．已知向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，，，1e 2e 3e Oxyz 12323a e e e =++ 123b e e e =+-，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（ ）1234c me e ne =-+ 16c a ⋅= 4c b - Oyz A ．B ．a b⊥b c∥C ．，所成角为钝角D ．可以用，表示b c a b c 【答案】AC 【分析】由向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，得到，，两两垂直，且1e2e 3e Oxyz 1e 2e 3e ，再由，与平面平行，求得，再逐项判断.1231230e e e e e e ⋅=⋅=⋅= 16c a ⋅= 4c b -Oyz c【详解】解：因为向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，1e 2e 3e Oxyz 所以，，两两垂直，且，1e 2e 3e 1231230e e e e e e ⋅=⋅=⋅= 而，()()123123423c a me e ne e e e ⋅=-+⋅++ 22312324324316me e ne m n =-+=-+=，()()()123123123844444e c me e ne e e m e e b e n =-+-+-=--++-因为与平面平行，则，即，两式联立得，4c b -Oyz 40m -=4m =4n =所以，123444e c e e =-+ A.，则，故正确；()()22212312312323232130a b e e e e e e e e e ⋅=++⋅+-=+-=+-= a b ⊥B.若，则，即，则，不存在，故不平行，故错b c ∥ c b λ= ()123123444e e e e e e λ-+=+-44λλ=⎧⎨=-⎩b c ,误；C. 设，所成的角为，b cθ则，1cos 03b c b c θ====-<⋅⋅因为，所以，所成角为钝角，故正确；()0,θπ∈b cD. 假设可以用，表示，则，即，则a b c a xb yc = +()()12312312323444e e e x e e e y e e e ++=+-+-+ ，无解，故不可以用，表示，故错误；424143x y x y x y +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩a b c故选：AC10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，则下列说法中正{}n a 1a d n n S 22n S n n =-+确的是（ ）A ．B ．是递减数列10a <{}n S C ．为递减数列D ．是公差为的等差数列{}n a n S n ⎧⎫⎨⎩⎭1-【答案】BCD【分析】对A ，直接求值判断；对B ，由二次函数单调性判断；对C ，由与的关系求出通项公式判断；n a n S 对D ，，由通项公式即可判断.2nS n n =-+【详解】对A ，，A 错；1110a S ==>对B ，由，为其对称轴，则在单调递减，则由可知()22f x x x=-+1x =()f x ()1,+∞22n S n n =-+是递减数列，B 对；{}n S 对C ，时，.2n ≥()()221212123n n n a S S n n n n n -éù=-=-+---+-=-+êúëû又符合上式，故的通项公式为，单调递减，C 对；11a ={}n a 23n a n =-+对D ，，则，故是公差为的等差数列，D 2n S n n =-+()121211n n S S n n n n --=-+---+=-⎡⎤⎣⎦-n S n ⎧⎫⎨⎩⎭1-对.故选：BCD.11．已知抛物线.现将抛物线绕原点顺时针旋转，得到新抛物线.记的焦点为21:4C x y =1C 90 2C 2C .过点的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则下列关于的说法中正确F F 2C M N MN 12C 的是（ ）A ．焦点B ．()1,0F 6MN =C ．准线方程为D ．的面积为=1x -MON △【答案】ACD 【分析】求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，可判断AC 选项；将直线的方程与抛物线2C MN 的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及韦达定理可判断B 选项；求出原点到直线的2C MN 距离，利用三角形的面积公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线的焦点为，21:4C x y =()10,1F 将抛物线绕原点顺时针旋转，则抛物线的焦点为，A 对；1C 90 2C ()1,0F 对于B 选项，易知抛物线的方程为，直线的方程为，2C 24y x =MN 1y x =-设点、，联立可得，，()11,M x y ()22,N x y 214y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=Δ364320=-=>所以，，B 错；1228MN x x =++=对于C 选项，抛物线的准线方程为，C 对；2C =1x -对于D 选项，原点到直线的距离为O MN d ==因此，D 对.11822MON S MN d =⋅=⨯=△故选：ACD.12．如图所示，已知三棱锥中，，所成角为30°，且.在线段上分A BCD -AD BC 2AD BC ⋅=AB 别取靠近点的等分点，记为，，…，.分别过，，…，作平行A ()1*n n +∈N 1M 2M n M 1M 2M n M 于，的平面，与三棱锥的截面记为，，…，，记截面，，…，的面积分别AD BC 1α2αn α1α2αn α为，，…，.则以下说法正确的是（ ）1a 2a n aA ．114a =B ．为递增数列{}n a C ．存在常数，使为等差数列λ1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．设为数列的前项积，则n T (){}1nn a +n 202212023T =【答案】AD 【分析】过作平行于，的平面分别交，，于，，，根据线面平行的n M AD BC AC CD BD F E G 性质可得四边形为平行四边形，进而可得..对A ，直接代入；对B ，求n M FEG ()21n na n =+1n =判断即可；对C ，构造判断，结合等差数列的定义判断即可；对D ，代入12,a a 1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭求解即可.()21n na n =+【详解】过作平行于，的平面分别交，，于，，.n M AD BC AC CD BD F E G 因为∥平面，且平面平面，故∥，同理∥，∥AD n M FEG ADC n M FE FE =AD FE AD n M G BC ，∥，故四边形为平行四边形.n M F BC GE n M FEG 又，所成角为30°，故所成角也为30°.AD BC ,n M F FE 又为最靠近的等分点，故，.n M A ()1*n n +∈N 11n M F BCn =+1n FE AD n =+故，即.()211sin 302111n n nna M F FE BC AD n n n =⋅=⋅⋅=+++ ()21n na n =+对A ，，故A 正确；()1211411a ==+对B ，，故不为递增数列，B 错误；()2122219421a a ==<=+{}n a 对C ，，对任意的常数都不可能使其为一次函数形式，故不可能()21112n n n a n n λλλ+-=-=++-为等差数列，故C 错误；对D ，，，故D 正确；()11n nn a n +=+202212320221...23420232023T =⨯⨯⨯⨯=故选：AD三、填空题13．设直线在，轴上的截距分别为，，且满足，则直线与坐标轴围成的图形的面l x y a b 6ab =-l 积为______.【答案】3【分析】所围成的图形为三角形，则所求面积为.12a b 【详解】直线在，轴上的截距分别为，，则直线与坐标轴所围成的图形为三角形，则所l x y a b l 求面积为.11322a b ab ==故答案为：3.14．已知向量，，均为单位向量，且它们两两的夹角均为，其中，1e 2e 3e 60︒1232a e e e =+- ，则的值为______.123b e e e =-+ a b ⋅【答案】0【分析】直接根据数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由已知得，121332160211cos e e e e e e ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=.()()2221231231231232223a b e e e e e e e e e e e e e ∴⋅=+-⋅-+=--+⋅+⋅ 13121022=--++=故答案为：.015．已知抛物线的焦点为，准线为.过焦点的一条直线交抛物线于点，()21:20C y px p =>F l A （在第一象限）.分别过点，作准线的垂线，交准线于，.若，，B A A B l CD DF =4CD =则的值为______.p 【分析】设过的直线方程为，联立抛物线的方程，可得，进而根据抛物线的F 2px ty =+FC FD ⊥定义与几何关系求解即可.【详解】设过的直线方程为，，联立可得F 2px ty =+()()1122,,,A x y B x y 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，故.2220y pty p --=212y y p =-易得，故，即.12,,,22P P C y D y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21212,,022P P FC FD y y p y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭FC FD ⊥故，则，解得2FC =1122CDF S CD p FC FD =⋅=⋅ p =四、双空题16．已知数列满足，对任意的均有，，，{}n a 10a =n *∈N {}10,1n n a a +-∈{}20,1n n a a +-∈221n n a a ->则______，的通项公式为______.2a ={}n a 【答案】 .11,2,2n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数【分析】根据题意可得出，可求得的值，推导出数列中的奇数项成以为首项，以211a a -=2a {}n a 0为公差的等差数列，以及，求出数列中奇数项的表达式，可得出该数列偶数项12120n n a a +-={}n a 的表达式，综合可得出数列的通项公式.{}n a 【详解】由题意可知，，则，可得；21a a >211a a -=2111a a =+=因为，则，故，221n n a a ->2210n n a a -->2211n n a a --=又因为，且，{}2120,1n n a a +-∈{}21210,1n n a a +--∈若，则，不合乎题意，2121n n a a +-=()(){}212121222120,1n n n n n n a a a a a a +-+--=-+-=∉所以，，则，合乎题意，2120n n a a +-=()()21212122211n n n n n n a a a a a a +-+--=-+-=所以，数列中的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列，{}n a 01当为奇数时，设，则，n ()21n k k *=-∈N12n k +=则.()21111111122n k n n a a a k k -+-==+-⨯=-=-=当为偶数时，设，则.n ()2n k k *=∈N 22112n k k na a a k -==+==综上所述，.1,2,2n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数故答案为：；.11,2,2n n n a n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数五、解答题17．设圆，直线.记直线与圆交于、两点.设为221:6690O x y x y +--+=:20+-=l x y l 1O A B 2O关于直线的对称点.1O l (1)求弦的长；AB (2)求点的坐标.2O 【答案】(1)2(2)()21,1O --【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得弦的长；1O l AB （2）设点，根据两点关于直线对称可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，()2,O a b a b 可得出点的坐标.2O 【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，1O ()()22339x y -+-=()13,3O 3r =圆心到直线的距离为，所以，.1Ol d 2AB ==（2）解：由题意可知，，易知直线的斜率为，则，12O O l ⊥l 1-121O O k =设点，则，解得，即点.()2,O a b 12332022313O O a b b k a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩11a b =-⎧⎨=-⎩()21,1O --18．设数列是首项为2的等比数列，且，，成等差数列.{}n a 1a 21a +3a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，记为数列的前项和，求.1n n b na =+n S {}n b n n S 【答案】(1)2nn a =(2)()1122n n S n n +=-⋅++【分析】（1）由等差中项性质列式求得基本量，即可写出通项公式；（2）由分组求和及错位相减法求和.【详解】（1）设等比数列的公比为由题意可得，{}n a ,q 12a =由，，成等差数列得或（舍）.1a 21a +3a ()()221321221222a a a q q q +=+Þ+=+Þ=0q =∴.1222n nn a -=⨯=（2），121nn n b na n =+=⋅+①，212222n n n n S =⨯+⨯++⋅+②，2312122222n n n n S +=⨯+⨯++⋅+①②得.-()()21112121212122212212n nn n n n n n n n n S n +++--=⨯+⨯++⨯-⋅-=-⋅-=-⋅---∴()1122n n S n n +=-⋅++19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）.已1PO 1OO 知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.(1)求圆锥的母线长；1PO (2)设为半圆弧的中点，求到平面的距离.F CD P ABF 【答案】(1)5【分析】（1）根据母线长与圆锥的高和底面半径形成直角三角形求解即可；（2）先根据线面垂直的判定与性质可得的高为，再利用等体积法，根据F PAB -FO 求解即可.P ABF F ABP V V --=【详解】（1）由题意，圆锥的母线长.1PO 5PB ===（2）连接，因为为半圆弧的中点，故，.又圆柱中平面,,FC FD FO 'F CD FC FD =FO DC ⊥AD ⊥，平面，故.FDC FO ⊂FDC AD FO ⊥又，，平面，故平面.FO DC ⊥AD DC D = ,AD DC ⊂ADC FO ⊥ADC故的高为，且F PAB -FO FO ==='设到平面的距离为，则，P ABF h 1133F ABP ABP P ABF ABF V S OF V S h--=⋅==⋅即，故1122AB O P OF AB O F h ⋅⋅='⋅⋅'O P OF h O F ⋅===''故到平面P ABF20．如图，已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，且平面，.P ABCD -PA ⊥ABCD 60ABC ∠=︒(1)设为中点，证明：平面平面；E CD PCD ⊥PAE (2)设，上是否存在一点，使得与平面所成的角和平面与平面的2PA =PB M AM PBC AMB PBC 夹角相等？若存在，求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由.M 【答案】(1)证明见解析(2)存在，M 为PB 中点，理由见解析【分析】（1）由线线垂直证平面，再依次证、平面、平面PA ⊥ABCD PA CD ⊥CD ⊥PAE平面；PCD ⊥PAE （2）建立空间直角坐标系如图所示，设，由向量法分别求面面角与线面角，建A xyz -PM PB λ=立方程求解即可.【详解】（1）证明：连接AC ，ABCD 为菱形，，则为正△，为中点，则60ABC ∠=︒ACD E CD ，AE CD ⊥∵平面，平面，∴.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥∵平面，∴平面，,AE PA A AE PA =Ì 、PAE CD ⊥PAE ∵平面，∴平面平面；CD ⊂PCD PCD ⊥PAE （2）存在，理由如下：正中，，则，，ACD AE CD ⊥30DAE ∠=︒90BAE ∠=︒建立空间直角坐标系如图所示，A xyz -则，，，，()002P ,,()2,0,0B ()E ()C ，，()2,0,2PB =-()BC =-设平面PBC 的法向量为，则有，令，(),,nx y z =2200n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩x=n = 平面AMB 的其中一个法向量为，则平面与平面的夹角余弦值为()0,1,0m =AMB PBC cos m 设，，则，()2,0,2PM λPB λλ==- []()0,1λ∈()0,0,2AP =()2,0,22AM AP PM λλ=+=- 则与平面AMPBC由与平面所成的角和平面与平面的夹角相等得AM PBC AMB PBC .2221144102λλλ-=Þ-+=Þ=故存在M 为PB 中点，满足题意.21．设各项均为正数的数列的前项和为，且，______.{}n a n n S 11a =在①，②.2111241n n a a n +-=-1n a +=(1)求的通项公式；{}n a (2)设且，记的前项和为，求的值.(),101,102x x f x x f x ≤⎧⎪=+⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩()n n b f a ={}n b n n T 19T 【答案】(1)21n a n =-(2)137【分析】（1）选①，由条件裂项得，由累加法求的通项公式，即可求111112121n n a a n n+-=-+-1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；{}n a 选②，由条件得，可求等差数列11n n n a SS ++=-=1=的通项公式，即可得的通项公式，最后由求得通项公式.{}ns 1nn n aS S -=-（2）由复合函数化简，即可由分段函数写出各项求值.()n n b f a =【详解】（1）选①，由得，2111241n n a a n +-=-111112121n n a a n n +-=-+-∴.11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 1111111121232325321n n n n n =-+-++-+=-----∴；21n a n =-选②，，)1110n n n a S S ++=-=⇒=，0,1≠=1=∴，公差为1的等差数列，.1==()2111n n n S n =+-´=Þ=∴.()221121n n n a S S n n n -=-=--=-（2），()()()1121,211021,221211,211011,22n n n n n n b f a f n n f n f n n ⎧--≤⎧-≤⎪⎪⎪==-==-+⎨⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎪>⎝⎭⎩⎪⎩∴.()()19131517191357967891067891025240321372222T ⎛⎫=++++++++++++++++++=+⨯+= ⎪⎝⎭22．已知椭圆，左顶点为，右顶点为.22:14x C y +=A B (1)求椭圆的长轴长与短轴长的差值；(2)已知定直线，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线，分别与直线交于点10:3l x =S x AS BS l 与.当的长度最小时，椭圆上是否存在这样的点，满足的面积为？若存在，确定D E DE T TBS △45点的个数；若不存在，请说明理由.T 【答案】(1)2；(2)存在，点的个数为2.T 【分析】（1）根据椭圆的定义，分别求出长轴与短轴长，再求差值即可；（2）设出直线AS 的方程，表达出点M ，N 的坐标，利用基本不等式求出线段MN 的长度的最小值；再求出的长度，得到到直线的距离，利用点到直线距离得到T 所在的直线方程，结合83BS T BS 根的判别式得到点的个数.T 【详解】（1）由题意，椭圆的长轴为，短轴长为，24a ==22b ==故长轴长与短轴长的差值为；422-=（2）直线的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为，从而AS ()2y k x =+，1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭由，联立得：，()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()222214161640k x k x k +++-=设，则，()11,S x y 212164214k x k --=+解得：，从而，即，2122814k x k -=+12414k y k =+222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又，且，()2,0B 21211122111111422444AS BSx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---故直线BS 的斜率为，则直线BS 的方程为，14k -()124y x k =-+由，解得：，()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13103y k x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故，又，16133k MN k =+0k >所以，当且仅当即时等号成立，1618333k MN k =+≥=16133k k =14k =故线段MN的长度的最小值为，83又，此时，14k =64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭故，SB ==要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，C T TSB △45T BS 2S SB=其中直线：，即，SB 4056225y x -=--20x y +-=设平行于的直线为，解得：或，AB 0x y t ++=0=t 4t =-当时，过原点，与椭圆方程有两个交点；0=t 0x y +=2214x y +=当时，，联立椭圆方程得：，4t =-40x y +-=2214xy +=258120y y -+=由得：与椭圆方程无交点；()2Δ845120=--⨯⨯<40x y +-=T综上：点的个数为2．。

2020-2021学年广东省肇庆市高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省肇庆市高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省肇庆市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合Ｐ=｛0，1，3｝，Ｑ=｛1，2，3｝，则Ｐ∩Ｑ=()A. ｛1，2｝B. ｛2，3｝C. {1,3}D. ｛0，1，2，3｝2.，则的值为()A. B. C. D.3.若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为()A. πB. π−1C. π−2D. π−124.设a=30.7，b=0.43，c=log30.5，那么a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a5.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立6.为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形7.基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0、T近似满足R0= 1+rT，有学者基于已有数据估计出R0=3.22，T=10.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的3倍需要的时间约为()(参考数据：ln3≈1.10)A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天8.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，将角α的终边逆时针旋转π4后过点(√55,2√55)，则tanα=( )A. 13B. 12C. 23D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.德国著名数学家狄利克雷(Diricℎlet,1805∼1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y =f(x)={1,x ∈Q 0,x ∈∁R Q其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题，正确的为( )A. 函数f (x )是偶函数B. ∀x 1，x 2∈∁R Q ，f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)恒成立C. 任取一个不为零的有理数T ，f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立D. 不存在三个点A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))，C(x 3,f (x 3))，使得ΔABC 为等腰直角三角形10. 为得到函数y =cos(x −π3)的图象，只需将y =cos2x 的图象( )A. 先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度 B. 先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π3个单位长度 C. 先向右平移π6个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)11. 给出下列四个命题，其中正确的命题有( )A. 函数y =tanx 的图象关于点(kπ2,0)，k ∈Z 对称 B. 函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数 C. 设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2 D. 函数y =cos 2x +sinx 的最小值为−112. 如图，点M 是棱长为1的正方体ABC −A 1B 1C 1D 1中的侧面ADD 1A 1上的一个动点(包含边界)，则下列结论正确的是( )A. 存在无数个点M 满足CM ⊥AD 1B. 当点M 在棱DD 1上运动时，|MA|+|MB 1|的最小值为√3+1C. 在线段AD 1上存在点M ，使异面直线B 1M 与CD 所成的角是30°D. 满足|MD|=2|MD 1|的点M 的轨迹是一段圆弧三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 下列五个命题中，所有真命题的序号是______ ． ①函数y =sinx 在第一象限是增函数． ②函数y =cos(x +π2)是奇函数．③函数y =tanx 的图象的对称中心一定是(kπ,0)，k ∈Z ． ④函数y =sin|x|是周期函数． ⑤函数y =√cos(cosx)的定义域是R ． 14. sin π12= ．15. 函数f(x)=3x +11−3x ，x ∈(0,13)的最小值为______ ． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)={log 2x,x >a3x ,x ≤a ．①当a =0时，f(f(14))= (1) ；②如果函数g(x)=f(x)−2有两个零点，那么a 的取值范围是 (2) ． 五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <10}，C ={x|a <x <a +5}． (1)求A ∪B ，(∁R A)∩B ； (2)若C ⊆B ，求a 的取值范围．18. 假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg ，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划可收购mkg.为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购可增加2x 个百分点．(1)写出税收y(元)与x 的函数关系；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x 的取值范围．19. 已知f(x)=−3x 2+a(6−a)x +12．(1)若不等式f(x)>b 的解集为(0,3)，求实数a 、b 的值；(2)若a=3时，对于任意的实数x∈[−1,1]，都有f(x)≥−3x2+(m+9)x+10，求m的取值范围．20.已知△ABC的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且sin(π4+A)=7√210，0<A<π4．(Ⅰ)求tanA的值．(Ⅱ)若△ABC的面积s=24，b=8求a的值．21.已知函数f(x)=x2+ax．(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)当a=16时，判断f(x)在x∈(0,2]上的单调性并用定义证明；(3)试判断方程x3−2016x+16=0在区间(0,+∞)上解的个数并证明你的结论．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在(−2π,2π)上的单调递减区间．参考答案及解析1.答案：C解析：因为交集是两集合的公共元素组成的集合，所以Ｐ∩Ｑ={1,3}。

广东省肇庆市实验中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

广东省肇庆市实验中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2021-2022学年第一学期期中考试 高一级数试卷考试时间：120分钟 命题人： 訚刚 审核人：潘慧斌一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合A ＝{x|－5≤x ＜1}，B ＝{x|x ≤2}，则AB ＝ （ ）A 、{x|－5≤x ＜1}B 、{x|－5≤x ≤2}C 、x|x ＜1}D 、{x|x ≤2}2、已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，则()()1f f 的值是（ ）A. －2B. 5C. －4D. 2 3、下列推断正确的是（ ）A. 2.532.5 2.5>B. 230.80.8<C. 2ππ< D. 0.30.50.90.9> 4、下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数 （ ） A ．2)(x y =B ．xx y 2= C ．33x y =D ．2x y =5、若aa 2323)31()31(--< ，则实数a 的取值范围是（ ） A.),1(+∞ B. ),31(+∞ C. )1,(-∞ D. )31,(-∞6、函数xx f 2)(=的单调递减区间为（ ） A. ),(+∞-∞ B. ),0()0,(+∞⋃-∞ C. ),0(),0,(+∞-∞ D. ),0(+∞ 7、下列运算结果中正确的为（ ） A. 236a a a ⋅= B. ()()3223a a -=-C.()11a -=D. ()326aa -=-8、已知函数:①2x y =;②2log y x =;③1y x -=;④12y x =,则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应挨次是（ ）A.①②④③B.②③①④C.②①③④D.④①③② 9、下列函数中是奇函数的是( )A 、2x y = B 、 x y =C 、322++=x x yD 、3x y =10、已知)(x f 在其定义域),1[+∞-上是减函数，若)()2(x f x f >-，则（ ） A. 1>x B. 11≤≤-x C. 31≤<x D. 31≤≤-x11、假如奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，且最小值是5，那么， ()f x 在[]7,3--上是（ ） A. 增函数，最小值为5- B. 减函数，最大值为5- C. 减函数，最小值为5- D. 增函数，最大值为5-12、已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21,f x x x=+ 则()1f -=（ ） A ． B ． C ． D ．2-二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13、函数32)(-=x x f 的定义域是_______．（用区间表示）14、假如函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4(，-∞上是减函数，那么实数的取值范围是____________.15、集合}/{},1/{a x x B x x A >=>=，若B A ⊆，则实数的取值范围_________ 16、1)3lg(lg =++x x 的解是=x三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本题12分）设全集为R ，{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，求：（1）B A （2）A C R （3）()R C A B18、（本题12分）化简计算 （1）)4()3()2(3541323-----÷-⋅⋅b a b a b a（2）8.1log 7log 37log 235log 5555-+-19、（本题12分）已知集合2{|320},{|1,}A x x x B x ax a R =++==≥∈． （1）写出集合A 的全部真子集；（2）当12a =-时，求A B ；（3）当A B ⊆时，求的取值范围．20、（本题12分） 用定义证明：函数1()f x x x=+ 在[)1,x ∈+∞上是增函数21、（本题12分） 已知函数2()21f x x =-． （1）用定义证明()f x 是偶函数；（2）用定义证明()f x 在(,0]-∞上是减函数；（3）求出函数()f x 当[1,2]x ∈-时的最大值与最小值．22、（本题10分） 已知定义域为R 的函数2()2xxa f xb 是奇函数 （1）求,a b 的值．（2）推断()f x 的单调性，并用定义证明（3）若存在t R ∈，使22()(42)0f k t f t t 成立，求的取值范围肇庆市试验中学2021—2022第一学期 高一数学期中考试答案13、),23[+∞14、3-≤a · 15、1a ≤ 16、217、（1）}73/{<≤=x x B A}73/{≥<=x x x A C R 或 }102/{)(≥≤=x x x B A C R 或18、（1）)4()3()2(3541323-----÷-⋅⋅b a b a b a=22035132413232323b b a ba-=-=-++-+--（2）8.1log 7log 37log 235log 5555-+- =59575)37(5355log log log log 2-+-=2log log 255957499355==⨯⨯⨯19、（1）由于{1,2}A =--，所以集合A 的全部真子集为,{1},{2}∅--；（2）当12a =-时，(,2]B =-∞-，所以{2}A B =-；（3）由于A B ⊆，0a ≥明显不满足题意；当0a <时，1{|,}B x x a R a=≤∈，所以11a ≥-，解得1a ≤-，所以a 的取值范围是]1,(--∞20、设121x x ≤<()()()()21121212121212121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-∴-=+--=-+=-- ⎪⎝⎭()()()()()1212121212110,100x x x x f x f x f x f x f x x x ≤<∴-<->∴-<∴<∴为增函数21、（1）证明：函数()f x 的定义域为R ，对于任意的x R ∈，都有22()2()121()f x x x f x -=--=-=，∴()f x 是偶函数．（2）证明：在区间(,0]-∞上任取12,x x ，且12x x <，则有22221212121212()()(21)(21)2()2()()f x f x x x x x x x x x -=---=-=-⋅+，∵12,(,0]x x ∈-∞，12x x <，∴12120,x x x x -<0,+< 即1212()()0x x x x -⋅+>∴12()()0f x f x ->，即()f x 在(,0]-∞上是减函数．（3）图略，最大值为(2)7f =，最小值为(0)1f =-． 22.（1）()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ，即101a b ，1a ，由于11f f∴122122a ab b ， 即112,212,1122b b b b b阅历证符合题意，因此1a ，1b（2） 12(21)22()1121212xx xx xf x ，因此()f x 在R 上是减函数，证明如下： 任取12,x x R ，且12x x ，1221121212121212222(22)()()12121212(12)(12)x x x x x x x x x x f x f x12x x ， 1222x x ，12()()0f x f x 即12()()f x f x ，因此()f x 在R 上是减函数（3）22()(42)0f k t f t t ，且()f x 是R 上的奇函数，22()(24t)f k t f t ，又由于()f x 在R 上是减函数，2224t k t t ，即24t k t ，设24t g t t ，则mink g t，而min=24,4g tg k。

2023-2024学年广东省肇庆市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省肇庆市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点（3，﹣1，﹣4）关于平面Oxy 的对称点为（ ） A ．（﹣3，﹣1，﹣4） B ．（﹣3，1，﹣4） C ．（3，﹣1，4）D ．（﹣3，1，4）2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13＝4π，则sin a 7＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√323．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC 的“勾”“股”分别为6，8，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线方程为（ ）A ．x 2−y 224=1B ．x 224−y 2=1C ．x 249−y 224=1 D ．x 24−y 221=14．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则D 1E →=（ ）A ．a →−12b →+c →B ．a →−12b →−c →C ．a →+32b →+c →D ．12a →+12b →−c →5．直线l ：2x ﹣y +1＝0与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45°得到直线l ′，则直线l ′的方程为（ ） A ．2x +y ﹣1＝0B ．3x ﹣y +1＝0C ．3x +y ﹣1＝0D ．x +3y ﹣3＝06．数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n +a n ＝1024，则数列{a n }的前n 项积的最大值为（ ） A ．255B ．245C ．29D ．2107．已知圆O 1：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞0），圆O 2：x 2+y 2﹣14y +24＝0，若圆O 1上存在点P 关于直线x ﹣y ﹣1＝0的对称点Q 在圆O 2上，则r 的取值范围是（ ） A ．[1，10] B ．（1，11）C ．[1，11]D ．[5√2−5，5√2+5]8．抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上点M 反射后，其反射光线过点N(3√3，3)，且∠FMN ＝120°，则△FMN 的面积为（ ） A ．9√34B ．94C ．3√32D ．9√32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在同一平面直角坐标系中，直线mx ﹣y +1＝0与圆x 2+y 2＝2的位置可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于方程nx 2+my 2＝1，下列说法正确的是（ ） A ．当m ＝n ≠0时，该方程表示圆B ．当m ＞n ＞1时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为2√1nC ．当m ＜0＜n 时，该方程表示焦点在x 轴上的双曲线，且渐近线方程为y =±√−nmx D ．当m ＞0＞n 时，该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，且焦距为2√1m +1n11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，CG →=2GP →，E ，F 分别是PB ，PD 的中点，则（ ）A．EF∥平面ABCDB．三棱锥P﹣EFG与三棱锥P﹣BCD的体积之比为1：12 C．EG∥AFD．A，E，G，F四点共面12．已知正项数列{a n}满足a n+1={a n2，当a n为偶数时a n+3，当a n为奇数时，则下列结论一定正确的是（）A．若a1＝10，则a2023＝2B．若a3＝16，则a1的值有3种情况C．若数列{a n}满足a n+2＝a n，则a1＝3D．若a n为奇数，则a n﹣1＝2a n（n≥2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个过点（0，0），（2，2）的圆的标准方程．14．等差数列{a n}的公差为﹣2，前n项和为S n，且a3是a2与a6的等比中项，则S n＝．15．2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A，C，B，D为椭圆的四个顶点，且cosB=−15，则该椭圆的离心率为．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E∈平面ABB1A1，点F是线段AA1的中点，若D1E⊥CF，则当△EBC的面积取得最小值时，D1E＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P（0，1），Q(√3，12)．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求|MN|的长．18．（12分）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，且A1B1= 12AB，D为AB的中点．（1）证明：平面B1DC⊥平面A1ABB1．（2）平面A1ABB1与平面B1BCC1的夹角能否为45°？若能，求出A1A的值；若不能，请说明理由．19．（12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （0，t ）（t ＞0），圆M ：（x ﹣2）2+y 2＝1． （1）若t ＝1，过点A 作圆M 的切线，求此切线的方程； （2）若在圆M 上存在唯一一点P ，使|P A |＝2|PO |，求t 的值． 20．（12分）定义G n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn为数列{a n }的“匀称值”．（1）若数列{a n }的“匀称值”为n （n +1），求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＝3b n ﹣1+2（n ≥2），求数列{b n +1}的“匀称值”．21．（12分）如图，平行四边形ABCD 中，AD =2AB =4√2，∠B ＝60°，E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折起到△P AE 的位置，使AP ⊥DE ． （1）求点P 到平面AECD 的距离；（2）点F 为线段PD 上一点，EF 与平面PCD 所成的角为θ，求sin θ的最大值．22．（12分）已知直线l 1：y ＝x ，直线l 2：y ＝﹣x ，过动点M 作MA ⊥l 1，MB ⊥l 2，垂足分别为A ，B ，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且四边形OAMB （O 为原点）的面积为2． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）若F （3，0），过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于P （x 0，0），Q （0，y 0）两点，求x 0+y 0的取值范围．2023-2024学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点（3，﹣1，﹣4）关于平面Oxy 的对称点为（ ） A ．（﹣3，﹣1，﹣4） B ．（﹣3，1，﹣4） C ．（3，﹣1，4）D ．（﹣3，1，4）解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于平面Oxy 对称时，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数， ∴点（3，﹣1，﹣4）关于平面Oxy 的对称点为（3，﹣1，4）． 故选：C ．2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13＝4π，则sin a 7＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：根据题意，数列{a n }为等差数列，若a 1+a 7+a 13＝4π， 而a 1+a 13＝2a 7，则a 7=4π3，故sin a 7＝sin 4π3=−√32． 故选：D ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC 的“勾”“股”分别为6，8，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线方程为（ ）A ．x 2−y 224=1B ．x 224−y 2=1C ．x 249−y 224=1 D ．x 24−y 221=1解：依题意，双曲线焦点在x 轴上，焦距2c ＝|AB |＝10，即c ＝5，实轴长2a ＝|AC |﹣|BC ||＝8﹣6＝2，即a ＝1，于是虚半轴长b =√c 2−a 2=2√6，所以所求双曲线方程为x 2−y 224=1． 故选：A ．4．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则D 1E →=（ ）A ．a →−12b →+c →B ．a →−12b →−c →C ．a →+32b →+c →D ．12a →+12b →−c →解：在平行六面体中，CC 1→=AA 1→，D 1C 1→=AB →，BC →=AD →， 又因为AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，由题意可知，D 1E →=D 1C 1→+C 1C →+12CB →=a →−c →−12b →．故选：B ．5．直线l ：2x ﹣y +1＝0与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45°得到直线l ′，则直线l ′的方程为（ ） A ．2x +y ﹣1＝0B ．3x ﹣y +1＝0C ．3x +y ﹣1＝0D ．x +3y ﹣3＝0解：直线l ：2x ﹣y +1＝0与y 轴的交点为A ，直线l 的斜率为tan θ＝2，且A （0，1），直线l 绕着点A 逆时针旋转45°得到直线l ′，故直线l ′的斜率k ＝tan （θ+π4）=tanθ+tan π41−tanθtan π4=−3；故直线l ′的方程为y ﹣1＝﹣3（x ﹣0），整理得3x +y ﹣1＝0． 故选：C ．6．数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n +a n ＝1024，则数列{a n }的前n 项积的最大值为（ ） A ．255B ．245C ．29D ．210解：由S n +a n ＝1024，可得S 1+a 1＝2a 1＝1024，即a 1＝512，n ≥2时，由S n +a n ＝1024，可得S n ﹣1+a n ﹣1＝1024， 两式相减可得a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即a n =12a n ﹣1，则数列{a n }是首项为512，公比为12的等比数列，即有a n ＝512•（12）n ﹣1＝210﹣n ，由1≤n ≤9时，a n ＞1；n ＝10时，a n ＝1；n ≥11时，0＜a n ＜1， 所以数列{a n }的前n 项积的最大值为a 1a 2...a 10＝29×28×27×...×2×1=212×9×10=245．故选：B ．7．已知圆O 1：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞0），圆O 2：x 2+y 2﹣14y +24＝0，若圆O 1上存在点P 关于直线x ﹣y ﹣1＝0的对称点Q 在圆O 2上，则r 的取值范围是（ ） A ．[1，10] B ．（1，11）C ．[1，11]D ．[5√2−5，5√2+5]解：圆O 2：x 2+y 2﹣14y +24＝0，方程化为，x 2+（y ﹣7）2＝25，则圆心坐标为O 2（0，7），半径为5， 设O 2（0，7）关于直线x ﹣y ﹣1＝0的对称点为C （a ，b ），则{a 2−b+72−1=0b−7a=−1，得{a =8b =−1，则C （8，﹣1），所以圆O 2关于直线x ﹣y ﹣1＝0的对称圆C 方程为（x ﹣8）2+（y +1）2＝25， 由题中条件可知，圆O 1与圆C 有交点，O 1（1，0），|O 1C|=5√2，则|r ﹣5|≤|O 1C |≤r +5，即|r −5|≤5√2≤r +5，解得5√2−5≤r ≤5√2+5． 故选：D ．8．抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上点M 反射后，其反射光线过点N(3√3，3)，且∠FMN ＝120°，则△FMN 的面积为（ ） A ．9√34B ．94C ．3√32D ．9√32解：由题意可知MN ∥x 轴，设抛物线的准线与x 轴交于点K ，如图所示： 反向延长MN 交抛物线的准线于点E ，因为N （3√3，3）， 则E(−p2，3)，由抛物线的定义得|ME |＝|MF |，由∠FMN ＝120°，可得∠EMF ＝60°，因此△EMF 为等边三角形， 在直角△EKF 中，∠KEF ＝30°，|EK |＝3，所以p ＝|KF |=√3，|EM|=|MF|=|EF|=2√3，从而|MN|=3√3−(2√3−√32)=3√32，所以△FMN的面积为12⋅|MF|⋅|MN|⋅sin120°=12×2√3×3√32×√32=9√34．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在同一平面直角坐标系中，直线mx﹣y+1＝0与圆x2+y2＝2的位置可能为（）A．B．C．D．解：直线mx﹣y+1＝0恒过定点（0，1），又02+12＜2，∴点（0，1）在圆x2+y2＝2的内部，又直线的斜率存在，故A，B，D符合题意．故选：ABD．10．对于方程nx2+my2＝1，下列说法正确的是（）A．当m＝n≠0时，该方程表示圆B．当m＞n＞1时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为2√1nC．当m＜0＜n时，该方程表示焦点在x轴上的双曲线，且渐近线方程为y=±√−nmxD．当m＞0＞n时，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，且焦距为2√1m + 1 n解：A项，当m＝n＞0时，原方程可化为x2+y2=1m，表示圆，当m＝n＜0时，方程x2+y2=1m不表示任何图形，故A项不正确；B 项，当m ＞n ＞1时，原方程可化x 21n+y 21m=1，因为0＜1m ＜1n＜1， 所以该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为2√1n，故B 项正确；C 项，当m ＜0＜n 时，原方程可化为x 21n−y 2−1m=1，表示焦点在x 轴上的双曲线，且渐近线方程为y =±√−nmx ，故C 项正确； D 项，当m ＞0＞n 时，原方程可化为y 21m−x 2−1n=1，表示焦点在y 轴上的双曲线，且焦距为2√1m −1n，故D 项错误．故选：BC ．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，CG →=2GP →，E ，F 分别是PB ，PD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面ABCDB ．三棱锥P ﹣EFG 与三棱锥P ﹣BCD 的体积之比为1：12C ．EG ∥AFD ．A ，E ，G ，F 四点共面解：由题意，A 项，在△BDP 中，E ，F 分别是PB ，PD 的中点， ∴EF ∥BD ，∵BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD ，A 正确；B 项，在三棱锥P ﹣EFG 中，设G 点到△PEF 的距离为h 1， V P−EFG =V G−PEF =13S △PEF ℎ1，在三棱锥P ﹣BCD 中，设C 点到△PBD 的距离为h 2， ∵CG →=2GP →，E ，F 分别是PB ，PD 的中点，∴PG =13PC ，h 2＝3h 1，S △PBD ＝4S △PEF ，V P−BCD =V C−PBD =13S △PBD ℎ2=13⋅4S △PEF ⋅3ℎ1=4S △PEF ℎ1，∴V P−EFG V P−BCD=13S △PEF ℎ14S △PEF ℎ2=112，故B 正确； 对C 项，EG →=12AB →+13PC →=12(−AB →+AP →)+13(−AP →+AB →+AD →)，AF →=AP →+12PD →=AP →+12(−AP →+AD →)=12AP →+12AD →，∴EG →与AF →不平行，EG 与AF 不平行，C 错误；D 项，由几何知识得AE →=12(AB →+AP →)，AF →=12(AD →+AP →)，AG →=AB →+BC →+CG →=AB →+AD →+23CP →=2AE →−AP →+2AF →−AP →+23CP →=2AE →+2AF →−2AP →+23CP →=2AE →+2AF →+2PA →+23CP →=2AE →+2AF →+2(PA →+13CP →)=2AE →+2AF →+2(PA →+GP →)=2AE →+2AF →+2GA →， ∴3AG →=2AE →+2AF →， 即AG →=23AE →+23AF →，∴AG →，AE →，AF →，三向量共面， 即A ，E ，G ，F 四点共面，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知正项数列{a n }满足a n+1={a n2，当a n 为偶数时a n +3，当a n 为奇数时，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若a 1＝10，则a 2023＝2 B ．若a 3＝16，则a 1的值有3种情况 C ．若数列{a n }满足a n +2＝a n ，则a 1＝3 D ．若a n 为奇数，则a n ﹣1＝2a n （n ≥2）解：正项数列{a n }满足a n+1={a n2，当a n 为偶数时a n +3，当a n 为奇数时， 可得a 1＝10，则a 2＝5，a 3＝8，a 4＝4，a 5＝2，a 6＝1，a 7＝4，a 8＝2，a 9＝1，…，a 2023＝4，故A 错误； 若a 3＝16，当a 2为偶数时，a 2＝32，当a 2为奇数时，a 2＝13；当a 1为偶数时，a 1＝64，或26，当a 1为奇数时，a 1＝29，故B 正确；数列{a n }满足a n +2＝a n ，若a 1为偶数，设a 1＝10，由A 的判断过程，可得不成立，即有a 1为奇数，则a 2＝a 1+3，则a3=12（a1+3）＝a1，解得a1＝3，故C正确；若a n为奇数，当a n﹣1为偶数时，a n﹣1＝2a n（n≥2），当a n﹣1为奇数时，3+a n﹣1＝a n（n≥2），即a n为偶数，矛盾，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个过点（0，0），（2，2）的圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2（答案不唯一）．解：设圆的圆心为（a，b），半径为r，则由题意可得{a2+b2=r2(2−a)2+(2−b)2=r2，化简可得a+b＝2，若a＝1，b＝1，则r2＝2，所以一个过点（0，0），（2，2）的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（答案不唯一）14．等差数列{a n}的公差为﹣2，前n项和为S n，且a3是a2与a6的等比中项，则S n＝2n﹣n2．．解：因为等差数列{a n}的公差为﹣2，且a3是a2与a6的等比中项，所以a32=a2a6，即（a1﹣4）2＝（a1﹣2）（a1﹣10），解得a1＝1，则S n＝n+n(n−1)2×(−2)=2n﹣n2．故答案为：2n﹣n2．15．2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A，C，B，D为椭圆的四个顶点，且cosB=−15，则该椭圆的离心率为√33．解：如图，由题意知，cos B =−15，则cos B 2=√1+cosB 2=√1−152=√25， ∴√a 2+b 2=√25，则2a 2＝3b 2＝3（a 2﹣c 2），可得：e =c a =√33． 故答案为：√33． 16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E ∈平面ABB 1A 1，点F 是线段AA 1的中点，若D 1E ⊥CF ，则当△EBC 的面积取得最小值时，D 1E ＝ 2√2 ．解：分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C （0，2，0），B （2，2，0），F （2，0，1），D 1（0，0，2），设E （2，y ，z ），则CF →=(2，−2，1)，D 1E →=（2，y ，z ﹣2），因为D 1E ⊥CF ，所以D 1E →⋅CF →=4−2y +z −2=0，即z ＝2y ﹣2．易知BC ⊥EB ，所以△EBC 的面积为S =BE⋅BC 2=BE×22=BE ． 而BE =√(y −2)2+z 2=√(y −2)2+(2y −2)2=√5y 2−12y +8，所以S =√5y 2−12y +8，当y =65时S 最小，此时D 1E →=(2，65，−85)， 所以|D 1E →|=√22+(65)2+(−85)2=2√2， 所以D 1E =2√2．故答案为：2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点P （0，1），Q(√3，12)． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点且与PQ 平行的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求|MN |的长．解：（1）因为椭圆C 经过点P （0，1），Q(√3，12)，所以{1b 2=13a 2+14b 2=1，① 又a ＞b ＞0，②联立①②，解得a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）由（1）知椭圆C 的左焦点F (−√3，0)，易知直线PQ 的斜率k PQ =1−120−√3=−√36， 若过椭圆C 的左焦点且与PQ 平行的直线交椭圆C 于M ，N 两点， 可得直线MN 的方程为y =−√36(x +√3)，联立{y =−√36(x +√3)x 24+y 2=1，消去y 并整理得4x 2+2√3x −9=0， 此时Δ＞0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由韦达定理得x 1+x 2=−√32，x 1x 2=−94， 所以(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=394， 则|MN|=√1+k PQ 2⋅√(x 1−x 2)2=√(1+112)⋅394=134． 18．（12分）在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，且A 1B 1=12AB ，D 为AB 的中点． （1）证明：平面B 1DC ⊥平面A 1ABB 1．（2）平面A 1ABB 1与平面B 1BCC 1的夹角能否为45°？若能，求出A 1A 的值；若不能，请说明理由．解：（1）证明：因为底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 的中点，故DC ⊥AB ；又A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ，故A 1A ⊥CD ，又AB ∩A 1A ＝A ，AB ，A 1A ⊂平面A 1ABB 1， 故CD ⊥平面A 1ABB 1，又CD ⊂平面B 1DC ，故平面B 1DC ⊥平面A 1ABB 1；（2）由已知可知A 1B 1=12AB ，A 1B 1∥AB 且D 为AB 的中点，则A 1B 1∥AD ，A 1B 1＝AD ， 即四边形AA 1B 1D 为平行四边形，故AA 1∥B 1D ，由A 1A ⊥底面ABC ，得B 1D ⊥底面ABC ，因为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥CD ，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AA 1＝λ，则D （0，0，0），B （1，0，0），C(0，√3，0)，B 1（0，0，λ），结合（1）可知平面A 1ABB 1的法向量可取为n →=（0，1，0）；设平面B 1BCC 1的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，而BB 1→=(−1，0，λ)，BC →=(−1，√3，0)，故{m →⋅BB 1→=−x +λz =0m →⋅BC →=−x +√3y =0，令y ＝λ，则x =√3λ，z =√3，所以平面B 1BCC 1的一个法向量为m →=(√3λ，λ，√3)，假设平面A 1ABB 1与平面B 1BCC 1的夹角能为45°，则|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=|λ|1⋅√4λ+3=√22，即2λ2+3＝0，此方程无解， 假设不成立，即平面A 1ABB 1与平面B 1BCC 1的夹角不能为45°．19．（12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （0，t ）（t ＞0），圆M ：（x ﹣2）2+y 2＝1．（1）若t ＝1，过点A 作圆M 的切线，求此切线的方程；（2）若在圆M 上存在唯一一点P ，使|P A |＝2|PO |，求t 的值．解：（1）由题意得M （2，0），圆M 的半径为1，A （0，1）在圆M 外，过点A 作圆M 的切线，则切线斜率存在，设为k ，则切线方程为y ＝kx +1，即kx ﹣y +1＝0，所以√k2+1=1，解得k=−43或k＝0，故切线方程为4x+3y﹣3＝0或y＝1；（2）设P（x，y），由于|P A|＝2|PO|，所以√x2+(y−t)2=2√x2+y2，整理得x2+y2+2ty3−t23=0，即x2+(y+t3)2=4t29，（t＞0），整理得x2+y2+2ty3−t23=0，即x2+(y+t3)2=4t29，（t＞0），即P点在以(0，−t3)为圆心，2t3为半径的圆上，由题意可知P是唯一的，只有当圆x2+(y+t3)2=4t29与圆M相切时，符合题意；当两圆外切时，则√(2−0)2+(0+t3)2=2t3+1，整理得t2+4t﹣9＝0，解得t=−2+√13（t=−2−√13舍去），故t=−2+√13，当两圆内切时，则√(2−0)2+(0+t3)2=|2t3−1|，整理得t2﹣4t﹣9＝0，解得t=2+√13（t=2−√13舍去），即t=2+√13，综上，可得t=−2+√13或t=2+√13．20．（12分）定义G n=a1+2a2+3a3+⋯+na nn为数列{a n}的“匀称值”．（1）若数列{a n}的“匀称值”为n（n+1），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1＝1，b n＝3b n﹣1+2（n≥2），求数列{b n+1}的“匀称值”．解：（1）由题意可得a1+2a2+...+na nn=n（n+1），即a1+2a2+...+na n＝n2（n+1），n＝1时，a1＝2，n≥2时，由a1+2a2+...+na n＝n2（n+1），可得a1+2a2+...+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣1）2n，两式相减可得na n＝n2（n+1）﹣（n﹣1）2n＝n（3n﹣1），即有a n ＝3n ﹣1，对n ＝1也成立，故a n ＝3n ﹣1，n ∈N *；（2）b 1＝1，b n ＝3b n ﹣1+2（n ≥2），可得b n +1＝3（b n ﹣1+1），则数列{b n +1}是首项为2，公比为3的等比数列，即b n +1＝2•3n ﹣1， 设S n ＝2•30+2•2•31+3•2•32+...+n •2•3n ﹣1， 3S n ＝2•3+2•2•32+3•2•33+...+n •2•3n ，两式相减可得﹣2S n ＝2+2•31+2•32+...+2•3n ﹣1﹣n •2•3n＝2•1−3n 1−3−n •2•3n ＝﹣1﹣（2n ﹣1）•3n ， 则S n =12[1+（2n ﹣1）•3n ]， 可得数列{b n +1}的“匀称值”为S n n =1+(2n−1)⋅3n 2n ．21．（12分）如图，平行四边形ABCD 中，AD =2AB =4√2，∠B ＝60°，E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折起到△P AE 的位置，使AP ⊥DE ．（1）求点P 到平面AECD 的距离；（2）点F 为线段PD 上一点，EF 与平面PCD 所成的角为θ，求sin θ的最大值．解：（1）因为AB ＝2√2，BE =12BC =2√2，∠B ＝60°， 所以△ABE 为等边三角形，所以AE =2√2，∠AEB ＝60°，易知∠DEC ＝30°，所以∠AED ＝90°，即DE ⊥AE ；又因为AP ⊥DE ，AE ∩AP ＝A ，所以DE ⊥平面P AE ，所以平面P AE ⊥平面AECD ．取AE 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥AE ；又因为平面P AE ∩平面AECD ＝AE ，所以PO ⊥平面AECD ；易得PO =√6，所以点P 到平面AECD 的距离为√6．（2）如图所示，取AD 的中点M ，连接OM ，则OM ∥ED ，所以AE ⊥OM ，以O 为原点，分别以OE ，OM ，OP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，√6)，E(√2，0，0)，C(2√2，√6，0），D(√2，2√6，0)；所以DP →=(−√2，−2√6，6），DC →=(√2，−√6，0)，ED →=(0，2√6，0)，设平面PCD 的法向量为m →=（x ，y ，z ），所以{−√2x −2√6y +√6z =0√2x −√6y =0， 令y ＝1，得m →=（√3，1，3）；设DF →=t DP →=（−√2t ，﹣2√6t ，√6t ），0≤t ≤1，所以EF →=ED →+DF →=(−√2t ，2√6−2√6t ，√6t)，所以sin θ＝|cos ＜EF →，m →＞|=|EF →⋅m →||EF →||m →|=√6t+2√6−2√6t+3√6t|√32t −48t+24×√3+1+9=√3√13×√4t −6t+3， 所以当t =34时sin θ最大，最大为√3√13×√4=2√1313．22．（12分）已知直线l 1：y ＝x ，直线l 2：y ＝﹣x ，过动点M 作MA ⊥l 1，MB ⊥l 2，垂足分别为A ，B ，点A在第一象限，点B 在第四象限，且四边形OAMB （O 为原点）的面积为2．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若F （3，0），过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于P （x 0，0），Q （0，y 0）两点，求x 0+y 0的取值范围．解：（1）设M （x ，y ），由直线l 1：y ＝x 1，直线l 2：y ＝﹣x ，可知l 1⊥l 2，故四边形OAMB 为矩形，四边形OAMB （O 为原点）的面积为2，即得|MA |•|MB |＝2，因为|MA|=|x−y|√2，|MB |=|x+y|√2，故√2•√2=2， 得|x 2﹣y 2|＝4由于点A 在第一象限，点B 在第四象限，故动点M 的轨迹方程为x 2﹣y 2＝4（x ≥2）；（2）由题意知F （3，0），过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，即l 与双曲线的x 2﹣y 2＝4的右支交于两点，双曲线的渐近线为y ＝±x ，故k ＞1或k ＜﹣1；设直线l的方程为y＝k（x﹣3），联立{y=k(x−3)x2−y2=4，整理得（1﹣k2）x2+6k2x﹣9k2﹣4＝0，Δ＝36k4﹣4（1﹣k2）（﹣9k2﹣4）＝20k2+16＞0，设C（x1，k（x1﹣3）），D（x2，k（x2﹣3）），则x1+x2=−6k21−k2=6k2k2−1，故CD中点的坐标为(3k2k2−1，3kk2−1)，则CD的垂直平分线的方程为y−3kk2−1=−1k(x−3k2k2−1)，令y＝0，得x0=6k2k2−1，令x＝0，得y0=6kk2−1，故x0+y0=6k2k2−1+6kk2−1=6k(k+1)(k+1)(k−1)=6kk−1=6+6k−1，因为k＞1或k＜﹣1，故−3＜6k−1＜0或6k−1＞0，故3＜6+6k−1＜6或6+6k−1＞6，所以x0+y0的取值范围为（3，6）∪（6，+∞）．。

2020-2021学年广东省肇庆市高一上期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年广东省肇庆市高一上期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年广东省肇庆市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知M＝{y|y＝x2﹣4，x∈R}，P＝{x|2≤x≤4}．则M与P的关系是（）A．M＝P B．M∈P C．M∩P＝∅D．M⊇P2．命题“∀x∈R，x2＞1”的否定是（）A．∃x∈R，x2≤1B．∃x∈R，x2＜1C．∀x∈R，x2＜1D．∀x∈R，x2≤1 3．一元二次不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是（）A．∅B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）4．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．2B．12C．7D．175．已知a＝20.3，b＝log2，则a，b，c三个数的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣17．要得到函数的图象只需将函数的图象（）A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C．.先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度8．已知函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ在处取得最小值，则函数f（x）的一个单减区间为（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若，则下列不等式中正确的是（）A．a+b＜ab B．C．ab＞b2D．a2＞b210．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝﹣x3C．f（x）＝x﹣D．f（x）＝11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（）B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈ZD．f（x）的递减区间为[]，k∈Z12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．14．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，则f（x）＝．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值．16．将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin（x﹣），则f（）＝．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，（1）若a＝2，求集合B；（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝80+log0.8（x+a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知函数f（x）＝2cos x sin（x﹣）+sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（α）＝且0＜α＜，求cos2α的值．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．2020-2021学年广东省肇庆市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知M＝{y|y＝x2﹣4，x∈R}，P＝{x|2≤x≤4}．则M与P的关系是（）A．M＝P B．M∈P C．M∩P＝∅D．M⊇P【解答】解：∵y＝x2﹣4≥﹣4，∴M＝{y|y＝x2﹣4}＝{y|y≥﹣4}，∵P＝{y|2≤y≤4}，∴M⊇P．故选：D．2．命题“∀x∈R，x2＞1”的否定是（）A．∃x∈R，x2≤1B．∃x∈R，x2＜1C．∀x∈R，x2＜1D．∀x∈R，x2≤1【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，x2＞1”的否定为∃x∈R，x2≤1，故选：A．3．一元二次不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是（）A．∅B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：因为﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2＜0恒成立，所以不等式的解集为∅．故选：A．4．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．2B．12C．7D．17【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝f（4）＝42+1＝17．故选：D．5．已知a＝20.3，b＝log2，则a，b，c三个数的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝20.3＞20＝1，0＝log21＜b＝log2＜log22＝1，c＝＜0，∴a，b，c三个数的大小关系为a＞b＞c．故选：B．6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣1【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，B，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除D，故选：C．7．要得到函数的图象只需将函数的图象（）A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C．.先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D．.先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度【解答】解：由函数＝sin2（x+）+2，所以函数＝sin2x的图象，先向左平移个单位长度，得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，再向上平移2个单位长度，得y＝sin（2x+）+2的图象．故选：B．8．已知函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ在处取得最小值，则函数f（x）的一个单减区间为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝cos2x•cosφ﹣sin（2x+π）•sinφ＝cos2x•cosφ﹣sin2x•sinφ＝cos （2x+φ），由f（x）在处取得最小值，可得cos（+φ）＝﹣1，即+φ＝2kπ+π，k∈Z，可得φ＝2kπ+，k∈Z，则f（x）＝cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，﹣≤x≤，可得函数f（x）的一个单减区间为[﹣，]，故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．若，则下列不等式中正确的是（）A．a+b＜ab B．C．ab＞b2D．a2＞b2【解答】解：∵，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，即选项A正确；∵b＜a＜0，∴ab＜b2，a2＜b2，即选项C和D错误；由于＞0，＞0，且a≠b，∴+＞2＝2，即选项B正确．故选：AB．10．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝﹣x3C．f（x）＝x﹣D．f（x）＝【解答】解：根据题意，若f（x）满足对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，若对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则f（x）在其定义域上为减函数，若函数f（x）为“理想函数”，则f（x）在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2，为偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于B，f（x）＝﹣x3，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，对于C，f（x）＝x﹣，在其定义域上不是减函数，不符合题意，对于D，f（x）＝，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，故选：BD．11．函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（）B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈ZD．f（x）的递减区间为[]，k∈Z【解答】解：由函数的图象可得A＝，T＝•＝﹣，求得ω＝2再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故函数f（x）＝sin（2x+）＝cos（﹣2x），故A、B正确，令2x+＝k，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，可得f（x）的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故C错误，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故D错误．故选：AB．12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0【解答】解：要使log a3＜log b3成立，只要＜，∴＜，∴0＞lga＞lgb，或lga＜0，lgb＞0．求得1＞a＞b＞0，或b＞1＞a＞0，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．【解答】解：∵x2﹣xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥＝6xy，即xy≤，当且仅当x＝3y，即，y＝时，等号成立，∴（x+3y）2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×＝，∴≤x+3y≤，∴x+3y的最大值为．故答案为：．14．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，则f（x）＝．【解答】解：∵函数f（x）对x≠0的一切实数都有f（x）+2f（）＝3x，∴消去，可得．故答案为：．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值8．【解答】解：由已知定点P坐标为（﹣2，﹣1），由点P在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+＝（2m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+4＝8当且仅当m＝，n＝取等号．故答案为：8．16．将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin（x﹣），则f（）＝．【解答】解：将函数y＝f（x）图象右移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin（x﹣），故把y＝sin（x﹣）的图象，横坐标伸长到原来的倍，再把它的图象左移个单位，可得f（x）＝sin2x的图象，则f（）＝sin＝，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0，a＞1}，（1）若a＝2，求集合B；（2）如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，x2﹣6x+8≤0，即（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得2≤x≤4，故B＝[2，4]；（2）p：A＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝[2，3]，q：B＝{x|x2﹣（a+a2）x+a3≤0}＝[a，a2]，如果q是p的必要条件，则A⊆B，∴，解得≤a≤2，故a的取值范围为[，2]．18．已知函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1），其中a∈R．（1）当f（x）是奇函数时，求实数a的值；（2）当函数f（x）在[2，+∞）上单调递增时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），则（a+1）（﹣x）2+（a﹣1）（﹣x）+（a2﹣1）＝﹣（a+1）x2﹣（a﹣1）x﹣（a2﹣1），所以，解得a＝﹣1．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣2x，为减函数，不符合题意；当a≠﹣1时，函数f（x）＝（a+1）x2+（a﹣1）x+（a2﹣1）的对称轴为x＝﹣，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以，解得a．综上，实数a的取值范围是．19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝80+log0.8（x+a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解答】解：（1）当x∈（0，16]时，设f（x）＝b（x﹣12）2+84（b＜0），∵f（16）＝b（16﹣12）2+84＝80，∴b＝﹣，∴．当x∈（16，40]时，f（x）＝log0.8（x+a）+80，由f（16）＝log0.8（16+a）+80＝80，解得a＝﹣15，∴f（x）＝log0.8（x﹣15）+80．综上，；（2）当x∈（0，16]时，令，得x∈[0，4]，当x∈（16，40]时，令f（x）＝log0.8（x﹣15）+80＜68，得x≥15+0.8﹣12≈29.6，∴x∈[30，40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4﹣0+40﹣30＝14分钟．20．已知函数f（x）＝2cos x sin（x﹣）+sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（α）＝且0＜α＜，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos x sin（x﹣）+sin2x+sin x cos x＝2cos x（sin x•﹣cos x•）+sin2x+sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）∵f（α）＝2sin（2α﹣）＝，∴sin（2α﹣）＝，∵0＜α＜，∴2α﹣为锐角，cos（2α﹣）＝＝，∴cos2α＝cos[（2α﹣）+]＝cos（2α﹣）cos﹣sin（2α﹣）sin＝﹣＝．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．【解答】解：（Ⅰ）由＝，由，得sin（α+）＝0，又α∈[0，2π]，得或．（Ⅱ）由题知，，由g（x）≤2，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求x的集合为，或．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．。

肇庆市中小学教学质量评估2010-2011学年第一学期期末高一数学试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估2010-2011学年第一学期期末高一数学试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估 2010—2011学年第一学期统一检测题高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合}3,2,1,0{=A ，}4,2,1{=B ，则集合=B AA ．{0，1，2，3，4}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2}D ．{0} 2．若集合}12|{<<-=x x A ，}20|{<<=x x B ，则集合=B A A ．}22|{<<-x x B ．}11|{<<-x x C ．}10|{<<x x D ．}21|{<<x x3．一个年级有12个班，每个班学生的学号都是1~50，为了交流学习经验，要求各班学号为14的学生参加交流活动，这里运用的抽样方法是A ．分层抽样B ．抽签法C ．系统抽样D ．随机数表法 4．函数xx f 8)(=的值域是 A ．),(+∞-∞ B ．)0,(-∞ C ．),0(+∞ D ．),0()0,(+∞-∞ 5．若函数x x x f -+=33)(与x x x g --=33)(的定义域均为R ，则A ．)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数B ．)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数C ．)(x f 与)(x g 均为奇函数D ．)(x f 与)(x g 均为偶函数 6．已知n m 2.02.0<，则n m ,的大小关系是A ．n m >B ．n m =C ．n m <D ．不能确定 7．函数x x x f 2)(2-=的单调减区间是A ．),(+∞-∞B ．(]1,∞-C ．[)+∞,1D ．(]0,∞-8．某地工人月工资y （单位：元）随劳动生产率x （单位：千元）变化的回归方程是x y80500ˆ+=，下列判断正确的是 A ．劳动生产率为1千元时，月工资为580元； B ．劳动生产率提高1千元时，月工资约提高80元； C ．劳动生产率提高1千元时，月工资提高580元； D ．当月工资为750元时，劳动生产率为3千元.9．已知函数11)(+=x x f ，则函数)]([x f f 的定义域是 A ．}1|{-≠x x B ．}2|{-≠x x C ．}21|{-≠-≠x x x 且 D ．}21|{-≠-≠x x x 或10．已知定义域为R ，函数)(x f 满足),)(()()(R b a b f a f b a f ∈∙=+，且0)(>x f ，若21)1(=f ，则)2(-f 等于 A ．21 B ．41C ．2D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11．计算：=-15log 5log 33 ▲ . 12．已知31=+-x x ，则=+-2121xx ▲ .13．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达路口时，看见红灯的 概率是__▲ _.14．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是__▲__.三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（本小题满分12分）在一个实验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，没有一只具有圆形细胞的豚鼠被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率：（1）圆形细胞； （2）椭圆形细胞； （3）不规则形状细胞.16．（本小题满分12分）已知函数x)(.=3f+xx（1）求函数)f的定义域；(x（2）判断函数)f的奇偶性，并说明理由；(x（3）判断函数)f的单调性，并说明理由.(x17．（本小题满分14分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（3）估计电子元件寿命在100~400小时以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400小时以上的概率.18．（本小题满分14分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-+=.0,24,0,24)(22x x x x x x x f（1）求)1(f ，)3(-f ，)1(+a f 的值； （2）求函数)(x f 的零点.19．（本小题满分14分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上.（1）求梯形ABCD 的周长y 与腰长x 间的函数解析式，并求出它的定义域； （2）求梯形ABCD 的周长y 的最大值.20．（本小题满分14分）已知函数)1,0)(1(log )(≠>-=a a a x f x a . （1）求函数)(x f 的定义域； （2）讨论函数)(x f 的单调性.2010—2011学年第一学期统一检测题高一数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11．-1； 12．5； 13．52； 14．110三、解答题15．（本小题满分12分）解：（1）记“具有圆形细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件A ，则0150)(==A P ； （4分） （2）记“具有椭圆形细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件B ， 则2.025050)(==B P ； （8分） （3）记“具有不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件C ， 则1010100)(==C P . （12分）16．（本小题满分12分）解：（1）显然函数)(x f 的定义域为R ； （2分） （2）函数)(x f 为奇函数. （3分） 因为)()()()()(333x f x x x x x x x f -=+-=--=-+-=-， （6分） 所以)(x f 为奇函数. （7分） （3）函数)(x f 在R 上是增函数. （8分） 任取R x x ∈21,，且21x x <，则)()()()(22213121x x x x x f x f +-+=-)())((2122212121x x x x x x x x -+++-=]143)21)[((2222121+++-=x x x x x （10分） 由21x x <，得021<-x x ，0143)21(22221>+++x x x ， （11分） 于是0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <. （12分） 所以，函数)(x f 在R 上是增函数.17．（本小题满分14分）解：（1）完成频率分布表如下： （4分）（3）由频率分布表可知，寿命在100~400小时的电子元件出现的频率为0.10+0.15+0.40=0.65，所以估计电子元件寿命在100~400小时的概率为0.65. （11分） （4）由频率分布表可知，寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35. （14分）18．（本小题满分14分）解：（1）因为01>，所以32141)1(2=-⨯+=f ； （2分） 因为03<-，所以192)3(4)3()3(2=--⨯--=-f ； （4分） 当01≥+a ，即1-≥a 时，362)1(4)1()1(22++=-+++=+a a a a a f ； （6分） 当01<+a ，即1-<a 时，522)1(4)1()1(22--=-+-+=+a a a a a f . （8分） （2）由题意，得⎩⎨⎧=-+≥024,02x x x ，解得62+-=x ； （10分） 或⎩⎨⎧=--<024,02x x x ，解得62-=x . （12分）所以函数)(x f 的零点为62-与62+-. （14分）19．（本小题满分14分）解：（1）如图，作DE ⊥AB 于E ，连接BD .因为AB 为直径，所以∠ADB =90︒. （1分） 在Rt ∆ADB 与Rt ∆AED 中，∠ADB =90︒=∠AED ，∠BAD =∠DAE ， 所以Rt ∆ADB ∽Rt ∆AED . （3分）所以AD AE AB AD =，即ABAD AE 2=. 又AD =x ，AB =4，所以42x AE =. （5分）所以24424222x x AE AB CD -=⨯-=-=， （6分） 于是822124422++-=+-++=+++=x x x x x AD CD BC AB y （7分） 由于0,0,0>>>CD AE AD ，所以024,04,022>->>x x x ， 解得220<<x . （9分）故所求的函数为)220(82212<<++-=x x x y . （10分）（2）因为10)2(21822122+--=++-=x x x y ， （12分）又220<<x ，所以，当2=x 时，y 有最大值10. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）由01>-x a ，得1>x a . （1分） 当1>a 时，0>x ； （2分） 当10<<a 时，0<x . （3分） 所以)(x f 的定义域是当1>a 时，),0(+∞∈x ；当10<<a 时，)0,(-∞∈x . （4分） （2）当1>a 时，任取1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <， （5分） 则21x x a a <，所以1121-<-x x a a . （6分） 因为1>a ，所以)1(log )1(log 21-<-x a x a a a ，即)()(21x f x f <. （8分） 故当1>a 时，)(x f 在),0(+∞上是增函数. （9分） 当10<<a 时，任取1x 、)0,(2-∞∈x ，且21x x <， （10分） 则21x x a a >，所以1121->-x x a a . （11分） 因为10<<a ，所以)1(log )1(log 21-<-x a x a a a ，即)()(21x f x f <. （13分） 故当10<<a 时，)(x f 在)0,(-∞上也是增函数. （14分）。

广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案

肇庆市2023—2024学年第二学期高一年级期末教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，{}2,3B =，则()P A B =（）A.34 B.12C.14D.162.若向量()1,7a =- ，则下列与向量a垂直的向量是（）A.()1,7- B.()1,7 C.()7,1 D.()7,1-3.某射手射靶5次，命中的环数分别为5，6，9，8，7，则命中环数的方差为（）A.2B.2.2C.3D.74.欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知2i 3e π在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒，则tan2α=（）A.B.2C. D.6.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2224b a c =+-，4B π=，则ABC 的面积为（）A.12B.1C.D.27.将函数()sin cos f x x x =图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（）A.()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()12πsin 425g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()πsin 5g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 45g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭8.已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在第二象限且在单位圆上．若13OB OA ⋅=-，劣弧AB 的中点为C ，则OC =（）A.36,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.63,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.25,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.52,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =-，则下列命题为真命题的有（）A.z 的虚部为3-B.z =C.10i z z⋅=D.若z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则9p q +=10.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件=i A “第一次向上的点数为i ”()1,2,3,4,5,6i =，j B =“第二次向上的点数为j ”()1,2,3,4,5,6j =，C =“两次向上的点数之和为7”，则（）A.()16i P A =B.()319P B C =C.11A B 与22A B 是互斥事件D.1A 与C 相互独立11.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>，[]0,πx ∈，对[]0,πx ∀∈都有()m f x M ≤≤，且()f x 的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（）A.0M m +=B.ω的取值范围为811,33⎛⎫⎪⎝⎭C.使()0f x M =的0x 有且只有2个D.方程()f x =的所有根之和为6π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若()()1i 3i m -+为纯虚数，则实数m =________．13.已知函数()cos 2sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，cos x =________．14.如图，M 到N 的电路中有5个元件1T ，2T ，3T ，4T ，5T ，电流能通过1T ，2T ，3T ，4T 的概率都为0.8，电流能通过5T 的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M 与N 之间通过的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150，并绘制成了频率分布直方图，如图所示：注：90分及以上为及格．（1）求a 的值，并估计数学成绩的中位数及众数；（2）在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．16.一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同．（1）从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率；（2）每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率．17.已知向量1e ，2e 满足11e = ，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6．（1）求12e e ⋅；（2）122a e e =+ ，13b e =- ，求cos ,a b的值；（3）若1e 在2e 方向上的投影向量为c，求()1e c λλ-∈R 的最小值．18.如图1，天津永乐桥摩天轮是天津市的地标之一，又称天津之眼，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．永乐桥摩天轮最高点距桥面121m ，转盘直径为110m ，设置48个均匀分布的透明座舱，开启后逆时针匀速旋转，旋转一周所需时间为28min ．如图2，设座舱距桥面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与桥面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．游客从点P 进舱，游客甲、乙的位置分别用点()55cos ,55sin A αα，()55cos ,55sin B ββ表示，其中α，β是终边落在OA ，OB 的正角．（1）证明：sin sin 2cossin 22αβαβαβ+--=；（2）求游客甲的位置A 距桥面的高度()m h 关于转动时间()min t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱，乙的位置B 距桥面的高度为h '，求在转动一周的过程中h h '-的最大值．19.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos sin 0b A B +=，a =O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==．（1）求A ；（2）求()AB AC AO +⋅的最小值；（3）若13BD BC =，求3OA OD + 的取值范围．肇庆市2023—2024学年第二学期高一年级期末教学质量检测数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，{}2,3B =，则()P A B =（）A.34 B.12C.14 D.16【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为{}1,2,3,4Ω=，且事件{}1,2A =，{}2,3B =，则{}1,2,3A B = ，所以()34P A B ⋃=.故选：A2.若向量()1,7a =- ，则下列与向量a垂直的向量是（）A.()1,7- B.()1,7 C.()7,1 D.()7,1-【答案】C 【解析】【分析】根据数量积的坐标表示判断即可.【详解】对于A ：()()1177500⨯-+⨯-=-≠，故A 错误；对于B ：()1177480⨯+⨯-=-≠，故B 错误；对于C ：()17170⨯+⨯-=，故C 正确；对于D ：()()1717140⨯-+⨯-=-≠，故D 错误.3.某射手射靶5次，命中的环数分别为5，6，9，8，7，则命中环数的方差为（）A.2B.2.2C.3D.7【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，命中的环数的平均数为()15698775++++=，则方差为()()()()()222221576797877725⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦.故选：A4.欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知2i 3e π在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2πi 31ei 22=-+，可得结论.【详解】由欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ），可得2πi 32π2π1ecosisin i 3322=+=-+，所以23eπ在复平面内对应的点1(,22-位于第二象限.故选：B .5.已知()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒，则tan2α=（）A.B.32C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式可得tan α=，再由正切函数的二倍角公式，代入计算，【详解】由()1tan15tan 1tan15α+︒=-︒可得1tan15tan 45tan15tan tan 601tan151tan 45tan15α+︒︒+︒===︒=-︒-︒⋅︒，则()222tan 23tan21tan 1ααα===--.故选：C6.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2224b a c =+-，4B π=，则ABC 的面积为（）A.12B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求解三角形的面积即可.【详解】由余弦定理得2222222π42cos 4b ac a c ac a c =+-=+-=+，则4=，则ac =，则ABC 的面积为1sin 1.2ac B =故选：B.7.将函数()sin cos f x x x =图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（）A.()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()12πsin 425g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()πsin 5g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 45g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式结合图像变换的知识求解即可.【详解】()112sin cos sin 2,22f x x x x =⨯=将所有点都向左平移π5个单位长度后,得到π1π12πsin 2sin 252525f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()12πsin 25g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A.8.已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在第二象限且在单位圆上．若13OB OA ⋅=-，劣弧AB 的中点为C ，则OC =（） A.36,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B.63,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭C.25,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D.52,33⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】通过单位圆、A 点坐标及13OB OA ⋅=- ，得1(,33B -，设OB 与x 正半轴的夹角为2α，则1cos 2,sin 233αα=-=，求出sin ,cos αα即可.【详解】由题意可知，(1,0)A ，则()1,0OA =，B 在第二象限且在单位圆上，设(,)B a b ，且2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨⎪⎩，则(),OB a b = ，因为103OB OA a ⋅=+=- ，所以13a =-，即223b =，故1(,33B -.设OB 与x 正半轴的夹角为2α，则2122cos 212sin ,sin 22sin cos 33ααααα=-=-==，因为sin 20α>，且()20,πα∈，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,cos 33αα==，所以C 点坐标为,33C ，故(,33OC = .故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =-，则下列命题为真命题的有（）A.z 的虚部为3-B.13z =C.10i z z⋅=D.若z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则9p q +=【答案】ABD 【解析】【分析】求得复数的虚部与模可判断AB ，求得10i z ⋅，可判断C ；由已知可得25(123)i 0p q p +-+--=，可求得p q +判断D.【详解】对于A ：由23i z =-，可得复数z 的虚部为3-，故A 正确；对于B ：222(3)13z =+-=B 正确；对于C ：242102i (23i)i (23i)2i 3i z z +⨯==---≠+⋅= ，故C 错误；对于D ：因为z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以2(23i)(23i)0p q -+-+=，所以4912i 23i 0p p q --+-+=，所以25(123)i 0p q p +-+--=，所以2501230p q p +-=⎧⎨--=⎩，解得4,13p q =-=，所以9p q +=，故D 正确；故选：ABD.10.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件=i A “第一次向上的点数为i ”()1,2,3,4,5,6i =，j B =“第二次向上的点数为j ”()1,2,3,4,5,6j =，C =“两次向上的点数之和为7”，则（）A.()16i P A =B.()319P B C =C.11A B 与22A B 是互斥事件D.1A 与C 相互独立【答案】ACD 【解析】【分析】由古典概型计算()i P A ，()3P B C ，判断A,B;运用互斥事件概念判断C ；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D.【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，i A 表示第一次向上出现i 点()1,2,3,4,5,6i =，第二次向上任一点,1()6i P A =()1,2,3,4,5,6i =，则A 正确.3B C 表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4,则等价于说第一次出现1,2,3,5,6，第二次向上是3点.满足题意的有(1,3),(2,3),(3,3),(5,3),(6,3)，共5种，则概率为()3536P B C =.故B 错误．11A B 表示点数组合(1,1)，22A B 表示出现(2,2)，不能同时发生，故11A B 与22A B 是互斥事件，故C 正确．由A 知道，()116P A =,C 表示两次点数之和是7，则C 包含结果数为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种,则概率61()366P C ==．1AC 表示第一次出现1点，且两次和为7．满足题意的有(1,6).则11()36P AC =.故11()()()P AC P A P C =.则1A 与C 相互独立.故D 正确．故选：ACD.11.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>，[]0,πx ∈，对[]0,πx ∀∈都有()m f x M ≤≤，且()f x 的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（）A.0M m +=B.ω的取值范围为811,33⎛⎫⎪⎝⎭C.使()0f x M =的0x 有且只有2个D.方程()f x =的所有根之和为6π【答案】AC 【解析】【分析】()πsin 2sin()3f x x x x ωωω==+，始终把3x πω+看做一个整体，借助正弦函数的图象、最值、方程的根来对选项逐一分析即可.【详解】()πsin 2sin()3f x x x x ωωω=+=+，令3t x πω=+，则2sin y t =，令()0f x =，即sin 0t =，[]0,πx ∈ ，πππ,π333t x ωω⎡⎤∴=+∈+⎢⎥⎣⎦，则()f x 在[]0,π上有3个零点，则max 3π4πt ≤<，即π3ππ4π3ω≤+<，解得81133ω≤<，故B 错误；[]0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，则=2,2M m =-，所以0M m +=，故A 正确；若0()2f x M ==，即0πsin(13x ω+=，0π32x πω+=或0π532x πω+=，故C 正确；()0f =，且()f x 的零点有且只有3个，所以方程()f x =有四个根，从小到大分别为1230,,,x x x .()f x =，即sin 2t =，则112233π2ππ7ππ8π,,333333t x t x t x ωωω=+==+==+=，则12314π(0)3x x x ω+++=，故12314π03x x x ω+++=，即方程()f x =14π3ω，故D 错误.故选：AC .【点睛】方法点睛：解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围，如本题B 选项，具体方法为：（1）根据x 的范围，求出x ωϕ+的范围；（2）把x ωϕ+看成一个整体，即利用换元法，把sin()y A x ωϕ=+变成sin y A t =来降低解决问题的难度，再借助正弦函数的图象，要使()f x 有3个零点，则x ωϕ+的最大值就必须在[3π,4π)之间，列出不等式即可求出ω的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若()()1i 3i m -+为纯虚数，则实数m =________．【答案】3-【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为()()()()21i 3i 3i i 3i 33i m m m m m -+=+--=++-，又()()1i 3i m -+为纯虚数，所以3030m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-.故答案为：3-13.已知函数()cos 2sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，cos x =________．【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可.【详解】()cos 2sin ),f x x x x ϕ=-=+其中cos ,sin ,55ϕϕ==当()f x 取得最大值时，cos()1,x ϕ+=sin()0,x ϕ+=所以()()()cos cos cos cos sin sin 155x x x x ϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=+-=+++=⨯=⎣⎦故答案为：514.如图，M 到N 的电路中有5个元件1T ，2T ，3T ，4T ，5T ，电流能通过1T ，2T ，3T ，4T 的概率都为0.8，电流能通过5T 的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M 与N 之间通过的概率为________．【答案】0.99216【解析】【分析】先应用独立事件的概率乘法公式，再结合互斥事件的概率和公式计算即可.【详解】设12345,,,,T T T T T 能通过电流分别为事件12345,,,,A A A A A ,事件相互独立,设电流能在M 与N 之间通过为事件B,所以()()()()()()()()()512345110.910.20.210.20.20.10.99216P B P A P A A P A A P A =+--=+-⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：0.99216.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150，并绘制成了频率分布直方图，如图所示：注：90分及以上为及格．（1）求a 的值，并估计数学成绩的中位数及众数；（2）在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．【答案】（1）0.0125a =；中位数102.5；众数100（2）15【解析】【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质代入计算，即可求得a ，再由中位数与众数的计算公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由频率分布直方图可得及格的人数，再由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，()0.00250.010.020.005201a ++++⨯=，解得0.0125a =，设中位数为x ，因为()0.00250.01200.250.5+⨯=<，()0.00250.010.02200.650.5++⨯=>，所以中位数在[)90,110范围内，则()()0.00250.0120900.020.5x +⨯+-⨯=，解得102.5x =，则中位数为102.5，再由频率分布直方图可知众数为100.【小问2详解】由频率分布直方图可知，及格的人数为()0.020.01250.0052012090++⨯⨯=人，再由分层抽样可得，及格的学生应抽取902015120⨯=人.16.一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同．（1）从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率；（2）每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率．【答案】（1）925（2）27100【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先利用列举法求出取一次球取到两球都是红球的概率，取到一个红球一个白球的概率，取得两球都是白球的概率，再分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】设第一次与第二次摸到的都是红球为事件A ，则()3395525P A =⨯=.【小问2详解】记3个红球分别为a ，b ，c ，2个白球分别为D 、E ，则从盒子中任取两个球所有可能结果为ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE 共10种，所以取到两球都是红球的概率为310，取到一个红球一个白球的概率为63105=，取得两球都是白球的概率为110；经过2次抽取后盒中恰好都是红球分两种情况:①第一次取出两个红球，概率为310，第二次取出两个白球，概率为110，故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3131010100⨯=；②第一次取出一个红球一个白球，概率为35，第二次取出一个红球一个白球，概率为42105=，故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3265525⨯=；综上，经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为362710025100+=.17.已知向量1e ，2e 满足11e = ，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6．（1）求12e e ⋅；（2）122a e e =+ ，13b e =- ，求cos ,a b的值；（3）若1e 在2e 方向上的投影向量为c，求()1e c λλ-∈R 的最小值．【答案】（1）32-（2）7（3）4【解析】【分析】（1）由向量的数量积的定义即可求解；（2）利用向量的夹角公式求解即可；（3）先求得投影向量，进而计算可求()1e c λλ-∈R的最小值.【小问1详解】因为11e =，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6，所以12125π3||||cos 1(622e e e e ⋅=⋅=-=- ；【小问2详解】因为21211213)(3)3636()6(22b e e e e e e a -=----=-+=⨯=，||a ==== ，1|||3|=3b e =-，所以cos ,7||||a b a b a b ===.【小问3详解】1e 在2e 方向上的投影向量为122222231232||e e c e e e e -===- ，所以1e c λ-==== 当34λ=时，()1e c λλ-∈R的最小值为4．18.如图1，天津永乐桥摩天轮是天津市的地标之一，又称天津之眼，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．永乐桥摩天轮最高点距桥面121m ，转盘直径为110m ，设置48个均匀分布的透明座舱，开启后逆时针匀速旋转，旋转一周所需时间为28min ．如图2，设座舱距桥面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与桥面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．游客从点P 进舱，游客甲、乙的位置分别用点()55cos ,55sin A αα，()55cos ,55sin B ββ表示，其中α，β是终边落在OA ，OB 的正角．（1）证明：sin sin 2cossin 22αβαβαβ+--=；（2）求游客甲的位置A 距桥面的高度()m h 关于转动时间()min t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱，乙的位置B 距桥面的高度为h '，求在转动一周的过程中h h '-的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）()ππ55sin 660142h t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（3）552m【解析】【分析】（1）利用和差角的正弦公式计算可得；（2）由周期求出旋转角速度，即可得到ππ142t α=-，从而求出解析式；（3）依题意可得π6βα=+，即可得到ππ55sin 66143h t ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，从而表示出h h '-，结合（1）中公式及余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为sin sin sin +sin 2222αβαβαβαβαβ+-+-⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sinsin cos cos sin cos cos sin 22222222αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+-+-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=2cossin 22αβαβ+-=，所以sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=.【小问2详解】依题意可得()0,55P -，点O 到桥面的距离为66m ，又摩天轮旋转一周所需时间为28min ，所以旋转角速度为()2ππrad/min 2814=，所以ππ142t α=-，所以()ππ55sin 660142h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；【小问3详解】因为2ππ4486AOB ∠=⨯=，则π6βα=+，所以πππππ55sin 6655sin 661426143h t t ⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ55sin 55sin 143142h t h t ⎛⎫⎛⎫'---⎪ ⎪⎝⎝-=⎭⎭ππππsin sin 14315452t t ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=π5ππcos sin141212110t =⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭π5π1421t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=()028t ≤≤，所以当π5π01412t -=（或π）时h h '-取得最大值，最大值为552m ，其中πππππππ1sinsin sin cos cos sin 1234343422224-⎛⎫=-=-=⨯ ⎪⎝⎭.19.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos sin 0b A B +=，a =O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==．（1）求A ；（2）求()AB AC AO +⋅的最小值；（3）若13BD BC =，求3OA OD + 的取值范围．【答案】（1）2π3（2）1（3）(2,1+【解析】【分析】（1）根据正弦定理和商关系得出角的值；（2）利用余弦定理、基本不等式和向量数量积公式，计算得出结果；（3角的取值范围求得3OA OD +的取值范围；【小问1详解】正弦定理得1sin tan sin sin cos sin cos cos a b b A A A B b A A A A==⇒=⇒==--因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】O 为平面内一点，且满足OA OB OC ==，则O 为ABC 外接圆圆心，设外接圆半径为R ,由（1）知2π3A =，22,1sin 32a R R A====，所以1OA OB OC === 余弦定理得22222222cos 3321a b c bc A b c bc bc b c bc bc =+-⇒=++⇒-=+≥⇒≤当b c =时取等号；()cos cos AB AC AO AB AO AC AO AB AO BAO AC AO CAO+⋅=⋅+⋅=⋅∠+⋅∠222211113=12222c b b c bc c b c b +-+-+-=⨯+⨯=≥，所以()AB AC AO +⋅的最小值为1；【小问3详解】若13BD BC =，所以333332OA OD OA OB BD OA OB BC OA OB BO OC OA OB OC+=++=++=+++=++=====根据正弦定理得π2,πsin sin sin 3a b c B C A A B C ===+=-=,所以3OA OD +==========因为(]ππππ0<+2π,sin(2)0,13333C C C <⇒<<+∈，((π4+2)4,4,2,13C +∈++因此3OA OD + 的取值范围为(2,1+．。

广东省肇庆市2013-2014学年高一下学期期末统一检测数学试题 Word版含答案

试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014学年第二学期统一检测题高一数学本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1．已知向量(,2),(1,4)x ==-a b ，且//a b ，则x =A ．12-B ．12C ．-8D ．8 2．不等式2230x x +-≤的解是A ．(,3]-∞-B ．[1,)+∞C ．[3,1]-D ． (,3]-∞-[1,)+∞ 3．等差数列8，5，2，…的第20项是A ．68B ．65C ．46-D ．49- 4．已知0<<b a ，则下列不等式一定成立的是A ．b a -<- B ．b a ->|| C ．1<b a D ．ba 11< 5．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥a b c ，则λ=A ．113-B ．-8C ．2D ．126．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．327．在ABC ∆中，已知||||||2AB BC AC ===，则向量AB 与BC 的数量积=⋅BC ABA． B．- C ．2 D ．-28．函数3)(23++=x xx x f （0>x ）的最小值是 A ．5 B． C ．3 D ．2 9. 函数)32sin(3π+=x y 的图象，可由函数sin y x =的图象经过下述变换而得到A ．向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍B ．向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31C ．向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍D ．向左平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的3110．已知两点O （0，0）、A （1，1）及直线l ：a y x =+，它们满足：O 、A 有一点在直线l 上或O 、A 在直线l 的两侧. 设2()23h a a a =++，则使不等式242()x x h a +-≤恒成立的x 的取值范围是A ．[]0,2B ．[]5,1-C ．[]3,11D ．[]2,3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. ） 11．︒480sin 的值等于 ▲ .12．不等式2650x x --<的解集是 ▲ .13．设变量x ，y 满足约束条件30,0,3620,x y y x y -≤≥-⎧≤+--⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =+的最大值为 ▲ .14．给定两个平面单位向量OA 和OB ，它们的夹角为60︒．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动． 若y x +=,其中,x y R ∈，则x y +的 最大值是 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤. ） 15．（本小题满分12分）已知53)sin(=-απ，),2(ππα∈. （1）求)cos(απ+的值；（2）求)tan(απ-的值； （3）求sin 2cos 2αα+的值.16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：36a =，5724a a +=. （1）求n a 和n S ；（2）设n an b )2(=，求数列{}n b 的前项和n T .17．（本小题满分14分）已知函数)3sin()(πω-=x A x f ，（A ，ω为常数，且A >0，ω>0，R x ∈）的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的最大值和最小正周期； （2）求)2(πf 的值；（3）已知56)122(=-παf ，),2(ππα∈，求)4cos(πα-的值.18．（本小题满分14分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，*12()n n na S n N +=∈，数列{}n b 为等比数列，且满足12b a =，342b b =.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （3）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19．（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且269sin sin 0525B B -+=． （1）求)4sin(π+B 的值；（2）若a =5，b =9，求cos A 的值； （3）若b =5a c +=，求△ABC 的面积．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（*N n ∈，a 为常数，且0,1a a ≠≠）．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设21nn nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：123n T n >-．2013—2014学年第二学期统一检测题高一数学参考答案及评分标准一、选择题10．选B. 解析：由O 、A 有一点在直线l 上可得0a =或2a =，由O 、A 在直线l 的两侧可得(2)0a a -<，即02a <<，故02a ≤≤，又函数2()(1)2h a a =++在[]0,2上单调递增，所以max min ()(2)11,()(0)3h a h h a h ====.由242()x x h a +-≤得2423x x +-≤，解之得51x -≤≤.二、填空题 11．23 12．),1()6,(+∞--∞ 13．13 14．33214.3. 解析：由题设可知1OA OB OC ===及OA 和OB 的夹角为60，所以21=⋅．由O C x O A y O B =+及图形可知0,0x y ≥≥，从而22()OC xOA yOB =+，则222221()()()2x y x y xy x y xy x y +=++=+-≥+-，从而24()3x y +≤，即x y +≤当且仅当x y ==时， x y +．三、解答题15．（本小题满分12分）解：（1）∵()3sin ,5πα-=∴3sin 5α= （1分） 又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 5α===- （3分）∴()4cos cos 5παα+=-=（4分） （2） ∵435453cos sin tan -=-==ααα （6分）∴43tan )tan(=-=-ααπ （7分）（3）∵3sin 5α=,4cos 5α=-∴3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭（9分） 2247cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯--= ⎪⎝⎭（11分） ∴24717sin 2cos 2252525αα+=-+=- （12分）16．（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .∵36a =，5724a a +=，即()()111264624a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ （2分）解得⎩⎨⎧==.2,21a d （4分）∴2(1)22n a n n =+-⨯= （6分）21()(22)22n n n a a n n S n n ++===+ （8分） （2） ∵22na nn n b === （9分）∴231232222n n T b b b b =++++=++++ （10分）12(12)2212n n +-==-- （12分）17．（本小题满分14分）解：（1）从图可知，函数()y f x =的最大值2A = （2分） ∵115212122T πππ=-=， （3分） ∴T π=，即最小正周期为π （4分） （2）∵222T ππωπ===， （5分） ∴函数()y f x =的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（6分）∴2sin 22sin 2sin 22333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （8分） （3） ∵2sin 22sin 21221232f απαπππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（9分）62cos 5α=-=， （10分）∴3cos 5α=-， （11分）∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=== （12分）∴cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ （13分）3455=-=（14分）18．（本小题满分14分）解：（1）由111,2()n n a na S n N *+==∈，得222112===a S a （2分） （2）当2≥n 时，由12n n na S +=，得1(1)2n n n a S --= （3分） 两式相减，得11(1)2()n n n n na n a S S +---=-，即：1(1)n n na n a +=+，∴11n n a n a n++=（4分） ∴22=a ，3232a a =，3434=a a ，…，11n n a na n -=-， 以上（1n -）个式子相乘得n n nn n a n =-⨯--⨯⨯⨯⨯=12134232 （3≥n ），（5分） 又11=a ，22=a ，∴()n a n n N *=∈ （6分） 由已知122b a ==，设等比数列{}n b 的公比为q ， 由342b b =，得432b b =，即2q = （7分） 故2n n b = （8分） （2）设数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ， 则231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ （9分） 23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ （11分） 两式相减得23122222n n n T n +-=++++-⋅ （12分）12(12)212n n n +-=-⋅- （13分） 1(1)22n n +=--⋅-故22)1(1+⋅-=+n n n T （14分）19．（本小题满分14分）解：（1）由已知269sin sin 0525B B -+=，即23sin 05B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， （1分） 所以3sin 5B =. （2分）∵ABC ∆是锐角三角形，∴4cos 5B == （3分） ∴sin sin cos cos Bsin 444B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ （4分）34525210=⨯+⨯=（5分） （2）由（1）知，3sin 5B =因为 5,9a b ==，由正弦定理sin sin a bA B= （6分） 得35sin 15sin 93a B Ab ⨯=== （8分） ∵ABC ∆是锐角三角形，∴cos A ===（9分）（3）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-． （10分） 将4cos 5B =，b =218()75a c ac +-=． （12分） 因为 5a c +=，所以 5ac =． （13分） 所以△ABC 的面积1133sin 52252S ac B ==⨯⨯=． （14分）20．（本小题满分14分） 解：（1）由题意，得)1(1111--==a a aS a ，∴1,a a = （1分） 当2n ≥时，11,11n n n n n a a a S S a a a a --=-=--- 即1n n a a a -=， （2分） 所以{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列， （3分） 于是1n n n a a aa -=⋅=. （4分）（2）由（1）知，2(1)(31)211(1)n n n n n aa a a a ab a a a ⋅----=+=-（*）， （5分）所以21232323223,,,a a a b b b a a +++=== （6分）因为{}n b 为等比数列，所以2213,b bb = （7分）故222323223a a a a a +++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得13a =， 再将13a =代入（*）式，得3n n b =为等比数列，故13a =． （8分） （3）证明：由（2）知13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11111333131111133n n n nn n n c +++=+=++-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（9分） 111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+-11123131n n +⎛⎫=-- ⎪+-⎝⎭，（10分） 由111111,313313n n n n ++<>+-，得111111,313133n n n n ++-<-+- （11分） 所以11131122313133n n n n n c ++⎛⎫⎛⎫=-->-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭＋， （12分） 从而122231111111222333333n n n n T c c c +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++>--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦22311111112333333n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（13分） 312313121->⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+n n n ，即312->n T n . （14分）。

广东省肇庆市2021-2021学年高一上学期期末数学试题

绝密★启用前肇庆市2020—2021学年第学期末高一年级教学质量检测数学2021.1注意事项：1．本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{310},{1}A x x B x x =-<<=>||，则A B ⋂=（ ） A ．(3,1)- B ．(1,10) C ．(3,10)- D ．(1,3)- 2．tan210sin300︒+︒=（ ） A．6-B．6 C．6 D．6- 3．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号（Chang'e5）探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转2π弧度，飞过的长度约为( 3.14)π≈（ ） A ．1069千米 B ．6713.32千米 C ．628千米 D ．3356.66千米 4．已知1221515,log ,log 25a b c -===，则这三个数的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>5．“x y <”是“1122log log x y >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知点(1,2)P -是角α终边上一点，则sin cos αα+=（ ）A B C ． D ．-7．sigmoid 函数()()1g t Kf t e=+是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid 函数模型0.2(63)()1t K f t e--=+，当()*0.9f tK =时，病毒增长达到最大，则*t 约为(ln9 2.2)≈（ ） A ．90 B ．83 C ．74 D ．638．已知,αβ均为锐角，2cos )23ααβ=+=-，则sin β=（ ）A ．6 B ．6或6 C ．6 D ．26-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列函数为奇函数的是（ ）A ．()x x x xe ef x e e---=+ B ．(()ln f x x =C ．11()212xf x =+- D ．()f x =10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0,0||2A πωϕ>><<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象可以由2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π个单位长度得到 B ．函数()f x 的图象可以由2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移12π个单位长度得到 C ．函数()f x 的图象可以由2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到 D ．函数()f x 的图象可以由2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵标不变横坐标变为原来的12得到 11．下列不等式中一定成立的是（ ） A ．sin470sin115︒>︒ B ．1617coscos 78ππ> C ．cos226sin224︒>︒ D ．tan1600tan1415︒>︒ 12．下列说法中正确的是（ ） A ．函数2()ln(1)f x x x=+-只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上 B ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)(1)f x f x -=+，且当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，则322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．已知()f x 的定义域为R ，且(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，则(7)f x +一定是奇函数D ．实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()tan2xf x =的最小正周期为___________．14．求值：tan 72tan 4872tan 48︒+︒-︒︒=_________．15．已知2a b +=，且,,a b a b +∈>R ，则112a b b+-的最小值为________． 16．已知函数22log (1),13,()817,3,x x f x x x x +-<⎧=⎨-+>⎩若函数()y f x t =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则实数t 的取值范围是____________，设1234x x x x <<<，则()341211x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知全集U=R ，集合{}|1264x A x =，{|211}B x m x m =-<<+．（1）当1m =-时，求()UA B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）小明有100万元的闲置资金，计划进行投资．现有两种投资方案可供选择，这两种方案的回报如下： 方案一：每月回报投资额的2%；方案二：第一个月回报投资额的0.25%，以后每月的回报比前一个月翻一番． 小明计划投资6个月．（1）分别写出两种方案中，第x 月与第x 月所得回报y （万元）的函数关系式； （2）小明选择哪种方案总收益最多？请说明理由． 19．（本小题满分12分）已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =．（1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <． 20．（本小题满分12分）已知函数()cos sin )0)2f x x x x ωωωω=+->，且()f x 的最小正周期为π．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若2()f x ，求x 的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数()xxf x e ae -=+是偶函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求a 的值；（2）若关于x 的不等式()10xf x me m -+--在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时．（1）求小明与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t 的最小值．肇庆市2020-2021学年第一学期末髙一年级教学质量检测数学参考答案及评分标准2021.1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．A 解析：()()tan 210sin 300tan 18030sin 36060tan 30sin 6032︒+︒=︒+︒+︒-︒=︒-︒=-=6-，故选A ．3．D 解析：由弧长公式，得(4001738)3356.662l π=+≈（千米），故选D ．4．B解析：1222155150,log log 52,log 2log 2155a b c -==>==-<-==->-且5log 20-<，故a c b >>，故选B ．5．B 解析：若0x y <<，则1122log log x y >不成立，故不具有充分性，因为12log y x =单调递减，所以x y <，故有必要性，故选B ．6．D 解析：因为点(1,2)P -是角α终边上一点，所以sin 55αα-==，所以sin cos αα+=D ． 7．C 解析：由()()**0.2630.91t K f tK e--==+，得()*0.26310.91t e--=+，故()*0.26319t e--=，即()*0.263ln9 2.2t --=-≈-，所以*7t =，故选C ．8．A解析：由2cos )3ααβ=+=-，得sin )ααβ=+=，所以2sin sin[()]sin()cos cos()sin 3βαβααβααβα⎛⎫=+-=+-+=--= ⎪⎝⎭．故选A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ABC 解析：对于A 选项，()()x xxxe ef x f x e e----==-+，故A 是奇函数； 对于B选项，(()ln f x x -=-+，((()()ln ln 0f x f x x x -+=-+++=，故B 是奇函数；对于C 选项，1121()212122x x x f x --=+=+--，2111()()0122212x x xf x f x -+=+++=--，故C 是奇函数；对于D 选项，10111xx x-⇒-<+，定义域不关于原点对称，故D 不是奇函数，故选ABC ．10．BD 解析：由图象可得，函数()2sin 22sin 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BD 正确．故选BD ．11．AD 解析：sin470sin110sin115︒=︒>︒，故A 正确； 因为16217coscos ,cos cos 7788ππππ==，又78ππ>，所以2cos cos 78ππ<，故B 错误； 因为()()cos226cos 18046cos46cos 9044sin44︒=︒+︒=-︒=-︒-︒=-︒， 又()sin224sin 18044sin44︒=︒+︒=-︒， 故cos226sin224︒=︒，所以C 错误；因为()()tan1600tan 4360160tan160tan 18020tan20︒=⨯︒+︒=︒=︒-︒=-︒，()tan1415tan 436025tan25︒=⨯︒-︒=-︒，又tan25tan20︒>︒，所以tan25tan20-︒<-︒，故D 正确，故选AD ． 12．BCD 解析：函数2()ln(1)f x x x=+-单调递增，又(1)ln220,(2)ln310f f =-<=->， 所以该零点在区间(1,2)上，故A 错误；由(1)(1)f x f x -=+得，1113112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，所以211log 224f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故11222f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； 由(1)f x -为奇函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x -=---⇒=---，由(1)f x +为偶函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-+，所以(2)(2)()(4)f x f x f x f x ---=-+⇒-=+()(8)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为8，故(1)(7)f x f x -=+，所以(7)f x +一定是奇函数，故C 正确；命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题，则“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题，当0a =时，“,10x ∀∈-<R ”为真命题，当0a >时，“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为假命题，当0a <时，10a -<<时，2(2)40a a ∆=+<，这时“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题，1a -时，2(2)40a a ∆=+，这时“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为假命题，故实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件，故D 正确．故选BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2π 解析：212T ππ==．14．解析：因为()tan72tan 48tan120tan 72481tan72tan 48︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan 72tan 4872tan 48︒+︒=︒︒．故tan 72tan 4872tan 48︒+︒-︒︒= 15．2 解析：由2a b +=，得2a b =-， 所以111111(222)1222112222222222222b b b b a b b b b b b b b -+-⎛⎫⎛⎫+=+=+=+++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 且仅当222222b b b b -=-，即13,22b a ==时等号成立．16．(2,1)8--- 解析：()y f x t =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，即方程()f x t =-有四个不同的解，函数()f x 的图象如下图．由图可知21t -<<-，由二次函数的对称性，可得348x x +=，又()()()()2122212log 1log 1log 110x x x x -+=+⇔++=，即()()12111x x ++=，得12120x x x x ++=，所以12111x x +=-，故()3412118x x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）解：（1）当1m =-时，B {|30}B x x =-<<． 1分 又∵{|06}A x x =， 3分 ∴{|36}A B x x ⋃=-<， 4分 ∴(){|3UA B x x ⋃=-或6}x >． 5分（2）当B =∅时，211m m -+，即2m ，这时B A ⊆． 7分当B ≠∅时，有211,021,16,m m m m -<+⎧⎪-⎨⎪+⎩解得122m <． 9分 综上，m 的取值范围为1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭． 10分 18．（12分）解：（1）设第x 月所得回报为y 万元，则方案一可以用1002%2y =⨯=（x *∈N 且6x ）描述； 2分方案二可以用11000.25%2x y -=⨯⨯（x *∈N 且6x ）描述． 4分（2）两个方案每月的回报额列表如下：7分若选择方案一，则总回报为2612⨯=（万元）， 9分若选择方案二，则总回报为0.250.5124815.75+++++=（万元）． 11分 故选择方案二总收益最多． 12分 19．（12分）解：由题意可得，(0)2f c ==， 1分（1）因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，所以228c a a ⨯==，所以18a =， 2分 故()12584f x y x x x ==+-． 3分 当0x >时，1251251284844x x x x +-⨯=-，当且仅当4x =时等号成立； 4分 当0x <时，12512515928484844x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛+-=--+-----=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦，当且仅当4x =-时等号成立． 5分 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 6分（2）2()(21)2(1)(2)f x ax a x ax x =-++=--． 当0a >时，分三种情况讨论： ①当12a <，即12a >时，1()02f x x a <⇒<<； 8分 ②当12a =，即12a =时，无解； 9分 当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<． 10分 综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅；当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 12分20．（12分）解：2()cos sin )sin cos 22f x x x x x x x ωωωωωω=+-=+- 1分1cos2sin 2222xxωω+=+- 2分1cos2sin 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 3分又函数()f x 的最小正周期为x ，所以22ππω=，故1ω=， 4分 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 5分（1）由题意，得3222,232k x k k πππππ+++∈Z ， 6分解得7,1212k x k k ππππ++∈Z ， 7分所以()f x 的单调递减区间是7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 8分（2）因为2()sin 232f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以39222()434k x k k πππππ+++∈Z ， 10分解得523()2424k x k k ππππ++∈Z ， 11分所以523,()2424x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 12分21．（12分）解：（1）∵函数()x x f x e ae -=+是偶函数，∴()()f x f x -=，即x x x x e ae e ae --+=+，∴1a =． 2分（2）由题意，知10x x x e e me m --++--在(0,)+∞上恒成立， 4分则()11x x x e e m e --+--，即()211x x x m e e e --+， 6分 ∴211xx x e e n e -+-． 8分令1(0)x e t t -=>，则1x e t =+．∴22(1)(1)1111t t t t m t t t t +-++++==++． 10分∴3m ． 12分22．（12分）解：（1）如图，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x 轴建立直角坐标系．由题意可设sin()(0,0,0)y A x b A b ωϕω=++>>∵摩天轮的最高点距地面101m ，最低点距地面1018417(m)-=， 1分∴101,17,A b A b +=⎧⎨-+=⎩解得42,59A b==． 3分又函数周期为t ，∴2t πω=，∴242sin 59(0)y x x t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 4分又0x =时，17y =， 5分∴21742sin059tπϕ⎛⎫=⨯++⎪⎝⎭，即sin1,ϕϕ=-可取2π-，6分∴2242sin5942cos592y x xt tπππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0x，t为参数）．7分（2）依题意，可知242cos5980y xtπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，8分即21cos2xtπ⎛⎫-⎪⎝⎭，9分不妨取第一圈，可得2242,3333t tx xtπππ，11分∴持续时间为2533t t-，即15t，∴t的最小值为15．12分。

广东省肇庆市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测试题 数学含答案

肇庆市2023—2024学年第一学期高二年级期末教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上.2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()3,1,4--关于平面Oxy 的对称点为（）A.()3,1,4--- B.()3,1,4-- C.()3,1,4- D.()3,1,4-2.已知数列{}n a 为等差数列，且17134πa a a ++=，则7sin a =（）A.12B.12-C.2D.23.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC 的“勾”“股”分别为6，8，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线方程为（）A.22124y x -= B.22124x y -=C.2214924x y -= D.224121x y -=4.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，AB a =，AD b =，1AA c = ，则1D E = （）A.12a b c-+ B.12a b c-- C.32a b c++D.1122a b c +- 5.直线l ：210x y -+=与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45 得到直线l '，则直线l '的方程为（）A.210x y +-=B.310x y -+=C .310x y +-= D.330x y +-=6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A.552 B.452 C.92 D.1027.已知圆1O ：()2221x y r -+=（0r >），圆2O ：2214240x y y +-+=，若圆1O 上存在点P 关于直线10x y --=的对称点Q 在圆2O 上，则r 的取值范围是（）A.[]1,10B.()1,11C.[]1,11 D.25,525⎡⎤-+⎣⎦8.抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上点M 反射后，其反射光线过点()33,3N ，且120FMN ∠= ，则△FMN 的面积为（）A.934B.94C.332D.932二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在同一平面直角坐标系中，直线10mx y -+=与圆222x y +=的位置可能为（）A. B.C. D.10.对于方程221nx my +=，下列说法正确的是（）A.当0m n =≠时，该方程表示圆B.当1m n >>时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为C.当0m n <<时，该方程表示焦点在x 轴上的双曲线，且渐近线方程为y =D.当0m n >>时，该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，且焦距为11.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2CG GP =，E ，F 分别是PB ，PD 的中点，则（）A.EF ∥平面ABCDB.三棱锥P EFG -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:12C.EG ∥AFD.A ，E ，G ，F 四点共面12.已知正项数列{}n a 满足1,23,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则下列结论一定正确的是（）A.若110a =，则20232a =B.若316a =，则1a 的值有3种情况C .若数列{}n a 满足2n n a a +=，则13a =D.若n a 为奇数，则12n n a a -=（2n ≥）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个过点()0,0，()2,2的圆的标准方程_____________．14.等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，且3a 是2a 与6a 的等比中项，则n S =_____________．15.2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A ，C ，B ，D 为椭圆的四个顶点，且1cos 5B =-，则该椭圆的离心率为_____________．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E ∈平面11ABB A ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，1D E =_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过点()0,1P，12Q ⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点且与PQ 平行的直线交椭圆C 于M ，N 两点，求MN 的长．18.在三棱台111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，且1112A B AB =，D 为AB 的中点．（1）证明：平面1B DC ⊥平面11A ABB .（2）平面11A ABB 与平面11B BCC 的夹角能否为45 ？若能，求出1A A 的值；若不能，请说明理由.19.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()0,A t （0t >），圆M ：()2221x y -+=．（1）若1t =，过点A 作圆M 的切线，求此切线的方程；（2）若在圆M 上存在唯一一点P ，使2PA PO =，求t 的值．20.定义12323nn a a a na G n++++=为数列{}n a 的“匀称值”．（1）若数列{}n a 的“匀称值”为()1n n +，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，132nn b b -=+（2n ≥），求数列{}1n b +的“匀称值”．21.如图，平行四边形ABCD 中，242AD AB ==60B ∠= ，E 为BC 的中点，将ABE 沿AE 折起到PAE △的位置，使AP DE ⊥．（1）求点P 到平面AECD 的距离；（2）点F 为线段PD 上一点，EF 与平面PCD 所成的角为θ，求sin θ的最大值．22.已知直线1l ：y x =，直线2l ：y x =-，过动点M 作1MA l ⊥，2MB l ⊥，垂足分别为A ，B ，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且四边形OAMB （O 为原点）的面积为2．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若()3,0F ，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于()0,0P x ，()00,Q y 两点，求00x y +的取值范围．肇庆市2023—2024学年第一学期高二年级期末教学质量检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上.2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()3,1,4--关于平面Oxy 的对称点为（）A.()3,1,4--- B.()3,1,4-- C.()3,1,4- D.()3,1,4-【答案】C 【解析】【分析】根据点关于平面Oxy 对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案.【详解】根据点关于平面Oxy 对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，点()3,1,4--关于平面Oxy 的对称点为()3,1,4-，故选：C .2.已知数列{}n a 为等差数列，且17134πa a a ++=，则7sin a =（）A.12B.12-C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质求得7a ，进一步计算即可.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则1137734πa a a a ++==，所以74π3a =，则74πsin sin 32a ==-，故选：D .3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC 的“勾”“股”分别为6，8，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线方程为（）A.22124y x -= B.22124x y -=C.2214924x y -= D.224121x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.【详解】依题意，双曲线焦点在x 轴上，焦距2||10c AB ==，即5c =，实轴长2||||||862a AC BC =-=-=，即1a =，于是虚半轴长b ==所以所求双曲线方程为22124y x -=.故选：A4.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，AB a =，AD b =，1AA c = ，则1D E = （）A.12a b c-+ B.12a b c-- C.32a b c++D.1122a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，所以111111122D E D A A A AB BE AD AA AB AD a b c =+++=--++=-- .故选：B5.直线l ：210x y -+=与y 轴的交点为A ，把直线l 绕着点A 逆时针旋转45 得到直线l '，则直线l '的方程为（）A.210x y +-=B.310x y -+=C.310x y +-=D.330x y +-=【答案】C 【解析】【分析】设直线l ：210x y -+=的倾斜角为θ，可得tan 2θ=，从而利用两角和的正切公式求出直线l '的斜率，由直线的点斜式方程，即可得答案.【详解】设直线l ：210x y -+=的倾斜角为,0180θθ≤< ，则tan 2θ=，由题意可得(0,1)A ，直线l '的倾斜角为45θ+ ，则直线l '的斜率为()tan tan 45tan 121tan 4531tan tan 451tan 12θθθθθ++++====--⋅--，所以直线l '的方程为13(0)y x -=--，即310x y +-=，故选：C6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A.552B.452 C.92 D.102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B7.已知圆1O ：()2221x y r -+=（0r >），圆2O ：2214240x y y +-+=，若圆1O 上存在点P 关于直线10x y --=的对称点Q 在圆2O 上，则r 的取值范围是（）A.[]1,10B.()1,11C.[]1,11D.5⎡⎤-+⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】求得圆2O 关于直线10x y --=的对称圆C ，则圆1O 与圆C 有交点，利用圆心距和半径的关系列式求解即可.【详解】圆2O ：2214240x y y +-+=,方程化为，()22725x y +-=，则圆心坐标为()20,7O ，半径为5,设()20,7O 关于直线10x y --=的对称点为(),C a b ，则7102271a b b a+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩,解得81a b =⎧⎨=-⎩，则()8,1C -，所以圆2O 关于直线10x y --=的对称圆C 方程为，()()228125x y -++=，由题中条件可知，圆1O 与圆C 有交点，()11,0O ,1O C =则155r O C r -≤≤+，即55r r -≤+，解得55r -≤≤+，故选：D .8.抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上点M 反射后，其反射光线过点()N ，且120FMN ∠= ，则△FMN 的面积为（）A.B.94C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据给定性质，结合几何图形及抛物线的定义求出p 值，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】由抛物线22(0)y px p =>的对称轴为x 轴，得//MN x 轴，设抛物线的准线与x 轴交于点K ，反向延长MN 交抛物线的准线于点E ，则(,3)2pE -，由抛物线的定义得||||ME MF =，由120FMN ∠= ，得EMF ∠=60 ，因此EMF V 为等边三角形，在直角EKF △中，30KEF ∠= ，||3EK =，于是|||||||p KF EM MF EF =====||)22MN =-=，所以FMN 的面积为11||||sin12022224MF MN ⋅⋅⋅=⨯⨯=.故选：A【点睛】关键点睛：涉及抛物线的几何特性的问题，根据条件画出图形，再结合抛物线定义进行求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在同一平面直角坐标系中，直线10mx y -+=与圆222x y +=的位置可能为（）A. B.C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解.【详解】直线10mx y -+=过定点(0,1)，显然点(0,1)在圆222x y +=内，因此直线10mx y -+=与圆222x y +=必相交，C 错误；而直线10mx y -+=表示平面内过点(0,1)的除直线0x =外的任意直线，因此选项ABD 都可能.故选：ABD10.对于方程221nx my +=，下列说法正确的是（）A.当0m n =≠时，该方程表示圆B.当1m n >>时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为21nC.当0m n <<时，该方程表示焦点在x轴上的双曲线，且渐近线方程为y =D.当0m n >>时，该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，且焦距为【答案】BC 【解析】【分析】举例当0m n =<时，方程无意义，判断A ；根据条件，将方程化为标准形式，根据椭圆的标准方程以及长轴长可判断B ；根据条件，将方程化为标准形式，结合双曲线的标准方程以及几何性质，可判断C ，D.【详解】对于A ，当0m n =<时，方程221nx my +=不能表示圆，A 错误；对于B ，当1m n >>时，110n m>>，方程为22111x y n m+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为B 正确；对于C ，当0m n <<时，方程为22111x y n m-=-，方程表示焦点在x 轴上的双曲线，且2211,a b n m ==-，故渐近线方程为b y x a =±=，C 正确；对于D ，当0m n >>时，方程为22111y x m n-=-，方程表示焦点在y 轴上的双曲线，且2211,a b m n==-，故焦距为2c =，D 错误，故选：BC11.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2CG GP =，E ，F 分别是PB ，PD 的中点，则（）A.EF ∥平面ABCDB.三棱锥P EFG -与三棱锥P BCD -的体积之比为1:12C.EG ∥AFD.A ，E ，G ，F 四点共面【答案】ABD 【解析】【分析】A 项，通过证明EF ∥BD 即可得出结论；B 项，求出,PEF PBD 的面积关系和点,G C 到底面的高之间的关系，即可求出体积之比；C 项，通过证明,EG AF两向量不平行，即可得出结论；D 项，通过求解,,AG AE AF三向量之间的关系。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

试卷类型：A 广东省肇庆市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：线性回归方程中系数计算公式niiniiixnxyxnyxb1221ˆ，，其中，表示样本均值. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M={-1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N= A．{-1，0，1，2} B．{-1，0，1} C．{-1，0，2} D．{0，1} 2．为了解2000名学生对学校食堂的意见，准备从中抽取一个样本容量为50的样本. 若采用系统抽样，则分段间隔k为 A．20 B．30 C．40 D．50 3．已知集合，，则 A.（-2，1） B. （-2，3） C.（1，3） D. （-1，1） 4．已知一组数据为0，3，5，x，9，13，且这组数据的中位数为7，那么这组数据的众数为 A．13 B．9 C．7 D．0 5．下列各组函数表示相等函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 6．执行右图所示的程序框图，如果输入的N是5， 那么输出的P是 A．1 B．24 C．120 D．720 7．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上 是增函数的是 A． B． C． D． 8．已知曲线与的交点的横坐标是，则的取值范围是 A．（0，） B．{} C．（，1） D．（1，2） 9．函数（）为奇函数，，)2()()2(fxfxf，则 A．0 B．1 C． D．5

10．已知函数0),(log0,log)(212xxxxxf，若，则x的取值范围是 A．（-∞，-1) ∪（1，+∞） B．（-1，0）∪（0，1) C．（-∞，-1) ∪（0，1) D．（-1，0）∪（1，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11．函数22)(xxxf的定义域是 ▲ ． 12．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲ ． 13．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图. 若第一组至第六组数据的频率之比为2346 41，且前三组数据的频数之和等于36，则n等于 ▲ ． 14．已知偶函数在上单调递减，且. 若，则x的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分） A、B、C、D、E五位学生的数学成绩x与物理成绩y（单位：分）如下表： 80 75 70 65 60 70 66 68 64 62 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （参考数值： 2319062606465687066757080， 24750606570758022222）

（2）若学生F的数学成绩为90分，试根据（1）求出的线性回归方程，预测其物理成绩（结果保留整数）．

16．（本小题满分12分） 已知函数. （1）求函数的定义域及的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）判断在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

17．（本小题满分14分） 某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示. 质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测. 车间 A B C 数量 50 150 100 （1）求这6件样品中自A、B、C各车间产品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品自相同车间的概率.

18．（本小题满分14分） 已知函数（），且. （1）求α的值； （2）求函数的零点； （3）判断在（-∞，0）上的单调性，并给予证明． 19．（本小题满分14分） 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台. 现销售给A地10台，B地8台. 已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元. （1）设从甲地调运x台至A地，求总费用y关于台数x的函数解析式； （2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.

20．（本小题满分14分） 已知函数（）． （1）若时，求函数的值域； （2）若函数的最小值是1，求实数的值.

2014—2015学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D C B A C C

二、填空题 11．{2} 12． 13．80 14．（-1，3）

三、解答题 15．（本小题满分12分） 解：（1）因为7056065707580x， （1分） 6656264686670y， （2分） 231906260646568706675708051iiiyx， （3分）

24750606570758022222512iix （4分）

所以36.070524750667052319055ˆ2512251iiiiixxyxyxb， （6分） 8.407036.066ˆˆxbya

. （7分）

故所求线性回归方程为. （8分） （2）由（1），当x=90时，732.738.409036.0ˆy， （11分） 答：预测学生F的物理成绩为73分. （12分）

16．（本小题满分12分） 解：（1）依题意得，解得， （1分） 所以函数的定义域为. （2分）

212log|2|log)2(2122f. （4分）

（2）设，则),0()0,(x. )(||log||log)(22xfxxxf， （6分）

所以. （7分） 所以函数是偶函数. （8分） （3）在（0，+∞）上的单调增函数. （9分） 设，且，

则212221221log||log||log)()(xxxxxfxf. （10分） 因为，所以. （11分） 所以，即，所以在（0，+∞）上的单调增函数.（12分） 17．（本小题满分14分） 解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是，（3分） 所以A车间产品被选取的件数为， （4分） B车间产品被选取的件数为， （5分） C车间产品被选取的件数为. （6分） （2）设6件自A、B、C三个车间的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，C2），（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共15个. （10分） 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D：“抽取的这2件产品自相同车间”，则事件D包含的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），（C1，C2），共4个. （12分） 所以，即这2件产品自相同车间的概率为. （14分）

18．（本小题满分14分） 解：（1）由，得，解得. （4分） （2）由（1），得. 令，即，也就是， （6分） 解得. （8分） 经检验，是的根， 所以函数的零点为. （9分） （3）函数在（-∞，0）上是单调减函数. （10分） 证明如下： 设，且. （11分）

)11)(()11()11()()(2112221121xxxxxxxxxfxf （12分）

因为，所以，. （13分） 所以，即， （14分） 所以在（-∞，0）上是单调减函数. 19．（本小题满分14分） 解：（1）设从甲地调运x台至A地，则从甲地调运（12-x）台到B地，从乙地调运（10-x）台到A地，从乙地调运6-（10-x）=（x-4）台到B地， （1分） 依题意，得)4(500)10(300)12(800400xxxxy， （5分） 即（，）. （6分） （2）由，即200106009000x，解得. （8分） 因为，，所以x=8，9，10. （10分） 答：共有三种调运方案. （3）因为函数（，）是单调减函数，（12分） 所以当x=10时，总运费y最低，（元）. （13分） 此时调运方案是：从甲分厂调往A地10 台，调往B地2台，乙分厂的6台机器全部调往B地. （14分）

20．（本小题满分14分） 解：（1）3)21(2)21(3241)(21xxxxxf（） （1分）

设，得（）. （2分） 当时，43)23(33)(22ttttg（）. （3分） 所以，. （5分） 所以，，故函数的值域为[，]． （6分） （2）由（1）2223)(32)(ttttg（） （7分） ①当时，16492)41()(mingtg， （8分） 令，得，不符合舍去； （9分） ②当时，3)()(2mingtg， （10分） 令，得，或，不符合舍去； （11分）

相关文档
最新文档