定积分的常用计算方法
总结定积分的求解方法
总结定积分的求解方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个闭区间上的积分运算。
在实际问题中，我们经常需要求解定积分，因此掌握定积分的求解方法是非常重要的。
一、基本思想定积分的基本思想是将区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将这些近似值相加得到最终结果。
具体而言，定积分可以通过以下几种方法来求解。
二、几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
当函数为正时，定积分表示曲线所在区间上方的面积；当函数为负时，定积分表示曲线所在区间下方的面积。
因此，定积分可以用来求解曲线所围成的面积问题。
三、定积分的求解方法1. 利用定积分的定义公式根据定积分的定义公式，可以直接计算出定积分的值。
定积分的定义公式为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示微元，xi表示小区间的中点，Δx表示小区间的长度。
通过将区间进行分割，计算每个小区间上的函数值与长度的乘积，再将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
2. 利用定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的求解过程。
常见的定积分性质有：（1）线性性质：∫[a,b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx（2）积分区间的可加性：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）定积分的换元法：∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)] f(u)du通过利用这些性质，我们可以将复杂的定积分转化为简单的定积分，从而简化计算过程。
3. 利用定积分的常用公式对于一些常见的函数，存在一些常用的定积分公式，可以直接使用这些公式来求解定积分。
例如，对于幂函数，可以使用幂函数的积分公式来求解；对于三角函数，可以使用三角函数的积分公式来求解。
定积分的计算公式和例题
定积分的计算公式和例题定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍定积分的计算公式和一些例题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定积分的计算公式。
1. 定积分的定义。
在介绍定积分的计算公式之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在该区间上连续，则称函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，∫表示积分的符号，a和b分别为积分的下限和上限，f(x)为被积函数，dx表示自变量。
2. 定积分的计算公式。
定积分的计算公式有很多种，常见的包括：（1）定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，例如线性性质、区间可加性等。
这些性质对于定积分的计算非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
（2）牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的重要公式之一，它表示函数的不定积分与定积分之间的关系。
具体而言，如果函数F(x)是f(x)的一个不定积分，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) F(a)。
这个公式为我们提供了一种通过求函数的不定积分来计算定积分的方法，非常方便和实用。
（3）换元积分法。
换元积分法是定积分计算中常用的一种方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分。
具体而言，如果被积函数的形式比较复杂，我们可以通过引入新的变量来简化计算过程，然后再进行积分。
（4）分部积分法。
分部积分法是定积分计算中另一种常用的方法，它通过对被积函数进行分解，然后再进行积分。
具体而言，如果被积函数可以表示为两个函数的乘积，我们可以通过分部积分法将其分解为两个函数的积分，然后再进行计算。
以上是定积分的一些常用计算公式，它们在定积分的计算中起着重要的作用，可以帮助我们更加高效地进行积分计算。
二、定积分的例题。
下面我们通过一些具体的例题来演示定积分的计算过程，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
定积分计算常用方法
定积分计算常用方法
嘿，咱今儿个就来唠唠定积分计算常用方法这档子事儿！
你说定积分，那可真是数学里的一个宝啊！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多知识大门呢。
先来说说换元积分法吧。
这就好比你走路，原来走的路不太顺，那
就换条道呗！通过巧妙地设一个新变量，把复杂的式子变得简单些，
让计算变得轻松起来。
这就像是把一团乱麻理清楚了，多爽啊！
还有分部积分法呢，这个可有意思了。
就像是两个人合作干一件事，各自发挥自己的长处，最后把任务圆满完成。
它能把一个积分分成两
部分来处理，让难题不再难。
你想想，要是没有这些方法，那计算定积分得多费劲啊！就像要徒
手爬上一座高山，难不难？但有了这些方法，就好像有了登山的工具
和路径，是不是一下子就容易多了？
再比如利用奇偶性来计算定积分。
嘿，这可真是个巧妙的招儿啊！
根据函数的奇偶性，能大大简化计算过程呢。
就像你知道了一个小窍门，能让你事半功倍。
还有利用定积分的几何意义，哇，这简直就是打开了另一个奇妙的
世界！通过图形来理解和计算定积分，直观又有趣。
就好像你能看到
积分背后隐藏的图形秘密，多有意思呀！
咱们在学习定积分计算的时候，可不能死记硬背那些方法哦，得真
正理解它们，就像和它们交朋友一样。
只有这样，在遇到难题的时候，才能灵活运用，轻松搞定。
你说，这些方法是不是很神奇？它们就像是数学世界里的宝藏，等
待着我们去挖掘和利用。
定积分计算常用方法，让我们的数学之旅更
加丰富多彩，充满乐趣！难道不是吗？所以啊，大家可得好好掌握这
些方法，让它们为我们的学习和生活增添更多的精彩呀！。
定积分常用的计算公式
定积分常用的计算公式定积分可是数学里一个相当重要的概念，它在很多方面都有着大用处。
就像我们在生活中计算某个时间段内的积累量，或者计算不规则图形的面积，定积分都能派上用场。
咱们先来说说定积分的基本公式。
定积分的计算，就像是在走一条长长的路，我们要找到正确的方向和方法才能顺利到达目的地。
基本公式就像是我们手里的地图，能给我们指引方向。
比如说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且有原函数$F(x)$，那么定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$。
这就好像你有一堆积木，你知道了每个积木的形状和大小（这就是函数$f(x)$），然后通过某种方法找到了能把这些积木拼起来的整体模型（这就是原函数$F(x)$），最后计算出从$a$到$b$这个范围内积木拼成的样子的变化（也就是定积分的值）。
再来讲讲定积分的换元法。
这就像是你在做一个复杂的拼图，发现原来的拼法太费劲，于是换个角度，换种方式来拼，说不定就豁然开朗了。
举个例子，我之前教过一个学生，他在做一道定积分的题目时，怎么都算不出来。
题目是计算$\int_{0}^{\pi/2}cos^2x dx$。
他按照常规的方法，一直在那纠结，眉头皱得紧紧的，脸都快拧成麻花了。
我就提示他试试换元法，令$t = sinx$，然后$dx = \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$。
他按照这个思路换了一下，很快就做出来了，那开心的样子，就像找到了宝藏一样。
还有定积分的分部积分法，这就好比两个人合作搬东西，一个人负责一部分，另一个人负责另一部分，齐心协力把事情办好。
比如说计算$\int_{0}^{1}xe^x dx$，我们就可以把它分成$u = x$，$dv = e^x dx$，然后通过公式$\int_{a}^{b}u dv = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v du$来计算。
在实际应用中，定积分的计算公式能帮助我们解决很多问题。
定积分计算的基本技巧
定积分计算的基本技巧定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
在进行定积分计算时，掌握一些基本的技巧可以帮助我们更快更准确地求解问题。
本文将介绍定积分计算的基本技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、基本积分表在进行定积分计算时，首先需要掌握一些基本的积分表，这些基本积分表可以帮助我们快速求解一些常见函数的积分。
下面是一些常用的基本积分表：1. $\int k \,dx = kx + C$，其中$k$为常数，$C$为积分常数。
2. $\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中$n$为非零常数。
3. $\int e^x \,dx = e^x + C$。
4. $\int \sin x \,dx = -\cos x + C$。
5. $\int \cos x \,dx = \sin x + C$。
6. $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln |x| + C$。
通过掌握这些基本积分表，我们可以在计算定积分时更加得心应手。
二、换元法换元法是定积分计算中常用的一种方法，通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易求解积分。
换元法的基本思想是将被积函数中的变量用一个新的变量表示，然后通过求导和代入等操作将原积分转化为一个更容易求解的形式。
例如，对于形如$\int f(u) \cdot f'(u) \,du$的积分，我们可以令$v=f(u)$，则$dv=f'(u) \,du$，原积分可以化简为$\int v \,dv$，从而更容易求解。
三、分部积分法分部积分法是求解定积分中常用的一种方法，它是积分运算中的乘法法则的逆运算。
分部积分法的公式为$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，通过选择合适的$u$和$dv$可以将原积分转化为一个更容易求解的形式。
在使用分部积分法时，通常选择一个部分求导后形式简单的函数作为$du$，另一个部分作为$v$，通过不断应用分部积分法，可以将原积分逐步化简为容易求解的形式。
定积分应用公式总结
定积分应用公式总结定积分在数学中是一种用来计算指定“区域”中不定积分的一种方法。
也可以看作是不定积分的一种特殊情况，在定积分中，dt、dx （或ds）等变量的范围已知，可以按照一定的规律来进行计算。
由于定积分的应用范围很广，所以它也被称为积分计算的“母亲”。
定积分的基本定义：定积分（bounded integral）是指当向量函数f（x）从一定的初始点a到某个终点b时，求其在这段路径上的积分，其计算公式为： $$int_a^bf(x)dx=sum_{i=1}^{n}f(x_{i})*triangle x_{i}$$ 其中，$triangle x_{i}$表示离散点x的间隔。
定积分的特征：定积分的计算方式和不定积分的方式不同，它的极限不是某分段的函数的极限，而是某一固定的函数的极限。
鉴于此，定积分用来计算是属于离散点的变量，而不是一般定积分中的连续变量。
定积分的常用公式：1、等差数列积分公式：$$int_a^bnf(x)dx=frac{n}{2}[f(a)+f(b)] $$其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数。
2、等比数列积分公式：$$int_a^bnf(x)dx=frac{f(a)-f(b)}{ln r}$$其中，f（x）表示一元函数，a为起始点，b为终点，n为数列的项数，r为公差的比值。
3、定积分的把握方法：（1）由题目给出函数和边界。
（2）确定不定积分的具体形式，如极限形式、公差形式或被积函数形式等，并推导出新的定积分积分公式。
（3）确定积分的终点，并填入公式中求解。
4、定积分的运用：定积分的应用涉及面很广，主要有在统计学、几何学、概率论、力学及物理学中的应用。
（1）在统计学中，定积分可以用来求解定量分析双变量函数在一定范围内的离散点数据，或求解单变量函数的极限。
（2）在几何学中，定积分可以用来求解曲线长度、曲线与某平面图形（如圆形或矩形）的重叠情况、曲线的面积等。
几种求定积分的方法
面的尽量配成复合函数的自变量形式，然后把 d 后面的式子进行
［F（x）］ba 。
换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
由上式可知，想求定积分，先要求不定积分，然后再代值作 差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种：
（一）直接积分法 直接积分法，就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行
（1）当含有 姨a2-x2 时，可令 x=asint
（1）乘积形式：一般来说两个函数相乘的形式，求不定积分
（2）当含有 姨x2+a2 时，可令 x=atant
时，可以先把其中比较简单的一个积分积到 d 后面，然后把 d 后 面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
（3）当含有 姨x2-a2 时，可令 x=asect 以上三种变换叫做三角代换。
的形式，也可以用分部积分法。
定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积
乙 乙 分部积分公式： udv=uv- vdu。它的作用在于：把比较难求 分的几何意义。
乙 乙 的 udv 化为比较容易求的 vdu 来计算，可化难为易。
乙a
例 7.求 姨a2-x2 dx（a＞0） 0
分部积分的解题步骤：
关键词：定积分；不定积分；牛顿—莱布尼兹公式；数形结合思想
一、用牛顿—莱布尼兹公式求定积分 牛顿-莱布尼兹定理：函数 （f x）在闭区间［a，b］上连续，F（x）是
乙b
（f x）的任一个原函数，则有 （f x）dx=F（b）-F（a）。 a 上式叫做牛顿—莱布尼兹公式，也叫做微积分基本公式。该
式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处的差。
乙b
为计算方便，上述公式常采用这样的格式 （f x）dx=F（x）│ba = a
简述用定义计算定积分的四个步骤
简述用定义计算定积分的四个步骤定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度等问题。
下面将以定义计算定积分的四个步骤为标题来详细介绍定积分的计算方法。
第一步：确定积分上下限计算定积分的第一步是确定积分的上下限。
上限和下限分别表示积分的起点和终点，决定了积分的区间。
在确定积分上下限时，需要根据具体问题中的条件和要求进行选择。
对于闭区间上的积分，通常选择区间的两个端点作为积分的上下限。
第二步：设定积分区间确定积分上下限后，接下来需要设定积分的区间。
积分的区间是指在确定了上下限的情况下，从上限到下限之间的整个区间。
可以将积分区间看作是一个线段，线段的两个端点分别对应积分的上下限。
第三步：选取积分精度在进行定积分计算时，需要选取积分的精度。
积分的精度表示将积分区间分割成多少个小区间进行计算。
通常情况下，选择的精度越高，计算结果越精确。
常见的积分精度选择包括等距离分割和不等距离分割两种方式。
等距离分割是指将积分区间等分成若干小区间，每个小区间的长度相等。
在等距离分割中，可以选择将积分区间分割成n个小区间进行计算，其中n可以是任意正整数。
不等距离分割则是将积分区间按照一定的规律进行分割，每个小区间的长度不等。
在不等距离分割中，需要根据具体问题中的要求选择合适的分割方式。
第四步：计算定积分在确定了积分上下限、积分区间和积分精度后，最后一步是进行定积分的计算。
定积分的计算可以通过多种方法进行，常用的方法包括几何法、代数法和数值法等。
几何法是基于图形的面积计算原理进行的定积分计算方法。
通过将积分区间分割成若干个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，并将所有小矩形的面积加起来，即可得到定积分的近似值。
代数法是通过对被积函数进行代数运算来计算定积分。
常见的代数法计算定积分的方法包括换元法、分部积分法和三角函数积分法等。
这些方法可以将复杂的积分问题转化为简单的积分问题，从而得到定积分的解析解。
数值法是通过数值计算的方式来计算定积分。
定积分的定义与计算技巧
定积分的定义与计算技巧定积分是微积分中的重要概念之一，常用于计算曲线下的面积、求解物体的质量和质心等问题。
本文将介绍定积分的定义以及一些常用的计算技巧。
一、定积分的定义定积分的定义基于Riemann和，其一维形式可以表示为以下形式：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi) Δx其中，∫表示定积分符号，[a,b]为积分区间，f(x)为需要积分的函数，dx表示自变量的微小增量，lim表示极限，Σ表示求和，n表示分割区间的个数，xi表示选取的每个子区间中的任意一点，Δx表示子区间的长度。
按照这个定义，我们可以逐步将区间[a,b]等分为n个小区间，并在每个小区间内选择一个xi，然后将每个小区间内的函数值乘以Δx（子区间长度）并相加，最后取极限，即可得到定积分的解。
二、定积分的计算技巧1. 基本积分表在计算定积分时，我们通常会遇到一些常见函数的积分。
这些积分可以通过积分表得到，包括幂函数、三角函数、指数函数等。
熟练掌握这些基本积分表可以大大简化计算过程。
2. 分部积分法当被积函数是两个函数的乘积时，可采用分部积分法进行化简。
分部积分法的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx通过不断地应用分部积分法，可以将原始的积分化简成更为简单的形式。
3. 替换变量法有时我们可以通过变量替换将不易计算的定积分转化为更为简单的形式。
常见的变量替换包括三角替换、指数替换等。
通过巧妙地选择替换变量，可以将积分问题转化为更易处理的形式。
4. 利用对称性在某些情况下，函数具有对称性，可以利用对称性简化定积分计算。
例如，当被积函数是奇函数时，其积分结果一定为0；当被积函数是偶函数时，积分结果可以通过将积分区间取两倍再除以2来计算。
5. 切割法对于一些具有不连续性的函数，可以通过切割法将定积分问题转化为多个简单的积分问题。
将原始积分区间切割为多个子区间，在每个子区间上分别计算积分，最后将结果相加即可得到原始问题的解。
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。
一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。
也就是说，连续函数一定可积。
2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。
4. 定积分的取值与区间的选取无关。
即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。
5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。
也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。
二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。
比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。
2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。
比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。
具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。
然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。
4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。
对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。
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２￣）１４年・５月・下期 学术・理论 现代衾孝 定积分的常用计算方法 陆忠敏（安徽城市管理职业学院基础部安徽合肥２３０００１） 摘要：定积分的计算在《高等数学》积分学中占有重要地位。本文在不定积分的计算的基础上归纳了定积分的基本求解方法，帮助学生 掌握其计算，为二重积分的计算做准备。 关键词：定积分不定积分计算方法
定积分是《高等数学》中积分学部分的一个重要组成部分，它是 在学生掌握了不定积分的概念和计算后，为了解决一些实际问题而引 出的一个新知识点。虽然现在大部分高职高专中用的教材以“必需、 够用”为原则，对定理、公式的证明介绍的很少，要求学生会利用公 式来计算即可，但随着高校入学门槛的降低，文科学生的数学知识非 常薄弱，学生经常面临上课虽然能听得懂但拿到题目不知从何下手的 困境。如何解决此难题？应注意的是通过实际问题引出的定积分定义 虽然Ｉ丁以用来解决相关问题，但若要利用其定义来计算积分值是十分 困难的，而在积分上限函数的基础上引出的牛顿一莱布尼茨公式，通 过求解不定积分中原函数的过程，将不定积分与定积分联系起来，给 出了非常简单的计算定积分的方法，最终简化并解决了定积分的计 算。因此，我们在对应不定积分的计算方法的基础上，总结出相应的 一些求解方法，帮助学生较快的理解和掌握定积分，为后面二重积分 的计算奠定基础。 由牛顿一莱布尼茨公式公式』 ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）ｌ ｂ＝Ｆ（ｂ） 一ＦＦ（ａ）可知，要计算定积分只要计算出被积函数的～个原函数， 求出其在相应的区间上的增量即可。联系到不定积分的积分方法，将 常用的求定积分的方法总结如下。 一、直接积分法 １．直接利用公式及性质计算 例ｌ：求ｆ （２ｓｉｎｘ—ＣＯＳＸ）ｄｘ． 分析：直接套用三角函数公式及定积分的性质求出原函数再计 算。 解：ｆ （２ｃｏｓｘ—ｓｉｎｘ）ｄｘ＝２ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸＩ ＝１ 例２：求ｆ ｇｔａｎ ｘｄｘ 分析：被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换 先求出原函数再利用公式计算。 解：』 ｔａＩｌ ｘｄｘ：』 （ｓｅｃ ｘ一１）ｄｘ＝ｔａｎｘ—ｘ１ ：１一— ２）利用定积分的区间可加性计算 Ｎ ３：设ｆ（ｘ）：ｆ。ｌ ＋ｘｏ≤－ ≤１￣＜２ ‘。，求』２＿Ｊｆ ｘ）ｄｘ 分析：这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不 同，利用区间可加性分区间考虑其计算。 解：』２＿Ｉｆ（ｘ）ｄｘ＝，０＿ｌ（１＋ｘ）ｄｘ＋』 ｅｘｄｘ＝ｘ＋÷ｘ Ｊ ｏ＿ｌ 例４：求』茎，／１一ｃｏｓ２ｘｄｘ 分析：开方后被积函数其实是绝对值函数，利用绝对值定义去掉 相应的符号后再利用区间可加性计算。 解：ｆ季，／１一ｃｏｓ ｘｄｘ＝』霉 ｌ ｓｉｎｘＩ ｄｘ：厕 ｏ（一ｓｉｎｘ）ｄｘ＋ ｆ ｓｉｎ ｘｄｘ＝ ＯＳ ｘ１ ０＿ 一 ｎｓｘＩ ＝２ 二、换元积分法 针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注 意的是如何正确选择两类方法。 第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不 定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。 Ｊ。， 例５：求／ ＝—＿兰＝ 分析：被积函数中有常用的凑微分公式，可先考虑使用凑微分法 再计算。
解： 』 （ １ｎｘ）如（１＋ｌｎｘ）＿２（１＋
ｌｎｘ）Ｔ Ｉ ＝２（，／２～１） 注：能使用不定积分的第一类换元积分法解决的定积分不需要再 使用变量代换去计算。比如上例用如下方法 』 ＝ ＝』 （１＋ｌｎｘ）÷ｄ（１＋ｌｎｘ）＝』 ｕ一丁Ｉ ｄｕ＝２ｕ÷
ｌ ＝２（，／２—１） 计算时不仅需进行变量代换Ｕ＝１＋ｌｎｘ，同时还得将ｘ的区间换 成的区间［１，２］，增加了计算量。 由不定积分的计算可知，若被积函数中含有根式叉不能用凑微分 法计算时，可通过变量代换去根号后再计算。关键是正确地选择变量 代换，同时要注意的是换元的同时～定要换上下限。由此得到的定积 分换元积分公式为』 ｆ（ｘ）ｄｘ＝』 ｆ［‘Ｐ（ｔ）］‘Ｐ‘（ｔ）ｄｔ 对应不定积分中的形式经常用到的有两种代换：三角代换、根式 代换。
例６：求』 ＝ ｄｘ 分析：直接根式代换去根号。 解：令 ＝ｔ，ｘ＝ｔ ＋１；ｄｘ＝２ｔｄｔ．当ｘ＝１时，ｔ＝０；当ｘ ＝５时，ｔ＝２． 所以ｆ 一ｘ，／７ ７－￣ｄ ５等 ２ｆ ２ｆ （１一
）ｄｔ＝２（ｔ－ａｒｃｔａｎｔ）Ｉ ５＝２（２一ａｒｃｔａｎ２） 例７：求ｆ ６ ｖ／１一Ｘ２ｄｘ． 分析：被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。 解：令ｘ＝ｓｉｎｔ，，／１一ｘ ＝ｃｏｓｔ，ｄｘ＝ｃｏｓｔｄｔ．当ｘ＝０时，ｔ＝０，
当ｘ＝１时，【＝÷． 佩ｘ＝ ｃ。ｓ２ｔｄ［＝ １ （１＋ｃ。ｓ２ｔ）ｄｔ＝了１（ｔ＋÷
ｓｉｎ ２￡）Ｊ ＝｝ 三、定积分的分部积分法』 ｕｄｖ＝ＵＶｌ：一』 ｖｄｕ 由不定积分的分部积分法可知此法主要用来解决被积函数是两个 函数乘积的形式，应用此法的关键是选择合适的ｕ，将函数凑成ｕｄｖ 的形式，由不定积分的学习我们已知道选取的规律为：五种基本初等 函数中，按“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数 （简称反对幂指三）”这一顺序先后排列，谁在前设谁为ｕ，将剩下的 函数与凑成微分形式ｄｖ。所以由不定积分的分部积分公式推导出的定 积分的分部积分公式类推即可。要注意的是若被积函数中只有一个函 数时（如ｆ ｌｎｘｄｘ），其实就是』 ｕｄｖ的形式可以直接套用公式进行 计算。 例８：求』３Ｘｅ ｄｘ 分析：两个函数相乘的形式使用分部积分法计算。 ６＋ｆ ｏ＇ｅ－￣ｄｘ＝一 １一ｅ－ｘ
现代企业教育 Ｍ０ＤＥＲＮ ＥＮＴＥＲＰＲｌＳＥ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ５８９ 百科论Ｉ云 软件测试技术及工具 宁 华 陈永政 张正龙（重庆正大软件职业技术学院４０００５６） 摘要：从软件产业的发展初期到目前的大型软件开发过程，软件测试已成为其中一个重要部分。随着软件规模的日益增大，软件测试问 题也日益突出，现代社会对软件的依赖越来越强，高可信软件测试有着广泛的需求，基于缺陷模式的软件测试技术作为高可信软件的重要保 证，可以大大降低软件的缺陷密度，提高软件的可信性。本文从测试的基本概念入手，剖析软件测试相关理论。 关键词：软件测试白盒测试黑盒测试
一、
软件测试的发展史
１９７９年，Ｇｌｅｎｆｏｒｄ Ｍｙｅｒｓ的《软件测试艺术》，对测试做了定义： 测试是为发现错误而执行的一个程序或者系统的过程。１９８３年，Ｂｉｌｌ Ｈｅｔｚｅｌ在《软件测试完全指南》中指出：测试是以评价一个程序或者 系统属性为目标的任何一种活动，测试是对软件质量的度量。１９９６年 提出的测试能力成熟度ＴＣＭＭ（Ｔｅｓｔｉｎｇ Ｃａｐａｂｉｌｉｔｙ Ｍａｔｕｒｉｔｙ Ｍｏｄｅ１）、测 试支持度ＴＳＭ（Ｔｅｓｔａｂｉｌｉｔｙ Ｓｕｐｐｏｒｔ Ｍｏｄｅ１）、测试成熟度ＴＭＭ（Ｔｅｓｔｉｎｇ Ｍａｔｕｒｉｔｙ Ｍｏｄｅ１）。２００２年，Ｒｉｃｋ和Ｓｔｅｆａｎ在《系统的软件测试》一书 中对软件测试做了进一步定义：测试是为了度量和提高被测软件的质 量，对测试软件进行工程设计、实施和维护的整个生命过程。 二、软件测试的相关背景 由于测试在中国的重视程度的问题，才毕业那时的我也一直认为 测试应该是不重要的，甚至认为没有必要有专门的测试职业。认为软 件主要是开发人员的事，软件的成果也是由开发人员决定的，当我在 参加工作后，真正参与软件技术开发的时候，才知道并不是我想象的 那样。软件是人编的，所以不完美，不可能不存在错误。例如著名的 软件测试案例： １、迪士尼的狮子王（１９９４～１９９５）软件。 ２、英特尔奔腾浮点除法软件缺陷（１９９４）。 ３、美国航天局火星极地登陆（１９９９）项目。 ４、爱国者导弹防御系统（１９９１）。 ５、千年虫。 三、软件测试的概述 ３．１软件测试的定义 软件测试是使用人工或者自动手段来运行或测试某个系统的过 程，其目的在于检验它是否满足规定的需求或弄清预期结果与实际结 果之间的差别。 ３．２软件测试的目的 如果测试的目的是为了尽可能多地找出错误，那么测试就应该直 接针对软件比较复杂的部分或是以前出错比较多的位置。在谈到软件 测试时，引用Ｇｒｅｎｆｏｒｄ Ｊ．Ｍｙｅｒｓ在（Ｔｈｅ Ａｒｔ ｏｆ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｔｅｓｔｉｎｇ）＞一书 中的观点：（１）软件测试是为了发现错误而执行程序的过程；（２）测 试是为了证明程序有错，而不是证明程序无错误；（３）一个好的测试 用例是在于它能发现至今未发现的错误；（４）一个成功的测试是发现 了至今未发现的错误的测试。 ３．３软件测试的原则 １．应当把”尽早和不断的测试”作为开发者的座右铭。２．测试 用例应由测试输入数据和与之对应的预期输出结果这两部分。３．程 序员应避免检查自己的程序。４．在设计测试用例时，应当包括合理 的输入条件和不合理的输入条件。５．充分注意测试中的群集现象。 ６．严格执行测试计划，排除测试的随意性。对于测试计划，要明确 规定，不要随意解释。７．应当对每一个测试结果做全面检查。８．妥 善保存测试计划，测试用例，出错统计和最终分析报告，为维护提供 方便。 四、软件测试的分类及相应的工具 ４．１常用分类 （１）从是否需要执行被测软件的角度，可分为：静态测试和动态 测试。 ’ 静态测试是指不实际运行被测软件，而只是静态的检查程序代 码、界面或文档中可能存在的错误的过程。其中包括代码测试、界面 测试和文档测试３个方面。静态测试工具的代表有：Ｔｅｌｅｌｏｇｉｃ公司的 Ｌｏｇｉｓｃｏｐｅ软件；ＰＲ公司的ＰＲＱＡ软件。 动态测试是指实际运行被测程序，输入相应的测试数据，检查实 际输出结果和预期结果是否相符的过程。所以，我们判断一个测试属 于动态还是静态测试，唯一的标准就是看是否运行程序。动态测试工 具的代表有：Ｃｏｍｐｕｗ￣ｅ公司的ＤｅｖＰａｒｔｎｅｒ软件；Ｒａｔｉｏｎａｌ公司的Ｐｕｒｌ— ｆｙ系列等。 （２）从测试是否针对系统的内部结构和具体实现算法的角度来 看，可分为：白盒测试和黑盒测试。 白盒测试也称结构测试或逻辑驱动测试，它是知道产品内部工作 过程，可通过测试来检测产品内部动作是否按照规格说明书的规定正 常进行，按照程序内部的结构测试程序，检验程序中的每条通路是否 都有能按预定要求正确工作，而不顾它的功能。根据测试工具原理的 不同，又可以分为静态测试工具和动态测试工具。白盒测试的主要方 法：逻辑驱动测试和基本路径测试 黑盒测试指的是把被测软件看作是一个黑盒子，我们不去关心盒 子里面的结构是什么样子，只关心软件的输入数据和输出结果。 黑盒测试的测试用例设计主要是：等价划分法、边界值法、错误 推测法、因果图法。黑盒测试工具的代表有：Ｒａｔｉｏｎａｌ公司的 ＴｅａｍＴｅｓｔ、Ｒｏｂｏｔ Ｃｏｍｐｕｗａｒｅ公司的ＱＡＣｅｎｔｅｒ。 ４．２其他测试工具 专用于性能测试的工具包括有：Ｒａｄｖｉｅｗ公司的ＷｅｂＬｏａｄ；Ｍｉ－ ｃｒｏｓｏｆｔ公司的ＷｅｂＳｔｒｅｓｓ等工具；针对数据库测试的ＴｅｓｔＢｙｔｅｓ；对应用 性能进行优化的ＥｃｏＳｅｏｐｅ等工具。Ｍｅｒｃｕｒｙｌｎｔｅｒａｃｆｉｖｅ的ＬｏａｄＲｕｎｎｅｒ是 一种适用于各种体系架构的自动负载测试工具，它能预测系统行为并 优化系统性能。ＬｏａｄＲｕｎｎｅｒ的测试对象是整个企业的系统，它通过模 拟实际用户的操作行为和实行实时性能监测，来帮助您更快的查找和 发现问题。ＡｄｖｅｎｔＮｅｔ ＱＥｎｇｉｎｅ是一个应用广泛且独立于平台的自动化 软件测试工具，可用于Ｗｅｂ功能测试、ｗｅｂ性能测试、Ｊａｖａ应用功能 测试、Ｊａｖａ ＡＰＩ测试、ＳＯＡＰ测试、回归测试和Ｊａｖａ应用性能测试。 专用于功能测试的工具有：ＱＴＰ测试工具，一种自动测试工具。 主要目的是用它来执行重复的手动测试，主要是用于回归测试和测试 同一软件的新版本。ＱｕｉｃｋＴｅｓｔ针对的是ＧＵＩ应用程序，包括传统的