函数的单调性
证明单调性的方法总结
证明单调性的方法总结
1. 导数法：证明函数单调递增（或递减）时，可以求出其导数，证明导数恒大于（或小于）零。
2. 差值法：如果f(x_2)> f(x_1)，则我们可以构造函数g(x) = f(x) - f(x_1)，证明g(x_2)> g(x_1)。
3. 归纳法：证明f(x) 在区间[a_n,a_{n+1}] 上单调递增（或递减）时，将整个区间分为n 个子区间，并依次证明这n 个子区间上f(x) 单调递增（或递减）。
4. 对偶法：证明f(x) 在区间[a,b] 上单调递增（或递减）时，可以证明其对偶函数1/f(x) 在区间上单调递减（或递增）。
5. 中值定理法：可以利用中值定理，证明f(x) 在区间上的导数恒大于（或小于）零，从而证明其单调性。
6. 极值法：如果f(x) 在某一点处有极大值或极小值，那么它在该点附近一定是单调的。
可以利用极值的存在，证明f(x) 在该区间上单调递增（或递减）。
总之，证明函数单调性的方法应当具体问题具体分析，选择合适的方法，能够提高证明效率。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。
单调函数是指在定义域上递增或递减的函数。
递增函数是指当自变量增大时，函数值也相应增大；递减函数则是指当自变量增大时，函数值相应减小。
判断函数的单调性通常有以下5种方法：导数法、变量替换法、数列判断法、二阶导数法和作图法。
下面我将分别进行详细介绍。
一、导数法导数法是一种常用的判断函数单调性的方法，通过计算函数的导数来分析函数的变化趋势。
如果导数在定义域上始终大于0，则函数递增；如果导数在定义域上始终小于0，则函数递减。
具体步骤如下：1. 计算函数的导数，得到导函数。
2. 判断导函数的正负性，如果导函数恒大于0，则函数递增；如果导函数恒小于0，则函数递减；如果导函数的正负性不一致，则函数既不递增也不递减。
如果导函数有零点，则需要进一步进行分析。
二、变量替换法变量替换法是一种通过变量替换来判断函数单调性的方法。
该方法适用于一些无法直接通过导数法判断的函数。
具体步骤如下：1. 根据函数的形式，进行合适的变量替换，将函数化简。
2. 判断新的函数形式是否递增或递减，如果是，则原函数在相应的定义域上是单调的。
三、数列判断法数列判断法是一种适用于连续函数的判断方法，通过构造数列来判断函数的单调性。
具体步骤如下：1. 选择定义域上的一组数列，如递增、递减或交替递增递减等。
2. 将数列代入函数中，观察函数值的变化。
3. 如果函数值是递增的，则函数在这个定义域上是递增的；如果函数值是递减的，则函数在这个定义域上是递减的；如果函数值在数列中无明显的变化趋势，则函数既不递增也不递减。
四、二阶导数法二阶导数法是一种通过计算函数的二阶导数来判断函数的单调性的方法。
该方法适用于一些无法直接通过导数法判断的函数。
具体步骤如下：1. 计算函数的二阶导数。
2. 判断二阶导数的正负性，如果二阶导数恒大于0，则函数在定义域上是凹函数，且递增；如果二阶导数恒小于0，则函数在定义域上是凸函数，且递减；如果二阶导数的正负性不一致，则函数在相应定义域上既不递增也不递减。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。
判断函数的单调性是数学分析中的一个重要内容，也是解题的关键步骤之一。
在实际问题中，判断函数的单调性有助于我们更好地理解函数的性质，从而解决实际问题。
下面我们将介绍判断函数单调性的方法。
首先，我们来看一元函数的单调性判断方法。
对于一元函数y=f(x)，要判断其在定义域内的单调性，我们可以通过导数的符号来进行判断。
具体来说，如果函数在定义域内的导数大于0，那么函数在该区间内是单调递增的；如果函数在定义域内的导数小于0，那么函数在该区间内是单调递减的。
而当函数在定义域内的导数恒为0时，我们可以通过导数的二阶导数来判断函数的单调性。
如果二阶导数大于0，那么函数在该点附近是严格单调递增的；如果二阶导数小于0，那么函数在该点附近是严格单调递减的；如果二阶导数等于0，那么函数在该点附近是不确定的。
其次，对于二元函数y=f(x, y)，我们可以通过偏导数的符号来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在定义域内的偏导数大于0，那么函数在该区域内是单调递增的；如果函数在定义域内的偏导数小于0，那么函数在该区域内是单调递减的。
同样地，当函数在定义域内的偏导数恒为0时，我们可以通过偏导数的二阶偏导数来判断函数的单调性。
此外，对于一般的多元函数，我们可以通过雅可比矩阵来判断函数的单调性。
雅可比矩阵是一个重要的工具，可以帮助我们判断多元函数在定义域内的单调性。
具体来说，如果雅可比矩阵的所有主子式都大于0，那么函数在该区域内是单调递增的；如果雅可比矩阵的所有主子式都小于0，那么函数在该区域内是单调递减的。
当雅可比矩阵的主子式既有大于0又有小于0时，函数在该区域内是不确定的。
综上所述，判断函数单调性的方法主要包括导数的符号、二阶导数、偏导数、二阶偏导数以及雅可比矩阵等。
这些方法在数学分析和实际问题中都有着重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
函数的单调性PPT
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
巩固知识 例5
典型例题
判断函数y=4x-2的单调性．
分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来 判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论 采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域． 观察函数图像
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
如果对于属于定义域 定义域I内某个区间上的 内某个区间 任意两个自变量的值x1 ， x2 ，当x1 任意两个自变量 <x2时，都有f(x1) > f(x2) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。
f(x1) f(x ) 2 o x1 x2 x
如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么 就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这 个区间叫做y= f(x)的单调区间。
函数单调性知识点
函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
注:在单调性中有如下性质↑（增函数）↓（减函数）↑（增函数）+↑（增函数）= ↑（增函数）↑（增函数）-↓（减函数）=↑（增函数）↓（减函数）+↓（减函数）=↓（减函数）↓（减函数）-↑(增函数）=↓（减函数）用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1<x22作差变形即求f(x1)-f(x2)，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x1)-f(x2)的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；④根据定义作出结论。
2复合法：利用基本函数的单调性的复合。
3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
函数最值函数最值分为函数最小值与函数最大值。
函数最小值设函数y=f（x）的定义域为d，如果存在M∈R满足：①对于任意实数x∈d，都有f(x)≥M；②存在x0∈d。
使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。
函数最大值设函数y=f（x）的定义域为d，如果存在M∈R满足：①对于任意实数x∈d，都有f(x)≤M，②存在x0∈d。
使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。
函数的单调性评课
函数的单调性评课
本节课讲解了函数的单调性，教学效果显著。
以下是本节课的几个亮点：
1.合理创设教学情境
本节课从奥运时事入手，让学生感受数学与生活的联系，激发学生研究兴趣。
2.让学生参与概念的建构过程
授课教师通过问题引导学生积极思考，让学生从图象感知到数学符号语言描述，形成对单调性定义的三次认识。
3.几何画板的合理使用
授课教师运用几何画板动图演示，让学生直观感受数学中的运动变化。
4.例题和练题的设置
例题和练题的设置，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，激发学生研究兴趣。
5.小结部分的思考
小结部分的思考“为什么要研究单调性的定义”，让学生体会到问题是科学研究的起点，数学的发展也是很自然的过程。
这使本节课得到了升华。
函数单调性的判断及证明
函数单调性的判断及证明1.引言函数是数学中重要的概念之一，是对变量与变量之间的规律进行描述的工具。
在实际应用中，我们往往需要判断一个函数的单调性，即其在定义域内是否是单调递增的或单调递减的。
因此，本文将介绍函数单调性的判断及证明方法。
2.函数单调性的定义在数轴上，如果对于任意两个实数$x_1,x_2$，若有$x_1<x_2$，则$f(x_1)\leq f(x_2)$，则称函数$f(x)$是单调递增的；若有$x_1<x_2$，则$f(x_1)\geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$是单调递减的。
3.函数单调性的判断（1）导数法设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，则：若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递增；若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。
（2）二阶导数法若函数$f(x)$在$(a,b)$内二次可导，则：若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的；若$f''(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是单调递减的。
（3）微分形式法对于一个函数$f(x)$，若能表示为$dy=f'(x)dx$的微分形式，则：若$dy>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递增；若$dy<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。
4.函数单调性的证明（1）导数法的证明设$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，若$f'(x)>0$，则对于任意$x_1<x_2$，有$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx>0$$因此，$f(x)$在$(a,b)$内单调递增。
若$f'(x)<0$，则对于任意$x_1<x_2$，有$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx<0$$因此，$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法一、定义法设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。
证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=xx x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性；⑵ f(x)与cf(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增.(4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.例1. 求函数222)(-+=x xx f 的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：外层函数：ty 2=内层函数：22-+=x x t内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x 复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x 四、求导法导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点求函数值域的常用方法 1．观察法用于简单的解析式。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题。
单调性是指函数在定义域内的增减性质，它在数学建模和解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文档中，我们将介绍判断函数单调性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、导数法。
判断函数的单调性最常用的方法之一就是使用导数。
导数代表了函数在某一点的变化率，通过导数的正负性可以判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一区间上的导数始终大于零，那么函数在这个区间上是单调递增的；如果导数始终小于零，那么函数在这个区间上是单调递减的。
如果导数在某一区间上恒为零，则函数在这个区间上是常数函数。
二、二阶导数法。
除了使用一阶导数外，我们还可以通过函数的二阶导数来判断函数的单调性。
如果函数在某一点的二阶导数大于零，那么函数在这一点附近是上凸的，也就是说函数在这一点上是单调递增的；如果二阶导数小于零，那么函数在这一点附近是下凸的，函数在这一点上是单调递减的。
三、零点和极值点法。
除了导数法和二阶导数法外，我们还可以通过函数的零点和极值点来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一区间上的导数始终大于零，并且在这个区间的端点上函数的值相对于这个区间内的值是最大或最小的，那么函数在这个区间上是单调递增或单调递减的。
四、拐点法。
拐点是函数图像上的一个特殊点，它是函数由凹转凸或由凸转凹的点。
通过判断函数的拐点，我们也可以间接地判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某一点的二阶导数存在，且二阶导数在这一点发生了跳跃，那么这一点就是函数的拐点，函数在这一点附近可能发生了单调性的变化。
五、实例分析。
为了更好地理解判断函数单调性的方法，我们接下来通过一些具体的实例来进行分析。
我们将选取一些常见的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，通过导数、二阶导数、零点和极值点、拐点等方法来判断它们的单调性。
通过这些实例分析，相信大家能够更加深入地理解和掌握判断函数单调性的方法。
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函数的单调性
（教师叙述：同学们，我们前面学习了函数的基本知识，下面的学习中，我们将深入研究一下函数的相关性质.本节课我们来研究函数的单调性.函数的单调性是一个传统的课题，凡是研究函数，都会研究到函数的单调性.在很多习题中都能运用到函数的单调性，这就使得我们不得不把函数的单调性的研究放在一个突出的地位来学习）一、【学习目标】（约2分钟）
（自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数的单调性解决一些相关的题目. 这节课的特点是符号比较多，所以希望同学们能在课下就对本节课的内容有所理解和预习.）
1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义；
2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法；
3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.
课前引导：函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？
【教学效果】：教学目标的出示给了学生学习的方向.
二、【自学内容和要求及自学过程】（约28分钟）观察教材第27页图1.3-2，阅读教材第27-28页“思考”上面的文字内容，然后回答下列问题（约15分钟）
（教师注意：这一部分内容主要是为了引导学生得出增函数的定义，所以要结合增函数的意义，把学生往增函数的概念这方面引导）
（自学引导：主要是理解“上升”、“下降”的本质内涵，然后归纳得出增函数的定义）
<1>你能描述上面三个函数的图像特征吗？你是
如何理解“上升”、“下降”的含义的？
<2>对于二次函数y=x2，列出x，y的对应值表(1)，
完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升；
<1>函数y=x的图象，从左向右看是上升
的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，
在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象
在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降
的；按从左向右的方向看函数的图象，意
味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的
自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图
象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的
函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右
看图象上升，反映了函数值随着自变量的
增大而增大；“下降”亦然；<2>在区间(0，
+∞)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有
y1<y2，也就是有f(x1)<f(x2).这样可以体
会用数学符号来刻画图象上升；
阅读教材第28页“思考”下面的内容，然后回答下列问题（约5分钟）
（自学引导：同学们要切实的理解增函数的定义，符号比较多，要一一的理解）
<3>数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.你能给出增函数定义吗？
<4>增函数的定义中，把“当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)”改为“当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)”，这样行吗?增函数的定义中，“当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?
<5>增函数的几何意义是什么？
<3>一般地，设函数f(x)的定义域为I:如
果对于定义域I内某个区间D上的任意两
个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D。