18-19 第1章 §4 第2课时 空间图形的公理4及等角定理
第一章 4 第2课时 空间图形的公理4和等角定理
[课时作业][A 组 基础巩固]1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )A ．相交B ．异面C ．相交或异面D ．平行解析：在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．答案：C2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为边B 1C 1，C 1C ，A 1A ，AD 的中点，则EF 与GH ( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不能确定解析：由于E ，F ，G ，H 分别是B 1C 1，C 1C ，A 1A ，AD 的中点，所以EF ∥B 1C ，GH ∥A 1D .因为A 1D ∥B 1C ，所以EF ∥GH .答案：A3.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G 分别为棱A 1C 1，B 1C 1，B 1B的中点，则∠EFG 与∠ABC 1( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：由于E ，F ，G 分别为A 1C 1，B 1C 1，BB 1的中点，所以EF ∥A 1B 1∥AB ，FG ∥BC 1，所以∠EFG 与∠ABC 1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故∠EFG 与∠ABC 1互补．答案：B4．四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，取BD 中点G ，连接EG ，则∠EFG 为异面直线EF 与BC所成角．∵EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，∴EG ＝GF . ∵AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，∴EG ⊥GF ，∴△EGF 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°.故选B.答案：B5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则B 1D 与CC 1所成角的正切值为________． 解析：如图，B 1D 与CC 1所成的角为∠BB 1D .∵△DBB 1为直角三角形．∴ tan ∠BB 1D ＝BD BB 1＝ 2. 答案： 26.如图，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1分别是正方形ABCD和A 1B 1C 1D 1的对角线．(1)∠DBC 的两边与________的两边分别对应平行且方向相同；(2)∠DBC 的两边与________的两边分别对应平行且方向相反．解析：(1)B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 并且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别对应平行且方向相同．(2)D 1B 1∥BD ，D 1A 1∥BC 并且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别对应平行且方向相反．答案：(1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 17．如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 是异面直线．以上两个结论中，正确的是________(填序号)．解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系．答案：①8.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为________．解析：在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝23， ∴GF ∥BD ，FG BD ＝23.∴FG ＝4 cm. 在△ABD 中，∵点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ＝12BD ＝3 (cm)． 设EH ，FG 间的距离为d cm.则12×(4＋3)×d ＝28，∴d ＝8. 答案：8 cm9.如图，E ，F 分别是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：设Q 是DD 1的中点．如图，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点，∴EQ 綊A 1D 1.又∵在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ 綊B 1C 1，∴四边形EQC 1B 1为平行四边形，∴B 1E 綊C 1Q .又∵Q ，F 分别是矩形DD 1C 1C 中，边DD 1，C 1C 的中点，∴QD 綊C 1F ，∴四边形DQC 1F 为平行四边形，∴C 1Q 綊DF .又∵B 1E 綊C 1Q ，∴B 1E 綊DF ，∴四边形B 1EDF 是平行四边形．10．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)求A 1B 与B 1D 1所成角的大小；(2)求AC 与BD 1所成角的大小．解析：(1)如图，连接BD ，A 1D .因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体．所以DD 1綊BB 1，所以四边形DBB 1D 1为平行四边形，所以BD ∥B 1D 1，因为A 1B ，BD ，A 1D 是相等的正方形的对角线，所以A 1B ＝BD ＝A 1D ，即△A 1BD 是正三角形，所以∠A 1BD ＝60°.因为∠A 1BD 是锐角，所以∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角．所以A 1B 与B 1D 1所成的角为60°.(2)取DD 1的中点E ，AC 的中点O ，连接EO ，EA ，EC .因为O 为BD 的中点，所以OE ∥BD 1.因为∠EDA ＝90°＝∠EDC ，AD ＝DC ，所以△EDA ≌△EDC ，所以EA ＝EC .在等腰△EAC 中，因为O 是AC 的中点，所以EO ⊥AC ，所以∠EOA ＝90°.因为∠EOA 是异面直线AC 与BD 1所成的角，所以AC 与BD 1所成的角为90°.[B 组 能力提升]1.如图所示，设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上除端点外的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD ＝μ.则下列结论中不正确的为( )A ．当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形B ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形C ．当λ＝μ＝12时，四边形EFGH 是平行四边形D ．当λ＝μ≠12时，四边形EFGH 是梯形 解析：当λ＝μ时，EH 綊FG ，∴EFGH 为平行四边形，故D 中结论不正确．答案：D2．已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 解析：如图所示，取BC 中点E ，连接ME ，NE ， ⎭⎪⎬⎪⎫则MN <ME ＋NE而ME ＝12AC ，NE ＝12BD ⇒MN <12(AC ＋BD )． 答案：D3．异面直线a 、b ，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 所成角的范围是________． 解析：如图，c 与a 成30°，即c 与a ′成30°，然后让c 绕着点A转动，转动过程中，c 与a ′始终成30°角，不难发现在c 转动过程中，c 与b 所成角最小为60°，最大为90°.答案：[60°，90°]4．下列命题中正确的是________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线；③如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的直线平行或异面；⑤若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，则直线a ∥b .解析：①是公理1，所以①是正确的；②中，直线l 和平面α内过l 与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的；④中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l 与平面α内的直线平行或异面，所以④是正确的；⑤中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑤是错误的．答案：①④5.如图所示，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23. (1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ；(2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．解析：(1)证明：∵AA ′与BB ′交于点O ，且AO OA ′＝BO OB ′＝23.∴AB ∥A ′B ′.同理，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)∵A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′.因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝⎛⎭⎫232＝49. 6.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)当m 、n 满足什么条件时EFGH 是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明EG ＝FH .解析：(1)证明：∵AE ∶EB ＝AH ∶HD ，∴EH ∥BD .又∵CF ∶FB ＝CG ∶GD ，∴FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)当且仅当EH ∥FG ，EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．∵EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1， ∴EH ＝m m ＋1BD .同理FG ＝n n ＋1BD ， 由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，∴EF∥AC.又∵AC⊥BD，而∠FEH是AC与BD所成的角，∴∠FEH＝90°，从而EFGH为矩形，∴EG＝FH.。
空间图形的公理4和等角定理
点．求证：
(1)四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1.
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[证明]
(1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，A1D1 的中点，∴MM1＝
AA1，MM1∥AA1， 又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，∴MM1＝BB1，且 MM1∥BB1.∴四边形 BB1M1M 为平行四边形． (2)证法一 由(1)知四边形 BB1M1M 为平行四边形，
＜θ≤90° . 2．范围： 0°
3．当 θ＝ 90° 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b .
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[双基自测]
1．两条异面直线是指( )
A．分别位于两个不同平面的直线 B．空间内不相交的直线 C．某一平面内的一条直线与这一平面外的一条直线 D．空间两条既不平行也不相交的直线
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全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
4 空间图形的基本关系与公理
空间图形的公理 4 和等角定理
第 2 课时
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考
纲
定
位
重
难
突
破
1.了解公理 4 及等角定理．
重点： 公理 4 和等角定理的应用．
2.会用公理 4 和等角定理进行简 难点： 异面直线所成的角的定义 单的推理论证． 3.了解异面直线所成的角的定 义，并会求异面直线所成的角. 及求法． 疑点： 异面直线所成角的范围易 出错.
[解析] (1)如题图，在△ABD 中，
高中数学 1.4.2 空间图形的公理(公理4、定理)多媒体教学优质课件 北师大版必修2
直线的平面的个数为( )
A．1
B．3
C．6
D．0
【解析】以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显 然经过其中的两条直线(zhíxiàn)的平面有3个．
第二十一页，共23页。
1、空间直线的平行关系(guān xì)及相关定理.
2、异面直线(zhíxiàn)的定义及两条异面直线(zhíxiàn) 所成的角. 3、掌握求异面直线(zhíxiàn)所成的角的一般方法.
a
a
α
c bc
第九页，共23页。
例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 ， AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置(wèi zhi)关系？为什么？
解: AB∥C1D1，AD1∥BC1 ， AA1 ∥ CC1，AC∥A1C1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
4.2 空间图形的公理(gōnglǐ)（公理 (gōnglǐ)4、定理）
第一页，共23页。
1、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能 力、几何直观(zhíguān)能力.通过典型例子的学习和自主探索活 动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映 出的辩证思维的价值观.
相交成60°
C C
A D
B
A B(D)
第十七页，共23页。
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出(zhǐ chū)下列各对线段所成
的角：
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1.
2）A1 B1与AC；
D1 A1
C1 B1
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件
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3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线中，与AD1成60°角的有________ 条．
解析： 在所有面对角线中，除AD1，A1D，BC1和B1C四条以外，其余8条 均与AD1成60°的角．
答案： 8
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第一章 立体几何初步
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第二课时 公理4与等角定理
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1．在平面几何中我们知道，同一个平面内平行于同一直线的两直线平行，结 合长方体中的棱的关系想一想，这样的结论在空间还成立吗？
[提示] 仍然成立．
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2.如图是一个三棱台 ABC－A′B′C′，对于∠BAC 和∠B′A′C′来说， 它 们 的 两 边 是 什 么 关 系 ？ 这 两 角 的 大 小 有 什 么 关 系 ？ 对 于 ∠ ABC 和 ∠
4．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F 分别为 AA1，CC1 的中点，如右图 所示．
求证：BF 綊 ED1.
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必修二课件1.4.2公理四及等角定理
(3)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为 异面直线.如图，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个
不同的平面内，但是由于a∩b=O，所以a与b不是异面直线.
(4)异面直线的画法 ①一个平面衬托画法(如图1)
图1 ②两个平面衬托画法(如图2)
图2
【微思考】 求两条异面直线所成角的关键是什么？ 提示：求两条异面直线所成角的关键是找到两异面直线所成的 角.
【即时练】 1.(2014·杭州高二检测)如图的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面 直线AA1与BC所成的角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.正方体ABCD������
A′B′C′D′中，E，F分别为平面
A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是
________.
因为AC=BD，所以EF=EH.
所以四边形EFGH是菱形.
(2)取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，所以EQ
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1
A 1D 1.
B 1C 1，
所以EQ
B 1C 1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，
所以B1E
C1Q.
又因为Q，F是矩形DD1C1C的两边中点， 所以QD C 1F ，
所以四边形DQC1F为平行四边形， 所以C1Q DF，又因为B1E C1Q，所以B1E DF，
所以四边形B1EDF是平行四边形.
【延伸探究】将本例(1)中“AC与BD相等”改为AC与BD垂直，
则EFGH的形状为________.
【解析】由E，F，G，H分别为各边的中点，
得EF
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第2课时空间图形的公理4及等角定理ppt课件北师大版必修2
4．异面直线所成的角
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，
l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是
异面直线a，b所成的角
取值范围 异面直线所成的角θ的取值范围： 0，π2
特例 当θ＝ π 时，a与b互相垂直，记作a⊥b 2
思考 2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
合作 探究 释疑 难
公理 4 的应用 【例 1】 如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的 边 AB，BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
[解] (1)证明：如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH∥BD，EH＝21BD. 又 FG 是△CBD 的中位线， ∴FG∥BD，FG＝21BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
70°或 110° [若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110°.]
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AA1 与 BC1 所成的角的大 小为________．
45° [∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1 为直线 AA1 与 BC1 所成的角，其 大小为 45°.]
1．如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是
() A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
[答案] D
2．已知 a，b 是平行直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( ) A．不平行 B．相交 C．平行 D．垂直 C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]
2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理(一)课件 北
规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先 仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系 如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．
β＝l，且 问题的依据；三
P∈l
是证明线共点问
题的依据
【预习评价】 (1)两个平面的交线可能是一条线段吗？ 提示 不可能．由公理3知，两个平面的交线是一条直 线． (2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？ 提示 不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个 平面．
题型一 三种语言间的相互转化 【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形．
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
任何一个平面内
异面直线 不同在
的两条直线，叫作异面直线
【预习评价】 (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？ 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α. (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？ 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或不在棱上； 顶点和6个面的关系是在面内，或在面外． (3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 提示 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与 平面相交．
位置关系 点与直线的 点A在直线a外 位置关系 点B在直线a上
图形表示
符号表示 A∉a B∈a
点与平面的 位置关系
点A在平面α内 点B在平面α外
平行
直线与直线 的位置关系
相交 异面
A∈α B∉α a∥b a∩b＝O
a与b异面
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.4第2课时空间图形的公理4和等角定理学案含解析北
第2课时空间图形的公理4和等角定理考纲定位重难突破1.了解公理4及等角定理．2.会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．3.了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角.重点：公理4和等角定理的应用．难点：异面直线所成的角的定义及求法．疑点：异面直线所成角的范围易出错.授课提示：对应学生用书第11页[自主梳理]一、公理4文字语言图形表示符号语言平行于同一条直线的两条直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．三、异面直线所成的角θ1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线l1∥a，l2∥b，我们把l1与l2所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．2．范围：0°＜θ≤90°.3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[双基自测]1．两条异面直线是指( )A．分别位于两个不同平面的直线B．空间内不相交的直线C．某一平面内的一条直线与这一平面外的一条直线D．空间两条既不平行也不相交的直线解析：根据异面直线的定义可知D正确．答案：D2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝50°，则β等于( ) A．50°B．130°C．40°D．50°或130°解析：由等角定理可以判断β与α相等，∴α＝β＝50°，选A.答案：A3．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是________；(4)直线AB与B1C的位置关系是________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面4．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为________度．解析：连接AD 1，B1D1，∵AB綊D1C1，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，由题意知，AB1＝B1D1＝AD1，即△AB1D1为等边三角形，所以∠D1AB1＝60°.答案：60授课提示：对应学生用书第12页探究一 公理4的应用[典例1] 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . [解析] (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG ∥EH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面，又FG ＝EH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH .又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH ，∴AC ⊥BD .空间中证明两直线平行的方法(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．(2)利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行．1.已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点．求证：四边形MNA ′C ′是梯形． 证明：连接AC .∵M ，N 为CD ，AD 的中点， ∴MN 綊12AC .由正方体性质可知AC 綊A ′C ′， ∴MN 綊12A ′C ′.∴四边形MNA ′C ′是梯形．探究二 等角定理的应用[典例2] 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是棱AD 和A 1D 1的中点．求证：(1)四边形BB 1M 1M 为平行四边形； (2)∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.[证明] (1)在正方形ADD 1A 1中，M ，M 1分别为AD ，A 1D 1的中点， ∴MM 1＝AA 1，MM 1∥AA 1， 又∵AA 1＝BB 1，AA 1∥BB 1， ∴MM 1＝BB 1，且MM 1∥BB 1. ∴四边形BB 1M 1M 为平行四边形．(2)证法一 由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形， ∴B 1M 1∥BM .同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形， ∴C 1M 1∥CM .由平面几何知识可知，∠BMC 和∠B 1M 1C 1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.证法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可．2．空间中证明两个角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等．在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系．2．空间中角A的两边和角B的两边分别平行，若∠A＝70°，则∠B＝________.解析：由于角A的两边和角B的两边分别平行，所以有∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.因为∠A＝70°，所以∠B＝70°或∠B＝110°.答案：70°或110°探究三求两异面直线所成的角[典例3] 如图，正方体AC 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．[解析] 解法一 (直接平移法)如图，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG .则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点， ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.解法二 (中位线平移法)如图，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE ∥DB 1且HE ＝12DB 1.于是∠HEF 为所求异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． 连接HF ，设正方体的棱长为1， 则EF ＝22，HE ＝32，取A 1D 1的中点I ，连接IF ，HI ，则HI ⊥IF .∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54.∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.1．求两条异面直线所成的角，一般是根据其定义求解，步骤如下：(1)平移；(2)构造三角形；(3)解三角形；(4)作答．2．在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时，一般是选取其中一条直线上的特殊点，诸如：顶点、棱的中点等．3.如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.求：(1)BC和A′C′所成角的大小；(2)AA′和BC′所成角的大小．解析：(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′就是A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°，即BC和A′C′所成角的大小为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′就是AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以∠B′BC′＝60°，即AA′和BC′所成角的大小为60°.求异面直线上两点间的距离[典例] (本题满分12分)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC 所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．[规范解答] 如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成的角为60°，①4分所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.②6分 当EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.9分当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ， 则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32.12分[规范与警示] (1)解题时，首先在①处利用中位线作出异面直线AC 和BD 所成的角是关键，也是失分点．(2)在②处，因为作出的∠EOF 不一定就是60°，也可能是120°，此处容易出错，造成后面解答不全面，而出现漏解，失分点．(3)求异面直线上两点间的距离，其重点还是在考查对异面直线所成角的理解和应用，其步骤是：一、作图；二、确定三角形中的已知条件；三、解三角形，求出长度．[随堂训练] 对应学生用书第13页1．空间两条不同的直线a ，b 与直线l 都成异面直线，则a ，b 的位置关系是( ) A ．平行或相交 B ．异面或平行 C ．异面或相交D ．平行或异面或相交解析：直线a ，b 与直线l 都成异面直线，a 与b 之间并没有任何限制，所以直线a 与b 平行或异面或相交，故选D.答案：D2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是平面AA 1D 1D 、平面CC 1D 1D 的中心，G ，H 分别是线段AB ，BC 的中点，则直线EF 与直线GH 的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：连接AD1，CD1，AC(图略)，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.答案：C3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵CC1∥BB1，∴∠A1BB1即为BA1与CC1所成的角．∵∠A1BB1＝45°，∴BA1与CC1所成的角为45°.答案：B4．如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个说法：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．其中正确的是________．解析：如图，BM与ED垂直，故①不正确；CN∥BE，故②不正确；CN∥BE，而△EBM是正三角形，∴∠EBM＝60°，∴CN与BM成60°角，故③正确；BN在平面DCMN的射影CN与DM垂直，∴DM与BN垂直，故④正确．答案：③④5．在三棱锥ABCD中，E、F、G分别是棱AB、AC、AD的中点，求证：△EFG∽△BCD.证明：∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC.同理，GF∥DC.又∵∠EFG与∠BCD的方向相同，∴∠EFG＝∠BCD.同理，∠EGF＝∠BDC.∴△EFG∽△BCD.。
《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
分别证明角的解答】(1)连接BD、B1D1， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴在△ABD中有EF∥BD，
且 EF 1 BD.
2
∵E1 、F1分别为B1C1、C1D1的中点，
1 ∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且 E1F1 B1D1. 2
而在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 ∴四边形BB1D1D为平行四边形. ∴BD∥B1D1且BD=B1D1. ∴EF E1F1.
四边形EFGH为菱形. 理由：由(1)知，若
则四边形EFGH为平行四边形. 且 EF 3 AC，EH 2 BD.
5 5 2 3 2 若 AC BD， 则 EF AC BD EH. 3 5 5
∴平行四边形EFGH为菱形.
【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证
明
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；
【例2】如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别 为所在边的中点. 求证：(1)EF E1F1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1. 【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，
可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间
线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形. 【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关 系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.
【解析】(1)当
AH CG 2 且AC⊥BD时，四边形EFGH HD GD 3
为矩形.
AH CG 2 时，四边形EFGH为平行四边 理由：由例题知 HD GD 3
由 AC BD 及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.
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合 作
45°.
课
探
时
究 •
[答案] 45°
分 层
攻
作
重
业
难
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自
[合 作 探 究·攻 重 难]
当
主
堂
预
公理4的应用
达
习
标
•
•
探 新
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
固 双
知
基
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
合 作
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
固 双
知
基
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形；
合 作
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
探
究
•
攻
重
难
课 时 分 层 作 业
图 1-4-14 返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
[思路探究] (1)利用公理 4 进行平行之间的转化，得到平行关系．
(1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.(
)
标 •
探
固
新 知
(2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( )
双 基
(3)若 a，b 是两条直线，α，β 是两个平面，且 a α，b β，则 a，b 是异
合
作 面直线．( )
探
课 时
究 •
[解析] (2)×，也可能平行．
1 2AC.
双 基
合
由正方体性质可知 AC A′C′，
作
课
探 究 •
∴MN 12A′C′，∴四边形 MNA′C′是梯形.
时 分 层
攻
作
重
业
难
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自
等角定理的应用
当
主
堂
预 习
如图 1-4-14，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，M1 分别是棱 AD
达 标
•
•
探 新
和 A1D1 的中点．
究
课 时 分
• 攻
重
特例
当
θ＝
π 2
时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b
层
作 业
难
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自
当
主
堂
预 习
思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
达 标
•
•
探
固
新
双
知
基
提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
合
作
课
探
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究
分
•
层
攻
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重
业
难
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[基础自测]
自
当
主
1．思考辨析
堂
预
达
习 •
究
课 时 分
• 攻
∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH，
层 作
重
业
难
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
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自
当
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堂
预
达
习
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•
•
探
固
新
双
知
(2) 由 (1) 知 EH∥BD ， 同 理 AC∥GH. 又 ∵ 四 边 形 EFGH 是 矩 形 ， 基
合 ∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.
第一章 立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理 4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理 第2课时 空间图形的公理4及等角定理
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.掌握公理 4 和“等角定理”．(重点)2.理解异面直线所成的 基
合 角及直线与直线垂直的定义．(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角．(难点)
作
课
探 究
[答案] 70°或 110°
时 分
•
层
攻
作
重
业
难
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自
当
主
堂
预
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AA1 与 BC1 所成的角的大小为 达
习
标
• 探
________．
• 固
新
双
知
基
[解析] ∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1 为直线 AA1 与 BC1 所成的角，其大小为
自
[跟踪训练]
当
主
堂
预
1.已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′中，M，N 分别为 CD，AD 的 达
习
标
• 探
中点．
• 固
新
双
知
基
合
作
课
探
时
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分
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重
业
难
图 1-4-13
求证：四边形 MNA′C′是梯形．
返
首
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自
当
主
堂
预
达
习
[解] 连接 AC(图略)．
标
•
•
探
固
新 知
∵M，N 为 CD，AD 的中点，∴MN
层
攻
作
重
业
难
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自 主
4．异面直线所成的角
当 堂
预 习
过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b 的平行线 l1，
达 标
•
•
探 新
定义 l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的 锐角(或直角) 就是
固 双
知
异面直线 a，b 所成的角
基
合 作 探
取值范围 异面直线所成的角 θ 的取值范围：0，π2
分 层
攻
作
重
(3)×，可能平行、相交、异面．
业
难
[答案] (1)√ (2)× (3)× 返 首 页
自
当
主
2．已知 a，b 是平行直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( )
堂
预
达
习 •
A．不平行
B．相交
标 •
探
固
新 知
C．平行
பைடு நூலகம்D．垂直
双 基
合 作
C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]
课
探
时
究
分
•
层
作
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
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[自 主 预 习·探 新 知]
自 主
1．公理 4
当 堂
预
达
习
(1)条件：两条直线平行于 同一条直线 ．
标
•
•
探 新
(2)结论：这两条直线 平行 ．
固 双
知
基
合 作
(3)符号表述：
a∥b
b∥c
⇒
a∥c
.
课
探
时
究
2．等角定理
•
分 层
攻 重
(1)条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行．
攻
作
重
业
难
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自
当
主 预
3．空间中一个角 A 的两边分别与另一个角 B 的两边对应平行，若 A＝70°，
堂 达
习
标
• 则 B＝______.
•
探
固
新
双
知
[解析] 若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B＝70°；若两 基
合 个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110°.
作
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
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自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
[规律方法] 空间中证明两直线平行的方法：
• 固
新
双
知
(1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、 基
合 用成比例线段证平行等．
作
课
探
(2)利用公理 4 证明，即证明两直线都与第三条直线平行．
究
时 分
•
层
攻
作
重
业
难
返 首 页
作 业
难
(2)结论：这两个角相等或互补 ．
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
3．空间两条直线的位置关系
• 固
新
双
知 合
共面直线相 平交 行直 直线 线： ：在 在同 同一 一平 平面 面内 内有 没且 有只 公有 共一 点个. 公共点.
基
作
课
探
异面直线：不共面的两条直线没有公共点．
时
究
分
•
探
究 •
(2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
攻
重
难
课 时 分 层 作 业
图 1-4-12 返 首 页
自
[解] (1)如题图，在△ABD 中，