2019届高三数学第三次模拟考试题二理
湖南省永州市2019届高三数学第三次模拟考试试题理(含解析)
永州市2019年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设为虚部单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知向量，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.4.已知直线，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过两直线平行可求得的取值，从而判断二者的关系，得到结论.【详解】，解得：或由可得：；而还可能由此可知：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是利用直线平行求得参数的值.5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确．．．的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】【分析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。
【详解】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。
南昌二中2019届高三第三次考试数学理科试卷解析
）
B. [ − 2,1)
【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的定义域的定义，分别求得集合 M = ( − 1,1)和CR N = [ − 2, − 1]，再根据集合的并集的运算， 即可求解. 【详解】由题意，函数 fx =
1 1−x2
满足 1 − x2 > 0，解得− 1 < x < 1，即集合 M = ( − 1,1)，
3−6i 2+i
=
3−6i2−i 2+i2−i
=
−1−15i 5
=− − 3i，
5
1
据此可知，复数 z 的虚部为− 3. 本题选择 D 选项. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过 程． 2.函数 f(x) = A. ϕ
1 1−x2
的定义域为 M,函数 g(x) = 1n(x2 + 3x + 2)的定义域为 N，则 M ∪ (CR N) = （ C. [ − 2,1] D. (2,6)
π π 1 1 3 1 3
A. 向左平移4个单位 C. 向左平移12个单位 【答案】A 【解析】
π
π
B. 向右平移4个单位 D. 向右平移12个单位
π
π
由图像观察可知，4 = 12 − 3 = 4，所以 T = π，则ω = 2，所以 f(x) = sin(2x + φ)，根据图像过点( 12 , − 1)，
1
）
【答案】D 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 d，根据题意，求解a1 + 10d = 4，进而可求得a9 − 4 a3 = 4 (a1 + 10d)，即可得到答 案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为 d， 则a2 + a9 + a12 − a14 + a20 − a7 = 2a1 + 20d = 2(a1 + 10d) = 8，即a1 + 10d = 4， 又由a9 − 4 a3 = a1 + 8d − 4 (a1 + 2d) = 4 (a1 + 10d) = 3，故选 D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为 d，利用等差 数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.函数 fx = sinωx + φ(ω > 0,φ < 2 )的图象如图所示，为了得到 gx = cos ωx + 3的图象，则只将 fx的图象 （ ）
2019届湖南省湘潭市高三第三次高考模拟数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届湖南省湘潭市高三第三次高考模拟数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，集合，，则集合等于（）A. B. C. D.2. 若 ( 为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B. C. 1 D.3. 如图所示的阴影部分是由轴，直线以及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（）A. B. C. D.4. “ ”是“直线与圆相切”的（） A．充要条件____________________ B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5. 若双曲线的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为（）A. B. C. 2 D.6. 函数的图象大致是（）A. B. C.D.7. 执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A. B. C. D.9. 已知为数列的前项和，若恒成立，则整数的最小值为（）A. 1026B. 1025C. 1024D. 102310. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为 .若，，则的值可以是（）A. 2011B. 2012C. 2013D. 201411. 如图，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则（）A. 14B. 12C. 9D. 712. 已知函数，若对，且，有恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13. 若，则 __________ ．14. 已知点，若点在不等式组表示的平面区域内，且 ( 为坐标原点）的最大值为2，则 __________ ．15. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则当取最小的值时，__________ ．16. 已知数列满足 )，,则数列中最大项的值是 __________ ．三、解答题17. 在中，．(1)求角的大小；(2)若，求的周长的取值范围．18. 在四边形中，对角线垂直相交于点，且，．将沿折到的位置，使得二面角的大小为（如图）．已知为的中点，点在线段上，且．（1）证明：直线；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19. 某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下表：(1)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；(2)若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.20. 已知点，点是直线上的动点，过作直线，，线段的垂直平分线与交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围．21. 已知函数．(1)若函数在处取得极值，求实数的值；(2)若函数 )在区间上为增函数，求实数的取值范围；(3)若当时，方程有实数根，求实数的最大值．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．(1)求圆的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为．求线段的长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为1．(1)求的值；(2)若恒成立，求实数的最大值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
湖南省张家界市2019届高考第三次模拟考试数学试题(理)含答案
湖南省张家界市2019届高考第三次模拟考试数学试题（理）含答案2019届高三第三次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}|30A x Z x x =∈-≤，{}|2,x B y y x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2.已知i 是虚数单位，复数()20182412iz i i =+-+在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知132a -=，141log 5b =，31log 4c =，则（ ） A ．b c a >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．b a c >>4.数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A ．3603B ．1326C ．510D ．3365.已知实数x ，y 满足36024023120x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．-6B ．-4C ．25-D ．0 6.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -= C ．22125x y -= D ．221412x y -= 7.执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．14-B ．45C ．4D ．5 8.若()()89019112x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，x R ∈，则29129222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅的值为（ ） A ．92 B ．921- C ．93 D ．931- 9.已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．83+B ．83+C ．43+ D ．43+ 11.已知函数()()21cos 02f x x ωω=->的最小正周期为2π，将函数()f x 的图象向右平移()0m m >个单位后关于原点对称，则当m 取得最小值时，函数()()2sin 21g x x m =-+的一个单调递增区间为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()ln 2f x x x x a =-+，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.设非零向量a ，b 满足()a ab ⊥+，且2b a =，则向量a 与b 的夹角为 ．14.已知在[]0,1内任取一个实数x ，在[]0,2内任取一个实数y ，则点(),x y 位于1xy e =-上方的概率为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，若等边PMF ∆的面积为p = ．16.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，ABC ∆是边长为D 是线段AB 上一点，且3AD BD =.球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O 的表面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知在ABC ∆中，3B π=.（Ⅰ）若AB =12AC =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若4AB =，BM MN NC ==，AN =，求AM 的长.18.生蚝即牡蛎（oyster ），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.（Ⅰ）若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)5,25间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.19.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4CAB CBA π∠=∠=，1CC AB =，14AA AE =，11138A F AB =，AG GB =，点H 在线段EG 上.（Ⅰ）证明：EF CH ⊥；（Ⅱ）求平面11BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆C 过点2⎫-⎪⎪⎭.过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若MS SN =，PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知关于x 的方程()21xx e ax a --=有两个不同的实数根1x 、2x .（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：120x x +<.请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（Ⅰ）求出曲线2C 、3C 的参数方程；（Ⅱ）若P 、Q 分别是曲线2C 、3C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()225f x x =+-. （Ⅰ）解不等式：()1f x x ≥-；（Ⅱ）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.2019届高三第三次模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、12：BA 二、填空题 13.34π 14. 42e - 15. 2 16. 100π三、解答题17.（Ⅰ）由题意知，22212cos BC B +-=12=，解得BC =， ∴222AC BC AB +=，∴1122ABCS ∆=⨯=（Ⅱ）设BM x =，则2BN x =，AN =.在ABN ∆中，()()22242x =+242cos3x π-⋅⋅⋅，解得1x =或2x =-（舍去），∴1BM =. 在ABM∆中，AM ==18.（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为1(6101020123040⨯+⨯+⨯840450)28.5g +⨯+⨯=， ∴购进500kg ，生蚝的数量约有50000028.517544÷≈（只）. （Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在[)5,25间的概率25P =， X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()438105625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴()216961683346256256255E X =⨯+⨯+⨯=或()28455E X =⨯=. 19.（Ⅰ）不妨设2AB =，则1AG =，12AE =，132A E =，134A F =.在Rt EAG ∆和1Rt FA E ∆中，1112A F AE AG A E ==，12EAG FA E π∠=∠=， ∴1Rt EAGRt FA E ∆∆，∴1AEG A FE ∠=∠，∴1AEG A FE ∠=∠112A FE A EF π=∠+∠=，∴2FEG π∠=，即EF EG ⊥；∵4CAB CBA π∠=∠=，AG GB =，∴CG AB ⊥，∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴CG ⊥平面11ABB A ，∴CG EF ⊥； ∴EF ⊥平面CEG ，∵点H 在线段EG 上，∴EF CH ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CG ⊥平面11ABB A ，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -， 不妨设2AB =，则()0,1,0A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()11,0,2C ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,24F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴11,1,2CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，330,,42EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,1,0)BC =，()10,0,2CC =. 设平面11BCC B 的法向量(),,m x y z =，则10m BC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z +=⎧⎨=⎩，取1x =，则1y =-，0z =，则平面11BCC B 的一个法向量()1,1,0m =-；设平面CEF 的法向量(),,n x y z =，则00n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10233042x y z y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取2z =，则5x =，4y =，则平面CEF 的一个法向量()5,4,2n =； ∴cos ,m n m n m n⋅<>=⋅==，故平面11BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为30.20.（Ⅰ）由题意知，2222231122a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）∵MS SN =，PT TQ =，∴S 、T 分别为MN 、PQ 的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线1l 的方程为()1y k x =-， 则直线2l 的方程为()11y x k=--，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， 联立()221421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，∴224160k ∆=+>， ∴2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+，∴PQ 中点T 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 同理，MN 中点S 的坐标为222,22k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴232(1)ST k k k -=-， ∴直线ST 的方程为223212(1)kk y k k -+=+-22221k x k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，即2322(1)3k y x k -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，直线ST 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.21.（Ⅰ）∵()21xx e ax a--=，∴()211x x e a x -=+.令()21()1x x e f x x -=+，则()()22223'()1x x x x f x e x --+=+()()222121x x x e x ⎡⎤-+⎣⎦=-+，令'()0f x >，解得0x <，令'()0f x <，解得0x >， 则函数()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减， ∴max ()(0)1f x f ==；又当1x <时，()0f x >，当1x >时，()0f x <， 画出函数()f x 的图象.要使函数()f x 的图象与y a =有两个不同的交点， 则01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12x x ≠，不妨设12x x <，则()1,0x ∈-∞，()20,x ∈+∞. 要证120x x +<，只需证21x x <-.∵()210,x x -∈+∞，且函数()f x 在()0,+∞上单调递减，∴只需证()()21f x f x >-，又()()21f x f x =，∴只需证()()11f x f x >-， 即证111122111111x x x x e e x x --+>++，即证()()110x x x e x e ---+>对(),0x ∈-∞恒成立. 令()()()11xxg x x e x e -=--+，(),0x ∈-∞，则()()'x x g x x e e -=-， ∵(),0x ∈-∞，∴0xx ee -->，∴()'0g x <恒成立，则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，∴()(0)0g x g >=.综上所述，120x x +<.22.（Ⅰ）曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， ∴其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， ∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=，∴其参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（β为参数）.（Ⅱ）设()2cos ,sin P αα，则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d==∵[]sin 1,1α∈-，∴当1sin 3α=时，max d =.∴max max PQ d r =+1=+=23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞.（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+-37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g mg m m-=-<⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m≤<；综上所述，实数m的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。
2019届河南省焦作市高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义与圆的性质的应用，考查了转化思想，平面几何知识，属于中档题．
8．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《京地景物略》一书中才正式出现，如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 ，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）
由①②可得mn＝2c2﹣2b2，由渐近线方程y＝ x和圆x2+y2＝c2，
可得P（a，b），由三角形的面积公式可得： mn＝ •2cb，即c2﹣b2＝cb，
可得a2＝cb，即有a4＝c2（c2﹣a2）＝c4﹣c2a2，由离心率e＝ 可得1＝e4﹣e2，
即有e4﹣e2﹣1＝0．
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查直角三角形的勾股定理和面积公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
【答案】C
【解析】先求出集合 ，再由补集运算求出 最后并集运算即可.
【详解】
集合 ，所以 ，且 ，所以 = ，
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的交并补运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 的为（）
A．B．y2＝ xC．y2＝2xD．y2＝2 x
【答案】C
【解析】由A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，可得点A，N关于直线x＝ 对称，即 ，可得|NA|＝ =2p，由抛物线定义得2p＝2，可得E的方程．
2019-2020年高三年级第三次模拟考试数学试卷 含答案
2019-2020年高三年级第三次模拟考试数学试卷 含答案1．锥体的体积公式：，其中为底面积,为高.2．样本数据的方差，标准差为，其中.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合，，，则集合的子集的个数 为 ▲ .2．若复数满足（为虚数单位），则 ▲ .3．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的个红球和个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ▲ .4．已知一组数据的方差是，则数据的标准差为 ▲ .5．如图所示，该伪代码运行的结果为 ▲ .6．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .7．设分别为三棱锥的棱的中点，三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则= ▲ .8．已知实数满足约束条件，则的最大值为 ▲ . 9．若()sin()cos()()22f x x x ππθθθ=+-+-≤≤是定义在上的偶函数，则▲ . 10．已知向量满足，，，则向量的夹角为 ▲ . 11．已知线段的长为，动点满足（为常数），且点总不在以点为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值是 ▲ .12．若函数的图象上有且只有两点，使得函数的图象上存在两点，且与、与分别关于坐标原点对称，则实数的取值集合是 ▲ .13．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是. 现已知数列是等比数列，且，则数列中满足的正整数的个数为 ▲ .14．在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在中，角所对的边分别为，已知,． （1）当成等差数列时，求的面积；（2）设为边的中点，求线段长的最小值．16．(本小题满分14分)第5题图如图，四棱锥中，底面是矩形，，底面，分别为棱的中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17．(本小题满分14分)一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边上分别取点（不与正方形的顶点重合），连接，使得. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，部分规划为蜂巢区，部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆. （1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；（2）若圆的半径为，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值.B C E 第17题图 P A C D E第16题图 F19．(本小题满分16分)已知函数（）.（1）若函数的最小值为，求的值；（2）设函数，试求的单调区间；（3）试给出一个实数的值，使得函数与的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.20．(本小题满分16分)已知数列满足，，其前项和为.（1）当与满足什么关系时，对任意的，数列都满足？（2）对任意实数，是否存在实数与，使得与是同一个等比数列？若存在，请求出满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）当时，若对任意的，都有，求实数的最大值.盐城市xx届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点，连结.求证：.B.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵的两个特征向量，，若，求.B第21题（A）图C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为，试判断直线与曲线的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正数满足，求的最小值.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判. （1）求第局甲当裁判的概率；（2）记前局中乙当裁判的次数为，求的概率分布与数学期望. 23．（本小题满分10分）记2222*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =+++++≥∈（.（1）求的值；（2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.盐城市xx 届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．8 2. 3. 4. 5. 11 6. 7. 8. 9. 10. （或） 11. 12. {} 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）因为成等差数列，所以， …………2分由余弦定理，得22222cos ()31634b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-=，解得， ……6分从而. …………8分（2）方法一：因为为边的中点，所以， …………10分则222211()(2)44BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+22211(2cos )(())44c ac B a a c ac =++=+- …………12分，当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为. …………14分方法二：因为为边的中点，所以可设， 由，得，即， …………10分又因为22222cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即，所以， …………12分 故，当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为. …………14分16．证明：（1）取的中点，连接. ..............2分因为分别是的中点，所以，且， 又是的中点，所以，且，所以，且，所以是平行四边形，故. ...............4分 又平面，平面， 所以平面. (6)分（说明：也可以取中点，用面面平行来证线面平行） （2）因为底面，底面，所以. ...............8分 PA CD E第16题图1 F GP BCDE 第16题图2F H取中点，连接. 因为是矩形，且， 所以都是正方形，所以，即. ...............10分 又是平面内的两条相交直线，所以平面. ...............12分而平面，所以平面平面. ...............14分 17．解：解法一：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为. 则，从而只要求的最小值. ...............2分设，在中，因为，所以，则； ...............4分 又，所以， ...............6分 所以1(t 2S αααα-=++， ...............8分令，则111112()()(1)212121x x S x x x x x x --=+=-=+-+++ ...............10分121[(1)2]2]1212x x =++-≥=+， 当且仅当，即时取等号. ...............12分从而三个区域的总投入的最小值约为元. ...............14分 （说明：这里的最小值也可以用导数来求解： 因为，则由，得. 当时，，递减；当时，，递增. 所以当时，取得最小值为.）解法二：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为.则，从而只要求的最小值. ...............2分如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设直线的方程为，即，因为，所以直线的斜率为，从而直线方程为. ...............6分 在方程中，令，得，所以； 在方程中，令，得，所以；从而. ...............10分 以下同方法一. ...............14分 解法三：设阴影部分面积为，三个区域的总投入为.则，从而只要求的最小值. ...............2分 设，则. ...............4分 因为，所以， ..............8分 所以2tan tan tan tan 1tan tan 1()2αβαβαβ++=-≥-， ..............10分即，解得，即取得最小值为，从而三个区域的总投入的最小值约为元. ...............14分 18．解：（1）因为椭圆的方程为，所以，. ...............2分因为轴，所以，而直线与圆相切，根据对称性，可取， ...............4分则直线的方程为，即. ...............6分由圆与直线相切，得，所以圆的方程为. ...............8分（2）易知，圆的方程为. ①当轴时，， 所以，此时得直线被圆截得的弦长为. ...............10分 ②当与轴不垂直时，设直线的方程为，， 首先由，得，即，所以 （*）.............12分联立，消去，得，将代入（*）式，得. ……………14分 由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ……………16分 19．解：（1）由题意，得函数，所以，①当时，函数在上单调递增，此时无最小值，舍去； ……………2分 ②当时，由，得. 当，，原函数单调递减；，，原函数单调递增.所以时，函数取最小值，即，解得. ……………4分 （2）由题意，得， 则222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x+++++'==， ……………6分①当时，，函数在上单调递增； ②当时，由，得或，（A ）若，则，此时，函数在上单调递减； （B ）若，则，由，解得，由，解得，所以函数在上单调递增，在与上单调递减； （C ）若，则，同理可得，函数在上单调递增，在与上单调递减. 综上所述，的单调区间如下： ①当时，函数在上单调递增； ②当时，函数在上单调递减；③当时，函数的增区间为，减区间为与；④当时，函数的增区间为，减区间为与. …10分（3）符合题意. ……………12分理由如下：此时.设函数与上各有一点，，则以点为切点的切线方程为， 以点为切点的切线方程为，由两条切线重合，得2122121122211ln 222x x x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩（*）， ……………14分消去，整理得，即， 令，得，所以函数在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有唯一零点，从而方程组（*）有唯一解，即此时函数与的图象有且只有一条公切线. 故符合题意. ……………16分 20. 解：（1）由题意，得，，，首先由，得. ……………2分 当时，因为， 所以，，故对任意的，数列都满足.即当实数满足时，题意成立. ……………4分 （2）依题意，，则，因为，所以当时，是等比数列，且. 为使是等比数列，则. 同理，当时，，则欲是等比数列，则. …………8分 综上所述：①若，则不存在实数，使得与是等比数列；②若，则当满足时，与是同一个等比数列. …10分 （3）当时，由（2）可得，， 当时，，1223112(22+2)(22+2)3=322)k k k n k S S k k ++==+++++---……（，所以3，令，则1121211(1)2202222(22)(22)k k k k k k k k k k c c +++++++---=-=<----， 所以，， ……………13分当时，，11222322)(22)234k k k n k k S S a k k +++=-=----=--（， 所以，同理可得，，综上所述，实数的最大值为1. ……………16分附加题答案21. A 、证明：连结，是圆的直径，，, ……………………4分 又，，所以四点共圆，. ……………………10分 B 、解：设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则由可解得：， ……………………4分又， ……………………6分 所以2121(20M M βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………………10分C 、解：直线的普通方程为； 曲线的直角坐标方程为：，它表示圆. ……………………4分 由圆心到直线的距离，得直线与曲线相交. ……………………10分D 、解：234129181492233y z x z x y x x y y z z=++++++++ ……………………4分14≥+ （当且仅当时等号成立）所以的最小值为. ……………………10分 22．解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，所以第3局甲当裁判的概率为. ……………………4分（2）可能的取值为. ……………………5分； ……………………6分112212121117(1)()333323232327p X ==⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅=； ……………………7分. ……………………8分 所以的数学期望. ……………………10分23．解：（1）因为222232341()(32)()(32)n n f n n C C C C n C +=+++++=+，所以. ……………………3分（2）由（1）中结论可猜想所有的最大公约数为. ……………………4分下面用数学归纳法证明所有的都能被整除即可.（ⅰ）当时，能被整除，结论成立； ……………………5分 （ⅱ）假设时，结论成立，即能被整除， 则当时，……………………7分322111(32)(32)(2)k k k k C k C k C +++=+++++ ，此式也能被整除，即时结论也成立.综上所述，所有的最大公约数为. ……………………10分。
河南省焦作市2019届高三数学第三次模拟考试试题理(含解析)
河南省焦作市2019届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）【答案】B【解析】【分析】.，故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算和复数的模长，属于基础题.2.）【答案】C【解析】【分析】.，且，所以 =，故选：C【点睛】本题考查了集合的交并补运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.3.（）A. 网易与搜狗的访问量所占比例之和B. 腾讯和百度的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】A【解析】【分析】由访问网站的扇形比例图即可得答案.【详解】由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例分别为15％和3％，总和为18.故选：A【点睛】本题考查的是扇形统计图部分占总体的百分比的大小，从图中得到必要的信息是关键，属于基础题.4.（）A. 先将图像上所有的横坐标压缩为原来的B. 个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的D. 先向右平移【答案】B【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，即可得出结论．.故选：B【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律：平移与伸缩，属于基础题．5.F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且P满足|PF1|﹣|PF2|＝2b，则C的离心率e满足（）A. e2﹣3e+1＝0 B. e4﹣3e2+1＝0 C. e2﹣e﹣1＝0 D. e4﹣e2﹣1＝0【答案】D【解析】【分析】可设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用直角三角形的勾股定理，渐近线方程与圆方程联立，求得P的坐标，再由直角三角形的面积公式，结合离心率公式，计算即可得到所求关系式．【详解】可设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2b，①在直角三角形PF1F2中，m2+n2＝4c2，②由①②可得mn＝2c2﹣2b2，由渐近线方程y和圆x2+y2＝c2，可得P（a，b）mn2cb，即c2﹣b2＝cb，可得a2＝cb，即有a4＝c2（c2﹣a2）＝c4﹣c2a2，由离心率e1＝e4﹣e2，即有e4﹣e2﹣1＝0．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查直角三角形的勾股定理和面积公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．6.）B.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线为l，圆C：（x2+y2＝4，l与圆C交于A，B，圆C与E交于M，N．若A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，则E的方程为（）A. y2＝xB. y2C. y2＝2xD. y2＝【答案】C【解析】【分析】由A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，可得点A，N关于直线x，可得|NA|，由抛物线定义得2p＝2，可得E的方程．【详解】如图，圆C：（x2+y2＝4的圆心C0）是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，∵圆C：（x2+y2＝4的半径为2，∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2．∵A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，∴点A，N关于直线x∴|NA|2，∴2p＝2，则E的方程为y2＝2x．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的性质的应用，考查了转化思想，平面几何知识，属于中档题．8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《京个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）【答案】B【解析】【分析】由三视图知该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，根据图中数据计算它的表面积即可．【详解】由三视图知，该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱体，下部为圆锥体的组合体，根据图中数据，计算该陀螺的表面积为S×4π+42•π﹣22•π【点睛】本题考查了三视图的还原和组合体的表面积的应用问题，属于中档题．9.）【答案】A【解析】【分析】0.74＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【详解】∵，0.74＜0.70＝1；∴a＞b＞c．故选：A．【点睛】本题考查利用对数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题．10.1011，则判断框中可以填（）【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．【详解】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x4，4，4﹣z），x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．【点睛】本题考查直线与直线的垂直关系的应用，利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，属于中档题12.已知函数f（x），若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围是（）A. [2，3]∪（﹣∞，﹣5]B. （﹣∞，2）∪（3，5）C. [2，3]D. [5，+∞）【答案】B【解析】【分析】分类讨论，利用二次函数的单调性，结合∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），即可求得实数a的取值范围.【详解】当a＝0时，当x≤1时，f（x）＝﹣x2，当x＞1时，f（x）＝14，此时存在当x∈[﹣1，1]时，满足条件．若a＞0，则当x＞1时，f（x）为增函数，且f（x）＞a2﹣7a+14，当x≤1时，f（x）＝﹣x2+ax＝﹣（x2x1即a＜2时，则满足条件，1，即a≥2时，函数在（﹣∞，1]上单调递增，要使条件成立则f（x）在（﹣∞，1]上的最大值f（1）＝﹣1+a＞a2﹣7a+14，即a2﹣8a+15＜0，即3＜a＜5，∵a≥2，∴3＜a＜5，综上3＜a＜5或a＜2，故选：B．【点睛】本题考查分段函数的应用，结合一元二次函数的单调性以及对称性是解决本题的关键，注意分类讨论的数学思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.．【解析】【分析】x 的值即可．故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.设x，y__________．【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由数形结合进行求解即可．P（﹣6，﹣4）的斜率，x＝﹣1，y＝1，即A（﹣1，1），则AP的斜率k＝1x＝﹣5，y＝﹣7，即B（﹣5，﹣7），则BP的斜率k3，的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.15.的展开式中，x﹣1的系数是__．（用数字填写答案）【答案】-280【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．T r+12）r，令1，求得r＝3，可得x﹣1的系数为8）＝﹣280，故答案为：﹣280．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16.______．【解析】【分析】.【详解】在菱形中，，所以=,且,由正弦定理因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【答案】（Ⅰ）详见解析；【解析】【分析】（Ⅰ）的公差为，，，利用定义法即可判断；（II.因为当时，,当.（II故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18..【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】【分析】（I），.（II）为坐标原点，以直线.【详解】（I，平面.（II）易知标系.，所以，设平面的一个法向量为.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题.19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III P（X＝k k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：（III,,,.故的分布列为：【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.与椭圆交于，两点，且.【答案】（Ⅰ）-1；【解析】【分析】（I）得，（II），由弦长公式可得即可.【详解】（I所以的斜率（II）联立.设点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.（Ⅰ）讨论函数的单调性.时，存在两个正实数【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I，，的单调性即可；（II）存在两个正数m，n，令在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值为，得出.【详解】（I.上单调递增，在上单调递增；当时，上单调递减，在上单调递增（II）当a=4时，存在两个正数使得，时，，所以函数时，，所以函数取得最小值，最小值为，即，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立的问题，也考查了计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22..，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点.【答案】（Ⅰ）曲直角坐标方程直极坐标方程为【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）即可求的最小值.【详解】（I故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得设点对应得参数分别为时，取等号.【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数.（Ⅱ）证明：【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I（II）由（I）中图像可知，要条件.【详解】（I）依题意，的图像如图所示：（II）由（I时故不等式【点睛】本题考查绝对值函数的图像与性质，不等式充要条件的证明，属于中档题.。
2019-2020年高三第三次模拟考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三第三次模拟考试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x -|≤}，B={x|y=lg(4x-x2)}，则A∩B等于A．(0，2] B．∪C．(-∞，3] D．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．(Ⅰ)求证：EF∥平面BDC1；(Ⅱ)求二面角E－BC1－D的余弦值．19．(本小题满分12分)(第18题图) 已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f(x)=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．(Ⅰ)记函数的零点的个数为，求的分布列和数学期望；(Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？20．(本小题满分12分)如图，椭圆C：(a>b>0)的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2(a 为实数)．(Ⅰ)求函数f (x )在区间上的最小值及相应的x 值；(Ⅱ)若存在x ，使得f (x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲设AB 为圆O 的直径，AB =10．E 为线段AO 上一点，OE =AB ．过E 作一直线交圆O 于C ，D 两点，使得∠CEA =45°．试求CE 2+ED 2的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程． 设直线l 的参数方程为(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为=．(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |．24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立．(Ⅰ)求m 的最大值；(Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．(第20题图) D C EA O B（第22题图）兰州一中xx届高三第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1．A解析：∵A=，B=(0，4)，则A∩B=(0，2]．故选A．2．D解析：由图知，z=2+i，∴，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D．3．D解析：依题意可得，2x+2a-=2x-2a-+2k(k Z)，∴a=(k Z)，∵a(0，)，∴a=．故选D．4．A解析：∵S n=na1+d=，S m=ma1+d=，解得d=，a1=．∵故S m+n-4=(m+n)a1+d-4=>0(∵m≠n)．故选A．5．D解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P=．故选D．6．D解析：计算f′(x)中x2的系数较麻烦，只需计算f(x)中x3的系数．f(x)=(1+x)(1-x2)5=(1-x2)5+x(1-x2)5，x3的系数为0-=-5，∴含x3的项为-5x3，故函数f′(x)中x2的系数是-15．故选D．7．B解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py-2p=0，解得y1=-p+，x1=1+p-，y2=-p-，x2=1+p+，由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即+=0，化简得2p=1，从而A(，)，B(，)，OA2=x12+y12=5-2，OB2=x22+y22=5+2，△OAB的面积S=|OQ||OB|=．故选B．8．D解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P—ABC，其中P A⊥面ABC，AB=1，PB=a，BC=b，PC=，∠BAC=90°，设P A=x，AC=y，则a2+b2=8，由=4知当a=b=2时a+b取最大值，此时x=y=，故三棱锥P—ABC的体积V=．故选D．9．B解析：由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)×1=1；n=2，依次循环s=(1+2)×2=6，n=3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s=(6+3)×3=27，n=4，此刻输出s=27．故选B．10．A 解析：点差得，=0，即=0，∴，e2=1+．故选A．11．A解析：f′(x)=(x+1-a)e x，依题意，x+1-a≥0或x+1-a≤0区间(2，3)内恒成立，∴a≤3或a≥4．故选A．12．A解析：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，∴(+1)(R1+R2)=，R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4(R12+R22)≥4·2()2=2(R1+R2)2=3(2-)．故选A．二、填空题13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有种，其余4人有种，此类有种方法．(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有种，其余4人有种坐法．此类坐法有种．所以满足条件的坐法共有=384(种)．故填384．14．解析：设BC边中点为M，则，由题设，∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，即cos∠BAC=．故填．15．1+ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程作差得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)，∵x1+x2=6，y1+y2=2，=3，∴AB的方程为y=3x-8，与圆方程联立得10(x-3)2=5，∴(x-3)2=，∴a2=(x+y)(x-y)=(4x-8)(8-2x)=8-8(x-3)2=4．a=2．故填2．16．(，1) 解析：∵x2+ax+2b<0，依题意方程x2+ax+2b=0只有唯一的整数解x=1，∴方程x2+ax+2b=0一根在内，即函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在内各有一个交点．∴，作出可行域，如图所示：∵为可行域内的点(a，b)与定点P(1，2)的连线的斜率，由图可知，k P A<<k PB，其中点A(-3，1)，B(-1，0)，∴k P A=，k PB=1，故的取值范围是(，1)．三、解答题17．(Ⅰ)解：由2sin A cos B+sin(B+C)=0， (2)分即2sin A cos B+sin A=0，…………………………………………………………………4分而sin A≠0，∴cos B=-，B=．……………………………………………………6分(Ⅱ)解：因S=ac sin B，又S=，a=1，sin B=，则c=4．……………………8分解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得b=， (10)分由cosC=，得，解得BD=． (12)分解法二：作AE 平行于BC ，并延长BD 交AE 于E ，在△ABE 中，∠BAE =，AB =4，AE =1，且BD =BE ，又BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A ，即BE 2=16+1-2×4×1×=13，这样BD =BE =．………………………………12分18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ．又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形．∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ．又EF 平面DBC 1，BD 平面DBC 1．∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考) ∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点， AF =AB ．E (-1，0，1)，F (-，0，0)，B (1，0，0)，D (0，0，2)， C 1(0，，2)．设平面DBC 1的法向量为n =(x ，y ，z )．=(，0，-1)，=(-1，0，2)，=(-1，，2)．·n =-x +2z =0，·n =-x +y +2z =0，令z =1，则y =0，x =2，∴n =(2，0，1)．·n =×2+0×0+(-1)×1=0，∴⊥n ． 又EF 平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1．……………6分(Ⅱ)解：设平面EBC 1的法向量为m =(x ，y ，z )．=(-2，0，1)，=(-1，，2)． ·m =-2x +z =0，·n =-x +y +2z =0，令x =1，则z =2，y =-，∴m =(1，-，2)． cos< m ，n >=．∴二面角E －BC 1－D 的余弦值为． (12)分19．(Ⅰ)解：的可能取值为0，1，2．f (x )=ax 2+bx +c 的判别式=b 2-4ac ， 当=0时，b 为偶数，b =2时，a =1，c =1；b =4时，a =1，c =4或a =2，c =2或a =4，c =1；b =6时，a =3，c =3，∴P (=1)=． (4)分 当≥0时，有b ≥3，b =3时，ac ≤2，有3种；b =4时，ac ≤4，有9种；b =5时，ac ≤6，有14种；b =6时，ac ≤9，有17种，共计43种．∴=1的情形有43-5=38种，∴P (=2)=．P (=0)=1-P (=1)-P (=2)=．…………………………………………………………6分 ∴的分布列为：O (第18题解图1) xy o z (第18题解图2)0 1 2P数学期望E=．…………………………………8分(Ⅱ)甲得枣的数学期望是，…………………………………10分乙得枣的数学期望是．………………………………………11分∴该游戏不公平，甲吃亏．……………………………………………………………12分20．(Ⅰ)解：设左焦点F的坐标为(-c，0)，其中c=，∵e=，∴a=c，b=c．···································1分∴A(0，c)，B(-c，0)，C(0，-c)， (2)分∴AB：，CF：，····················································3分联立解得D点的坐标为(-c，c)． (4)分∵△ADC的面积为15，∴|x D|·|AC|=15，即·c·2·c=15，解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为．................................6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A点的坐标为(0，4)，D点的坐标为(-，1)．. (7)分假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上． (8)分当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．∴M、N关于点A对称，设M(x1，y1)，则N(-x1，8-y1)， (9)分根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M(x1，8)，N(-x1，0)，而点M在线段AD的垂直平分线y-=-(x+)上，可求得x1=-．···········10分故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M(-，8)，N(，0)．·····································································12分21．(Ⅰ)解：f(x)=a ln x+x2的定义域为(0，+∞)，f′(x)=+2x=．·····················1分当x时，2x2．································································2分若a≥-2，f′(x)在上非负(仅当a=-2，x=-1时，f′(x)=0)，故f(x)在上单调递增，此时f(x)min=f(1)=1； (3)分若-2e2<a<-2，令f′(x)<0，解得1≤x<，此时f(x)单调递减；令f′(x)>0，解得<x≤e，此时f(x)单调递增，∴f(x)min=f()=；·····························································4分若a≤-2e2，f′(x)在上非正(仅当a=-2e2，x=e时，f′(x)=0)，故f(x)在上单调递减，此时f(x)min=f(e)=a+e2．······································5分综上所述，得a≥-2时，f(x)min=1，相应的x=1；当-2e2<a<-2时，f(x)min=，相应的x=；当a≤-2e2时，f(x)min=a+e2，相应的x=e．······························6分(Ⅱ)解：不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x．∵x，∴ln x≤1≤x且等号不能同时成立，∴ln x<x，即x-ln x>0， (8)分因而a≥，x，令g(x)=(x)，则g′(x)=，当x时，x-1≥0，ln x≤1，x+2-2ln x>0， (10)分从而g′(x)≥0(仅当x=1时取等号)，∴g(x)在上是增函数，故g(x)min=g(1)=-1，∴实数a的取值范围是或由(*)式解得t1=6，t2=-2，|AB|=|t1-t2|=8．或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可．24．(Ⅰ)解：由题设可得b=>0，∴a>0．∴a+b=a+=≥3，当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x-1|+|x|≤3．用零点区分法求得实数x的取值范围是-≤x≤． (10)分.。
湖南省衡阳市2019届高三第三次联考(三模)数学(理)试题 含解析
2019年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）一、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i 是虚数单位，复数12i z i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】等式两边同乘i -，得到z ，然后得到z 在复平面对应的点，得到答案. 【详解】解：复数12i z i ⋅=-，()12i i z i i ∴-⋅⋅=--，2z i =--，则复数z 在复平面内对应的点()2,1--位于第三象限． 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于简单题．2.若集合()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（ ） A.12B. 2C.32D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可． 【详解】由3222x >=，解得32x >；由()1122log 0log 1x a -<=解得1x a >+，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，所以312a +=，解得12a =．故选A ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．3.若双曲线223x ty t -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）B.2【答案】B 【解析】 【分析】将双曲线化成标准方程，得到2a 和2b ，根据22226,c c a b ==+，得到关于t 的方程，从而得到离心率.【详解】解：双曲线223x ty t -=的标准方程为： 22133x y t -=，所以223,3a t b ==焦距为6，26,3c c ∴==222c a b =+2339c t ∴=+=，解得2t =，所以双曲线的离心率为：2c e a ===． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查，属于简单题．4.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布()1,4N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间 ()3,5的概率为( ）（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,P X μσμσ-<<+=(22)0.9545)P X μσμσ-<<+=A. 0.3174B. 0.2718C. 0.1359D. 0.0456【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得1,2μσ==，再由()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+求解．【详解】解：由已知，得1,2μσ==，所以()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+0.95450.68270.13592-==．故选：C ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．5.若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A.49B. 49-C.59D. 59-【答案】D 【解析】 【分析】令75αθ︒+=，则把条件和目标都转化为关于θ的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行化简，得到答案.【详解】解：令75αθ︒+=，则75αθ︒=- 由()sin 753α︒+=，可得sin 3θ=()()cos 302cos 30275θα︒︒︒---⎡⎤=⎣⎦()()2cos 1802cos 212sin θθθ︒=-=-=--251239⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故选：D ．【点睛】本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题．6.著名的“3 n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3 n+1猜想，则输出的n 为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图的要求，进行模拟运算，对a 的值依次进行讨论，得到答案. 【详解】解：10a =是偶数，5,1a n ==，1a >，5a =是奇数，16,2,1a n a ==>， 16a =是偶数，8,3,1a n a ==>8a =是偶数，4,4,1a n a ==>， 4a =是偶数，2,5,1a n a ==>，2a =是偶数，1,6,1a n a ==≤成立，输出6n =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，考查对判断语句和循环条件的辨析，利用模拟运算法是解决本题的关键．属于简单题．7.已知正项等比数列{}n a 满足12348,2a a a a -=-=，若1231n a a a a =，则n 为（ ）A. 5B. 6C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将123n 1a a a a =进行转化，利用首项和公比表示，得到关于n 的表达式，解出答案．【详解】解：正项等比数列{}n a 满足128,a a -=342a a -=，可知其公比0q >，且1q ≠可得341214a a a a -=-，23111114a q a q a a q -=- 214q ∴=，解得12q =，代入128a a -=，可得116a =，123n 1a a a a =，可得()11nn a a =，而10n a a >所以1n 1a a =，即2n 111q a -=1211612n -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，解得9n =．故选：C ．【点睛】本题考查利用等比数列的基本量进行计算以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．8.设两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，则41x a x ⎛+ ⎝的展开式中2x 的系数为（ ） A. 12 B. 3C.52D.72【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直，求得a 的值，对所求式子进行整理，利用二项展开式得到所求的项，得到答案.【详解】解：两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，1()12a ∴⋅-=-，求得2a =．则41x a x ⎛+= ⎝412x x ⎛+= ⎝， 要求其展开式中2x项，则是分子(8x -中展开式中的6x项故它的展开式中2x 的系数为28216C ⋅=72，故选：D ．【点睛】本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于简单题．9.函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( ) A. B. C.D.【答案】C 【解析】对于A ，当0a =时，()fx x =，且0x ≠，故可能；对于B ，当0x >且0a >时，()a f x x x=+≥当0x <且0a >时，()af x x x=-+在(),0-∞为减函数，故可能；对于D ,当0x <且0a <时，()a f x x x =-+≥=0x >且0a <时，()a f x x x =+在()0,+∞上为增函数，故可能，且C 不可能.故选C.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10.，则a 的值为（ ）C. 【答案】A 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，的等腰直角三角形，高为a ， 所以体积为：2111232a ⨯⨯+⨯2a ⨯⨯=解得a =故选：A ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题．11.已知函数()(1)1x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()1,+∞C. [1,)+∞D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可知00lg x x <，从而根据条件便可判断()f x 为减函数或存在极值点，对()f x 求导得()1x f x e a ='-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能是()f x 存在极值点，从而转化为方程1x a e -=有解，这样由指数函数xy e =的单调性和值域即可得出a 的取值范围．【详解】解：()lg g x x x =-求导得()11ln10g x x '=-，令()0g x '=，得1ln10x = 当10,ln10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1,ln10x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()10,1ln10x =∈时，()g x 取最大值， 111lg 0ln10ln10ln10g ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可得()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成立.∴可得00lg x x <；∴要满足()00,x ∃∈+∞，使()()00lg f x f x >，则函数()f x 为减函数或函数()f x 存在极值点；()()1x f x e a '=--；(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即()f x 不是减函数； ∴只能()f x 存在极值点，()0f x '∴=有解，即1x a e -=有解；而xy e =单调递增，且()0,x ∈+∞时，其值域为()1,+∞所以11a ->(2,)a ∴∈+∞；即a 的取值范围为(2,)+∞． 故选：D ．【点睛】本题考查函数()lg g x x x =-的图像与性质，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及指数函数的图像与性质，属于中档题．12.已知点()0,2R ，曲线42:()(0)C y px p =>，直线0,2m m >≠）与曲线C 交于M ，N 两点，若RMN ∆周长的最小值为2，则p 的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】曲线C 是由两抛物线2y px =和2y px =-构成，设MN 与y 轴交点为D ，抛物线2y px =-的焦点为F ，则由对称性可知RMN的周长为()224p MR MD RM MF ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭224p RF ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当,,M R F 三点共线时取最小值，由此能求出p 的值．【详解】解：由题意得曲线C 是由两抛物线2y px =和2y px =构成， 设MN 与y 轴交点为D ，抛物线2y px =-的焦点为,04p F ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则由对称性可知RMN 的周长为()224p MR MD RM MF ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭224p RF ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭ 当,,M R F 三点共线时取最小值，22p ∴=，解得6p =．故选：B ．【点睛】本题考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题．二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=，若||||a b a b +=-，则λ=______． 【答案】12【解析】 【分析】可求出()()2,0,2,2a b a b λλ+=+-=--，根据a b a b+=-即可得出2λ+=λ得到答案．【详解】解：()()2,1,,1a b λ=-=()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--；a b a b +=-；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=． 故答案为：12． 【点睛】本题考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度，属于简单题．14.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则·的值为_________．【答案】6【解析】【分析】乙的中位数为90，设∙的值为x，则8089889196905x+++++=，可得x的值．【详解】解：乙的中位数为90，设∙的值为x，所以8089889196 905x+++++=，解得6x=，故填：6．【点睛】通过茎叶图考查学生对中位数和平均数的理解，简单的计算问题，属于简单题．15.若,x y满足约束条件14401x y xxy⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，则23z x y=+的最大值为______．【答案】7【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】解：,x y满足约束条件14401x y xxy⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，的可行域如图：23z x y=+化为2133y x z =-+，为斜率为23-的一簇平行线，其在y轴上的截距为13z点直线经过可行域的1,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，取得最大值为7． 故答案为：7．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键之一，考查数形结合以及计算能力，属于简单题.16.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和． 【详解】解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为：26．【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.已知函数()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为1． （1）求t 的值；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a =ABC ∆的面，且()f A =，求b c +的值．【答案】（1）t =（2）b c +=【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幂公式、辅助角公式等对()f x 进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到t 的值.（2）由()f A =A 的大小，利用面积公式得到bc 的值，再由余弦定理，配凑出b c +，得到答案.【详解】解：（1）()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x t =+11cos 2sin 222x x t +=+=sin 23x t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-()f x 的最大值为1，故0t -=，可得t =（2）()2f A =，可得：sin 232A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，20,22333A A ππππ<<-<-<233A ππ∴-=，可得，3A π=由三角形面积公式得，1sin 2S bc A =4bc =，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-， 可得：()283b c bc +=-，而0b c +>∴b c +=【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图，四棱锥M ABCD -中,2,90AB DC CDA DAB ︒=∠=∠=°，MCD ∆与MAD ∆都是等边三角形，且点M 在底面ABCD 的投影为O ．（1）证明：O 为AC 的中点； （2）求二面角D MC B --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】（1）连结,,OA OC OD ，证明MOA MAD MOD ∆≅∆≅∆，从而得到OA OC OD ==，即O 为ACD ∆的外心，由90ADC ︒∠=，得O 为AC 的中点；（2）O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面DMC 的法向量m ，平面MCB 的法向量n ，利用向量法能求出二面角D MC B --的余弦值【详解】证明：（1）连结,,OA OC OD ，MO ⊥平面,,ABCD MO OA ∴⊥,MO OB MO OC ⊥⊥90MOA MOC MOD ︒∴∠=∠=∠=，MCD ∆与MAD ∆都是等边三角形， MD MC MA ∴==，又MO 为公共边， MOA MAD MOD ∴∆≅∆≅∆，OA OC OD ∴==，即O 为ACD ∆的外心， 90ADC ︒∠=，O ∴为AC 的中点．解：（2）以O 为坐标原点，,,OC OD OM 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD =，则4,AB OM ==()(,,DM)),C B -，()()0,2,2,2,DM DC =-=，设平面DMC 的法向量(),,m xy z =，则2020m DM m DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，得()1,1,1m =，()()2,0,2,0,MC CB =-=-，设平面MCB 的法向量(),,nx y z =，则2020n MC x n CB ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,0,1n =， 6cos ,m n m n m n⋅<>==⋅. 由图知二面角D MC B --的平面角为钝角，∴二面角D MC B --的余弦值为3-．【点睛】本题考查线段中点的证明，考查二面角的平面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 【答案】（1）337y 1313x =+$当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机 【解析】 【分析】（1）求出，()()515,4,26iii x y x x y x ===--=∑．代入公式得到回归方程．代入10x =，求出估计值再进行判断．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可． 【详解】解：（1）依题意，5,4,x y ==()()5126iii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13iii i i x x y y bx x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx=-=-⨯=$ 所以3371313y x =+$当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==；440,10000,5X Y p ==…． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =剟3;5P =160,15000,5X Y P >==.13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=.86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点1,2T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点T 作圆222x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 与x 轴交于点E ，过点E 作直线l 交椭圆C 于,M N 两点，点E 关于y 轴的对称点为Q ，求QMN ∆面积的最大值.【答案】（1）22184x y +=（2）【解析】 【分析】（1）依题意可得b c =，代入点1,2T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得2211414a b +=，又222a b c =+,解得,2a b ==，即可求出椭圆方程， （2）先求出直线AB的方程为240x -+=，再根据韦达定理，弦长公式，可得三角形的面积，根据基本不等式即可求出． 【详解】解：（1）依题意可得b c =,代入点1,2T ⎛- ⎝⎭，可得2211414a b +=， 又222a b c =+，解得2a b ==，故椭圆C的方程为22184x y +=．（2）141,2T ⎛- ⎝⎭2OT ∴== TA 与圆222x y +=相切2TA ∴==， 以T 为圆心，TA 为半径的圆T 的方程为225(1)2x y ⎛++= ⎝⎭， 将圆T 与圆O 的方程相减可得240x -+=， 即直线AB 的方程为240x +=， 故()()2,0,2,0E Q -， 设2:,m l y x =-()()1122,,,M x y N x y ，故QMN ∆面积为1||2S EQ =()12122-y y y y +==,联立222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222440m y my +--=，12122244,22my y y y m m -∴+==++, S ∴==,,1t t =…，S t t ∴==+=…, 当1t t=即t=1时，S取最大值故QMN ∆面积的最大值为【点睛】本题考查了椭圆方程的解法，两圆公共弦，三角形的面积，弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21.已知函数22()()xf x e ax x a =++存在极大值与极小值，且在1x =-处取得极小值. （1）求实数a 的值；（2）若函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据： 2.236e ≈≈） 【答案】（1）1（2）()1,+∞ 【解析】 【分析】（1）22()(21)1x f x e ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦，(1)0f '-=，解得0a =或1a =，当0a =时，()()()1,x f x e x f x '=+只有极小值，不符合题意．当1a =时，()()(1)2x f x e x x '=++，符合题意，由此能求出实数a 的值． （2）()2()12,xg x exx x m =+-+-()(1)(2)2x g x e x x '=++-，当0x >时，()()0,g x g x '>在()0,∞+上单调递增，当0x <时，令()()()122x e x h x x ++-=，则()()255x h x e x x '=++，利用导数性质能求出实数m 的取值范围．【详解】解：（1）函数()22()xf x eaxx a =++存在极大值与极小值，且在1x =-处取得极小值，()22()211x f x e ax a x a '++⎡⎤∴=++⎣⎦,依题意知(1)0f '-=，解得0a =或1a =，当0a =时，()()1xf x e x '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时，()f x 只有极小值，不符合题意． 当1a =时，()(1)(2)xf x e x x '=++,2x <-或1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；21x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，符合在1x =-处取得极小值的题意， 综上，实数a 的值为1． （2）()2()12xg x exx x m =+--+，()(1)(2)2x g x e x x '=++-，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在()0,∞+上单调递增， 当0x <时，令()(1)(2)2xh x e x x =++-， 则()2()55xh x exx '=++，55()0,()22h x x x h x '---+><>单调递增，()()h x x h x '<<<单调递减，(0)0,20h h ⎛==-< ⎝⎭,0x <时，()0g x '>，故()g x 在(),0-∞上单调递减，()g x 在R 上有两个零点，(0)10,1g m m ∴=-<∴>，此时当0x <时，02m g ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()g x ∴在,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点，当0x >时，2m ()120x g x x x >++--=，令012x =()00g x ∴>， ()g x 在()00,x 有一个零点，综上，实数m 的取值范围是()1,+∞．【点睛】本题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．属于难题.22.已知直线2:62x t l y t=+⎧⎨=-⎩t (为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22245cos 360ρρθ+-=．（1）求曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与l 夹角为60的直线，交l 于点N ，求MN 的最小值． 【答案】（1）曲线的C 参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）直线l 的普通方程为2100x y +-= （2【解析】【分析】（1）根据题意，代入222,cos x y x ρρθ=+=，可得229436x y +=，即22149x y +=，其参数方程为:C 2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），直线l 的普通方程为2100x y +-= （2）设M ，求出M 到直线l 的距离，利用三角函数的性质求出最小值．【详解】解：（1）代入222,cos x y x ρρθ=+=，可得229436x y +=，即24x +29y =1， 其参数方程为 2cos :3sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），直线l 的普通方程为2100x y +-=.（2）设(2cos ,3sin )M ϕϕ，则M 到l的距离d== 当()sin 1r ϕ+=时，d故MN的最小值为sin 603︒=. 【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标化直角坐标方程，简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知不等式2231x x -->的解集为 A ．（1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥-- 【答案】（1）(1,)A =+∞（2）见解析【解析】【分析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）不等式左边乘()()11m n -+-⎡⎤⎣⎦，利用柯西不等式证明．【详解】（1）解：当32x >时，不等式为：2231x x -+>，不等式恒成立，故32x >; 当302x ≤≤时，不等式为：2321x x -+>，解得312x <≤； 当0x <时，不等式为：2321x x --+>，不等式无解，综上，不等式的解集为()1,+∞，故()1,A =+∞．（2）证明：,,10,10m n A m n ∈∴->->，4,(1)(1)2m n m n +=∴-+-=，22211n m m n ⎛⎫∴+ ⎪--⎝⎭()()221111n m m n m n ⎛⎫=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭2…2()16m n =+=，22811n m m n ∴+≥--． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式，属于中档题．。
2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题Word 版含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题纸相应的位置）{}{}{}{}{}{}{}3,1)(3)(3,2)(2)()(5,23,2,15,4,3,2,1.1D C B A B C A B A U U =⋂===则，，设集合【答案】D【KS5U 解析】{}{}1,3,4,1,3U U C B A C B =⋂=所以.2. 已知函数x x f x sin )21()(-=,则)(x f 在[0，2π]上的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【KS5U 解析】在同一直角坐标系内画出函数1()sin 2xy y x ==和的图像，如图，由图知函数)(x f 在[0，2π]上的零点个数为2.4)(13)(10)(7)(60.3D C B A =+夹角为均为单位向量，它们的已知【答案】C 【KS5U解析】易知：11,1,2a b a b ==⋅=，所以()2222339613a b a ba b a b +=+=++⋅=，所以313a b +=。
4．设实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+021y x y x y ，则y x z 2-=的最小值是A ．27-B ．-2C ．1D ．25【答案】A【KS5U 解析】画出约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+021y x y x y 的可行域，由可行域知，目标函数y x z 2-=过点13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时取最小值，所以最小值为1372222z =--⨯=-。
5.已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为A ．3B ．6C ．36D ．9【答案】A【KS5U 解析】因为三棱锥S —ABC 的三条侧棱两两垂直，所以我们可以把三棱锥看做一个长方体的角，这个长方体对角线的长为6=，所以三棱锥外接球【答案】C 【KS5U解析】()()()2121111i i i x i i i i +===-+--+,2220332012220112013x C x C x C x C +⋯+++=()20130012233201320132013201320132013201320131111C x C x C x C x C x x i ++++⋯+-=+-=-1i =-+。
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1 / 8 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·南昌一模]已知复数i2iazaR的实部等于虚部，则a（ ） A．12 B．12 C．1 D．1 2．[2019·梅州质检]已知集合31,AxxnnN，6,8,10,12,14B，则集合AB中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．[2019·菏泽一模]已知向量1,1a，2,3b，且maab，则m（ ） A．25 B．25 C．0 D．15 4．[2019·台州期末]已知圆C：22128xy，则过点3,0P的圆C的切线方程为（ ） A．30xy B．30xy C．230xy D．230xy 5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
6．[2019·汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为3的等腰三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）
A．π9 B．π3 C．π6 D．π18 7．[2019合肥质检]将函数π2sin16fxx的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数gx的图象，则下列说法正确的是（ ） A．函数gx的图象关于点π,012对称 B．函数gx的周期是π2 C．函数gx在π0,6上单调递增 D．函数gx在π0,6上最大值是1 8．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．0 B．12 C．1 D．1 9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20（ ） A．3 B．1 C．3 D．2 10．[2019·揭阳一模]函数fx在0,单调递减，且为偶函数．若21f，则满足31fx
的x的取值范围是（ ） A．1,5 B．1,3 C．3,5 D．2,2
此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座
位号 11．[2019·陕西联考]已知双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为2F，若C的左支上存在点M，使得直线0bxay是线段2MF的垂直平分线，则C的离心率为（ ） A．2 B．2 C．5 D．5 12．[2019·临川一中]若函数fx在其图象上存在不同的两点11,Axy，22,Bxy，其坐标满足条件：222212121122xxyyxyxy的最大值为0，则称fx为“柯西函数”，则下列函数：①10fxxxx；②ln0efxxx；③cosfxx；④21fxx．其中为“柯西函
数”的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·江门一模]已知a、b、c是锐角ABC△内角A、B、C的对边，S是ABC△的面积，
若8a，5b，103S，则c_________． 14．[2019·景山中学]已知a，b表示直线，，，表示不重合平面． ①若a，b，ab，则； ②若a，a垂直于内任意一条直线，则； ③若，a，b，则ab； ④若a，b，ab∥，则∥．上述命题中，正确命题的序号是__________． 15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持） 16．[2019·河南联考]若一直线与曲线elnyx和曲线2ymx相切于同一点P，则实数m________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列na的前n项和为nS，且2nS是na与1na的等比中项，其中*nN． （1）求数列na的通项公式；
（2）设11211nnnnnabaa，记数列nb的前n项和为nT，求证：21nT． 18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65，65,75，75,85内的频率之比为4:2:1．
（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间75,85内的频率； （2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间45,75内的桥梁构件件数为X，求X的分布列与数学期望． 3 / 8
19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥PABCD中，ABCD∥，1AB，3CD，2AP，23DP，60PAD，AB平面PAD，点M在棱PC上． （1）求证：平面PAB平面PCD； （2）若直线PA∥平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．
20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，抛物线22:4Cyx的准线被椭圆1C截得的线段长为2．
（1）求椭圆1C的方程； （2）如图，点A、F分别是椭圆1C的左顶点、左焦点直线l与椭圆1C交于不同的两点M、N（M、N都在x轴上方）．且AFMOFN．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数23lnfxxaxx，aR． （1）当13a时，求函数fx的单调区间； （2）令函数2xxfx，若函数x的最小值为32，求实数a的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·揭阳一模]以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为22cos2a（aR，a为常数）），过点2,1P、倾斜角为30的直线l的参数方程满足322xt，（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程； （2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且2PAPB，求a和PAPB
的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·汕尾质检]已知221fxxx的最小值为t． 求t的值； 若实数a，b满足2222abt，求221112ab的最小值． 1 / 8
2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（二）答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵2iii1i2i2i22aaaz的实部等于虚部，∴122a，即1a．故选C． 2．【答案】A 【解析】由题意，集合31,AxxnnN，6,8,10,12,14B，
∴8,14AB，∴集合AB中元素的个数为2．故选A． 3．【答案】A 【解析】1,12,312,31mmmmmab， 结合向量垂直判定，建立方程，可得12310mm，解得25m，故选A． 4．【答案】B 【解析】根据题意，圆C：22128xy，P的坐标为3,0， 则有2231028，则P在圆C上，此时20113CPK，则切线的斜率1k， 则切线的方程为3yx，即30xy，故选B． 5．【答案】B 【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选， ∴共有11210CC20， 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选， ∴共有11310CC30， ∴共有203050种．故选B． 6．【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形， 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，
几何体的体积为112ππ113239．故选A． 7．【答案】C 【解析】将函数fx横坐标缩短到原来的12后，得到π2sin216gxx，
当π12x时，π112f，即函数gx的图象关于点π,112对称，故选项A错误； 周期2ππ2T，故选项B错误； 当π0,6x时，πππ2662x,，∴函数gx在π0,6上单调递增，故选项C正确； ∵函数gx在π0,6上单调递增，∴π16gxg， 即函数gx在π0,6上没有最大值，故选项D错误．故选C． 8．【答案】A 【解析】第一次循环，1k，cos01S，112k，4k不成立； 第二次循环，2k，π131cos1322S，213k，4k不成立； 第三次循环，3k，32π31cos12322S，314k，4k不成立； 第四次循环，4k，1cosπ110S，415k，4k成立， 退出循环，输出0S，故选A． 9．【答案】C 【解析】∵2sin6020cos702sin80cos70cos20cos20 2sin60cos202cos60sin20cos70cos202sin60cos20sin20cos70cos20