一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共24分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题:(每小题4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.17.已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）21.22(3)5x x -+=22.230x ++=四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
一元二次方程之判别式专项练习60题（有答案）ok
一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）﹣a=01．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x5x﹣的取值范围．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．．=0．2．已知关于x的方程（）﹣p p2=0的方程（x x﹣3）（x﹣2）﹣）求证：方程有两个不相等的实数根；（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．时，求该方程的根．（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．的值与方程的根．+2kx+（3．已知关于x的方程x2+2kx+有实数根．﹣a+3=0有实数根．的方程 x4．若关于x的方程x2+4x+4x﹣的取值范围；（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．的取值范围；（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；为符合条件的最大整数，求此时方程的根．）在（11）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．（2）在（．展示你的分析能力：6．展示你的分析能力：有两个不相等的实数根．﹣m=8有两个不相等的实数根．+3x﹣已知关于x的方程x2+3x的最小整数值是多少？（1）求m的最小整数值是多少？﹣m=8中解出x的值．的值．+3x﹣（2）将（）将（11）中求出的m值，代入方程x2+3x7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．的值及该方程的根．8．已知关于x 的方程kx 2﹣2x+1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 使（使（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（2k+12k+12k+1））x+4x+4（（k ﹣）=0（1）判断方程根的情况；）判断方程根的情况；（2）k 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．1010．若关于．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）为k 选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．1111．已知关于．已知关于x 的一元二次方程的一元二次方程 x x 2+2mx++2mx+（（m+2m+2））（m ﹣1）=0=0（（m 为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m 的值；如果方程没有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．1212．当．当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？）有两个不相等的实数根？ （2）没有实数根？）没有实数根？1313．已知关于．已知关于x 的方程是ax 2﹣3（a ﹣1）x ﹣9=09=0．． （1）证明：不论a 取何值，总有一个根是x=3x=3；； （2）当a ≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．时，利用求根公式求出它的另一个根．1414．若．若k 是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 最大可以取多少？为什么？多少？为什么？1515．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m+2m+2））x+2m x+2m﹣﹣1=01=0．． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）当m=m=﹣﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．1616．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=01=0，， （1）若方程有一个根是1，求k 的值；的值；（2）若方程没有实数根，求实数k 的取值范围．的取值范围．1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣9=0（1）求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1=m+1，求，求m 的值．的值．1818．已知．已知p 为质数，使二次方程x 2﹣2px+p 2﹣5p 5p﹣﹣1=0的两根都是整数，求出p 的所有可能值．的所有可能值．1919．．m 是什么实数时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数根？个互不相等的实数根？2020．设关于．设关于x 的方程x 2﹣4x+4x+（（y ﹣1）|x |x﹣﹣2|+22|+2﹣﹣2y=0恰有两个实数根，求y 的负整数值．的负整数值．2121．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0+2mx+m+2=0．．（1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．的取值范围．2222．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx+m 2﹣2m=02m=0．． （1）当m=1时，求方程的根．时，求方程的根． （2）试判断方程根的情况．）试判断方程根的情况．2323．已知．已知a 、b 、c 是三角形的三条边长，且关于x 的方程（的方程（c c ﹣b ）x 2+2+2（（b ﹣a ）x+x+（（a ﹣b ）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．试判断三角形的形状．2424．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m mx+m﹣﹣2=02=0，求证：无论，求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根．2525．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0．． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；的值； （2）若方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，求，求的值．的值．2626．关于．关于x 的方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k ﹣1是方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0的一个解，求k 的值．的值．2727．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+m +2x+m﹣﹣1=0 （1）若1是方程的一个根，求m 的值；的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．的取值范围．2828．若关于．若关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围．2929．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（3k 3k﹣﹣2）x ﹣6k=06k=0，， （1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC 的一边a=6a=6，另两边长，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．3030．已知一元二次方程．已知一元二次方程x 2﹣5x+k=05x+k=0．． （1）当k=6时，解这个方程；时，解这个方程；（2）若方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；的取值范围；3131．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（m+1m+1m+1））x+m=0（1）求证：不论m 取何实数，方程都有实数根；取何实数，方程都有实数根；（2）为m 选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．3232．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣2x+2k 2x+2k﹣﹣3=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．为符合条件的最大整数，求此时方程的根．3333．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=02=0．． （1）讨论此方程根的情况；）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值．的值．3434．关于．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求p 的取值范围；的取值范围； （2）若，求p 的值．的值．3535．实数．实数k 取何值时，一元二次方程x 2﹣（﹣（2k 2k 2k﹣﹣3）x+2k x+2k﹣﹣4=0 （1）有两个正根；）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （3）一个根大于3，一个根小于3．3636．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围；的取值范围； ②试判断直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5），并说明理由．，并说明理由．3737．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=02=0．． （1）若﹣）若﹣11是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程根的情况，并说明理由．，判断方程根的情况，并说明理由．3838．证明：无论．证明：无论m 为何值，关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．总有两个不相等的实数根．3939．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求，若方程有两个相等的实数根，求m 的值．的值．4040．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx kx﹣﹣2=02=0．．（1）求证：无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根；取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1•x 2，求k 的值．的值．4141．已知方程．已知方程m 2x 2+（2m+12m+1））x+1=0有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．4242．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根．有两个实数根． （1）求m 的范围；的范围； （2）若方程两个实数根为x 1、x 2，且x 1+3x 2=8=8，求，求m 的值．的值．4343．如果关于．如果关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣m ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，当m 在它的取值范围内取最大整数时，求的值．的值．4444．若关于．若关于x 的一元二次方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，分别是x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围； （2）若有x 1+x 2=x 1x 2，则k 的值是多少．的值是多少．4545．已知关于．已知关于x 的方程k 2x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+1=0有两个实数根x 1、x 2 （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k ，若不存在，请说明理由．，若不存在，请说明理由．4646．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0x+k=0．．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实根．取什么实数值，这个方程总有实根． （2）若等腰△）若等腰△ABC ABC 的一腰长a=4a=4，另两边，另两边b 、c 恰好是这个方程的两根，求△恰好是这个方程的两根，求△ABC ABC 的周长．的周长．4747．已知．已知x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0是关于x 的一元二次方程方程．的一元二次方程方程． （1）方程有两根不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围． （2）方程有一根为1，求k 的取值．的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k 的取值．的取值．4848．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k k ﹣1）x 2+2x +2x﹣﹣5=0有两个不相等的实数根，求：有两个不相等的实数根，求： ①k 的取值范围．的取值范围．②当k 为最小整数时求原方程的解．为最小整数时求原方程的解．4949．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（m m ﹣1）x 2﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）x+2=0x+2=0．． （1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程只有整数根，求整数m 的值．的值．5050．已知关于．已知关于x 的方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．． （1）小明同学说：“无论k 为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？”你认为他说的有道理吗？ （2）若方程的一个根是﹣）若方程的一个根是﹣11，求另一根及k 的值．的值．5151．已知关于．已知关于x 的一元二次方程．（1）m 取什么值时，方程有两个实数根？取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a 、b ，若y=ab y=ab﹣﹣2b 2+2b+1+2b+1，求，求y 的取值范围．的取值范围．5252．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根有实根 （1）求k 的取值范围的取值范围 （2）若方程的两实根的平方和等于1111，求，求k 的值．的值．5353．如果一元二方程．如果一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m 、n 的值．的值．5454．已知，关于．已知，关于x 的一元二次方程：的一元二次方程：ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=01=0，， （1）当a 取什么值时，方程有实数根？取什么值时，方程有实数根？（2）设x 1，x 2为方程两根，为方程两根，y=x y=x 1+x 2﹣x 1•x 2，试比较y 与0的大小．的大小．5555．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．，判断方程的根的情况，并说明理由．5656．已知关于．已知关于x 的方程．（1）若方程只有一个根，求k 的值并求出此时方程的根；的值并求出此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k 的值．的值．5757．已知关于．已知关于x 的方程4x 2+4+4（（k ﹣1）x+k 2=0和2x 2﹣（﹣（4k+14k+14k+1））x+2k 2﹣1=01=0，它们都有实数根，试求实数，它们都有实数根，试求实数k 的取值范围．围．5858．已知关于．已知关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0 （1）若方程有实数根，求k 的取值范围的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3a=3，另两边，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．5959．已知关于．已知关于2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．）求证：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）若已知该方程的一个根是﹣）若已知该方程的一个根是﹣11，请求出另一个根．，请求出另一个根．参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△==（﹣（﹣55）2﹣4×2×（﹣×（﹣a a ）＞）＞00，解得a ＞﹣，即a 的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1=1，，解得a=a=﹣﹣2，方程化为2x 2﹣5x+2=05x+2=0，变形为（，变形为（，变形为（2x 2x 2x﹣﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 解得x1=，x 2=2=2．．2．（1）证明：方程整理为x 2﹣5x+65x+6﹣﹣p 2=0=0，， △=（﹣（﹣55）2﹣4×1×（×（66﹣p 2） =1+4p 2， ∵4p 2≥0， ∴△＞∴△＞00，∴这个方程总有两个不相等的实数根；∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x 2﹣5x+2=05x+2=0，， △=1+4=1+4××4=174=17，，∴x=， ∴x 1=，x 2=．3．方程整理得x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+x+（（k ﹣2）2=0=0①，①，①， 由题意得（由题意得（2k 2k 2k﹣﹣1）2﹣4（k ﹣2）2=0=0，， 解得． 将代入①得，解得4．（1）△）△=4=42﹣4（3﹣a ）=4+4a =4+4a．． ∵该方程有实数根，∵该方程有实数根，∴4+4a 4+4a≥≥0． 解得a ≥﹣≥﹣11．（2）当a 为符合条件的最小整数时，为符合条件的最小整数时，a=a=a=﹣﹣1． 此时方程化为x 2+4x+4=0+4x+4=0，方程的根为，方程的根为x 1=x 2=﹣2 2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，）∵该方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△=3=32﹣4×1×=9=9﹣﹣3m 3m＞＞0．解得m ＜3．∴m 的取值范围是m ＜3； （2）∵）∵m m ＜3，∴符合条件的最大整数是m=2m=2．． 解得x==． ∴方程的根为x 1=，x 2=．故答案为：故答案为：m m ＜3，x 1=，x 2=6．（1）化为一般形式得：）化为一般形式得：x x 2+3x +3x﹣﹣m ﹣8=0△=9+4=9+4（（m+8m+8）＞）＞）＞00， 解得m ＞﹣，∴m 的最小整数值m=m=﹣﹣1010．．（2）把m=m=﹣﹣10代入原方程得x 2+3x+10=8+3x+10=8，， 即x 2+3x+2=0解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=﹣27．∵△．∵△==（﹣（﹣55）2﹣4×m ×3=253=25﹣﹣12m 12m，， ∴由题意得：∴由题意得：252525﹣﹣12m=112m=1，， ∴m=2m=2，，当m=2时，方程为2x 2﹣5x+3=05x+3=0，， 两根为x 1=1=1，，x 2=．答：答：m m 的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k ≠0且△≥且△≥00，即4﹣4k 4k≥≥0，解得k ≤1，所以k 的取值范围为k ≤1且k ≠0； （2）存在，）存在，k=k=k=﹣﹣1．理由如下：．理由如下： 根据题意得x 1+x 2=，x 1•x 2=，∵（∵（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1，∴x 1•x 2+x 1+x 2+1=k +1=k﹣﹣1，即++1=k +1=k﹣﹣1， 化为整式方程得k 2﹣2k 2k﹣﹣3=03=0，， ∴（∴（k k ﹣3）（k+1k+1））=0=0，， ∴k 1=3=3，，k 2=﹣1， ∵k ≤1且k ≠0； ∴k=k=﹣﹣1 19．①∵△①∵△==（2k+12k+1））2﹣4×1×4（k ﹣）=4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣16k+8=4k 2﹣12k+9=12k+9=（（2k 2k﹣﹣3）2≥0， ∴该方程有两个实根；∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△②若方程有两个相等的实数根，则△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，， ∴（∴（2k 2k 2k﹣﹣3）2=0=0，， 解得：解得：k=k=，把k=时代入原式得：时代入原式得：x 2﹣（﹣（22×+1+1））x+4x+4（（﹣）=0 x 2﹣4x+4=04x+4=0，， 解得：解得：x=2x=2x=2；； ∴方程两根均为2．1010．．（1）根据题意得k ≠0且△且△==（k+2k+2））2﹣4k 4k××=4k+4=4k+4＞＞0， 解得k ＞﹣＞﹣11且k ≠0；（2）取k=1k=1，方程化为，方程化为x 2+3x+=0=0，， △=4k+4=8=4k+4=8，， ∴x==， ∴x 1=，x 2=1111．．△=（2m 2m））2﹣4（m+2m+2））（m ﹣1）=4m 2﹣4m 2﹣4m+8=4m+8=﹣﹣4m+84m+8．．（1分）分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＞＞0，所以m ＜2．（2分）分） （2）因为方程有两个相等的实数根，）因为方程有两个相等的实数根， 所以﹣所以﹣4m+8=04m+8=04m+8=0，所以，所以m=2m=2．．（2分）分） 因为方程没有实数根，因为方程没有实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＜＜0，所以m ＞2 21212．．（1）根据题题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＞0， 解得k ＜1且k ≠0；（2）根据题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＜0， 解得k ＞1 11313．．（1）证明，将x=3代入方程，得代入方程，得 左边左边=9a =9a =9a﹣﹣9（a ﹣1）﹣）﹣9=99=99=9﹣﹣9=0=9=0=右边，右边，右边， 所以，方程总有一个根是x=3x=3；；（2）当a ≠0时，△时，△=9=9=9（（a ﹣1）2+4+4××9=99=9（（a+1a+1））2， 所以，所以，x x 1==3=3，，x 2==﹣，即方程的另一个根是x=x=﹣﹣．1414．．∵一元二次方程∵一元二次方程（（1﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，实数根，∴1﹣k ≠0，且△＞，且△＞00，即22﹣4×（×（11﹣k ）×（﹣）×（﹣11）＞）＞00， 解得k ＜2， 又∵又∵k k 是整数，是整数，∴k 的取值范围为：的取值范围为：k k ＜2且k ≠1的整数，的整数， =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00， ∴方程有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=m=﹣﹣2时，方程变形为x 2﹣5=05=0，， 解得x 1=，x 2=﹣，∴方程的两根互为相反数∴方程的两根互为相反数1616．．（1）∵）∵x=1x=1是方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=0的一个根，的一个根，∴12+2+2××1+k 1+k﹣﹣1=01=0，，解得，解得，k=k=k=﹣﹣2； （2）∵方程没有实数根，）∵方程没有实数根，∴b 2﹣4ac 4ac＜＜0，即22﹣4（k ﹣1）＜）＜00， 解得k ＞2 21717．．（1）证明：方程的根的判别式△）证明：方程的根的判别式△==（m ﹣2）2﹣4×1×（﹣（﹣99）=（m ﹣2）2+36∵无论m 取何实效（取何实效（m m ﹣2）2+36+36＞＞0恒成立恒成立 ∴这个方程总有两个不相等的实数根∴这个方程总有两个不相等的实数根 （2）解由根与系数的关系．得α+β=2=2﹣﹣m 则2α+β=α+α+β=α+2+2﹣﹣m∵2α+β=m+1=m+1，∴，∴α+2+2﹣﹣m=m+1m=m+1，则，则α=2m =2m﹣﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m ﹣2）α﹣9=0 则（则（2m 2m 2m﹣﹣1）2+（m ﹣2）（2m 2m﹣﹣1）﹣）﹣9=0 9=0 整理，得2m 2﹣3m 一2=0 解，得m 1=2=2，，m 2=﹣．1818．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△∴△=4p =4p 2﹣4（p 2﹣5p 5p﹣﹣1）=4=4（（5p+15p+1）为完全平方数，）为完全平方数，）为完全平方数， 从而，从而，5p+15p+1为完全平方数为完全平方数设5p+1=n 2，注意到p ≥2，故n ≥4，且n 为整数为整数 ∴5p=5p=（（n+1n+1））（n ﹣1）， 则n+1n+1，，n ﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k n=5k±±1（k 为正整数）为正整数）∴5p+1=25k 2±10k+110k+1，，p=k p=k（（5k 5k±±2）， 由p 是质数，是质数，5k 5k 5k±±2＞1， ∴k=1k=1，，p=3或7当p=3时，已知方程变为x 2﹣6x 6x﹣﹣7=07=0，，解得x 1=﹣1，x 2=7=7；；当p=7时，已知方程变为x 2﹣14x+13=014x+13=0，解得，解得x 1=1=1，，x 2=13 所以p=3或p=7p=7．．1919．∵△．∵△．∵△=b =b 2﹣4ac=164ac=16﹣﹣4（5﹣m ）=4m =4m﹣﹣4＞0 ∴m ＞1当x ≥0时，方程是x 2﹣4x+54x+5﹣﹣m=0m=0，，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 ∴1＜m ＜5当x ＜0时，方程是x 2+4x+5+4x+5﹣﹣m=0m=0，方程有两个不同的根，，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 则1＜m ＜5∴1＜m ＜5时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数（|x |x﹣﹣2|2|﹣﹣2）[|x [|x﹣﹣2|+2|+（（1+y 1+y））]=0]=0，， 则|x |x﹣﹣2|=2或|x |x﹣﹣2|=2|=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 故2=2=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 则y=y=﹣﹣3，当|x |x﹣﹣2|=22|=2，且，且1+y 1+y＞＞0时，时， 则y ＞﹣＞﹣11，故y 的负整数值为：﹣的负整数值为：﹣3 3 3 2121．．（1）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（3分）分）即∴﹣∴﹣22＜m ≤﹣≤﹣11…（7分）分）（2）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（10分），即∴m ＜﹣＜﹣1 1 12222．．（1）当m=1时，原方程变为：时，原方程变为：x x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0 解得：；（2）△）△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×（×（m m 2﹣2m 2m））=8m =8m，， 当m ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；时，原方程有两个不相等的实数根； 当m=0时，原方程有两个相等的实数根；时，原方程有两个相等的实数根； m ＜0时，原方程没有实数根时，原方程没有实数根2323．由已知条件△．由已知条件△．由已知条件△=4=4=4（（b ﹣a ）2﹣4（c ﹣b ）（a ﹣b ）=4=4（（a ﹣b ）（a ﹣c ）=0=0，， ∴a=b 或a=c a=c，， ∵c ﹣b ≠0则c ≠b ，∴这个三角形是等腰三角形∴这个三角形是等腰三角形 2424．△．△．△=m =m 2﹣4（m ﹣2） =m 2﹣4m+8 =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00，∴无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 2525．．（1）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根， ∴（∴（m m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， ∴m 2﹣2m+12m+1﹣﹣4m 4m﹣﹣8=08=0，， m 2﹣6m 6m﹣﹣7=07=0，， ∴m=7或﹣或﹣11；（2）∵方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，， ∴m 2﹣9m+2=m+29m+2=m+2，， ∴m 2﹣10m=010m=0，， ∴m=0或m=10m=10，，当m=0时，方程为：时，方程为：x x 2+x+2=0+x+2=0，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去； ∴m=10m=10，， ∴=4 =42626．．（1）由题意，知（﹣）由题意，知（﹣22）2﹣4（k ﹣1）＞）＞00， 解得k ＜2，即k 的取值范围为k ＜2．（2）由题意，得（）由题意，得（k k ﹣1）2﹣2（k ﹣1）+k +k﹣﹣1=0 即k 2﹣3k+2=0解得k 1=1=1，，k 2=2=2（舍去）（舍去）（舍去） ∴k 的值为12727．．（1）把x=1代入方程，得1+2+m 1+2+m﹣﹣1=01=0，所以，所以m=m=﹣﹣2； （2）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞∴△＞00，即22﹣4（m ﹣1）＞）＞00， 解得m ＜2．所以m 的取值范围为m ＜2 22828．∵关于．∵关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根， ∴，解得k ＞．所以k 的取值范围是k ＞且k ≠2．2929．．（1）证明：∵△）证明：∵△=b =b 2﹣4ac=4ac=（（3k 3k﹣﹣2）2﹣4•（﹣6k 6k））=9k 2﹣12k+4+24k=9k 2+12k+4=+12k+4=（（3k+23k+2））2≥0 ∴无论k 取何值，方程总有实数根．取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则，则△=0=0．．∴（∴（3k+23k+23k+2））2=0=0，解得：，解得：，解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；不能构成三角形，故舍去； ②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=6 代入方程：代入方程：662+6+6（（3k 3k﹣﹣2）﹣）﹣6k=0 6k=0 ∴k=k=﹣﹣2则原方程化为x 2﹣8x+12=0 （x ﹣2）（x ﹣6）=0 ∴x 1=2=2，，x 2=6 即b=6b=6，，c=2此时△此时△ABC ABC 三边为6，6，2能构成三角形，能构成三角形， 综上所述：△综上所述：△ABC ABC 三边为6，6，2． ∴周长为6+6+2=146+6+2=14．．3030．．（1）k=6k=6，方程变为，方程变为x 2﹣5x+6=05x+6=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0=0，，∴x 1=2=2，，x 2=3=3；；（2）根据题意△）根据题意△==（﹣（﹣55）2﹣4k 4k＞＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x 1+x 2=5=5，，x 1，•x 2=k =k，， 而2x 1﹣x 2=2=2，， ∴x 1=， ∴x 2=， ∴k=×=3131．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣﹣（m ﹣1）]2﹣4m=m 2+2m+1+2m+1﹣﹣4m=4m=（（m ﹣1）2， 又∵不论m 取何实数，总有（取何实数，总有（m m ﹣1）2≥0， ∴△≥∴△≥00，∴不论m 取何实数，方程都有实数根．取何实数，方程都有实数根． （2）∵由求根公式得=∴x 1=m =m，，x 2=1=1，，∴只要m 取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．相等．如取m=2m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x 1=2=2，，x 2=1=1．．3232．．（1）△）△==（﹣（﹣22）2﹣4（2k 2k﹣﹣3）=8=8（（2﹣k ）． ∵该方程有两个不相等的实数根，∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2﹣k ）＞）＞00，解得k ＜2．（2）当k 为符合条件的最大整数时，为符合条件的最大整数时，k=1k=1k=1．． 此时方程化为x 2﹣2x 2x﹣﹣1=01=0，方程的根为，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x 1=1+，x 2=1=1﹣﹣．3333．．（1）当k=k=﹣﹣1时，方程﹣时，方程﹣4x 4x 4x﹣﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；此方程有一个实数根；当k ≠﹣≠﹣11时，方程（时，方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0是一元二次方程，二次方程，△=（3k 3k﹣﹣1）2﹣4（k+1k+1））（2k 2k﹣﹣2）=（k ﹣3）2． ∵（∵（k k ﹣3）2≥0，即△≥，即△≥00，∴k 为除﹣为除﹣11外的任意实数时，此方程总有两个实数根．外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根；取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0中a=k+1a=k+1，，b=3k ﹣1，c=2k c=2k﹣﹣2，∴x=，∴x 1=﹣1，x 2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k 为正整数，为正整数， ∴当k=1时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，0； 当k=3时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，﹣，﹣11． ∴k=1k=1，，3 33434．．（1）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴△≥∴△≥00，即12﹣4×1×（×（p p ﹣1）≥）≥00，解得p ≤， ∴p 的取值范围为p ≤；（2）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 12﹣x 1+p +p﹣﹣1=01=0，，x 22﹣x 2+p +p﹣﹣1=01=0，， ∴x 12﹣x 1=﹣p+1=0p+1=0，，x 22﹣x 2=﹣p+1p+1，， ∴（﹣∴（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）（﹣（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）=9=9，， ∴（∴（p+1p+1p+1））2=9=9，， ∴p 1=2=2，，p 2=﹣4，∵p ≤， ∴p=p=﹣﹣4 43535．．（1）设方程的两个正根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）≥）≥0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＞0 ②，②，解①，得：解①，得：k k 为任意实数，为任意实数， 解②，得：解②，得：k k ＞2，所以k 的取值范围是k ＞2；（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＜0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，解②，得：＜k ＜2，所以k 的取值范围是＜k ＜2； （2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， （x 1﹣3）（x 2﹣3）＜）＜0 0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，由②，得：由②，得：x x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9+9＜＜0， 又x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4，代入整理，得﹣代入整理，得﹣4k+144k+144k+14＜＜0， 解得k ＞． 则k ＞．3636．．（1）∵关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根，等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac 4ac＞＞0∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣4（k 2+2+2）＞）＞）＞0 0 ∴4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣4k 2﹣8＞0， ∴4k 4k＞＞7， 解得，解得，k k ＞；（2）假设直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5）， ∴5=5=（（2k 2k﹣﹣3）×（﹣）×（﹣22）﹣）﹣4k+74k+74k+7，即﹣，即﹣，即﹣8=8=8=﹣﹣8k 8k，， 解得k=1k=1＜＜；又由（又由（11）知，）知，kk ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7不通过点A （﹣（﹣22，5）3737．．（1）把x=x=﹣﹣1代入原方程得：代入原方程得：1+m 1+m 1+m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，∴原方程为x 2﹣x ﹣2=02=0．．解得：解得：x=x=x=﹣﹣1或2， ∴方程另一个根是2；（2）∵△）∵△=b =b 2﹣4ac=m 2+8+8＞＞0，∴对任意实数m 方程都有两个不相等的实数根．方程都有两个不相等的实数根． 3838．∵△．∵△．∵△==（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×1×（﹣×（﹣2m 2m 2m﹣﹣4） =4=4（（m 2+2m +2m））+16 =4=4（（m 2+2m+1+2m+1﹣﹣1）+16 =4=4（（m+1m+1））2+12+12＞＞0，∴关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．根．3939．∵关于．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，个相等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，，即：（m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， 解得：解得：m=7m=7或m=m=﹣﹣1， ∴m 的值为7或﹣或﹣1 14040．．1）证明：∵）证明：∵a=1a=1a=1，，b=b=﹣﹣k ，c=c=﹣﹣2∴△∴△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣k k ）2﹣4×1×（﹣×（﹣22）=k 2+8+8，， ∵k 2＞0， ∴△＞∴△＞00，∴无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根．取何值，方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵，；又∵又∵x x 1+x 2=x 1•x 2 ∴k=k=﹣﹣2．4141．当．当m 2=0=0，即，即m=0m=0，方程变为：，方程变为：，方程变为：x+1=0x+1=0x+1=0，有解；，有解；，有解；当m 2≠0，即m ≠0，原方程要有实数根，则△≥，原方程要有实数根，则△≥00， 即△即△==（2m+12m+1））2﹣4m 2=4m+1=4m+1≥≥0， 解得m ≥﹣，则m 的范围是m ≥﹣且m ≠0； 所以，所以，m m 的取值范围为m ≥﹣ 4242．．（1）△）△=4=4=4﹣﹣4m 4m，，∵有两个实数根，∵有两个实数根， ∴4﹣4m 4m≥≥0， ∴m ≤1； （2）∵，解得，，∴m=x 1x 2=﹣3 34343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△∴△=4+4=4+4=4+4（（1﹣m ）=8=8﹣﹣4m 4m＞＞0，且1﹣m ≠0，∴，∴m m ＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m ≠0， 则m 的最大整数值为﹣的最大整数值为﹣11，所以=4=4××1+1=51+1=5．．答：=5=5．．4444．．（1）∵方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，有两个实数根， ∴△≥∴△≥00，即4k 2﹣4（ k 2+2k +2k﹣﹣5 ）≥）≥00， ∴﹣∴﹣8k+208k+208k+20≥≥0 ∴k ≤；（2）∵）∵x x 1+x 2=﹣2k 2k，，x 1x 2=k 2+2k +2k﹣﹣5， 而x 1+x 2=x 1x 2，∴﹣∴﹣2k=k 2k=k 2+2k +2k﹣﹣5，即k 2+4k +4k﹣﹣5=0 解得k 1=﹣5，k 2=1=1，， 又∵又∵kk ≤， ∴k=k=﹣﹣5或1 14545．．（1）（2k 2k﹣﹣1）2﹣4k 2×1≥0， 解得：解得：k k ≤， 且：且：k k 2≠0， ∴k ≠0， ∴k ≤且k ≠0；（2）不存在，）不存在，∵方程有两个的实数根，∵方程有两个的实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴==﹣=﹣2k+1=02k+1=0，，k=，∵k ≤且k ≠0； ∴不存在∴不存在4646．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣（﹣（﹣（k+1k+1k+1））]2﹣4k=k 2+2k+1+2k+1﹣﹣4k=4k=（（k ﹣1）2≥0，∴无论k 取什么实数值，这个方程总有实根；取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△）∵等腰△ABC ABC 的一边长a=4a=4，， ∴另两边b 、c 中必有一个数为4，把4代入关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0中得，中得， ∴1616﹣﹣4（k+1k+1））+k=0+k=0，， 解得：解得：k=4k=4k=4，， 所以b+c=k+1=5∴△∴△ABC ABC 的周长的周长=4+5=9=4+5=9=4+5=9．．4747．．（1）∵方程有两根不相等的实数根，）∵方程有两根不相等的实数根， ∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）＞）＞00， ∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+1+（（2k+12k+1））+k 2﹣2=02=0，， 整理得k 2+2k=0+2k=0，， 解得k=0或﹣或﹣22；（3）设两实数根为：）设两实数根为：x x 1，x 2，由根与系数的关系：由根与系数的关系：x x 1x 2=k 2﹣2=12=1，，解得k=k=±±4848．①由题意得，．①由题意得，．①由题意得，222﹣4（k ﹣1）•（﹣5）＞）＞00．解得，．且k ﹣1≠0，即k ≠1 故且k ≠1．（2）k 的最小整数是k=2k=2．则原方程为．则原方程为x 2+2x +2x﹣﹣5=0 故此时方程的解为：，4949．．（1）证明：∵△∵△=[=[=[﹣﹣（2m 2m﹣﹣1）]2﹣4×（m ﹣1）×2=4m 2﹣12m+9=12m+9=（（2m 2m﹣﹣3）2≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）x==，x 1==2=2，，x 2==，∵方程只有整数根，∵方程只有整数根，∴m ﹣1=1=±±1， 解得：解得：m=0m=0或2 2 5050．．（1）有道理，）有道理，△=k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+8+8，， ∴k 2≥0，∴k 2+8+8＞＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣）∵方程的一个根是﹣11， ∴2×（﹣×（﹣11）2﹣k ﹣1=01=0，，解得：解得：k=1k=1k=1，，把k=1代入方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=0得方程2x 2+x +x﹣﹣1=01=0，， 解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=， 故另一根是，k 的值是1 15151．．（1）∵△≥）∵△≥00，方程有两个实数根，，方程有两个实数根， ∴12﹣4×1×m ≥0，解得m ≤1， ∴当m ≤1时，方程有两个实数根；时，方程有两个实数根； （2）∵方程的两个实数根为a 、b ， ∴b 2﹣b+m=0m=0，，ab=m ， ∴y=m ﹣2（b 2﹣b ）+1 =m ﹣2×（﹣m ）+1 =m+1m+1，， ∵m ≤1， ∴y ≤+1+1，， 即y ≤．5252．．（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根，有实根，∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）≥）≥00，解得：；（2）设方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=﹣（﹣（2k+12k+12k+1）），x 1•x 2=k 2﹣2， ∵x 12+x 22=11=11，，∴（∴（x x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=11=11，， ∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣2（k 2﹣2）=11=11，， 解得k=1或﹣或﹣33； ∵k ≥﹣， ∴k=1k=1．．5353．∵一元二方程．∵一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2， ∴4+4m 4+4m﹣﹣n=0n=0①，①，①， 又∵根的判别式为0， ∴△∴△=m =m 2﹣4×（×（2m 2m 2m﹣﹣n ）=0=0，， 即m 2﹣8m+4n=08m+4n=0②，②，②， 由①得：由①得：n=4+4m n=4+4m n=4+4m，，把n=4+4m 代入②得：代入②得：m m 2+8m+16+8m+16﹣﹣0， 解得m=m=﹣﹣4， 代入①得：代入①得：n=n=n=﹣﹣1212，， 所以m=m=﹣﹣4，n=n=﹣﹣1212．． 5454．．（1）∵方程有实数根，）∵方程有实数根， ∴△≥∴△≥00， 即16+4a 16+4a≥≥0， 解得a ≥﹣≥﹣44．由于ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， 可知a ≠0，∴a ≥﹣≥﹣44且a ≠0． （2）∵）∵ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， ∴x 1+x 2=﹣， x 1•x 2=﹣， ∴y=y=﹣﹣+=﹣．当﹣当﹣44≤a ＜0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＞0； 当a ＞0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＜0． 5555．．（1）将x=2代入方程得：代入方程得：44﹣2m 2m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，方程为x 2﹣x ﹣2=02=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x+1x+1））=0=0，， 解得：解得：x=2x=2或x=x=﹣﹣1， 则方程的另一根为﹣则方程的另一根为﹣11； （2）∵△）∵△=m =m 2+8+8≥≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的实数根． 5656．．（1）∵方程只有一个根，）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0=0，， ∴k=；代入原方程得﹣x=1x=1，解得，解得x=x=﹣﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k 1=0=0，，k 2=﹣6．5757．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根， ∴，解得﹣≤k ≤．5858．．（1）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0方程有实数根，方程有实数根，∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）≥）≥00， 解得：解得：k k ≥﹣且k ≠0；（2）①若a=3为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则△，则△，则△=0=0=0．． ∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）=0=0，， 解得：解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0 ∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为3，2，2能构成三角形，能构成三角形， ∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+2+2=83+2+2=83+2+2=8；；②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=3 代入方程：代入方程：kx kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0得：得：k k ×32+2+2（（k+4k+4））×3+3+（（k ﹣4）=0 ∴解得：∴解得：k=k=k=﹣﹣，∵x 1×x2=bc====3c =3c，，∴c=，∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+3+3+3+=．5959．．（1）证明：∵△）证明：∵△=k =k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+4+4＞＞0， ∴该方程一定有两个不相等的实数根；∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得：，根据根与系数的关系可得：x x 1•x 2=﹣， ∵一个根是﹣∵一个根是﹣11， ∴x 1•（﹣1）=﹣，解得：解得：x x 1=6060．∵一元二次方程．∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=44ac=4（（m+1m+1））2﹣4m 2=8m+4=8m+4≥≥0， ∴，∵1212＜＜m ＜4040，，由求根公式由求根公式，∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴2m+1必须是完全平方数，必须是完全平方数， ∴m=24 m=24。
一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案
练习四◆基础知识作业1.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为____________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=_________________求得方程的解. 2、把方程4 —x 2 = 3x 化为ax 2 + bx + c = 0(a ≠0)形式为 ，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 。
3.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是________，a =__________,b =__________,c =_________,方程的根x 1=_____,x 2=______.4、已知y=x 2-2x-3，当x= 时，y 的值是-3。
5.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=06.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A.x 1、2=24312122⨯-±B.x 1、2=24312122⨯-±-C.x 1、2=24312122⨯+± D.x 1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±--7．方程21x x =+的根是（ ）A ．x =B ． 12x =C ．x =D ．12x -±= 8.方程x 2+(23+)x +6=0的解是（ ）A.x 1=1,x 2=6B.x 1=－1,x 2=－6C.x 1=2,x 2=3D.x 1=－2,x 2=－3 9.下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有（ ）①1+5 ②1－5 ③1 ④－5 A.0个 B.1个 C.2个D.3个10. 运用公式法解下列方程:(1)5x 2+2x －1=0 (2)x 2+6x +9=7◆能力方法作业11．方程2430x x ++=的根是 12．方程20(0)ax bx a +=≠的根是13.2x 2－2x －5=0的二根为x 1=_________，x 2=_________. 14.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________.15.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______. 16．下列说法正确的是（ ）A ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=B ．一元二次方程20ax bx c ++=的根是2b x a-±=C ．方程2x x =的解是x ＝1D ．方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个 17．方程42560x x -+=的根是（ ）A ．6，1B ．2，3C ．D ．1± 18.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1B.4x 2+4x+54=0; C. 20x -= D.(x+2)(x-3)==-519、已知ｍ是方程ｘ2－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于 （ ） A 、１B 、－１C 、0D 、220.若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（ ） A.x 1=－1，x 2=－5 B.x 1=－6，x 2=1 C.x 1=－2，x 2=－3D.x =－121.解下列关于x 的方程:(1)x 2+2x －2=0 (2).3x 2+4x －7=0(3)(x +3)(x －1)=5 （4)(x －2)2+42x =022.解关于x 的方程2222x ax b a -=-23．若方程（m －2）x m2－5m+8+(m+3)x+5=0是一元二次方程，求m 的值24.已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. 求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.◆能力拓展与探究25．下列方程中有实数根的是( )(A)x 2＋2x ＋3=0． (B)x 2＋1=0． (C)x 2＋3x ＋1=0． (D)111x x x =--． 26．已知m ，n 是关于x 的方程（k ＋1）x 2-x +1=0的两个实数根，且满足k +1=(m +1)(n +1)，则实数k 的值是 ．27. 已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 43>mB. 43≥mC. 43>m 且2≠mD. 43≥m 且2≠m答案1.一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 b 2－4ac ≥0 aacb b 242-±-2、x 2 + 3x —4=0， 1、3、—4； 3.3x 2－7x －8=0 3 －7 －84、0、2 5.A 6.D 7．B 8.D 9.B 10. (1)解：a =5,b =2,c =－1∴Δ=b 2－4ac =4+4×5×1=24＞0 ∴x 1·2=56110242±-=±- ∴x 1=561,5612--=+-x (2).解：整理，得：x 2+6x +2=0 ∴a =1,b =6,c =2∴Δ=b 2－4ac =36－4×1×2=28＞0 ∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－7 11．x 1=－1，x 2=－3 12．x 1=0，x 2=－b 13.4422+ 4422- 14. 240b c -≥ 15．1816．D 17．C ． 18.B 19、A 20.A21. (1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 22.X=a+1b1 23．m=324.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根. 25． C 26. -2 27. C练习五第1题. （2005 南京课改）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1： ．答案：答案不惟一，例如：20x =，20x x -=等第2题. （2005 江西课改）方程220x x -=的解是 ． 答案：1220x x ==，第3题. （2005 成都课改）方程290x -=的解是 ．答案：3x =±第4题. （2005 广东课改）方程2x =的解是 ．答案：120x x ==，第5题. （2005 深圳课改）方程22x x =的解是（ ）Ａ．2x =Ｂ．1x =，20x =Ｃ．12x =，20x =Ｄ．0x =答案：Ｃ第6题. （2005 安徽课改）方程(3)3x x x +=+的解是（ ）Ａ．1x = Ｂ．1203x x ==-， Ｃ．1213x x ==， Ｄ．1213x x ==-， 答案：D第7题. （2005 漳州大纲）方程22x x =的解是1x = 、2x = ． 答案：1202x x ==，第8题. （2005江西大纲）若方程20x m -=有整数根，则m 的值可以是 （只填一个）．答案：如0149m =，，，，第9题. （2005济南大纲）若关于x 的方程210x kx ++=的一根为2，则另一根为 ，k 的值为 ．答案：1522-，第10题. （2005 上海大纲）已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是______________（只需写出一个方程）．答案：20x x -=第11题. （2005 海南课改）方程042=-x 的根是（ ）A. 1222x x ==-，B. 4=xC. 2=xD. 2-=x 答案：A第12题. （2005 江西淮安大纲）方程24x x =的解是 ．答案：0或4第13题. （2005 兰州大纲）已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数2m m -的值等于（ ）Ａ．－1 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2答案：Ｃ练习六第1题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ） Ａ．210x +=Ｂ．21y x +=Ｃ．210x +=Ｄ．211x x+= 答案：Ｃ第2题. （2007甘肃白银3市非课改，4分）已知x ＝－1是方程012=++mx x 的一个根，则m = ．答案：2第3题. （2007海南课改，3分）已知关于x 的方程0322=++m mx x 的一个根是1=x ，那么=m ．答案：253±-第4题. （2007黑龙江哈尔滨课改，3分）下列说法中，正确的说法有（ ） ①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-；③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④一元一次不等式2511x +<的正整数解有3个； ⑤在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B第5题. （2007湖北武汉课改，3分）如果2是一元二次方程2x c =的一个根，那么常数c 是（ ）Ａ．2 Ｂ．2-Ｃ．4Ｄ．4-答案：C第6题. (2007湖北襄樊非课改，3分)已知关于x 的方程322x a +=的解是1a -，则a 的值为（ ） A ．1 B ．35C ．15D ．1-答案：A第7题. （2007湖南株洲课改，6分）已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b--的值．答案：由1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，得：40a b +=3分又a b ≠，得：22()()20222()2a b a b a b a ba b a b -+-+===-- 6分第8题. （2007山西课改，2分）若关于x 的方程220x x k ++=的一个根是0，则另一个根是．答案：2-。
(完整版)一元二次方程的解练习题及答案
【考点训练】一元二次方程的解-1一、选择题（共5小题）1. （7.7分）若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2- 4=0的解，则m的值是（）A. 土2B.- 2C. 2D. 02. （7.7分）关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则a的值为（）A. 1B.- 1C. 2D.- 23. （7.7分）若2-逅是方程x2-4x+c=0的一个根，贝U c的值是（）A. 1B. A」C. 「； D t4. （7.7分）下列说法不正确的是（）A.方程x2=x有一根为0B•方程x2-仁0的两根互为相反数C•方程（x- 1）2-仁0的两根互为相反数D.方程x2- x+2=0无实数根5. （7.7分）已知x=1是方程x2- 2x+c=0的一个根，则实数c的值是（）A.- 1B. 0C. 1D. 2二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6. （7.7分）请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为1;②有一个根为-2.则你构造的一元二次方程是__________ .7. （7.7分）若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为_______ .8. （7.7分）已知x=2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ ABC的周长为 ________ . 9. ______ （7.7分）已知m是方程x2- 4x- 2=0的一个根，则代数式2m2- 8m+1的值为__ .10 . （7.7分）若方程x^+mx- 3=0的一根为3，则m等于_______ .三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）11 . （7.7分）已知x=0是—-兀二次方程〔叩F+Sx+m，- 2=0的一个根，求m 的值.12. (7.7分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰厶ABC的两条边长.(1)求m的值；(2)求厶ABC的周长.13. (7.6 分)已知：关于x 的一元二次方程x2-( 2m+3) x+m2+3m+2=0.(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作ABC中AB AC( AB V AC)的边长，当BC=二时，△ ABC是等腰三角形，求此时m的值.【考点训练】一元二次方程的解-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1. （7.7分）若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2-4=0的解，则m的值是（）A. 土2B.- 2C. 2D. 0【解答】解：把x=0代入方程（m - 2）x2+3x+m2- 4=0得方程m2-4=0,解得m i=2, m2=- 2,所以m=±2.故选：A.2. （7.7分）关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则a的值为（）A. 1B.- 1C. 2D.- 2【解答】解：把x=- 1代入方程得1 - 3+a=0,解得a=2.故选：C.3. （7.7分）若2-贡是方程x2-4x+c=0的一个根，贝U c的值是（）A. 1B.C. 「；D. -；【解答】解：把2-典代入方程x2- 4x+c=0,得（2 W3）2-4 （2-宾）+c=0, 解得c=1; 故选：A.4. （7.7分）下列说法不正确的是（）A.方程x2=x有一根为0B•方程x2-仁0的两根互为相反数C•方程（x- 1）2-仁0的两根互为相反数D.方程x2- x+2=0无实数根【解答】解：A、x2=x,移项得：x2- x=0,因式分解得：x （x- 1）=0, 解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确；B、x2-仁0,移项得：x2=1，直接开方得：x=1或x=- 1,所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；C、（x- 1）2-仁0,移项得：（x- 1）2=1,直接开方得：x- 1=1或x-仁-1,解得x=2或x=0,两根不互为相反数，此选项错误；D、x2-x+2=0,找出a=1, b=- 1 , c=2,则厶=1 - 8=- 7v0,所以此方程无实数根，此选项正确.所以说法错误的选项是C.故选：C.5. （7.7分）已知x=1是方程x2- 2x+c=0的一个根，则实数c的值是（）A.- 1B. 0C. 1D. 2【解答】解：根据题意，将x=1代入x2- 2x+c=0,得：1 - 2+c=0, 解得：c=1, 故选：C.二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6. （7.7分）请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为1;②有一个根为-2 .则你构造的一元二次方程是2/ - 8=0 .【解答】解：满足二次项系数不为1，有一个根为-2的一元二次方程可为2x2-8=0.故答案为2x2- 8=0.7. （7.7分）若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1,则m的值为 -3【解答】解：令x=1代入x2+mx+2=01+m+2=0m=- 3故答案为：-38. （7.7分）已知x=2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ ABC的周长为14 . 【解答】解：••• 2是关于x的方程x2- 2mx+3m=0的一个根，•••把x=2代入方程整理得：4 - 4m+3m=0,•••解得m=4,•原方程为：x2-8x+12=0,•方程的两个根分别是2, 6,又•••等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，•••若2是等腰三角形ABC的腰长，贝U 2+2=4v 6构不成三角形，•等腰三角形ABC的腰长为6,底边长为2,•三角形ABC的周长为：6+6+2=14,故答案是：14.9. （7.7分）已知m是方程x2-4x- 2=0的一个根，则代数式2m2-8m+1的值为5 .【解答】解：I m是方程x2- 4x- 2=0的一个根，•m2- 4m - 2=0,•m2- 4m=2,•2m2- 8m+1=2 （m2- 4m）+1=2x 2+1=5.故答案为5.10. （7.7分）若方程x^+mx- 3=0的一根为3,则m等于 -2 .【解答】解：把x=3代入方程x2+mx- 3=0得9+3m - 3=0,解得m=- 2.故答案为-2.三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）11. （7.7分）已知x=0是— -兀—次方程F+3计即‘ -2=0的一个根，求m 的值.【解答】解：当x=0时，m2- 2=0,解得m i=旳,m2=-::.••• m-产0,••• m=- _ :.12. (7.7分)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰厶ABC的两条边长.(1)求m的值；(2)求厶ABC的周长.【解答】解：(1)把x=2代入方程得4- 4m+3m=0,解得m=4;(2)当m=4 时，原方程变为x2- 8x+12=0，解得x i=2, X2=6,•••该方程的两个根恰好是等腰厶ABC的两条边长，且不存在三边为2, 2, 6的等腰三角形•△ ABC的腰为6,底边为2,•△ ABC的周长为6+6+2=14.13. (7.6 分)已知：关于x 的一元二次方程x2-( 2m+3) x+m2+3m+2=0.(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；(2)以这个方程的两个实数根作ABC中AB AC( AB V AC)的边长，当BC=- 时，△ ABC是等腰三角形，求此时m的值.【解答】解：(1)v x=2是方程的一个根，•- 4 —2 (2m+3) +m2+3m+2=0,•m=0 或m=1 ；(2)v^ = (2m+3) 2-4 (m2+3m+2) =1,=1；•、—-Lil _ + -.・x --z•X1=m+2, X2=m+1,••• AB AC (AB V AC的长是这个方程的两个实数根，•AC=m+2, AB=m+1.••• BC= -,△ ABC是等腰三角形，•••当AB=BC时，有m+仁！.,-m=Js - 1 ；当AC=BC寸，有m+2=.,• m= . 2,综上所述，当m朋-1或m祢-2时，△ ABC是等腰三角形.。
初中数学解一元二次方程经典练习题(含答案)
初中数学解一元二次方程经典练习题（含答案）解下列解一元二次方程：1、x2=121；2、（2x+3）2=9；3、3（4x+5）2-147=0；4、（2x−7）2+9 =6（2x-7）；5、7x（x-6）=3（12-2x）；6、（3x-5）（2x+5）= x+7；7、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；8、x（2x+5）=4（2x-1）+3；9、（x−3）2+4=5（3-x）；10、4x2+7x +1=0；11、512x2+ 13= x；12、（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3；13、14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x2；14、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；15、x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2；16、x2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0；参考答案1、x2=121；解：x2=121等式两边同时开平方x= 11故原方程的根是：x1=11，x2= -112、（2x +3）2=9；解：（2x +3）2=9等式两边同时开平方（2x +3）=±3令2x +3 = 3，即2x=0，解得x=0令2x +3 =-3，即2x=-6，解得x=-3故原方程的根是：x 1=0，x 2=-33、3（4x +5）2-147=0；解：3（4x +5）2-147=03（4x +5）2=147等式两边同时除以3（4x +5）2= 49等式两边同时开平方4x+5=±7令4x+5=7， 解得x= 12 令4x+5= -7，解得x=-3故原方程的根是：x 1= 12，x 2=-34、（2x −7）2+9 =6（2x-7）；解：（2x −7）2 +9 =6（2x-7）右边的项移到等号左边（2x−7）2-6（2x-7）+9 =0（2x−7）2 -2・3・（2x-7）+32=0[（2x−7）−3 ]2=0令（2x−7）−3 =0，解得 x=5故原方程的根是：x1=x2=55、7x（x-6）=3（12-2x）；解：7x（x-6）=3（12-2x）等号左边提取-27x（x-6）=-6（x-6）右边的项移到等号左边7x（x-6）+6（x-6）=0提取公因式（x-6）（x-6）（7x+6）=0令x-6=0，解得x=6令7x+6=0，解得x= - 67故原方程的根是：x1=6，x2=- 676、（3x-5）（2x+5）= x+7；解（3x-5）（2x+5）= x+7等号左边去括号6x2+15x-10x-25 =x+76x2+5x-25=x+76x2+4x-32=03x2+2x-16=0（3x+8）（x-2）=0令3x+8=0，解得x= - 83令x-2 =0，解得x=2故原方程的根是：x1=- 8，x2=237、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；解：3（3x-4）+ x（4-3x）=0 3（3x-4）- x（3x-4）=0 提取公因式（3x-4）（3x-4）（3- x）=0令3x-4=0，解得x= 43令3- x =0，解得x=3，x2=3 故原方程的根是：x1= 438、x（2x+5）=4（2x-1）+3；解：x（2x+5）=4（2x-1）+3 2x2 +5x =8x-4+32x2 +5x =8x-12x2 -3x +1=0（2x-1）（x-1）=0令2x-1=0，解得x= 12 令x-1=0，解得x=1故原方程的根是：x 1= 12 ，x 2=19、（x −3）2 +4=5（3-x ）；解：（x −3）2 +4= 5（3-x ）等号左边提取-1（x −3）2 +4= -5（x-3）右边的项移到等号左边（x −3）2 +5（x-3）+4=0[（x -3）+1][（x-3）+4]=0（x-2）（x+1）=0令x-2=0，解得x=2令x+1=0，解得x=-1故原方程的根是：x 1=2，x 2=-110、4x 2+7x +1=0；解：4x 2+7x +1=0判别式△=72 -4×4×1 =33x= −7 ±√332×4 = −7 ±√338故原方程的根是：x 1=−7 +√338，x 2=−7 −√33811、512x 2 + 13 = x ； 解：512x 2 + 13 = x等式两边同时乘以125x 2 +4 =12x5x 2 +4 -12x =0（5x-2）（x-2）=0令5x-2=0，解得x= 25 令x-2=0，解得x=2故原方程的根是：x 1= 25，x 2=212、（x−1）（x−2）2-1 = （x+1）（x−3）3 ； 解：（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3 等式两边分子去括号x 2−3x+22 -1 = x 2−2x−33等式两边同时乘以63（x 2−3x +2）-6 =2（x 2−2x −3） 3x 2 -9x+6 -6= 2x 2 -4x −6x 2 -5x +6=0（x-2）（x-3）=0令x-2=0，解得x=2令x-3=0，解得x=3故原方程的根是：x 1=2，x 2=313、 14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2；解：14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2等号两边同时乘以412（x+1）+13（x+2）+2 =4x 2等号两边同时乘以63（x+1）+2（x+2）+12 =24x 23x+3+2x+4+12=24x 224x 2-5x-19=0（24x+19）（x-1）=0令24x+19=0，解得x= −1924令x-1=0，解得x= 1故原方程的根是：x 1=−1924，x 2= 114、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；解：（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32 等号两边去括号x 2+3x+2+x 2+7x+12 =x 2+5x+6+32整理得x 2+5x-24=0（x+8）（x-3）=0令x+8=0，解得x= -8令x-3=0，解得x= 3故原方程的根是：x 1=-8，x 2= 315、x=2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2 ； 解：x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2等号两边同时乘以66x=4（0.3x+21）-3（0.2x-1）（x+2） 去括号6x=1.2x+84-0.6x 2+1.8x+6整理得0.6x 2+3x-90=0等号两边同时乘以10，然后再除以6 x 2+5x-150=0（x+15）（x-10）=0令x+15=0，解得x= -15令x-10=0，解得x= 10故原方程的根是：x 1= -15，x 2= 1016、x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0； 解：x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0 判别式△=（1+ 2√5）2-4・1・（ 4+√5）=1+4√5+20-16-4√5=5x= −（1+ 2√5）±√52∙1即x= −（1+ 2√5）+√52=−（1+ √5）2或 x= −（1+ 2√5）−√52=−（1+3 √5）2故原方程的根是：x1=−（1+ √5）2，x2= −（1+3 √5）2。
一元二次方程计算练习 (含答案)
一元二次方程计算练习1．解方程：（1）x2＝4x（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．2．解下列方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣3x﹣4＝0．3．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．4．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．5．选用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）5x（x+1）＝2（x+1）6．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝07．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝08．解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）9．解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x+2）（x+3）＝110．解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2﹣16＝0 11．解方程：（1）2x2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．12．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．13．用合适的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1＝0（2）2（x﹣1）2＝1﹣x．14．解方程：2x2+4x﹣3＝0．15．解方程：（1）x2+10x+9＝0（2）x2﹣x﹣＝0（3）3x2+6x﹣4＝0（4）4x2﹣6x﹣3＝0（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11（6）x（x+4）＝8x+12．参考答案与试题解析1．解方程：（1）x2＝4x（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．【分析】（1）根据因式分解的方法解方程即可；（2）根据公式法解方程即可．【解答】（1）x2＝4x，解：x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）2x2﹣4x﹣3＝0，解：a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，代入求根公式，得：，∴，．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．2．解下列方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣3x﹣4＝0．【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程化为x﹣4＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2；（2）（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，所以x1＝4，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解方程．3．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：①∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或x﹣6＝0，解得x＝2或x＝6；②∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，则x+2＝0或x﹣4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．【分析】（1）根据因式分解法节即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣10x+16＝0，∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，∴x＝2或x＝8．（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，∴x＝1或x＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．选用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）5x（x+1）＝2（x+1）【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7，∴x1＝2+，x2＝2﹣．（2）∵5x（x+1）＝2（x+1），∴（5x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝0【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．【解答】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝25，x+1＝±5，x＝±5﹣1，x1＝4，x2＝﹣6；（2）x2﹣4x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，∴x＝＝2±，即x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．7．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝0【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝2（x﹣1），∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣1﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝3．（2）∵2x2﹣5x﹣2＝0，∴a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，∴△＝25﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8．解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）【分析】（1）根据配方法即可解方程；（2）根据因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝8（x﹣2）2＝8x﹣2＝∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）2（x+5）2﹣x（x+5）＝0（x+5）（2x+10﹣x）＝0x+5＝0或x+10＝0∴x1＝﹣5，x2＝﹣10．【点评】本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法和配方法．9．解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x+2）（x+3）＝1【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）（x﹣7）（x+1）＝0，x﹣7＝0或x+1＝0，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）x2+5x+5＝0，△＝52﹣4×5＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．10．解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2﹣16＝0【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴（x﹣1）（3x+1）＝0，∴x＝1或x＝；（2）∵（x﹣1）2﹣16＝0，∴（x﹣1）2＝16，∴x﹣1＝±4，∴x＝5或x＝﹣3【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．11．解方程：（1）2x2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案．【解答】解：（1）∵2x2﹣16＝0，∴x2＝8，∴x＝±2，∴x1＝﹣2，x2＝2．（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．【分析】（1）先变形为（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（2x+3）2＝81，2x+3＝±9，所以x1＝3，x2＝﹣6；（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，y﹣1＝0或y﹣6＝0，所以y1＝1，y2＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．13．用合适的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1＝0（2）2（x﹣1）2＝1﹣x．【分析】（1）直接利用公式法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程得出答案．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，则x＝，故x1＝，x2＝；（2）2（x﹣1）2＝1﹣x2（1﹣x）2＝1﹣x，则2（1﹣x）2﹣（1﹣x）＝0，故（1﹣x）[2（1﹣x）﹣1]＝0，解得：x1＝1，x2＝．【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．14．解方程：2x2+4x﹣3＝0．【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．【解答】解：△＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．15．解方程：（1）x2+10x+9＝0（2）x2﹣x﹣＝0（3）3x2+6x﹣4＝0（4）4x2﹣6x﹣3＝0（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11（6）x（x+4）＝8x+12．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（3）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（4）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（5）求出b2﹣4ac的值，即可得出答案；（6）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+10x+9＝0，（x+1）（x+9）＝0，x+1＝0，x+9＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣）＝8，x＝，x1＝，x2＝；（3）3x2+6x﹣4＝0，b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，x＝，x1＝，x2＝；（4）4x2﹣6x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝，x1＝，x2＝；（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11，x2+2x+2＝0，b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＜0，此方程无解；（6）x（x+4）＝8x+12，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0，x+2＝0，x1＝6，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．。
一元二次方程练习题及答案
一、选择题 （共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意.每题3分，共24分）：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ）A 。
（a —3)x 2=8 （a ≠3) B.ax 2+bx+c=0C 。
(x+3）（232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是（ )A.x 2+x=1B.2x 2—x-12=12；C.2（x 2-1）=3（x-1） D 。
2(x 2+1）=x+23.一元二次方程2x 2—3x+1=0化为（x+a)2=b 的形式,正确的是( ）A 。
23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； C 。
231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D 。
以上都不对 4。
关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、125。
已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为（ ）A 。
11B 。
17C 。
17或19 D.196。
已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A、、3 C 、6 D 、9C.200+200×3x=1000D.200［1+（1+x)+(1+x ）2]=1000二、填空题:(每小题4分，共20分）11.用______法解方程3(x-2）2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2—2x —5互为相反数,则x 的值为________。
13。
22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为—1，则a 、b 、c 的关系是______.15.已知方程3ax 2—bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根—1, 则a= ______, b=______.16。
一元二次方程练习复习题(含答案))
一元二次方程复习课前练习1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝02．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞13．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝104．方程x2+x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣15．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝2207．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝08．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝09．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为．10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．14．关于x的方程mx2﹣4mx+m+3＝0有两个相等的实数根，那么m＝．15．（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（10+x）（500﹣20x）＝6000 （3）（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800知识点一一元二次方程根与系数的关系笔记：例一．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）若该方程的一个根为1，求k的值；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．练习1．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．2．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．知识点二：一元二次方程的应用之面积问题例二．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？练习1．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？2．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少？3．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．知识点四：一元二次方程的应用利润问题例4．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．（1）若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是本；（用含x的代数式表示）（2）要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？练习1．某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．假设每台冰箱降价x元，（1）则每天能售出台．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱降价多少元？3．为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动．某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？知识点5因运动产生的一元二次方程的应用问题例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？练习．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．一元二次方程复习参考答案与试题解析1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（C）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝02．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（A）A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞13．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（B）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝104．方程x2+x＝0的解是（D）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣15．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（B）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（B）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝2207．下列一元二次方程没有实数根的是（A）A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝08．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（D）A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝09．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为2020．10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1且m≠0．12．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣4．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m且m ≠2．14．关于x的方程mx2﹣4mx+m+3＝0有两个相等的实数根，那么m＝1．15．（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（10+x）（500﹣20x）＝6000 （3）（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800∴x1＝﹣5，x2＝1；x＝5或x＝10，y1＝2，y2＝5．知识点一一元二次方程根与系数的关系笔记：例一．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）若该方程的一个根为1，求k的值；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【解答】（1）解：把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0得1﹣k﹣3+3k＝0，解得k＝1；（2）证明：△＝（k+3）2﹣4•3k＝（k﹣3）2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．练习1．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．2．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，所以△＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时△＞0．．故m的值为m＝﹣1．知识点二：一元二次方程的应用之面积问题例二．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80﹣x）米依题意，得x•（80﹣x）＝750即，x2﹣80x+1500＝0，得x1＝30，x2＝50∵墙的长度不超过45m，∴x2＝50不合题意，应舍去当x＝30时，（80﹣x）＝×（80﹣30）＝25，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2（2）不能．因为由x•（80﹣x）＝810得x2﹣80x+1620＝0又∵b2﹣4ac＝（﹣80）2﹣4×1×1620＝﹣80＜0，∴上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2练习1．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？解：设鸡场的宽为xm，则长为2xm．（2x﹣4）（x﹣2）＝288，（x﹣14）（x+10）＝0，解得x＝14，或x＝﹣10（不合题意，舍去）．∴2x＝28．答：鸡场的长为28m，宽为14m2．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少？解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则（30﹣2x）（ 20﹣4x）＝30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19＝0，解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）．答：竖彩条的宽度为1cm．3．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．】解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．（2）x（24﹣3x）＝45，化简得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝5，x2＝3．当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米．知识点四：一元二次方程的应用利润问题例4．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．（1）若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是（20+40x）本；（用含x的代数式表示）（2）要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？【解答】解：（1）将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是20+×4＝20+40x（本）；（2）设这种笔记本每本降价x元，根据题意得：（5﹣3﹣x）（20+40x）＝60，2x2﹣3x+1＝0，解得：x＝0.5或x＝1，当x＝0.5时，销售量是20+40×0.5＝40＜50；当x＝1时，销售量是20+40＝60＞50．∵每天至少售出50本，∴x＝1．答：超市应将每本的销售价降低1元．练习1．某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？【解答】解：设这种衬衫每件的价格应定为x元．根据题意，得（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10]＝10000．解得x1＝50，x2＝80．答：这种衬衫每件的价格应定为 50 元或 80 元．2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．假设每台冰箱降价x元，（1）则每天能售出（8+4×）台．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱降价多少元？【解答】解：（1）根据题意，得（8+4×）；（2）设出每台冰箱应降价x元，由题意得：（2400﹣2000﹣x）（8+×4）＝4800，﹣x2+24x+3200＝4800．整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，x2＝200．要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元．3．为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动．某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，解得x1＝35，x2＝45，当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．答：共有35名同学参加了研学游活动．知识点5因运动产生的一元二次方程的应用问题例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解答】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．练习．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC＝（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t+100＝0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t﹣100＝0解得t＝5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。
一元二次方程 练习及答案
一．解方程：1、4x2﹣3x﹣2＝0（用公式法解）2、x2+2x﹣224＝0（用配方法解）3、2y2+4y＝y+24、x2﹣2x+2＝0．解：（1）∵a＝4，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝9+32＝41＞0，∴x1＝，x2＝；（2）（x+1）2＝225，∴x+1＝±15 ∴x1＝14，x2＝﹣16；（3）2y2+3y﹣2＝0，∴（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0，y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；（4）a＝1，b＝﹣2，c＝2，∴△＝20﹣8＝12＞0，∴x＝＝±，∴x1＝+，x2＝﹣；二．选择题1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣＝1C．2x+3y﹣5＝0D．x2﹣1＝0故选：D．2．若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣故选：C．3．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（）A．﹣3，1B．3，1C．﹣，﹣1D．﹣，1解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+b＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2a，x1x2＝b，又∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴a＝﹣，b＝1．故选：D．4．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．12故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018B．2019C．2020D．20216．关于x的一元二次方程ax2+bx＝2（a，b是常数，且a≠0）（）A．若a＞0，则方程可能有两个相等的实数根B．若a＞0，则方程可能没有实数根C．若a＜0，则方程可能有两个相等的实数根D．若a＜0，则方程没有实数根故选：C．7．已知x1，x2是关于x的元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A．2B．3C．2或3D．﹣2或﹣3解：∵x1，x2是关于x的元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，∴x1+x2＝5m﹣6，△＝[﹣（5m﹣6）]2﹣4m2＞0，解得m＜或m＞2，∵x1+x2＝m2，∴5m﹣6＝m2，解得m＝2（舍）或m＝3，故选：B．8．已知实数m、n满足x2﹣7x+2＝0，则+的值（）A．B．C．或2D．或2解：当m＝n时，+＝1+1＝2；当m≠n时，∵实数m、n满足x2﹣7x+2＝0，∴m+n＝7，mn＝2，∴+＝＝＝＝．故选：D．9．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．，9故选：B．10．设x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1B．﹣1＜x1＜0C．﹣2＜x1＜﹣1D．﹣5＜x1＜﹣4解：x2﹣2x＝，8x2﹣16x﹣5＝0，x＝＝，∵x1为一元二次方程x2﹣2x＝较小的根，∴x1＝＝1﹣，∵5＜＜6，∴﹣1＜x1＜0．11．以x＝为根对的一元二次方程可能是（）A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝0解：A．x2﹣3x﹣c＝0的根为x＝，符合题意；B．x2+3x﹣c＝0的根为x＝，不符合题意；C．x2﹣3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；D．x2+3x+c＝0的根为x＝，不符合题意；故选：A．12．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P≤Q C．P＜Q D．不能确定故选：C．13．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个解：m2x2﹣8mx+12＝0，△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，∴＞0，＞0，∴m＝1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．14．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m﹣1和2m+4，则的值为（）A．4B．3C．2D．1解：由题意可知：ax2＝b有两个根，由直接开方法可知：m﹣1与2m+4互为相反数，∴m﹣1+2m+4＝0，∴m＝﹣1，∴m﹣1＝﹣2，2m+4＝2，∴x2＝＝4，故选：A．15．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0故选：A．16．若方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0与方程2x2﹣（4a+1）x+2a﹣1＝0中至多有一个方程有实数根，则a的取值范围是（ ）A ．a ＞B ．a ＜﹣C ．﹣≤a ≤D ．a ＜﹣或a ＞解：在方程2x 2﹣（4a +1）+2a ﹣1＝0有实数根中，△＝[﹣（4a +1）]2﹣4×2×（2a ﹣1）＝（4a ﹣1）2+8，∵（4a ﹣1）2≥0，∴（4a ﹣1）2+8＞0，∴△＞0，∴无论a 为何值，方程2x 2﹣（4a +1）x +2a ﹣1＝0总有两个不相等的实数根．又∵方程x 2+（2a ﹣1）x +a 2＝0与方程2x 2﹣（4a +1）x +2a ﹣1＝0中至多有一个方程有实数根， ∴方程x 2+（2a ﹣1）x +a 2＝0没有实数根，∴△＝（2a ﹣1）2﹣4a 2＜0，∴a ＞． 故选：A ．17．若方程（x ﹣m ）（x ﹣a ）＝0（m ≠0）的根是x 1＝x 2＝m ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＝m 且a 是该方程的根B ．a ＝0且a 是该方程的根C ．a ＝m 但a 不是该方程的根D ．a ＝0但a 不是该方程的根 故选：A ．18．已知m ，n 是关于x 的方程x 2+（2b +3）x +b 2＝0的两个实数根，且满足+1＝n1，则b 的值为（ ） A ．3 B ．3或﹣1 C ．2 D ．0或2 解：∵m ，n 是关于x 的方程x 2+（2b +3）x +b 2＝0的两个实数根，∴m +n ＝﹣（2b +3），mn ＝b 2，∵+1＝，∴+＝﹣1，∴＝﹣1，∴＝﹣1，解得：b ＝3或﹣1，当b ＝3时，方程为x 2+9x +9＝0，此方程有解；当b ＝﹣1时，方程为x 2+x +1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，此时方程无解，所以b ＝3，故选：A ．19．已知m 是方程x 2﹣2019x +1＝0的一个根，则代数式m 2﹣2018m ++2的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021解：∵m 是方程x 2﹣2019x +1＝0的一个根，∴m 2﹣2019m +1＝0，∴m 2＝2019m ﹣1，∴m 2﹣2018m ++2＝2019m ﹣2018m ﹣1++2＝m ++1＝+1＝+1＝2020．故选：C ．20．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．50（1+x ）2＝182B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2＝182C．50（1+x）+50（1+x）2＝182D．50+50（1+x）＝182 故选：A．21．2018年一季度，华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（）A．2x＝22%+30%B．（1+x）2＝1+22%+30%C．1+2x＝（1+22%）（1+30%）D．（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）故选：D．22．化肥厂1月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，求2、3月份平均每月增产的百分率是多少？若设2、3月份平均每月增产的百分率为x，根据题意列方程为（）A．20（1+x）＝95B．20（1+x）2＝95C．20（1+x）+20（1+x）2＝95D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝95故选：D．23．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元，则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890B．x（50﹣）﹣50×20＝10890C．（x﹣20）（50﹣）＝10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890故选：C．24．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即x2＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为（）A．0B．﹣1C．i D．1解：i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3＝（i ﹣1﹣i+1）+…+i2012（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．故选：B．25．若关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，∴a+1≠0且△＝（2a﹣3）2﹣4（a+1）×（a﹣2）＞0，解得a＜且a≠﹣1．把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得x＝，∵x≠﹣1，∴≠﹣1，解得a≠﹣3，∵x＝为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，∴a的值为0，2，∴满足条件的所有整数a的和是2．故选：D．三．解答题1．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即16﹣4k＞0，∴k＜4；（2）当k＝3时，解x2﹣4x+3＝0，得x1＝3，x2＝1，当x＝3时，m＝﹣; 当x＝1时，m＝0，∴m的值为﹣或0．2．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．解：（1）根据题意△＝64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；（2）①当a＝7时，原方程变形为x2﹣8x+9＝0，△＝64﹣4×9＝28，∴x＝，∴x1＝4+，x2＝4﹣；②∵x2﹣8x+9＝0，∴x2﹣8x＝﹣9，所以原式＝2x2﹣＝2x2﹣16x+＝2（x2﹣8x）+＝2×（﹣9）+＝﹣．3．已知关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0的两个不等实数根均为正整数，且m为整数，求m 的值．解：（1）①当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，x＝1，此一元一次方程有实根，②当m≠0时，方程为一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0，∵a＝m，b＝﹣（3m+2），c＝2m+2，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（3m+2）]2﹣4m×（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2，∵（m+2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）根据（1）可得：x1＝＝＝2+，x2＝＝1，∵x为整数，m为整数，∴m＝1，﹣1，2，﹣2，∴x1＝4，0，3，1，∵x1≠x2，且x为正整数，∴m＝1或m＝2．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1＜0，x2＜0；（3）若x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝6，求k的值．【解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＜．（2）证明：∵k＜，∴x1+x2＝2k﹣3＜﹣，x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0；（3）解：∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝6，∴x1x2+（x1+x2）＝6，即k2+1+2k﹣3＝6，∴（k+4）（k﹣2）＝0，解得：k1＝﹣4，k2＝2（不合题意，舍去），∴k的值为﹣4．5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣x2＝2，求k的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．∴△＝（﹣4）2﹣4（2k﹣1）＞0，解得：k＜．（2）∵x1、x2是方程x2﹣4x+2k﹣1＝0的解，∴x1+x2＝4，x1x2＝2k﹣1．∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝22，∴42﹣4（2k﹣1）＝22，即16﹣8k＝0，解得：k＝2．又∵k＜，∴k的值为2．6．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，∴；（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，∵，∴，∴x1＞0，又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，∴x2＞0，当时，有，即﹣＝＝，∴4k﹣11＝3，∴，∴存在实数，使得．。
初三一元二次方程概念练习(含答案)
一元二次方程概念练习一、选择题（每题3分）1．方程2x 2=3（x ﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．2，3，﹣6B ．2，﹣3，18C ．2，﹣3，6D ．2，3，62．若关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A ．a≠1B ．a ＞1C ．a ＜1D ．a≠03．将一元二次方程3x 2=﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3、﹣2、5B ．3、2、﹣5C ．3、﹣2、﹣5D ．3、5、﹣24．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0，常数项为0，则m 值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．二、填空题（每题3分）6．若关于x 的方程（a －1）x 21a +＝1是一元二次方程，则a 的值是_______7．一元二次方程2x 2+4x=1的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ．8．一元二次方程x 2+4x=3化成一般形式是： ．9． 若关于x 的一元二次方程)0(052≠=++a bx ax 的一个解是1=x ，则2015a b -- 的值是 .一、选择题（每题3分）1．在下列方程中，一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣2xy+y 2=0B ．x （x+3）=x 2﹣1C ．x 2﹣2x=3D ．x+=02．关于x 的方程ax 2﹣3x+2=x 2是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ）A ．a≠0B ．a ＞0C ．a≠1D ．a ＞13．方程3x 2﹣2x ﹣1=0的二次项系数和常数项分别为（ ）A ．3和﹣2B ．3和﹣1C ．3和2D ．3和14．已知x=2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则2a-1的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二、填空题（每题3分）5．当方程（m+1）x ﹣2=0是一元二次方程时，m 的值为 ．6．将方程（x ﹣1）（x+1）=3x 化简成一般式，为 ．7．2x 23的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．8．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣x+k 2=0的一个根是1，则k 的值为 ．答案一、选择题（每题3分）1．方程2x2=3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6【答案】B【解析】试题分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．解：方程2x2=3（x﹣6），去括号，得2x2=3x﹣18，整理，得2x2﹣3x+18=0，所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，故选B．考点：一元二次方程的一般形式．2．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1．故选：A．考点：一元二次方程的定义．3．将一元二次方程3x2=﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、﹣2、5 B．3、2、﹣5 C．3、﹣2、﹣5 D．3、5、﹣2【答案】B【解析】试题分析：把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．解：3x2=﹣2x+5，移项得，3x2+2x﹣5=0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、2、﹣5，故选：B．考点：一元二次方程的一般形式．4．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【解析】试题分析：根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，∴，解得：m=2．故选：B ．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．5．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【答案】B【解析】试题分析：根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B ．考点：一元二次方程的解．二、填空题（每题3分）6．若关于x 的方程（a －1）x 21a +＝1是一元二次方程，则a 的值是_______【答案】-1.【解析】试题解析：根据一元二次方程的定义知：21210a a ⎧+=⎨-≠⎩ 解得：a=-1.考点：一元二次方程的定义.7．一元二次方程2x 2+4x=1的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ．【答案】5．【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．解：一元二次方程2x 2+4x=1的二次项系数为2、一次项系数为4，常数项为﹣1，故二次项系数、一次项系数及常数之和为：2+4﹣1=5．故答案为：5．考点：一元二次方程的一般形式．8．一元二次方程x 2+4x=3化成一般形式是： ．【答案】x 2+4x ﹣3=0【解析】试题分析：根据一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，可得答案．解：一元二次方程x 2+4x=3化成一般形式是x 2+4x ﹣3=0，故答案为：x 2+4x ﹣3=0．考点：一元二次方程的一般形式．9． 若关于x 的一元二次方程)0(052≠=++a bx ax 的一个解是1=x ，则2015a b -- 的值是 .【答案】2020【解析】试题分析：将x=1代入方程得：a+b+5=0，则a+b=－5，则2015－a －b=2015－（a+b ）=2015－（－5）=2020. 考点：整体思想求解.一、选择题（每题3分）1．在下列方程中，一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣2xy+y 2=0B ．x （x+3）=x 2﹣1C ．x 2﹣2x=3D ．x+=0【答案】C【解析】试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A 、方程含有两个未知数，故不是；B 、方程的二次项系数为0，故不是；C 、符合一元二次方程的定义；D 、不是整式方程．故选C ．考点：一元二次方程的定义．2．关于x 的方程ax 2﹣3x+2=x 2是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ）A ．a≠0B ．a ＞0C ．a≠1D ．a ＞1【答案】C【解析】试题分析：先把已知方程转化为一般式方程，然后根据一元二次方程的定义进行解答．解：由原方程，得（a ﹣1）x 2﹣3x+2=0，则依题意得 a ﹣1≠0，解得 a≠1．故选：C ．考点：一元二次方程的定义．3．方程3x 2﹣2x ﹣1=0的二次项系数和常数项分别为（ ）A ．3和﹣2B ．3和﹣1C ．3和2D ．3和1【答案】B【解析】试题分析：找出方程的二次项系数和常数项即可．解：方程3x 2﹣2x ﹣1=0的二次项系数和常数项分别为3和﹣1，故选B考点：一元二次方程的一般形式．4．已知x=2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则2a-1的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C.【解析】试题解析：∵x=2是关于x 的方程23202x a -=的一个解， ∴32×22-2a=0，即6-2a=0， 则2a=6，∴2a-1=6-1=5．故选C ．考点：一元二次方程的解.二、填空题（每题3分）5．当方程（m+1）x ﹣2=0是一元二次方程时，m 的值为 ．【答案】-1；【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．解：因为原式是关于x 的一元二次方程，所以m 2+1=2，解得m=±1．又因为m ﹣1≠0，所以m≠1，于是m=﹣1． 故答案为：﹣1．考点：一元二次方程的定义．6．将方程（x ﹣1）（x+1）=3x 化简成一般式，为 ．【答案】x 2﹣3x ﹣1=0．【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），首先把方程左边的式子利用完全平方公式展开，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．解：（x ﹣1）（x+1）=3x ，x 2﹣1=3x ，x 2﹣3x ﹣1=0．故答案是：x 2﹣3x ﹣1=0．考点：一元二次方程的一般形式．7．2x 23的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．【答案】2，3-1.【解析】试题解析：根据一元二次方程的定义得：2x2x-1=0的二次项系数是2，一次项系数是常数项是-1．考点：一元二次方程的定义.8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2=0的一个根是1，则k的值为．【答案】﹣2【解析】试题分析：根据一元二次方程的解的定义把x=1代入（k﹣1）x2﹣x+k2=0得k﹣1﹣1+k2中求出k，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．解：把x=1代入（k﹣1）x2﹣x+k2=0得k﹣1﹣1+k2=0，解得k1=﹣2，k2=1，而k﹣1≠0，所以k=﹣2．故答案为﹣2．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．。
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一元二次方程练习题及答案
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学中的基础知识。
掌握一元二次方程的解法对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些一元二次方程的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、基础练习题
1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0
解答：首先，我们可以尝试因式分解来解这个方程。
将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，得到两个解：x = 2和x = 3。
2. 解方程：2x^2 + 3x - 2 = 0
解答：这个方程无法直接因式分解，我们可以使用求根公式来解。
根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，代入a = 2，b = 3，c = -2，得到两个解：x = 0.5和x = -2。
3. 解方程：3x^2 + 7x + 2 = 0
解答：这个方程也无法直接因式分解，我们继续使用求根公式。
代入a = 3，b = 7，c = 2，得到两个解：x = -0.333和x = -2。
二、进阶练习题
1. 解方程：4x^2 - 12x + 9 = 0
解答：这个方程看起来可以因式分解，但是我们发现无法找到两个数相乘为9且相加为-12的情况。
因此，我们需要使用求根公式。
代入a = 4，b = -12，c = 9，得到两个解：x = 1.5和x = 1.5。
2. 解方程：x^2 + 4 = 4x
解答：将方程移项得到x^2 - 4x + 4 = 0。
这个方程可以因式分解为(x - 2)^2 =
0，得到一个解x = 2。
3. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0
解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
代入a = 2，b = -5，
c = 2，得到两个解：x = 0.5和x = 2。
三、挑战练习题
1. 解方程：x^2 + 2x + 1 = 0
解答：这个方程可以因式分解为(x + 1)^2 = 0，得到一个解x = -1。
2. 解方程：3x^2 + 2x + 1 = 0
解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
代入a = 3，b = 2，c = 1，得到两个复数解。
3. 解方程：5x^2 + 4x + 3 = 0
解答：这个方程无法直接因式分解，我们使用求根公式。
代入a = 5，b = 4，c = 3，得到两个复数解。
通过以上的练习题，我们可以看到一元二次方程的解法有多种形式，包括因式
分解和求根公式。
对于简单的方程，我们可以尝试因式分解来解决；对于复杂
的方程，求根公式是一种有效的解法。
掌握这些解法，可以帮助我们更好地解
决一元二次方程的问题。
在实际应用中，一元二次方程经常出现在物理、经济等领域的问题中。
通过解
方程，我们可以找到问题的解，进而解决实际的困扰。
因此，对一元二次方程
的理解和掌握不仅仅是数学学科的要求，更是培养逻辑思维和解决问题能力的
一种训练。
总之，通过练习一元二次方程的题目，我们可以更好地理解和掌握这一知识点。
无论是基础练习题还是挑战练习题，都可以帮助我们提高解方程的能力。
希望读者能够通过这些练习题加深对一元二次方程的理解，从而在数学学习中取得更好的成绩。