材料力学教案

第十四章 扭转

一、基本内容 1．重要概念 ①扭转的概念

受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。 变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。 ②外力偶矩的计算

工程中作用于轴上的外力偶矩通常并不直接给出，而是给出轴的转速和轴所传递的功率，它们的换算关系为

9550M P n = 式中M 为外力偶矩（m •N ）， P 为轴传递的功率（kW ），n 为轴的转速（min r ）。 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入力偶矩为主动力偶矩，其方向与轴的转向相同；输出力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转向相反。 2、圆轴扭转时的内力—扭矩 ①扭矩

已知作用在轴上的外力偶矩，则可用截面法计算轴横截面上的内力。如圆轴AB (10-4a )，在外力偶矩A M 、B M 和C M 作用下处于平衡状态，现求任一横截面m m -上的内力。假想沿截面m m -将轴分为两段，保留左段（或右段）为研究对象，用内力替代移去段轴对所研究段轴的作用效应。因轴上外力全是力偶，故

内力也必然是一个内力偶，这个内力偶的矩称为扭矩，用n M

表示（图10-4b ）。取轴线为x 坐标轴，由该段轴的平衡条件

0x M =∑

即 0

n A C M M M -+=

得 n A C

M M M =- 若取右端轴研究（图10-4c ）同样可得 n B A C

M M M M ==-

图10-4 扭矩计算示意图

在轴左、右段截面上的两个扭矩，大小相等，转向相反。为了使截面两侧求出的扭矩具有相同的正负号，特作如下规定：按右手螺旋法则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，若大拇指的指向与横截面的外法线方向一致，则扭矩为正；反之为负。计算扭矩时一般按正扭矩假设，若求得结果为负，则说明扭矩实际转向与假设相反。

②扭矩图

当轴上外力偶较多时，不同截面的扭矩就不一定相等。为了清楚地看出各截面扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。画扭矩图时，取平行于轴线的直线为x 轴，横坐标x 表示各横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示相应截面的扭矩，正扭矩画在x 轴上侧，负扭矩画在下侧。

3.圆轴扭转时的应力 ①圆轴扭转时的应力

n M I ρρτρ=

max n M W ρτ=

W ρ称为圆轴的抗扭截面模量，也表示截面的一种几何性质，其单位为3m 或3mm

②工程中常用的空心圆轴和实心圆轴的

I ρ

和

W ρ

计算公式。

（a ） （b ） （c ）

计算空心圆轴横截面的极惯性矩时，可在截面距圆心为ρ处出取宽为d ρ的微小环形面积dA ，于是

2dA d πρρ= 从而得圆环形截面的极惯性矩

I ρ

= dA

A 2

ρ⎰

=2π

ρ

ρd D d 32

⎰=32π(44

D d -)= 324

D π(1—α4)

抗扭截面模量

34(1)16

W D ρπα=-

式中 d D α= 当内径0d =时即为实心圆截面，此时=α0,于是 432

I D ρπ= ，

316

W D ρπ=

4.圆轴扭转时的强度条件

等直圆轴最大剪应力发生在最大扭矩所在截面的外周边各点处，为了使圆轴能正常工作，必须使最大工作剪应力max τ不超过材料的许用剪应力[]τ。于是等直圆轴扭转时的强度条件为

max

max n

M W ρ

τ=

≤[]τ

二、教学建议 教学提示

① 圆轴扭转的应力讲解时根据学生接受能力适当简化，甚至可以直接给出公式和使用方法

② 强度计算时注意强度条件的应用环境和条件。